第13讲 圆内接四边形（1个知识点+2种经典题型+试题练习）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第13讲 圆内接四边形（1个知识点+2种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 【例1】（2024•温州三模）如图，是四边形的外接圆，连接，，若，则的大小为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•新昌县期末）已知圆内接四边形中，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023秋•路桥区校级月考）如图，四边形是的内接四边形，平分，连结，，，若等于，则的度数为 　　． 【变式3】（2023秋•下城区校级月考）如图，四边形内接于半圆（点，，，在半圆上），为的直径，且，则的度数为 　　度． 【变式4】（2023秋•诸暨市期中）如图，四边形内接于一圆，连结、． （1）若，，求的度数． （2）若为直径，为的中点，请探究与之间的关系． 【变式5】（2024•浙江）如图，在圆内接四边形中，，，延长至点，使，延长至点，连结，使． （1）若，为直径，求的度数． （2）求证：①； ②． 经典题型汇编 题型一、已知圆内接四边形求角度 1．（2024·浙江温州·三模）如图，四边形内接于，如果的度数为，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在圆内接四边形中，若，则 ． 3．（2022·浙江温州·一模）如图，内接于，，，点为上一点，点为的中点，连接并延长与交于点，连接，． (1)求证：． (2)当经过圆心时，求的长． 题型二、求四边形外接圆的直径 4．（21-22九年级上·浙江湖州·期中）如图，正方形ABCD内接于⊙O，在这个圆面上随意抛一粒豆子（豆子大小忽略不计），若豆子落在正方形ABCD内的概率记为P1，豆子落在图中阴影部分内的概率记为P2，则对P1和P2的大小判断正确的是（　　） A．P1＞P2 B．P1＜P2 C．P1＝P2 D．与圆的半径有关 5．边长为2的正方形的外接圆半径是 ． 6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB=2,∠ADB=45°. 求⊙O半径的长. 试题练习 一、单选题 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）四边形内接于，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，点，，在上，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，点A、B在上，点C在弧上，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知四边形内接于，若，则等于（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点（不与重合），连结．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（九年级·全国·课后作业）如图所示，⊙O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 7．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，已知，点在圆上，弧的度数为，则（　　） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，点C、D、E、F、G在以为直径的上，，则（　　） A． B． C． D． 9．（2023·浙江宁波·一模）如图，在边长为8的正方形中，点O为正方形的中心，点E为边上的动点，连结，作交于点F，连接，P为的中点，G为边上一点，且，连接，则的最小值为（    ） A．10 B． C． D． 10．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形内接于半径为的圆，，，，则四边形的周长为（    ）      A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为 ． 12．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，四边形内接于，则的度数为 ，则的度数为 ． 13．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，四边形内接于圆，点在上，若，，，则为 度． 14．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，四边形内接于以为直径的，平分，若四边形ABCD的面积是，则 ． 15．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，，在中，，，当点分别在射线上滑动时，连结，则的最大值为 ． 16．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝4，点D是斜边BC的中点，将△ABC绕点D旋转得到△GEF，直线AG、FC相交于点Q，连接BQ，线段BQ长的最大值是 ． 三、解答题 17．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知：如图，是的直径，弦于点，是上的一点，、的延长线交于点 (1)求证：； (2)若 ，的度数为，求的度数． 18．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，是上一点，经过点、、，交于点，过点作，交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若是中点，证明是的直径． 19．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，四边形内接于，分别延长，，使它们相交于点E，，且． (1)求证：． (2)若，点C为的中点，求的半径． 20．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，四边形内接于，延长，交于点E，． (1)求证：是等腰三角形． (2)若点C是中点，，，求的长． 