第11讲 圆内接四边形 （1个知识点+2种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第11讲 圆内接四边形 （1个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 题型强化 题型一．圆内接四边形的性质 1．（2023秋•安吉县月考）如图，在的内接四边形中，点在的延长线上．若，则的度数是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•温州期末）如图，四边形内接于圆，点在上，若，，，则为 　　度． 3．（2023秋•余姚市期末）如图，四边形内接于，延长，交于点，． （1）求证：是等腰三角形； （2）若点是中点，，，求的长． 题型二、已知圆内接四边形求角度 4．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在圆内接四边形中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·浙江衢州·期末）如图，四边形是的内接四边形，，，则 ． 6．（22-23九年级上·浙江·阶段练习）如图，在中，，以为直径的半圆分别交，于点，，连接，． (1)求证：； (2)当，的度数之比为时，求四边形四个内角的度数． 分层练习 一、单选题 1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E在BC延长线上，若∠DCE＝50°，则∠A等于（　　） A．40° B．50° C．70° D．80° 2．已知圆内接四边形中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．下列说法错误的是（    ） A．等弧所对的弦相等 B．圆的内接平行四边形是矩形 C．的圆周角所对的弦是直径 D．平分一条弦的直径也垂直于该弦 4．如图，四边形内接于圆，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，四边形内接于．连接，若，则（    ）    A．150° B．140° C．130° D．120° 6．如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，弧AC=弧AE，∠D＝128°，则∠B的度数为（  ） A．128° B．126° C．118° D．116° 7．如图，A、B、C是上的点，且．在这个图中，画出下列度数的圆周角：，，，，仅用无刻度的直尺能画出的有（    ）    A．，， B．，， C．，， D．，， 8．如图，四边形内接于，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 9．如图，在的内接四边形中，点在的延长线上．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 10．在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，AB=AE，AC=AD．那么在下列四个结论中：（1）AC⊥BD；（2）BC=DE；（3）∠DBC=∠DAB；（4）△ABE是正三角形，其中正确的是（　　） A．（1）和（2） B．（2）和（3） C．（3）和（4） D．（1）和（4） 二、填空题 11．如图所示，已知四边形ABCD是圆内接四边形，∠1＝120°，则∠CDE＝ 度． 12．如图，是半圆的直径，点，在半圆上．若，则的度数为 ． 13．如图，已知AB是的直径，直线l于点D．当直线l与相交于点E、F时，若，则的大小为 ． 14．如图，已知经过点三个顶点，与边交于点，连接，若，则 ． 15．如图，四边形内接于，交的延长线于点，若平分，若， ，则 ． 16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．AB=BC．点D是线段AB上的一点，连结CD．过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF，给出以下四个结论：①；②若点D是AB的中点，则AF＝AB；③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF=DB；④若，则S△ABC＝9S△BDF，其中正确的结论序号是 ． 三、解答题 17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为AB延长线上一点，若∠AOC＝150°，求∠EBC的度数． 18．如图，四边形内接于，，，垂足为． (1)若，求的度数； (2)求证：． 19．如图，为等腰直角三角形，为直角，，在的延长线上，且，于点，过，，三点的交于点，连结．求的半径． 探究：其他条件不变，将点在圆上移动至点，使，求的长度． 20．如图，在中，已知，以为直径的交直线于点D，交直线于点E． (1)如图①，若，，求的长； (2)如图②，连接，当为锐角时，试判断与之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图③，连接．当为钝角时，试判断∠与之间的数量关系是否与（2）中你得出的数量关系相同？若相同，请证明；若不同，请说明理由． 21．如图， 内接于， 点 D在上， 点F在 上， 与交于点 E， ， (1)如图1， 求证： ； (2)如图2， 射线交于点G， 过A作 于点M， 交于点H， 求证： 22．如图，四边形内接于，并且是的直径，是弧的中点，和的延长线交于外一点， (1)求证：； (2)若是方程的两根，求的长． 23．已知菱形中，，点分别在，上，，与交于点． (1)求证：； (2)当，时，求的长？ (3)当时，求的最大值？ 24．如图1，点不在锐角的各边和顶点上，若满足，则称点为“点的和谐点”，其中，当点在的内部时，点称为“点的内和谐点”，当点在的外部时，点称为“点的外和谐点”．每个顶点的“和谐点”，称为“的和谐点”． (1)在图1中，点的外和谐点有几个？并请在图1中用圆规和直尺作出来；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)如图2，有一个格点锐角，已知网格的边长为1． ①已知格点是点的一个和谐点，请找出点的其他所有的和谐点（要求：是格点），并标上字母，，……； ②已知格点是的“外和谐点”，求以、、、四点构成的四边形的面积的所有可能的取值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 圆内接四边形 （1个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 题型强化 题型一．