22.2.1.2 因式分解法-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件（华东师大版）

数 学 九年级上册 HS 1 2 3 第22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 4 22.2.1 直接开平方法和因式分解法 课时2 因式分解法 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 用提公因式法解一元二次方程 1.【2024北京顺义区期末】方程 的解为( ) B A.， B.， C.， D. 【解析】， ， ，，解得， ，故选B. 关键点拨 方程等号两边有公因式的，可以移项提公因式，用因式分解法求解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 2.【2024山西大同期末】将 转化为两个一元一次方程，这两 个方程是( ) C A., B., C., D., 【解析】， ， ，， 转化的两个一元一 次方程为， ，故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8 3.已知菱形，边的长是方程 的一个根，则菱形 的周长是( ) C A.12 B.16 C.12或16 D.24 【解析】，整理，得,解得 , .①当时，菱形的周长为；②当 时，菱形 的周长为 .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9 4.【2023广东广州越秀区质检】若代数式和 的值互为相反数，则 的值为______. 1或3 【解析】 代数式和的值互为相反数， ， 即，或，解得或 .故答案为1或3. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 归纳总结 用因式分解法解一元二次方程需将所有的项都移到方程的一边，再分解因式求得 方程的解，不能将方程的两边除以相同的整式. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11 5.如果非零实数是一元二次方程的一个根， 是方程 的一个根，那么 的值等于___. 5 【解析】 由题意得，， 得 ，，，解得 （舍去）， 的值为5．故答案为5． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 6.解方程： （1） ; 【解】原方程可化为 .整理得 .方程左边因式分解，得 .解得 , . （2） ; 【解】 原方程整理为.方程左边因式分解得 .解得 ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （3） ; 【解】 方程左边因式分解，得,即 . 解得, . （4） . 【解】 移项,得.整理,得 .方程 左边因式分解,得.解得, . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 知识点2 用公式法分解因式解方程 7.【2024山东威海期末】定义一种新运算“ ”： ，则方程 的实数根是( ) D A., B. C., D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 【解析】 步骤名称 过程 依据 运算转换 由 得 定义式 整理方程 去括号、移项、合并同类项 解方程 ， 故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 16 8.【2023四川成都期中】解方程： （1） ; 【解】， ，则 ，即， 或 ，， . （2） ； 【解】 整理,得，开平方得， . （3） . 【解】 原方程可化为，即， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17 知识点3 用其他方法分解因式解方程 9.【2022山东临沂中考】方程 的根是( ) B A.， B.， C.， D.， 【解析】，，或 ，解得 ， ，故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 18 10.若关于的一元二次方程的两个根都是整数，则 的值不可能 是( ) B A. B. C. D.11 【解析】当时，,解得或 ， 故A选项不符合题意；当时，，整理得 ，解 得或，故B选项符合题意；当 时， ,解得或 ，故C选项不符合题意；当 时，,解得或 ，故D选项 不符合题意.故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 19 11.【2023四川资阳期末】已知是一元二次方程 的一 个实数根，则 ____. 【解析】 把代入方程得，即 ， ，解得或，， .故答 案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 20 刷易错 易错点 解方程时，方程两边同时除以含有未知数的代数式导 致丢根 12.阅读下列解方程 的过程，并解决相关问题. 解：将方程左边分解因式， 得 ，（第一步） 方程两边都除以，得 ，（第二步） 解得 .（第三步） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 21 易错警示 当时，方程两边可以同时除以；当 时，方程两边就不能同 时除以 了.解方程时，方程两边同时除以含有未知数的代数式时，一定要论 证这个代数式不为零. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 22 （1）第一步方程左边分解因式的方法是________，解方程的过程从第____步开始 出现错误，错误的原因是_____________； 公式法 二 可能为0 【解析】 第一步方程左边分解因式的方法是公式法，解方程的过程从第二步开始 出现错误，错误的原因是可能为0，故答案为公式法，二， 可能为0. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 23 （2）请直接写出方程的根为________________. ， 【解析】 ， ， ，则，或 ， 解得，，故答案为， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 24 提升 1.【2023河南洛阳期中，中】一个直角三角形的一条直角边长是4，另一边的长是 一元二次方程 的根，则该三角形的面积是( ) D A.6 B.10 C.7.5或10 D.6或10 【解析】，，则或 ，解 得（舍去）或.当直角边长为5时，三角形面积为 ；当 斜边长为5时，另一条直角边长为，三角形面积为 .综上, 三角形的面积为6或10，故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 2.【2023广东佛山期中，中】设是方程的一个较大的根， 是方程 的一个较小的根，则 的值是( ) C A. B. C. D.2 【解析】，，或，解得 或 是方程的一个较大的根， ， ，或，解得或 是方程 的一个较小的根,, ，故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 3.【2024山东烟台期末，中】若，则 的值是 ( ) B A. B.2 C. D.4 【解析】,， ， .由题知，, .故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 4.【2024四川成都期中，中】已知一元二次方程 的一个根与方程 的一个根互为相反数，那么 的根是( ) A A.0， B.0， C.，2 D.1， 【解析】设为方程的一个根，则 为方程 的一个根， ， ，，得 ，即 ，解得或.又，，， 原方程 为，解得或 .故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 5. 【2023重庆万州区调研，较难】对于实数,，我们用符号， 表 示，两数中较大的数，如，.若， ，则 _______. 或2 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 【解析】 分两种情况:①当时，解得，.当 时， ，不符合题意；当 时， ， 符合题意；②当 时，，，解得， . 当时，， 不符合题意；当 时，，符合题意.综上, 或 .故答案为 或2. 关键点拨 题目中没有明确和 的大小，因此要进行分类讨论. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 6.［中］请阅读下面解方程 的过程. 解：设，则原方程可变形为 . 解得， . 当时，， ； 当时，， ，此方程无实数解. 原方程的解为， . 我们将上述解方程的方法叫做换元法. 请用换元法解方程： . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 【解】设，则原方程变形为，解得， .当 时，，解得.经检验，是分式方程的解.当 时， ，解得.经检验,是分式方程的解. 原方程的解为 ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 刷素养 走向重高 7.核心素养 运算能力［较难］若关于 的一元二次方程 且，的解 ， ，则称该方程为二次“差解方程”.例如： 的 解为，，且， ，所以方程 是二次“差解方程”. 根据上述材料，解决下列问题： 关键点拨 理解二次“差解方程”的定义是解题的关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 （1）判断方程 是否为二次“差解方程”，并说明理由； 【解】方程 不是二次“差解方程”.理由如下： 方程的解为,.， ， 该方程不是二次“差解方程”. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 （2）若关于的方程 是二次“差解方程”，求 关于的一元二次方程 的解. 【解】 方程的解为, . 该方程是二次“差解方程”，, ， 整理得,.得 关于 的一元二 次方程 ，整理可得 ，将①②③代入得 ，，, . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 35 $$