21．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，是的直径，弦与点E，已知，，点P为上任意一点，（点P不与A、B重合），连接并延长与交于点Q，连． (1)求的长． (2)若，直接写出的长． (3)①若点P在A，E之间（点P不与点E重合），求证：． ②若点P在B，E之间（点P不与点E重合），求与满足的关系． 22．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）作图题：上有三个点，请只用无刻度的直尺作出符合要求的角，并写出你的结论． (1)在下图中作一个的角； (2)在下图中作一个的角； (3)在下图中作一个的角． 23．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图1，圆内接四边形为优弧的中点． (1)求的度数； (2)如图2，连接，若，求的值： (3)如图3，若为的中点，为的中点，连接，求证：． 24．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，内接于，，点是上的动点（不与点，，重合），连接，，．    (1)当点在上时（不与点，重合），求的度数；（用含的式子表示） (2)如图，当点在上时，过点作于点． ①请探究线段，和之间的数量关系，并证明； ②若，则________； (3)若，在点运动过程中，，过点作于点，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 圆内接四边形（1个知识点+2种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 【例1】（2024•温州三模）如图，是四边形的外接圆，连接，，若，则的大小为　　 A． B． C． D． 【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理计算即可． 【解答】解：四边形内接于，， ， 由圆周角定理得，． 故选：． 【点评】本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【变式1】（2023秋•新昌县期末）已知圆内接四边形中，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】根据圆内接四边形的对角互补列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：设、、的度数分别为、、， 四边形为圆内接四边形， ， ， 解得：， ， ， 故选：． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【变式2】（2023秋•路桥区校级月考）如图，四边形是的内接四边形，平分，连结，，，若等于，则的度数为 　　． 【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据垂径定理得到，进而求出，根据角平分线的定义解答即可． 【解答】解：四边形是的内接四边形，， ， ， ， ， 平分， ， 故答案为：． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、垂径定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【变式3】（2023秋•下城区校级月考）如图，四边形内接于半圆（点，，，在半圆上），为的直径，且，则的度数为 　20　度． 【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理得到，根据直角三角形的两锐角互余计算即可． 【解答】解：四边形为圆的内接四边形， ， ， ， 为的直径， ， ， 故答案为：20． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【变式4】（2023秋•诸暨市期中）如图，四边形内接于一圆，连结、． （1）若，，求的度数． （2）若为直径，为的中点，请探究与之间的关系． 【分析】（1）根据圆周角定理求出，再根据三角形内角和定理求出； （2）根据圆周角定理得到，，根据直角三角形的两锐角互余解答即可． 【解答】解：（1）， ， ， ； （2）为的中点， ， 为直径， ， ， ． 【点评】本题考查的是圆周角定理、三角形内角和定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键． 【变式5】（2024•浙江）如图，在圆内接四边形中，，，延长至点，使，延长至点，连结，使． （1）若，为直径，求的度数． （2）求证：①； ②． 【分析】（1）根据圆周角定理进行计算即可； （2）①利用圆内接四边形的外角等于它的内对角以及平行线的判定方法即可得出结论； ②根据全等三角形的性质，圆周角定理进行解答即可． 【解答】（1）解：为直径， ， ， ， ； （2）证明：①如图，延长， 四边形是圆内接四边形， ， 又， ， ； ②过点作交于点，连接，， ， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，掌握圆周角定理，圆内接四边形的性质以及平行四边形的性质是正确解答的关键． 经典题型汇编 题型一、已知圆内接四边形求角度 1．（2024·浙江温州·三模）如图，四边形内接于，如果的度数为，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理可得的度数，由圆的内接四边形对角互补可得，又由可得，从而可得的度数． 本题主要考查了圆周角定理及其推论，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】， ， ∵四边形内接于， ， ， ． 故选：C． 2．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在圆内接四边形中，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的内接四边形，根据圆的内接四边形对角互补，即可求出，掌握圆的内接四边形的性质是解题关键． 