圆内接四边形的性质 1．（2023秋•安吉县月考）如图，在的内接四边形中，点在的延长线上．若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】根据圆的内接四边形的性质可知，再根据邻角互补即可求出结果． 【解答】解：四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆的内接四边形的性质，邻角互补等相关知识点，熟记圆的内接四边形的对角互补是解题的关键． 2．（2023秋•温州期末）如图，四边形内接于圆，点在上，若，，，则为 　25　度． 【分析】连接，，先根据圆内接四边形的性质求出，然后根据求出即可解答． 【解答】解：连接，， ， ， ， ， ． 故答案为：25． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质以及圆周角定理，解题的关键是熟练掌握相关性质并灵活运用． 3．（2023秋•余姚市期末）如图，四边形内接于，延长，交于点，． （1）求证：是等腰三角形； （2）若点是中点，，，求的长． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，，圆内接四边形的性质及邻补角的定义得到，从而得到，，即可得到； （2）通过证得，得到，即，解得，即可求得． 【解答】（1）证明：， ， ，， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：点是中点， ， ，， ， 设，则， ，， ， ，即， 解得或（舍去）， 的长为10． 【点评】此题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理等知识，熟练掌握圆的有关性质、等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 题型二、已知圆内接四边形求角度 4．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在圆内接四边形中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质解答即可． 【详解】解：∵在圆内接四边形中，， ∴， 故选：C 5．（22-23九年级上·浙江衢州·期末）如图，四边形是的内接四边形，，，则 ． 【答案】/144度 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：圆内接四边形的对角互补．根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理求出，然后根据圆内接四边形的性质求出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（22-23九年级上·浙江·阶段练习）如图，在中，，以为直径的半圆分别交，于点，，连接，． (1)求证：； (2)当，的度数之比为时，求四边形四个内角的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证、圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆中的弧和圆周角之间的关系． （1）连接后，证明这两条弧所对的圆周角相等，即，该题得证； （2）由这两条弧度数之比为4:5，分别求出它们的度数，再根据，求出和的度数，即可求出和，利用圆的内接四边形对角互补可以得到另外两个内角的度数． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，与的度数之比为， ∴，， ∵，∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，，，． 分层练习 一、单选题 1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E在BC延长线上，若∠DCE＝50°，则∠A等于（　　） A．40° B．50° C．70° D．80° 【答案】B 【分析】根据圆内接四边形的性质可直接得出结论． 【详解】∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠DCE＝50°， ∴∠A+∠BCD＝180°， ∵∠DCE+∠BCD＝180°， ∴∠A＝∠DCE＝50°． 故选：B． 【点睛】本题考查圆的内接四边形的性质，熟练掌握基本性质并运用求解是解题关键． 2．已知圆内接四边形中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，先设，列式算出的值，再的值，根据圆内接四边形对角互补，列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴设， 则， 即， 所以， 那么， 故选：D． 3．下列说法错误的是（    ） A．等弧所对的弦相等 B．圆的内接平行四边形是矩形 C．的圆周角所对的弦是直径 D．平分一条弦的直径也垂直于该弦 【答案】D 【分析】根据圆的性质逐项判断即可． 【详解】A．等弧所对的弦相等，故A正确，不符合题意． B．根据圆的内接四边形对角互补和平行四边形邻角互补，即可知圆的内接平行四边形是矩形．故B正确，不符合题意． C．的圆周角所对的弦是直径，故C正确，不符合题意． D．平分一条弦（非直径）的直径也垂直于该弦．故D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系以及圆内接平行四边形的性质．熟练掌握这些知识是判断此题的关键． 4．如图，四边形内接于圆，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，注意：圆内接四边形的对角互补．根据圆内接四边形的性质得出，再代入求出答案即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5．如图，四边形内接于．连接，若，则（    ）    A．