期末专项训练（2）一元二次方程-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件（华东师大版）

数 学 九年级上册 HS 1 2 3 期末专项训练 4 （二） 一元二次方程 5 刷专项 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 专项 考点1 一元二次方程的相关概念 1.［中］如果关于的方程是一元二次方程，那么 的 值为( ) C A. B.3 C. D.无法确定 【解析】根据题意得且，解得 .故选C. 刷专项 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 2.［中］已知是一元二次方程 的一个根，则 _______． 2 020 【解析】 是一元二次方程 的一个根， ，， .② 把①②代入原式，有 故答案是2 020． 刷专项 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8 考点2 一元二次方程的解法 3.【2023江苏南京调研，中】关于的方程，， 均为常 数，的解是，，则方程 的解是( ) C A.， B.， C.， D.无法求解 【解析】可把方程看作关于的一元二次方程. 关于 的方程的解是，， 关于 的方程 的解是或，或 .故选C. 刷专项 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9 4.［中］小刚在解关于的方程时，只抄对了 ， ，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的值比原方程的 值小1， 则原方程的根为_____________． 【解析】 由题意得是关于的方程 的一个根，则 ，解得，所以原方程为 ，即 ，解得.故答案为 ． 刷专项 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 5.【2024北京房山区期末，中】解下列一元二次方程： （1） （直接开平方法）； 【解】，，解得, . （2） （配方法）； 【解】 ，，， ， 解得， . 刷专项 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11 （3） （公式法）； 【解】 在中，，， ， , ， 解得， . （4） （因式分解法）. 【解】 ，，解得, . 刷专项 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 考点3 一元二次方程根的判别式 6. 【2022内蒙古呼伦贝尔中考，中】对于实数，定义运算“ ”为 ，例如，则关于 的方程 的根的情况，下列说法正确的是( ) A A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 刷专项 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 【解析】， ， ， ， 关于 的方程 有两个不相等的实数根.故选A. 刷专项 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 7. 【2024山西吕梁期中，中】关于方程 ，下列几位同学的说法 中，正确的是( ) 小明：当 时，方程没有实数根. 小强：当 时，方程有两个相等的实数根. 小新：当 时，方程有两个不相等的实数根. 小宇：方程有没有根与 无关. C A.小明 B.小强 C.小新 D.小宇 刷专项 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 【解析】根据可得，故 . 当，即 时，方程没有实数根，故小明的说法错误；当 ，即 时，方程有两个相等的实数根，故小强的说法错误；当 时， ，方程有两个不相等的实数根，故小新的说法正确； 方程有没有根与 有关，故小宇的说法错误.故选C. 刷专项 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 16 8.【2024重庆沙坪坝区期末，中】若关于的一元二次方程 有实数根，反比例函数的图象在各象限内随 的增大而增大，则所有满足 条件的整数 的值之和为___. 9 【解析】 关于的一元二次方程 有实数根， ，，且 反比例 函数的图象在各象限内随的增大而增大，，解得 ， 且.故所有满足条件的整数 的值为0，2，3，4， ，故答案为9. 刷专项 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17 9. 【2023贵州铜仁调研，中】如图，在菱形中，对角线, 交于 点,，，分别是菱形的两条对角线的长和边长，这时我们把关于 的形 如 的一元二次方程称为“菱系一元二次方程”.请解答下列问 题： （1）填空：用含，的代数式表示______，当，时， ____； 刷专项 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 18 【解】 四边形是菱形，，， ， ，，分别是菱形 的两条对角线的长和边长， ，.当，时， ，解得 .，.故答案为， . 刷专项 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 19 （2）求证：关于的“菱系一元二次方程” 必有实数根. 【证明】已知关于的“菱系一元二次方程” ， ， ， 关于 的 “菱系一元二次方程” 必有实数根. 刷专项 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 20 考点4 一元二次方程的根与系数的关系 10. 传统文化【2023湖北黄石中考，中】关于 的一元二次方程 ，当 时，该方程的正根称为黄金分割数.宽与长的比是黄金 分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我 国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数. （1）求黄金分割数； 【解】依据题意，将代入得 ，解得 . 黄金分割数大于0， 黄金分割数为 . 刷专项 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 21 （2）已知实数，满足：,，且，求 的值； 【解】 ，，则 .又 ，，是一元二次方程 的两个根，则 ， . 刷专项 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 22 （3）已知两个不相等的实数，满足：, ，求 的值. 【解】 ， ， ，即 ， .又 ， ，即 ，为两个不相等的实数， ，则 ， .又 ， ，即 . 刷专项 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 23 考点5 一元二次方程的应用 11. 【2023江苏泰州姜堰区期中，较难】规定：若（， ， ，为有理数，为无理数）是一元二次方程（，， ， 为有理数）的根，则也是该方程的根，称 是该方程的一对 “共轭无理根”. （1）写出一元二次方程 的一对“共轭无理根”：______________ _______________________________________________________________________ _______________________； 【解】，整理得，即，，解得.故答案为. 刷专项 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 24 （2）若是关于的一元二次方程的一个根，求有理数， 的值； 【解】 是关于的一元二次方程的一个根,, 为有理 数，也是该方程的根.由根与系数的关系得 , ，， . 刷专项 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 25 （3）已知关于的一元二次方程（，， 为有理数）的一 对“共轭无理根”是，.若（， 为有理数），求代数式 的值. 【解】 根据根与系数的关系得 关于 的一元二次方程 的一对“共轭无理根”是,, ， ，，即 ， ，， . 刷专项 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 26 12.［较难］随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广.喷灌和滴灌是比 漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的和 .去 年，新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式， 共用水15 000吨. （1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？ 【解】设用漫灌方式每亩用水 吨.则 ，解得 .则漫灌用水 （吨），喷灌用水 （吨），滴灌用水 （吨）. 答：用漫灌方式每亩用水100吨，去年每块试验田用漫灌、喷灌、滴灌方式分别用 水10 000吨、3 000吨、2 000吨. 刷专项 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 27 （2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了 ， 漫灌试验田的面积减少了 .同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种 灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了 .经测算，今年的灌溉用水量比去年 减少，求 的值. 【解】 由题意，得 ， 解得（舍去），，所以 . 刷专项 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 28 （3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系.今年，该公司全部试验田在灌溉 输水管道维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经 费为每亩100元.在（2）的情况下，若每吨水收费2.5元，请判断，去年因用水量 减少所节省的水费是否大于今年以上两项投入之和. 【解】 节省水费 （元），维修投入 （元），新增设备投入 （元）.因为 ，所以去年因用水量减少所节省的水费大于今年两项投 入之和. 刷专项 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 29 $$