【详解】解：∵四边形是圆内接四边形， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 3．（2022·浙江温州·一模）如图，内接于，，，点为上一点，点为的中点，连接并延长与交于点，连接，． (1)求证：． (2)当经过圆心时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，再根据圆周角定理得到，根据圆内接四边形的性质得到，然后利用等角的补角相等得到结论； （2）连接并延长交于点，如图，根据垂径定理得到，，则利用勾股定理可计算出，设，则，则，解得，接着利用是的中位线得到，然后证明，从而得到． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，， ； （2）解：连接并延长交于点，如图， ， ， ，， ， 设，则， 在中，， 解得， ，， 是的中位线， ； 点为的中点， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了垂径定理、圆周角定理、三角形中位线定理以及勾股定理． 题型二、求四边形外接圆的直径 4．（21-22九年级上·浙江湖州·期中）如图，正方形ABCD内接于⊙O，在这个圆面上随意抛一粒豆子（豆子大小忽略不计），若豆子落在正方形ABCD内的概率记为P1，豆子落在图中阴影部分内的概率记为P2，则对P1和P2的大小判断正确的是（　　） A．P1＞P2 B．P1＜P2 C．P1＝P2 D．与圆的半径有关 【答案】B 【分析】求落在正方形和阴影部分内的概率，可直接求正方形的面积和阴影部分的面积即可得出二者的大小关系． 【详解】解：设的半径为r，则正方形的对角线为2r， ∴， ， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】题目主要考查概率的比较，包括正方形和圆的基本性质，熟练掌握正方形和圆的基本性质是解题关键． 5．边长为2的正方形的外接圆半径是 ． 【答案】 【分析】如图：连接AC、BD交于点O，即为正方形ABCD外接圆的圆心，根据正方形的性质可得OA=OC，∠AOC＝90°，根据勾股定理可得OA和OC的值，即为为正方形ABCD外接圆的半径． 【详解】解：如图：连接AC、BD交于点O，即为正方形ABCD外接圆的圆心， ∴OA、OB、OC、OD为正方形ABCD外接圆的半径 ∵四边形ABCD是正方形， ∴OA=OC，∠AOC＝90° 在Rt△AOC中，AC2＝OA2＋OC2， ∵AC＝2，OA=OC， ∴4＝2 OA2， ∴OA＝ 即正方形ABCD外接圆的半径为 故答案为 【点睛】本题考查正方形外接圆的有关知识，利用到正方形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学知识． 6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB=2,∠ADB=45°. 求⊙O半径的长. 【答案】. 【分析】根据圆周角定理得∠ABC=90°，∠ACB=∠ADB=45°，然后在Rt△ABC利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC=90°， ∵∠ADB=45°， ∴∠ACB=∠ADB=45°， ∴BC=AB=2， ∴AC=， ∴⊙O半径的长为：. 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 试题练习 一、单选题 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）四边形内接于，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的内接四边形的性质，掌握圆的内接四边形的对角互补成为解题的关键． 根据圆内接四边形的性质得出，进而求得． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，点，，在上，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．在优弧上取点P，连接，，根据圆周角定理得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：如图，在优弧上取点P，连接，，    ∵， ∴， ∴． 故选：A． 3．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，点A、B在上，点C在弧上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查圆周角定理及圆内接四边求角度，三角形内角和定理，根据题意得出弧所对的圆周角的度数为：，然后确定，再由三角形内角和定理即可求解，熟练掌握圆周角定理及内接四边形的性质是解题关键． 【详解】解：∵， ∴弧所对的圆周角的度数为：， ∴， ∵， ， 故选：C． 4．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知四边形内接于，若，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了圆内接四边形的性质．先根据圆周角定理得到，然后根据圆内接四边形的性质得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 5．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点（不与重合），连结．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆周角定理以及折叠的性质．注意运用折叠的性质及圆内接四边形对角互补是解此题的关键． 先根据圆周角定理求得的度数，从而利用直角三角形的性质求得的度数；再由翻折的性质可得，弧所对的圆周角为，弧所对的圆周角为，从而得到，即可求出． 【详解】是直径， ， ． 根据翻折的性质，弧所对的圆周角为，弧所对的圆周角为， ， ， 故选B． 6．（九年级·全国·课后作业）如图所示，⊙O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【详解】∵⊙O内切于四边形ABCD， ∴AD+BC=AB+CD， ∵AB=10，BC=7，CD=8， ∴AD+7=10+8， 解得：AD=11． 故选D． 7．