150° B．140° C．130° D．120° 【答案】B 【分析】由圆内接四边形的性质可求得的度数，再由圆周角定理即可求得结果． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，掌握这两个知识是关键． 6．如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，弧AC=弧AE，∠D＝128°，则∠B的度数为（  ） A．128° B．126° C．118° D．116° 【答案】D 【分析】连接AC、CE，根据圆内接四边形的性质求出∠CAE，根据三角形内角和定理求出∠CEA ，根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：连接AC、CE， ∵点A、B、C、E都是上的点， ∴∠CAE=180°-∠D=52°， ∵弧AC=弧AE， ∴AC=AE， ∴∠AEC=∠ACE= ， ∴∠B=180°-∠AEC=116°， 故选D． 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题关键． 7．如图，A、B、C是上的点，且．在这个图中，画出下列度数的圆周角：，，，，仅用无刻度的直尺能画出的有（    ）    A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】作直径，连接、，在弧上取一点，连接、，如图，利用圆周角定理得到，，利用圆内接四边形的性质得到，根据直角三角形两锐角互余计算可得出． 【详解】解：如图，作直径，连接、，在弧上取一点，连接、， 、、是上的点，且， ， 四边形内接于， ， ， 为的直径， ， ， 仅用无刻度的直尺能画出的圆周角有，和． 故选：C．    【点睛】本题考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．还考查了圆内接四边形的性质，直角三角形两锐角互余．掌握圆周角定理是解题的关键． 8．如图，四边形内接于，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，熟练掌握基础知识是解题的关键． 由圆周角定理可求出，再根据圆内接四边形对角互补可求出的度数即可解题． 【详解】解：∵， ∴， 又∵是圆内接四边形， ∴， 故选：A． 9．如图，在的内接四边形中，点在的延长线上．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的内接四边形的性质可知，再根据邻角互补即可求出结果． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了圆的内接四边形的性质，邻角互补等相关知识点，熟记圆的内接四边形的对角互补是解题的关键． 10．在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，AB=AE，AC=AD．那么在下列四个结论中：（1）AC⊥BD；（2）BC=DE；（3）∠DBC=∠DAB；（4）△ABE是正三角形，其中正确的是（　　） A．（1）和（2） B．（2）和（3） C．（3）和（4） D．（1）和（4） 【答案】B 【详解】试题解析：∵，一个三角形的直角边和斜边一定不相等，∴AC不垂直于BD，（1）错误； 利用边角边定理可证得≌，那么，（2）正确； 由≌可得 那么A，B，C，D四点共圆， （3）正确； 不一定是等边三角形，那么（4）不一定正确； （2）（3）正确， 故选B． 二、填空题 11．如图所示，已知四边形ABCD是圆内接四边形，∠1＝120°，则∠CDE＝ 度． 【答案】60 【分析】根据圆周角定理可求出∠A的度数；由圆内接四边形的外角等于它的内对角，知∠CDE=∠A，由此可求出∠CDE的度数． 【详解】∵∠1＝120°， ∴∠A＝∠1＝60°， ∵四边形ABDC内接于⊙O， ∴∠CDE＝∠A， ∴∠CDE＝60°． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半；圆内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角. 12．如图，是半圆的直径，点，在半圆上．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可得，从而求出，再根据圆内接四边形对角互补，即可解答． 【详解】解：是半圆的直径， ， ， ， 四边形是的内接四边形， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 13．如图，已知AB是的直径，直线l于点D．当直线l与相交于点E、F时，若，则的大小为 ． 【答案】18° 【分析】连接BF，根据题意可得∠AED=72°，再由四边形AEFB是圆内接四边形，可得∠B=∠AED=72°，然后根据直径所对的圆周角是直角，即可求解． 【详解】解：如图，连接BF， ∵直线l， ∴∠ADE=90°， ∵∠DAE=18°， ∴∠AED=72°， ∵四边形AEFB是圆内接四边形， ∴∠B+∠AEF=180°， ∵∠AEF+∠AED=180°， ∴∠B=∠AED=72°， ∵AB是的直径， ∴∠AFB=90°， ∴∠BAF=90°-72°=18° 故答案为：18° 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角，熟练掌握圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角是直角是解题的关键． 14．如图，已知经过点三个顶点，与边交于点，连接，若，则 ． 【答案】36° 【分析】根据平行四边形的性质得到∠DCB=（180°-∠D）=108°，根据圆内接四边形的性质得到∠AEB=∠D=72°，由三角形的内角和即可得到结论． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∠D=72°， ∴∠DCB=（180°-∠D）=108°， ∵四边形AECD是圆内接四边形， ∴∠AEB=∠D=72°，∠DAC=180°-∠DCB=72° ∴∠BAE=180°-72°-72°=36°， 故答案为36° 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和，圆内接四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 15．