精品解析：山东省泰安市宁阳县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度第二学期期末质量检测 七年级数学试题 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，48分；第Ⅱ卷为非选择题，102分；全卷共8页． 2．数学试题答题卡共2页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束后上交答题卡． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．第Ⅱ卷按要求碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题共 48分） 一、选择题（本题共12小题，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，不选或选出的答案超过一个均记零分）． 1. 某同学抛掷一枚硬币，连续抛掷次，都是反面朝上，则抛掷第次出现正面朝上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查概率的意义，根据抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正面向上的概率都是，即可得到第次出现正面朝上的概率．解题的关键是正确把握概率的定义：对于一个随机事件，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件发生的概率． 【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正面向上的概率都是， ∴抛掷第次出现正面朝上的概率是． 故选：B． 2. 下列命题中，错误的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 若且，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的性质判断即可． 【详解】解：对于A选项，若，则，正确，不符合题意； 对于B选项，若且，则，正确，不符合题意； 对于C选项，若且，则，正确，不符合题意； 对于D选项，当，，，则，错误，符合题意； 故选D． 3. 如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线EF与BD相交于点P，，，，则的大小为（ ） A B. C. D. 85° 【答案】C 【解析】 【分析】由平行线的性质得到，再由三角形外角定理即可求解．此题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，同位角相等是解题的关键． 【详解】解：，， ， ，， ， 故选：C． 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 C. 到三角形三边距离相等的点是三条垂直平分线的交点 D. 到角的两边距离相等的点在角的平分线上 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题的真假；根据对顶角的定义、线段垂直平分线的性质，角平分线的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A、相等的角不一定是对顶角，故选项A命题是假命题； B、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，故选项B命题是真命题； C、到三角形三边距离相等的点是三条角平分线的交点，不是垂直平分线的交点，故选项C命题是假命题； D、到角两边的距离相等的点在角的平分线上，错误，应是在角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上，故选项D命题是假命题； 故选B． 5. 若方程组的解恰为等腰三角形的两边长，则等腰三角形的周长为（ ） A. 8 B. 10 C. 8或10 D. 6或12 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 先求方程组的解，再分腰长为2，底边长为4时，腰长为4，底边长为2时，两种情况结合构成三角形的条件进行求解即可． 详解】解：∵， ∴， 当腰长为2，底边长为4时，则三角形三边为2，2，4，不能组成三角形，不符合题意； 当腰长为4，底边长为2时，则三角形三边为4，4，2，能组成三角形，符合题意， ∴三角形的周长为， 故选B． 6. 实数5与6，7，8中任意一个数组成的两位数是奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解答本题的关键． 根据题意可得出所有等可能的结果数以及组成的两位数是奇数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：实数5与6，7，8中任意一个数组成的两位数的所有等可能的结果为：56，65，57，75，58，85，共6种结果， 其中是奇数的结果有：65，57，75，85，共4种， 实数5与6，7，8中任意一个数组成的两位数是奇数的概率为． 故选：D． 7. 如图，中，，且，为的外角平分线，垂直于于E，交延长线于F，若周长为22，，则为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，证明得到是解题的关键． 先由等腰三角形的“三线合一”的性质得到，再证明得到，从而得到，再根据三角形的周长公式即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴， ∵为的外角平分线， ∴， ∵垂直于交于E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵周长为22，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则下列说法错误是（ ） A. ， B. 