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，已知，点在圆上，弧的度数为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的内接四边形性质，圆周角定理，连接，由圆周角定理可得，由圆的内接四边形性质可得，根据角的和差关系代入即可求解，掌握圆的内接四边形性质和圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵弧的度数为， ∴， ∵四边形为内接四边形， ∴， ∴， 故选：． 8．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，点C、D、E、F、G在以为直径的上，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．连接，如图，根据圆周角定理得到，则，然后根据圆内接四边形的性质求的度数． 【详解】解：连接，如图， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴． 故选：B． 9．（2023·浙江宁波·一模）如图，在边长为8的正方形中，点O为正方形的中心，点E为边上的动点，连结，作交于点F，连接，P为的中点，G为边上一点，且，连接，则的最小值为（    ） A．10 B． C． D． 【答案】D 【分析】过点O作于点H，作于点I，连接，证明点P运动的轨迹是线段，作点A关于直线的对称点，当点、点P、点G在同一直线上时，取得最小值，最小值为的长，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点O作于点H，作于点I，连接，， ∵点O为正方形的中心， ∴，， ∴四边形为正方形，为正方形的对角线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与都是等腰直角三角形， ∴， ， ∴E、I、O、P四点共圆， ∴， ∵， ∴点P运动的轨迹是线段， 作点A关于直线的对称点，   当点、点P、点G在同一直线上时，取得最小值，最小值为的长， 过点作交延长线于点Q， 同理得四边形为正方形，且边长为4， ∴，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，得到点P运动的轨迹是线段是解题的关键． 10．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形内接于半径为的圆，，，，则四边形的周长为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆内接四边形，圆周角定理，勾股定理，角所对直角边是斜边的一半和托勒密定理，连接，，过作交延长线于点，过作于点，作圆的直径，连接，根据知识求出，，，再根据托勒密定理求解即可，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，连接，，过作交延长线于点，过作于点，作圆的直径，连接，    ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，， ∴， 由托勒密定理得：， ∴， ∴， ∴四边形的周长为， 故选：． 二、填空题 11．如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，并延长交圆于点，连接，，可得，从而可得BD//CE，得到，所以BE=CD，由勾股定理可得AE的长，从而可求出圆O的面积． 【详解】解：如图，连接，并延长交圆于点，连接，． 则，． ∵， ∴//， ∴ ∴BE=CD， ∵ ∴． 在Rt△中，AB=10， 所以，由勾股定理得， ∴． 所以圆的面积为． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角以及在同圆或等圆中平行弦所夹弧相等等知识，正确作出辅助线构造直角是解答本题的关键． 12．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，四边形内接于，则的度数为 ，则的度数为 ． 【答案】 /度 /度 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，根据同弧所对的圆周角度数是圆心角度数的一半得到，再根据圆内接四边形对角互补可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴ ． 故答案为：；． 13．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，四边形内接于圆，点在上，若，，，则为 度． 【答案】25 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质以及圆周角定理，解题的关键是熟练掌握相关性质并灵活运用．连接、，先根据圆内接四边形的性质求出，然后根据，求出即可解答． 【详解】解：连接、， ， ， ， ， ． 故答案为：25． 14．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，四边形内接于以为直径的，平分，若四边形ABCD的面积是，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，全等三角形的性质和判定，关键在于运用转化思想，将四边形的面积转化为的面积． 过A点作，交的延长线与点E，证明，从而得到四边形的面积等于的面积，然后证明出是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求出的长度． 【详解】 如图，过A点作，交的延长线与点E． ∵为的直径 ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 又∵ 在中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 15．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，，在中，，，当点分别在射线上滑动时，连结，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，定边对定角确定点的运动路径，以及对角互补模型是解题的关键，难度较大． 