第22章 一元二次方程全章综合训练-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件（华东师大版）

数 学 九年级上册 HS 1 2 3 第22章 一元二次方程 4 全章综合训练 5 刷中考 刷章测 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 中考 考点1 解一元二次方程 1.【2023内蒙古赤峰中考】用配方法解方程 时，配方后正确的是 ( ) C A. B. C. D. 【解析】，移项得， ，两边同时加上4得， ， ，故选C. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 2. 【2023山东潍坊中考】用与教材中相同型号的计算器，依次按 键 ，显示结果为 .借助显示结果，可以将一元二次 方程的正数解近似表示为_______.（精确到 ） 0.618 【解析】 一元二次方程中的,, ，则 ，所以这个方程的正数解为 ，可以近似表示为 ，故答案为0.618. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 3. 开放性试题【2022贵州贵阳中考】在初中阶段我们已经学习了一元二次 方程的三种解法，它们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次 方程中任选两个，并解这两个方程. ；；； . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 【解】①利用公式法：，,, , ， . ， . ②利用因式分解法：，， . ③利用配方法：，两边都加上4，得 ， ，.， . ④利用因式分解法：，， . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 考点2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 4.【2023辽宁锦州中考】若关于的一元二次方程 有两个实数根， 则 的取值范围是( ) D A. B. C.且 D.且 【解析】为一元二次方程， 该一元二次方程有两个 实数根，，解得，且 ，故选D. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 5.【2023湖南岳阳中考】已知关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，且，则实数 ___. 3 【解析】 关于的一元二次方程 有两个不相等的实 数根， ，解得 ,， ， ，解得, （不合题意，舍去），故答案为3. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 考点3 一元二次方程的应用 6.【2022黑龙江龙东地区中考】2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参 加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？( ) B A.8 B.10 C.7 D.9 【解析】设共有支队伍参加比赛.根据题意，可得，解得 或 （舍去）， 共有10支队伍参加比赛.故选B. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 13 7.【2023浙江金华中考】如图是一块矩形菜地,, ，面 积为.现将边增加 . 关键点拨 （1）利用矩形面积不变，列方程计算. （2）根据矩形面积的关系建立 关于的一元二次方程，再令判别式的值为零得到关于 的方程，求解可得结论. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 （1）如图（1），若，边减少，得到的矩形面积不变，则 的值是___. 6 【解析】 根据题意，得原矩形的面积为 ，变化后矩形的面积为 ，边减少 ，得到的矩形面积不变， ，解得 ，故答案为6. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 15 （2）如图（2），若边增加，有且只有一个 的值，使得到的矩形面积为 ，则 的值是_________. 【解析】 根据题意，得原矩形的面积 ，变化后矩形的面积为 ，，， ， 有且只有一个的值， ， ，解得,（舍去），故答案为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 8.【2023江苏淮安中考】为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园 （如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用 的篱笆围成.生 态园的面积能否为？如果能，请求出 的长；如果不能，请说明理由. 【解】生态园的面积能为，理由如下： 四边形 是矩形， ，.设的长度为，则的长度为 .由题意得 ，整理得，解得，， 生态园的面 积能为，的长为或 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 17 章测 一、选择题（本大题共8小题，共32分） 1.【2023内蒙古呼伦贝尔中考】若实数，是一元二次方程 的两 个根，且，则点 所在象限为( ) B A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】 实数，是一元二次方程的两个根，且 ， ，,为， 在第二象限，故选B. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 2.【2023黑龙江哈尔滨期中】下列方程没有实数根的是( ) C A. B. C. D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 19 【解析】A选项,方程变形为， ， 所以方程有两个不相等的实数根，故A选项不符合题意；B选项, ，所以方程有两个不相等的实数根，故B选项不 符合题意；C选项, ，所以方程没有实数根，故C选 项符合题意；D选项,方程变形为 ， ，所以方程有两个不相等的实数根，故D选项 不符合题意.