经过一、二、四象限的直线是 C. 关于x、y的方程组的解为 D. 关于的不等式的解集是 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数与方程组和不等式．根据一次函数的性质以及一次函数与方程、不等式的关系分析解答即可． 【详解】解：A、由直线的图象可得随的增大而增大，故，直线与轴的交点在轴的正半轴，故，说法正确，故本选项不符合题意； B、直线经过的象限是一、二、四，说法正确，故本选项不符合题意； C、当时，，解得，则， 所以关于、的方程组的解为，说法正确，故本选项不符合题意； D、关于的不等式的解集是，原说法错误，故本选项符合题意． 故选：D． 9. 如图，，平分，于点，交于点，若，则的面积为（ ） A. B. 18 C. D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、平行线的性质、含有角的直角三角形的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键． 作于，根据角平分线的性质得到，根据平行的性质，角平分线的定义得到，根据含有角的直角三角形的性质即可得到，进而根据三角形面积即可求出答案． 【详解】解：如图，作于， 平分，，， ， ，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴的面积为 故选：D． 10. 我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，设竿长x尺，绳索长y尺，根据用绳索去量竿，绳索比竿长5尺可得方程，根据将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺可得方程，据此可得答案． 【详解】解：设竿长x尺，绳索长y尺， 由题意得，， 故选：A． 11. 如图，点A是x轴上一个定点，点B从原点O出发沿y轴的正方向移动，以线段为边在y轴右侧作等边三角形，以线段为边在上方作等边三角形，连接，随点B的移动，下列说法错误的是（ ） A. B. C. 直线与x轴所夹的锐角恒为 D. 随点B的移动，线段的值逐渐增大 【答案】D 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质，结合图形证明手拉手模型一旋转型全等，即可判断A，根据△BOA≌△BDC，可得∠BDC=∠BOA=90°，从而可得∠ODC=∠BDO+∠BDC=150°，即可判断B，延长CD交x轴于点E，根据∠ODC=150°利用平角定义可求出∠ODE=30°，然后再利用三角形的外角求出∠DEA=60°，即可判断C，根据△BOA≌△BDC，可得CD=OA，根据OA的值是定值，即可判断D 【详解】A．∵△OBD和△ABC都是等边三角形 ∴∠ABC=∠OBD=∠ODB=∠BOD=60°，BO=BD，BC=AB ∴∠ABC-∠DBA=∠OBD-∠DBA， ∴∠CBD=∠ABO ∴△BOA≌△BDC(SAS)， 故A不符合题意； B．∵△BOA≌△BDC ∴∠BDC=∠BOA=90°， ∴∠ODC=∠BDO+∠BDC=60°+90°=150° 故B不符合题意； C．延长CD交轴于点E， ∵∠ODC=150° ∴∠ODE=180°-∠ODC=30°， ∵∠BOA=90°，∠BOD=60°， ∴∠DOA=∠BOA-∠BOD=30°， ∴∠DEA=∠DOA+∠ODE=60°； ∴直线CD与x轴所夹的锐角恒为60°， 故C不符合题意； D．∵△BOA≌△BDC； ∴CD=OA ∵点A是轴上一个定点， ∴OA的值是一个定值， ∴随点B的移动，线段CD的值不变， 故D符合题意； 故选∶D． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定，熟练掌握手拉手模型一旋转型全等是解题的关键 12. 如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④连接，为等腰直角三角形；⑤连接，，其中正确的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积，平行线的判定与性质，角平分线与三角形内角和有关的计算，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理，三角形面积，逐条分析判断即可． 【详解】解：， ， 又、分别平分、， ， ，故①正确． ， 又， ， ， 又，， ， ，，，故②正确． 在和中， ，，， ， ， 又， ．故③正确． 连接，如图， ， ∴， ， ， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴为等腰直角三角形，故④正确； 连接，如图： ，， ，，， ， ， ， ， ，故⑤不正确． 正确的有①②③④，共4个； 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题 共102分） 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分．只要求填写最后结果） 13. 若是二元一次方程，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程概念．二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程． 根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的次数方面考虑求常数、的值，再代入求的值． 【详解】解：根据二元一次方程的定义，得 ， 解得． 所以． 故答案为：． 14. 