在的下方作等腰直角，，作于，勾股定理得，点在以点为圆心，为半径的圆上，当点、、共线时，最大，再求出的长即可． 【详解】在中，由勾股定理得：． 如图所示，在下方作等腰直角，过点作于点， 则点在以点为圆，为半径的圆上． 又， ∴点四点共圆． ∴． ∴． 在中，由勾股定理得，， 即， 解得：． 在中，由勾股定理得： 当点共线时，最大，则的最大值为． 故答案为． 16．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝4，点D是斜边BC的中点，将△ABC绕点D旋转得到△GEF，直线AG、FC相交于点Q，连接BQ，线段BQ长的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】连结DG，根据将△ABC绕点D旋转得到△GEF，可得△ABC≌△GEF，可得AD=GD，CD=FD，由△ABC是等腰直角三角形，点D是斜边BC的中点，AD=GD=CD=FD，由旋转角相等可得∠ADG=∠CDF，可证∠DAQ=∠DCF，可知四点A、D、C、Q共圆如图，由AD⊥DC，AC为四点A、D、C、Q共圆的直径，当BQ过圆心O时，BQ最大，然后利用勾股定理求出BO即可． 【详解】解：连结DG， ∵将△ABC绕点D旋转得到△GEF， ∴△ABC≌△GEF， ∴AD=GD，CD=FD， ∵△ABC是等腰直角三角形，点D是斜边BC的中点， ∴AD=GD=CD=FD， ∵∠ADG=∠CDF， ∴∠DAG=∠DGA=， ∴∠DAQ=∠DCF， ∴四点A、D、C、Q共圆如图， ∵AD⊥DC， ∴AC为四点A、D、C、Q共圆的直径， 当BQ过圆心O时，BQ最大， ∵AB＝AC＝4，点O为AC中点， ∴AO=CO=OQ=2， 在Rt△ABO中，BO=， ∴BQ的最大值=BO+OQ=． 故答案为． 【点睛】本题考查图形的性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，勾股定理，点到圆的最大距离，正确添加辅助线、证明四点共圆是解题关键． 三、解答题 17．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知：如图，是的直径，弦于点，是上的一点，、的延长线交于点 (1)求证：； (2)若 ，的度数为，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用，可得，再根据圆内接四边形性质可得，即可得到结论； （2）利用，可得，根据圆周角定理得到，再根据直角三角形两锐角互余即可得到的度数； 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 即： （2）∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆内接四边形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，掌握垂径定理是是解决本题的关键． 18．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，是上一点，经过点、、，交于点，过点作，交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若是中点，证明是的直径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，平行四边形的判定，圆内接四边形，等腰三角形的判定等知识． （1）连接，根据点D，E，C，F四点共圆，得到，由等弧所对的圆周角相等得出，根据平行线的性质得出，推出，得到，得出，即可证明结论； （2）连接，由（）知：，四边形是平行四边形；得到，进而得到，根据是中点，推出，即，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵点D，E，C，F四点共圆， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：如图，连接， 由（）得：，四边形是平行四边形； ∴， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∴是的直径． 19．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，四边形内接于，分别延长，，使它们相交于点E，，且． (1)求证：． (2)若，点C为的中点，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，圆的基本性质等； （1）根据圆内接四边形的性质得，再根据等边对等角可得∠E＝∠DCE，再根据等量代换，即可求解； （2）连接，根据的圆周角所对的弦是直径得出为的直径，由等角对等边得，根据勾股定理得，即可求解； 掌握相关的性质，能由找出连接的辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：四边形内接于， ∴， ∵ ， ， ， ； （2）解：如图，连接， ， ∴， 是的直径， ， ， ， 点C为的中点， ， 在中， ， 的半径为． 20．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，四边形内接于，延长，交于点E，． (1)求证：是等腰三角形． (2)若点C是中点，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆得内接四边形互补，弧、弦、角、距等关系，相似三角形的判定与性质等知识点，熟记相关知识点内容是解题关键． （1）由得，根据，得，据此即可求证； （2）证得，即可求解． 【详解】（1）证明： ， ， 四边形内接于， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． （2）解： 点C是中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 21．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，是的直径，弦与点E，已知，，点P为上任意一点，（点P不与A、B重合），连接并延长与交于点Q，连． (1)求的长． (2)若，直接写出的长． (3)①若点P在A，E之间（点P不与点E重合），求证：． ②若点P在B，E之间（点P不与点E重合），求与满足的关系． 