故选C. 关键点拨 运用根的判别式的前提是将方程化为一般形式. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 20 3.已知是一元二次方程的一个根，则 的值为 ( ) B A.或2 B. C.2 D.0 【解析】把代入得 ， ，解得， 是一元二 次方程， ，， .故选B． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 21 4.【2023湖北恩施州期中】甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一 次项系数看错了，而解得方程两根为 和5，乙把常数项看错了，解得两根为2和 ，则原方程是( ) D A. B. C. D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 22 【解析】设一元二次方程为,,为常数， 甲因把一 次项系数看错了，而解得方程两根为和5，，即 乙把常 数项看错了，解得两根为2和，，即 .A选项， ，， ，故该选项是错误的；B选项， ，， ，故该选项是错误的；C选项， ，， ，故该选项是错误的；D选项， ，， ，故该选项是正确的.故选D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 23 5.【2023四川眉山仁寿质检】已知关于 的一元二次方程 的两个实数根分别是， ，满足 ，那么 的值为( ) A A. B. 或6 C.6 D.不存在 【解析】由根与系数的关系可得， ， ， ，，解得 或 ， 当 时， ，不合题意,舍去；当时， ，符 合题意， .故选A. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 24 6.现要在一个长为，宽为 的矩形花园中修建等宽 的小道，剩余的地方种植花草.如图所示，要使种植花草的 面积为 ，那么小道的宽度应是 ( ) B A. B. C. D. 【解析】设小道的宽度应为，则剩余部分可合成长为 ，宽为 的矩形.依题意得 ，整理，得 ，解得， （不合题意，舍去）， ， 小道的宽度应为 .故选B. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 25 7. 【2023山东淄博淄川区期中】欧几里得在《几何原本》中， 记载了用图解法解方程 的方法，类似地，我们可以用 折纸的方法求方程 的一个正根.如图，一张边长为1的 正方形的纸片，先折出，的中点，，再折出线段 ， B A.线段 B.线段 C.线段 D.线段 然后沿线段折叠使落在线段上，得到点的新位置，并连结， . 此时，在下列四个选项中，有一条线段的长度恰好是方程 的一个正 根，则这条线段是( ) 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 26 【解析】设，则.由题意可知，是 的中 点，，, . ， ， . 的解为,， 取正值为. 这条线段 是线段 .故选B. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 27 思路分析 首先根据方程解出正根为 ，再判断这个数值和题目中哪条线段 长度接近．线段排除，设,则 ．利用正方形的面积等 于图中各个三角形的面积和，列出关于的方程,解方程求出 的值即可得到答案. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 28 8.【2024重庆万州区期末】已知关于的两个多项式 ， ，其中 为常数.下列说法： ①若的值始终与无关，则 ； ②关于的方程 始终有两个不相等的实数根； ③若的结果不含的项，则 ； ④当时，若的值为整数，则 的整数值只有2个. 以上说法正确的个数为( ) B A.4 B.3 C.2 D.1 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 【解析】， ， 的值始终与 无 关，， ，故①错误 ， 关于的方程 始终有两个不相等的实数根，故②正确 的结果不含的项，，解得 ，故③正确. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 ④当时，，. 的 值为整数，，解得或 ，故④正确.综上，正确的个数为3， 故选B. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 关键点拨 计算，根据的值始终与无关，可得 ；计算 ，利用根的判别式，可得关于 的方程 始终有两个不相等的实数根；计算 ，当时， 的结果不含的项；④计算，由的值为整数，可得 ，求出 的值. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 二、填空题（本大题共4小题，共20分） 9.【2022四川巴中中考】 ， 是关于的方程 的两个实数根， 且，则 的值为____. 【解析】 , 是方程的根， ， ， ， ，故答案为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 10.【2022湖北荆州中考】一元二次方程配方为，则 的值是___. 1 【解析】 ，， ， 一元二次方程配方为， ，故 答案为1. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 11.【2024江西宜春期中】在一张边长为 的正方形纸片上剪下一个一边长为 的等腰三角形，要求：等腰三角形的三个顶点都落在正方形的边上，且其中 一个顶点与正方形的顶点重合，则所得等腰三角形的面积可能是 __________________________________ .（写出至少三个） 或或（答案不唯一） 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 【解析】 当长为的边为腰时，如图（1）， . 