如图，，将一副直角三角板ABC和ADE按照如图方式摆放在平行线之间，且边BC落在直线MN上，边DE落在直线PQ上，其中∠ACB=60°，∠AED=45°，CO平分∠ACB，EO平分∠AED，两条角平分线相交于点O，则∠COE的度数是________． 【答案】52.5º 【解析】 【分析】延长CO交PQ于点F，首先根据角的平分线的定义及平行线的性质，可求得∠CFE，∠OEF，再根据三角形外角的性质，即可求得． 【详解】解：如图：延长CO交PQ于点F， 则∠COE=∠CFE+∠OEF， ∵∠ACB=60°，∠AED=45°，CO平分∠ACB，EO平分∠AED， ∴∠BCF=30°，∠OEF=22.5°， ∵， ∴∠CFE=∠BCF=30°， ∴∠COE=30°+22.5°=52.5°， 故答案为：52.5°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角的平分线的定义，三角形外角的性质，延长CO构造三角形外角，活用平行线的性质是解题的关键． 15. 如图，在边长为1的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上，若向正方形网格中投针，落在内部的概率是________________． 【答案】 【解析】 【分析】利用的面积除以整个网格的面积即可得． 【详解】解：由题意可知，整个网格的面积为， 的面积为， 则向正方形网格中投针，落在内部的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了几何概率，熟练掌握概率公式是解题关键． 16. 已知关于x的不等式组无解，则m的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况，求参数的范围，先求出每一个不等式的解集，根据不等式组无解，确定的范围即可． 【详解】解：解不等式组，得：， ∵该不等式组无解， ∴， ∴， 故答案为： 17. 如图，中，，，以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交，于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；作射线，交于点D，E是上的动点，F是边上的动点，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】先由作图作法得出是的平分线，再根据垂线段最短，作于F，交于E，此时，值最小，最小值为，再根据勾股定理与三角形面积公式求出的长即可． 【详解】解：过点B作于F，交于E，连接，如图， 根据垂线段最短，此时，值最小，最小值， 理由：由作图可知，是的平分线， ∵， ∴垂直平分， ∴ ∴ ∵垂直平分， ∴，， 在中，由勾股定理，得 ， ∵ ∴ ∴ 即最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查尺规基本作图—作已知角的平分线，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短，勾股定理，三角形的面积．由垂线段最短得出于F，交于E，此时值最小是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点N在x轴正半轴上，点，，……在射线上，点，，……在射线上，，，，……均为等边三角形，依此类推，若，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查图形规律探究，等边三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形的外角性质，总结归纳出是解题的关键． 利用等边三角形的性质、等腰三角形的判定，总结归纳出即可求解． 【详解】解：∵等边，，， ∴，，…，，，，… ，， ， ， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 同理， … ∴ ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，78分，解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 19. （1）解方程组：． （2）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 【答案】（1）；（2），数轴见解析 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法求解即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而在数轴上表示． 【详解】解：（1）， 得， 解得：，代入中， 解得：， 方程组的解为； （2）解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 【点睛】此题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 20. 如图，在三角形中，平分，E、F分别为、上的点，，点G在上且满足． （1）求证：； （2）若于点E，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的判定和性质，直角三角形的性质，三角形外角性质，准确识图，熟练掌握平行线的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余是解决问题的关键． （1）先根据平行线的判定证明，再根据平行线的性质及角平分线的定义求出，，进而根据三角形外角性质求出，则，根据平行线的判定定理可得出结论； （2）根据直角三角形的性质求出，根据平行线的性质求出，据此求解即可． 