【答案】(1)8 (2)5或8 (3)①证明见解析；② 【分析】（1）如图1，连接，由是的直径，弦，可得，勾股定理得，然后求解即可； （2）由题意知，分是直径，则重合；是不为直径的弦，则重合；两种情况求解即可； （3）①如图2，连接，由题意知，垂直平分，证明，则，由，可得，进而结论得证；②如图3，连接，同理①可得，，，由圆内接四边形可得，，进而可得． 【详解】（1）解：如图1，连接， ∵是的直径，弦， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得， ∴； （2）解：∵， ∴平分， 由题意知，分是直径，是不为直径的弦两种情况求解： ①当是直径，则重合， ∴； ②当是不为直径的弦，则重合， ∴， ∴的长为5或8； （3）①证明：如图2，连接， 由题意知，垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：； 如图3，连接， 由题意知，垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 由圆内接四边形可得，， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补等知识．熟练掌握垂径定理，垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补是解题的关键． 22．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）作图题：上有三个点，请只用无刻度的直尺作出符合要求的角，并写出你的结论． (1)在下图中作一个的角； (2)在下图中作一个的角； (3)在下图中作一个的角． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3)作图见解析． 【分析】此题考查了圆周角定理，圆内接四边形，直角三角形性质，熟练掌握以上知识的应用是解题的关键． （）连接，，同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可； （）在上任取一点，由圆内接四边形性质可得； （）延长交于点，连接，，再根据直角三角形性质即可； 【详解】（1）解：连接，， 根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得：， ∴即为所求； （2）在上任取一点，由圆内接四边形性质可得， ∴即为所求； （3）如图， 延长交于点，连接，， ∴，， ∴， ∴即为所求． 23．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图1，圆内接四边形为优弧的中点． (1)求的度数； (2)如图2，连接，若，求的值： (3)如图3，若为的中点，为的中点，连接，求证：． 【答案】(1) (2) (3)详见解析 【分析】（1）连接，由弧中点得，结合已知得是等边三角形，由圆内接四边形性质即可求得结果； （2）上截取，连接，证明得；过作于H， （3）连接，取中点，连接，过作交于点，连接，则由直角三角形斜边中线性质、含角直角三角形性质可得，，再证明，即可证明，从而问题解决． 【详解】（1）解：连接，如图， 为优弧的中点， ， ， ， 为等边三角形， ， ； （2）解：上截取，连接， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ∴； 在与中，， ， ； 设，则， ； 过作于H， ∵， ， ∴由勾股定理得， ； （3）连接，取中点，连接，如图， ， ∴， 过作交于点，连接， ， ， 为中点， ， ， 又， ， 而， ， 在与中， ， ， ． 【点睛】本题考查了弧与弦的关系，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，有一定的综合性，（3）问构造并证明全等三角形是问题的难点． 24．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，内接于，，点是上的动点（不与点，，重合），连接，，．    (1)当点在上时（不与点，重合），求的度数；（用含的式子表示） (2)如图，当点在上时，过点作于点． ①请探究线段，和之间的数量关系，并证明； ②若，则________； (3)若，在点运动过程中，，过点作于点，求的长． 【答案】(1) (2)①，见解析；② (3)或 【分析】（1）根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得．再根据圆内接四边形性质即可得解； （2）①如图，在上截取，连接，证得，进而根据等腰三角形的性质可得，即可得解；②由，得．进而得．由，得．再根据即可得解． （3）分点在上和点在两种情况，利用圆周角定理及全等三角形的判定及性质求解即可． 【详解】（1）解： ． ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ． （2）解：①．理由如下： 如图，在上截取，连接，    ，，， ∴． 又 ， ． ②， ． 由①得， ， ， ． ， ． ∴与同底等高， ． （3）解：如图，当点在上时，在上截取，连接，过点作于点．    ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 在中，， ． 由（）知，， ； 如图，当点在上时，延长至点，使得，连接，过点作延长线于点．    ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵，， ∴， ， ， ． ，， ， ， ， ． 在中，， ， ． 综上，或． 【点睛】主要考查了圆内接四边形对角互补的性质、同孤所对的圆周角相等、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，平行线的性质等，在求线段的和差关系时，通常会用“裁长补短”法作辅助线将不共线的线段转化到同一直线上：当已知条件中出现平行线及三角形的面积时，通常会用到相似三角形的性质或同底等高的三角形面积相等这一知识点解题；在求解第（）问时要注意对点的位置分情况讨论是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$