正方形纸片的边长为，， 由勾股定理得， ， ， . 当长为 的边为底边时， 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 ①如图（2），, . ，.设 ， . ，，解得 ， ， ， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 ②如图（3），, . ,，, ， .设，则 . ， ， 解得或 （舍去）， 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 ， ， .故答 案为或或 （答案不唯一）. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 12.【2023四川乐山质检】解方程，可以利用换元法，设 ，将原 方程转化为，解出即可求得 .请你用这种方法解决下面的问题.已知 实数，满足则 的值为____. 26 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 【解析】 设，，则 得 ，.把代入①得，， . 当，时，，，满足条件的，不存在;当 ， 时，，， ， 故答案为26. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 关键点拨 观察方程组可提出与 两个整体部分，用换元法将这两个整体代换表示后， 可简化原方程组，进而求解. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 三、解答题（本大题共48分.解答应写出文字说明、演算步骤 或证明过程） 13.解方程： （1） ； 【解】, 原方程化为,即 , ,即,, . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 （2） . 【解】 ，，，， ， , . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 14.某商店以20元/件的价格新进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量 （件）与销售单价 （元/件）之间的函数关系如图所示． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 （1）求与 之间的函数关系式. 【解】设.将，代入得 解得 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （2）若某段时间内该商品的销售单价为70元/件，则销售利润为多少元？ 【解】 由（1）知，当时，， （元）. 答：销售利润为500元． （3）要使销售利润达到800元，则销售单价应定为多少？ 【解】 依题意有，解得, . 答：销售单价应定为40元/件或60元/件. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 （4）在一段时间内，销售利润能达到1 000元吗？若能,求出此时的销售单价；若 不能，说明理由． 【解】 不能.理由： ，则 ， 方程无实数根， 销售利润不能达到1 000元． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 15.【2023江苏淮安期中】中， ，，动点 从 点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，到达点 停止运 动.设运动时间为 秒. 图（1） 图（2） 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 思路分析 （1）先求出的面积，然后根据题意可得， ，最 后根据与的面积和是的面积的 列方程解答； （2）根据不同时间段分三种情况进行讨论. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （1）如图（1），过点作，交于，若与 的面积和是 的面积的，求 的值； 【解】中， ，， ， ，， ， 与的面积和为与 的面积和是 的面积的，，解得， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 （2）如图（2）,点在射线上，且，以线段 为边向上作正方形 .在运动过程中，若正方形与重叠部分的面积为8，求 的值. 【解】 ，，.设正方形与 重叠部分的面 积为 . 图（1） ①如图（1），当时， ，解得 ， （不合题意，舍去）. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 图（2） ②如图（2），当 时，， 解得 （不合题意，舍去）， （不合题意，舍去）. 图（3） ③如图（3），当时， ，解得 ，（不合题意，舍去）.综上，的值为或 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 16.【2024四川乐山期末】已知关于 的一元二次方程 . 关键点拨（1）根据根的判别式的值是正数即可得证； （2）利用因式分解法解方程，再代入 即可； （3）先画出对应的函数图象，再求出函数与 图象的 交点坐标，再结合函数图象求解即可. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； 【证明】，， 方程有两个不相等的实数根. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （2）设方程的两个实数根分别为，（其中）.若是关于 的函数，且 ，求这个函数的表达式； 【解】 ， ， ， ， ， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 （3）作出（2）中函数的图象，结合图象回答：当自变量 的取值范围满足什么 条件时， ？ 【解】 函数的图象与射线 如图所 示，令两图象交于点.联立方程组 解得 或 ， 即点坐标是 ， 结合图象知，当自变量时， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 $$