【小问1详解】 证明： ， ， 平分， ，， ， ， ； 【小问2详解】 解：于点， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 21. 某商场进行促销，购物满额即可获得1次抽奖机会，抽奖袋中装有红色、黄色、白色三种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖． （1）若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是_________事件．（填随机、必然、不可能） （2）小明观察一段时间后发现，平均每9个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，若袋中共有18个球，请你估算袋中白球的数量； （3）在（2）的条件下，如果在抽奖袋中增加3个黄球，那么抽中一等奖、二等奖的概率分别为多少？ 【答案】（1）必然 （2）12个 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，已知概率求数量，事件的分类： （1）根据 题意可知，小明一定会中奖，即小明中奖是必然事件； （2）根据题意可知抽中一等奖的概率为，抽中二等奖的概率为，据此求出红色球和黄色球的数量，进而求出白色球数量； （3）用红色球数量除以球的总数即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵只有三种颜色小球，每种颜色小球都对应着相应的奖级， ∴小明获得1次抽奖机会，小明一定会中奖，即小明中奖是必然事件， 故答案为：必然； 【小问2详解】 解：∵平均每9个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖， ∴抽中一等奖的概率为，抽中二等奖的概率为， ∴红色球和黄色球分别有个，个， ∴估算袋中白球的数量为个； 【小问3详解】 解：， ∴如果在抽奖袋中增加3个黄球，那么抽中一，二等奖的概率为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交点为，与y轴交点为B，且与正比例函数的图象交于点 （1）求m的值及一次函数的表达式； （2）观察函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； （3）若P是y轴上一点，且是以为腰的等腰三角形，请求出点P的坐标． 【答案】（1）； （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，利用函数图象交点求不等式解集，等腰三角形的性质，分析图象并结合题意列出符合要求的等式是解题的关键． （1）把点代入正比例函数即可得到的值，把点和点的坐标代入求得，的值即可； （2）根据图象解答即可写出关于的不等式的解集； （3）分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：把点代入正比例函数，得 ，解得：， ∴， 把，代入一次函数，得 ，解得：， ∴一次函数表达式为：． 【小问2详解】 解：由图象可得不等式的解集为：． 【小问3详解】 解：对于一次函数， 当时，， ∴ ∵ ∴， 分两种情况：①当时，如图， ∴ ∴， ∴或； ②当时，如图，过点C作轴于D， ∵，轴于D， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ 综上，P是y轴上一点，且是以为腰的等腰三角形，点P的坐标为或或． 23. 如图1，射线BD交△ABC的外角平分线CE于点P，已知∠A=78°，∠BPC=39°，BC=7，AB=4． （1）求证：BD平分∠ABC； （2）如图2，AC的垂直平分线交BD于点Q，交AC于点G，QM⊥BC于点M，求MC的长度． 【答案】（1）见解析 （2）MC=1.5 【解析】 分析】（1）由∠ACF=∠A+∠ABF，∠ECF=∠BPC+∠DBF，得∠ABF=∠ACF-78°，∠DBF=∠ECF-39°，再根据CE平分∠ACF，得∠ACF=2∠ECF，则∠ABF=2∠ECF-78°=2（∠ECF-39°）=2∠DBF，从而证明结论； （2）连接AQ，CQ，过点Q作BA的垂线交BA的延长线于N，利用HL证明Rt△QNA≌Rt△QMC，得NA=MC，再证明Rt△QNB≌Rt△QMB（HL），得NB=MB，则BC=BM+MC=BN+MC=AB+AN+MC，从而得出答案． 【小问1详解】 证明：∵∠ACF=∠A+∠ABF，∠ECF=∠BPC+∠DBF， ∴∠ABF=∠ACF-78°，∠DBF=∠ECF-39°， ∵CE平分∠ACF， ∴∠ACF=2∠ECF， ∴∠ABF=2∠ECF-78°=2（∠ECF-39°）=2∠DBF， ∴BD平分∠ABC； 【小问2详解】 解：连接AQ，CQ，过点Q作BA的垂线交BA的延长线于N， ∵QG垂直平分AC， ∴AQ=CQ， ∵BD平分∠ABC，QM⊥BC，QN⊥BA， ∴QM=QN， ∴Rt△QNA≌Rt△QMC（HL）， ∴NA=MC， ∵QM=QN，BQ=BQ， ∴Rt△QNB≌Rt△QMB（HL）， ∴NB=MB， ∴BC=BM+MC=BN+MC=AB+AN+MC， ∴7=4+2MC， ∴MC=1.5． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和性质，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 24. 研学活动，是一次知识与实践的完美融合，更是一次成长的历练．某校学生和带队老师在5月下旬去某研学基地参加研学实践活动，已知学生的人数比带队老师人数的20倍多12人，学生和老师的总人数共600人． （1）请求出去研学的学生和老师各多少人？ （2）如果学校准备租赁A型大巴车和B型大巴车共16辆（其中B型大巴车最多有7辆），已知A型大巴车每车最多可以载35人，日租金为2000元，其中B型大巴车每车最多可以载45人，日租金为3000元，请求出最经济的租赁车辆方案． 