如图，四边形内接于，交的延长线于点，若平分，若， ，则 ． 【答案】 【分析】连接，根据角平分线的定义得到，根据圆内接四边形的性质得到，根据圆周角定理得到，进而证明，根据等腰三角形的判定定理得出，根据勾股定理计算，进而得到答案． 【详解】解：如图，连接． 平分， ， 四边形为圆内接四边形， ， 由圆周角定理得：， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定、圆周角定理、勾股定理、角平分线定义，熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形对角互补是解题的关键． 16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．AB=BC．点D是线段AB上的一点，连结CD．过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF，给出以下四个结论：①；②若点D是AB的中点，则AF＝AB；③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF=DB；④若，则S△ABC＝9S△BDF，其中正确的结论序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】由△AFG∽△CFB，可确定结论①正确；由△ABG≌△BCD可得AG=AB=BC，进而由△AFG∽△CFB确定点F为AC的三等分点，可确定结论②正确；当B、C、F、D四点在同一个圆上时，由圆内接四边形的性质得到∠CFD=∠ABC=90°，得到CD为圆的直径，因为BG⊥CD，根据垂径定理得到DF=DB，故③正确；因为D为AB的三等分点，△AFG∽△CFB，所以所以S△ABF=S△ABC，又S△BDF=S△ABF，所以S△ABC=12S△BDF，由此确定结论④错误． 【详解】解：依题意可得BC∥AG， ∴△AFG∽△CFB， ∴， 又AB=BC， ∴．故结论①正确； 如图， ∵∠1+∠3=90°，∠1+∠4=90°， ∴∠3=∠4． 在△ABG与△BCD中， ， ∴△ABG≌△BCD（ASA）， ∴AG=BD， 又∵BD=AD， ∴AG=AD； ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴AC=AB； ∴AG=AD=AB=BC； ∵△AFG∽△BFC， ∴， ∴FC=2AF， ∴AF=AC=AB．故结论②正确； 当B、C、F、D四点在同一个圆上时， 由圆内接四边形的性质可得∠CFD=∠ABC=90° ∴CD是B、C、F、D四点所在圆的直径， ∵BG⊥CD， ∴， ∴DF=DB，故③正确； ∵，AG=BD，， ∴， ∴S△BDF=S△ABF，， ∴AF=AC， ∴S△ABF=S△ABC； ∴S△BDF=S△ABC，即S△ABC=12S△BDF．故结论④错误． ∴正确的结论有①②③； 故答案为：①②③. 【点睛】本题考查了等腰直角三角形中相似三角形与全等三角形的应用，有一定的难度．对每一个结论，需要仔细分析，严格论证；注意各结论之间并非彼此孤立，而是往往存在逻辑关联关系，需要善加利用． 三、解答题 17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为AB延长线上一点，若∠AOC＝150°，求∠EBC的度数． 【答案】 【分析】由圆周角定理求得∠ADC，再根据四点共圆的性质，得到的值，最后根据与互补，求得的值． 【详解】解：由圆周角定理得，∠ADC∠AOC=150°＝75°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理及四点共圆的性质，熟练掌握相关几何性质是解题的关键． 18．如图，四边形内接于，，，垂足为． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，垂径定理等知识，熟练掌握垂径定理和圆内接四边形的性质是解题的关键． （1）根据垂径定理得到垂直平分，，则，利用圆内接四边形的性质即可得到答案； （2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得到，再根据圆周角定理得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：延长交于点H， ∵， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ， 四边形是的内接四边形， ， （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ； 19．如图，为等腰直角三角形，为直角，，在的延长线上，且，于点，过，，三点的交于点，连结．求的半径． 探究：其他条件不变，将点在圆上移动至点，使，求的长度． 【答案】的半径为， 【分析】连接，由直角三角形的性质及勾股定理得进而证明点、、三点共线，利用勾股定理求得即可求得的半径，探究：如图，连接，先证明，，再利用圆内接四边形的性质得从而利用勾股定理即可得解。 【详解】解：连接， ∵为等腰直角三角形，为直角，，， ∴ ∵ ∴的直径， ∴ ∴ ∴点、、三点共线， ∵ ∴是以为直角的等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴的半径为， 探究：如图，连接，连接并延长交于， ∵，， ∴点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上， ∴，， ∵ ∴，， ∵是的直径， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ 【点睛】本题主要考查了圆内角四边形的性质，线段垂直平分线的判定，直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理等，熟练掌握圆内角四边形的性质，线段垂直平分线的判定是解题的关键。 20．如图，在中，已知，以为直径的交直线于点D，交直线于点E． (1)如图①，若，，求的长； (2)如图②，连接，当为锐角时，试判断与之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图③，连接．当为钝角时，试判断∠与之间的数量关系是否与（2）中你得出的数量关系相同？若相同，请证明；若不同，请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)相同，理由见解析 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）连接，，根据直径所对的圆周角是直角，得到，根据等腰三角形的性质得出，设，则，根据勾股定理列出方程即可得到答案； （2）连接，证明，得到即可得到结论； （3）连接，证明，根据四边形内接于，证明，即可得到结论． 【详解】（1）证明：令与相交于点，连接，， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得， ； （2）证明：； 连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ； （3）证明：相同，理由如下： 连接， 是的直径， ， ， ， ， ， 四边形内接于， ， ， ， ． 21．如图， 内接于， 点 D在上， 点F在 上， 与交于点 E， ， (1)如图1， 求证： ； (2)如图2， 射线交于点G， 过A作 于点M， 交于点H， 求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据三角形外角性质求得，再利用利用等腰三角形与三角形内角和定理求得，然后根据等腰三角形的性质得到，则，从而得出，即可得出结论； （2）证明，得到，则，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． （2）证明：∵于点M ∴ ∴ 由（1）知 ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∵点A、B、D、H四点共圆， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，圆内接四边形的性质，平行线的判定与性质，圆周角定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质和圆周角定理是解题的关键． 22．如图，四边形内接于，并且是的直径，是弧的中点，和的延长线交于外一点， (1)求证：； (2)若是方程的两根，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）连接，先根据直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的性质和等弧所对的圆周角相等得到，，从而根据等角对等边可证； （2）根据根的判别式为0，构建方程求出m的值，解方程即可． 【详解】（1）证明：连接． ∵是的直径， ∴． ∵四边形内接于， ∴，又， ∴． ∵C是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意方程有两个相等的实数根， ∴， ∴或6， 当时，方程为，解得（不符合题意舍去）； 当时，方程为，解得． ∴． 综上所述，． 【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，圆内接四边形的性质，根的判别式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 23．已知菱形中，，点分别在，上，，与交于点． (1)求证：； (2)当，时，求的长？ (3)当时，求的最大值？ 【答案】(1)证明见解析 (2)6 (3)4 【分析】（1）如图所示，连接，先证明是等边三角形，得到，再证明得到，由此即可证明结论； （2）延长到M使得，证明，得到，进而证明是等边三角形，则； （3）先证明四点共圆，则当为直径时，最大，设圆心为O，连接，过点O作于M，在中求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：延长到M使得， 由（1）可得， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∴当为直径时，最大， 设圆心为O，连接，过点O作于M， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，四点共圆，圆周角定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 24．如图1，点不在锐角的各边和顶点上，若满足，则称点为“点的和谐点”，其中，当点在的内部时，点称为“点的内和谐点”，当点在的外部时，点称为“点的外和谐点”．每个顶点的“和谐点”，称为“的和谐点”． (1)在图1中，点的外和谐点有几个？并请在图1中用圆规和直尺作出来；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)如图2，有一个格点锐角，已知网格的边长为1． ①已知格点是点的一个和谐点，请找出点的其他所有的和谐点（要求：是格点），并标上字母，，……； ②已知格点是的“外和谐点”，求以、、、四点构成的四边形的面积的所有可能的取值． 【答案】(1)无数个，绘图见解析 (2)①见解析；②7，8，9 【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补和轴对称的性质作图； （2）根据（1）的方法在网格中作图即可求解； （3）根据网格的特点找到点，根据网格求得四边形的面积即可求解． 【详解】（1）无数个；如图，作的垂直平分线交于点，则四边形是的内接四边形，作关于的对称点，交于点，交于点， 根据定义，上的点是外和谐点， 关于对称的上的点满足，除去内部及其端点，即，，即为所求，不包括顶点、和、边上的、点； 即实线部分即为所求，不包括顶点、和、边上的、点； （2）①如图所示， 理由如下， 根据网格的特点找到的外接圆的圆心，进而得出半径为，以为圆心，为半径作圆，找到格点， 找到关于的对称点，以为圆心，为半径作，即可找到格点； ②是的“外和谐点”的格点共有5个，如图，它们在的外接圆上， 如图所示： 如图所示，分别计算这五种位置的四边形的面积： ， ， ， 共有3种结果：，，． 【点睛】本题考查了作三角形的外接圆，圆内接四边形对角互补，作轴对称图形，格点作图，掌握圆内接四边形对角互补，轴对称的性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$