【答案】（1）出去研学的学生有572人，老师有28人 （2）租赁型大巴车12辆，型大巴车4辆，租金是36000元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设去研学的老师有人，则学生有人，根据学生和老师的总人数共600人，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出去研学的老师人数，再将其代入中可求出去研学的学生人数； （2）设租赁型大巴车辆，则租赁型大巴车辆，根据型大巴车最多租赁7辆且16辆大巴车至少可乘载600人，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数即可得出各租车方案，利用总租金每辆车的租金租车数量，可分别求出各租车方案所需总租金，比较后可得出最经济的租赁车辆方案． 【小问1详解】 解：设去研学的老师有人，则学生有人， 依题意得：， 解得：， ∴， 答：出去研学的学生有572人，老师有28人． 【小问2详解】 解：设租赁型大巴车辆，则租赁型大巴车辆， 依题意得：， 解得：． 为正整数， 可以取4，5，6，7， 该学校共有4种租车方案， 方案1：租赁型大巴车12辆，型大巴车4辆； 方案2：租赁型大巴车11辆，型大巴车5辆； 方案3：租赁型大巴车10辆，型大巴车6辆． 方案4：租赁型大巴车9辆，型大巴车7辆． 租车方案1所需总租金为（元）； 租车方案2所需总租金为（元）； 租车方案3所需总租金为（元） 租车方案4所需总租金为（元）． ， 租车方案1最经济的是租赁型大巴车12辆，型大巴车4辆，租金是36000元． 25. 【问题情境】 如图1，和均为等腰直角三角形，且顶点O重合，，求证：F为的中点． 【探究实践】 （1）小明发现：分别过点A、D向直线作垂线段，利用全等三角形的知识就能解决问题．请你根据小明的发现完成证明过程 【拓展应用】 小华想到了我们研究数学命题的思路，提出问题：这个问题的逆命题成立吗？于是小华写出了已知、求证，并画出了图形 已知：如图2，和均为等腰直角三角形，且顶点O重合，F为中点，求证：． （2）小聪说：我利用倍长中线的方法和全等三角形的知识就能解决这个问题． 请你根据小聪的思路在图2中作出辅助线，并完成证明过程． （3）小刚说：我不但证明了小华的问题，还发现了新结论：线段与线段，与的面积都有一定的数量关系． 请你直接写出小刚说的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题关键是利用倍长中线模型构造全等三角形证明线段关系． （1）过点A作，垂足为M，过点D作，垂足为N， 根据一线三垂直模型证明，可得，，进而证明，即可得到，即F为的中点． （2）延长到点G，使，连接，可得，可得，，再证明，进而证明，从而可得，由，可得，即可证明结论； （3）由可得，，再结合，可得，由此得出结论． 【详解】（1）过点A作，垂足为M，过点D作，垂足为N， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴ 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得：； ∴， 又∵，， ∴， ∴，即F为的中点． （2）延长到点G，使，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）由（2）得：， ∴， ， ∵， ∴，， ∴，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度第二学期期末质量检测 七年级数学试题 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，48分；第Ⅱ卷为非选择题，102分；全卷共8页． 2．数学试题答题卡共2页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束后上交答题卡． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．第Ⅱ卷按要求碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题共 48分） 一、选择题（本题共12小题，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，不选或选出的答案超过一个均记零分）． 1. 某同学抛掷一枚硬币，连续抛掷次，都是反面朝上，则抛掷第次出现正面朝上的概率是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中，错误的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 若且，则 D. 若，则 3. 如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线EF与BD相交于点P，，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 85° 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 C. 到三角形三边距离相等的点是三条垂直平分线的交点 D. 到角的两边距离相等的点在角的平分线上 5. 若方程组的解恰为等腰三角形的两边长，则等腰三角形的周长为（ ） A. 8 B. 10 C. 8或10 D. 6或12 6. 实数5与6，7，8中任意一个数组成的两位数是奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，，且，为的外角平分线，垂直于于E，交延长线于F，若周长为22，，则为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8． 8. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则下列说法错误的是（ ） A. ， B. 经过一、二、四象限的直线是 C. 关于x、y的方程组的解为 D. 关于的不等式的解集是 9. 如图，，平分，于点，交于点，若，则的面积为（ ） A. B. 18 C. D. 9 10. 我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，点A是x轴上一个定点，点B从原点O出发沿y轴的正方向移动，以线段为边在y轴右侧作等边三角形，以线段为边在上方作等边三角形，连接，随点B的移动，下列说法错误的是（ ） A. B. C. 直线与x轴所夹的锐角恒为 D. 随点B的移动，线段的值逐渐增大 12. 如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④连接，为等腰直角三角形；⑤连接，，其中正确的个数是（ ） A 5 B. 4 C. 3 D. 2 第Ⅱ卷（非选择题 共102分） 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分．只要求填写最后结果） 13. 若是二元一次方程，则_________． 14. 如图，，将一副直角三角板ABC和ADE按照如图方式摆放在平行线之间，且边BC落在直线MN上，边DE落在直线PQ上，其中∠ACB=60°，∠AED=45°，CO平分∠ACB，EO平分∠AED，两条角平分线相交于点O，则∠COE的度数是________． 15. 如图，在边长为1的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上，若向正方形网格中投针，落在内部的概率是________________． 16. 已知关于x的不等式组无解，则m的取值范围是_________． 17. 如图，中，，，以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交，于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；作射线，交于点D，E是上的动点，F是边上的动点，则的最小值为________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点N在x轴正半轴上，点，，……在射线上，点，，……在射线上，，，，……均为等边三角形，依此类推，若，则_________ 三、解答题（本大题共7小题，78分，解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 19 （1）解方程组：． （2）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 20. 如图，在三角形中，平分，E、F分别为、上的点，，点G在上且满足． （1）求证：； （2）若于点E，，求的度数． 21. 某商场进行促销，购物满额即可获得1次抽奖机会，抽奖袋中装有红色、黄色、白色三种除颜色外都相同小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖． （1）若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是_________事件．（填随机、必然、不可能） （2）小明观察一段时间后发现，平均每9个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，若袋中共有18个球，请你估算袋中白球的数量； （3）在（2）条件下，如果在抽奖袋中增加3个黄球，那么抽中一等奖、二等奖的概率分别为多少？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交点为，与y轴交点为B，且与正比例函数的图象交于点 （1）求m的值及一次函数的表达式； （2）观察函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； （3）若P是y轴上一点，且是以为腰的等腰三角形，请求出点P的坐标． 23. 如图1，射线BD交△ABC的外角平分线CE于点P，已知∠A=78°，∠BPC=39°，BC=7，AB=4． （1）求证：BD平分∠ABC； （2）如图2，AC的垂直平分线交BD于点Q，交AC于点G，QM⊥BC于点M，求MC的长度． 24. 研学活动，是一次知识与实践的完美融合，更是一次成长的历练．某校学生和带队老师在5月下旬去某研学基地参加研学实践活动，已知学生的人数比带队老师人数的20倍多12人，学生和老师的总人数共600人． （1）请求出去研学的学生和老师各多少人？ （2）如果学校准备租赁A型大巴车和B型大巴车共16辆（其中B型大巴车最多有7辆），已知A型大巴车每车最多可以载35人，日租金为2000元，其中B型大巴车每车最多可以载45人，日租金为3000元，请求出最经济的租赁车辆方案． 25. 【问题情境】 如图1，和均为等腰直角三角形，且顶点O重合，，求证：F为的中点． 探究实践】 （1）小明发现：分别过点A、D向直线作垂线段，利用全等三角形的知识就能解决问题．请你根据小明的发现完成证明过程 【拓展应用】 小华想到了我们研究数学命题的思路，提出问题：这个问题的逆命题成立吗？于是小华写出了已知、求证，并画出了图形 已知：如图2，和均为等腰直角三角形，且顶点O重合，F为中点，求证：． （2）小聪说：我利用倍长中线的方法和全等三角形的知识就能解决这个问题． 请你根据小聪的思路在图2中作出辅助线，并完成证明过程． （3）小刚说：我不但证明了小华的问题，还发现了新结论：线段与线段，与的面积都有一定的数量关系． 请你直接写出小刚说的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $