3.倍数与因数-【训练达人】2024-2025学年五年级上册数学（北师大版）

三 倍数与因数 第①课时 倍数与因数 练基础 知识巩固 按要求完成下面的题。 填空。 #A2# )和( (1)4×5-20中.( )是 #1 )是( ( )的因数,( )和 ( )的倍数。 (1)把3的倍数涂上红色。 (2)27-9-3中,27是3和9的( ). (2)把4的倍数涂上黄色。 3和9是27的( )。 (3)( )既是3的倍数又是4 (3)一个数既是10的倍数,又是10的因 的倍数。 数,这个数是( )。 练能力 知识运用 (4)9有( )个倍数,最小的倍数是 猜猜我是谁? ( )。 (1)我是24的因数,又是3和8的倍数, 2判断。 我是( )。 (1)一个非零自然数的倍数一定比它的 (2)我是一个两位数,我既是9的倍数, 又是36的因数。我最大是( 因数大。 ) ( ),最小 是( )。 (2)(深划期末真题)因为18-6-3,所以 (3)我小于100,并且比45的倍数多5, 18是倍数,6是因数。 ) 我最大是( 。。 (3)因为1.5×2-3,所以3是1.5和2 按要求写数。 的倍数,1.5和2是3的因数。 ~ ③选择。 从3、④、6这三张数字卡片中任选 (1)下面算式中,属于倍数与因数关系的 两张,组成符合要求的两位数。 (1)2的倍数( )。 是( )。 、。 (2)3的倍数( A.35×0-0 B.10-4-2.5 (3)既是2的倍数又是3的倍数( )。 C.3.6×2-7.2 D. 100-5-20 练思维 素养提升 (2)下面数中,既是30的因数又是6的 7 妹妹大约有50张卡通画片,平均分给4 倍数的是( )。 个或者6个小朋友都正好分完且没有剩 A.9 B.12 C.15 D.30 余。妹妹有多少张卡通画片? (3)(看州期末真题)A、B是两个不为0的 自然数,如果4A一B,B是A的( )。 A.因数 B.倍数 C.积 D.商 25 inti 小学数学五年级 上册 第②课时 探索活动;2.5的倍数的特征 练基础 知识巩固 (3)(易错题)笑笑、明明、小刚三人分别在 填空。 微信朋友圈集赞,一段时间后,三人获得 (1) 的点赞数为连续的奇数,它们的和是 26、37、15、12、408、63、44、 21.则最少点赞数是( )。 111、95、50、207、10、6、7 C.7 A.3 B.5 D.9 2的倍数 5的倍数 3用0、5、4组成三位数,按要求填空。 (1)2的倍数: (2)5的倍数; 既是2的倍数又是5的倍数 (3)偶数: ~_ 我发现;个位上是( (4)既是奇数,又是5的倍数: )或 练能力 的数是2的倍数,个位上是( .知识运用 ) )的数是5的倍数,个位上是( ( 4亚洲运动会简称亚运会,杭州亚运会开 的数既是2的倍数又是5的倍数。 幕式这一天,95名志愿者到会场负责物 (2)2的倍数一定是( )数;不是2的 品分发。下面关于志愿者分组问题,小 倍数一定是( )数。(填“奇”或“偶”) 西和小南谁说的对?为什么? (3)(泉州期末真题)23是5的倍数,里 (每2人分一组, 每5人分一组, 正好分完。 可以填( )或( );36是2的倍 正好分完。 ).最小能填( 数,□最大能填( )。 小西盖 (4)53至少加上( )就是2的倍数, 至少减去( )就是5的倍数。 练思维 (5)一艘船停在河的东岸,每过一次河都 素养提升 会开到对岸,这艘船上午过河14次,下 5(新趋势·探究式题)想一想,填一填,你有 )岸。 午过河27次,船最终停在( 什么发现?把你的发现写在算式下面。 (填“东”或“西”) (1)任意两个偶数,求和。 (6)有1包糖果,无论是平均分给2个 ( )十()一( )()十()一( ) 人,还是5个人,都正好剩1块。这包糖 ( )十()一() )块。 果至少有( 。我发现: 2选择。 (2)任意两个奇数,求和。 (1)(易错题)一个两位数,既是偶数又是5 ( )十( )=( )( )十( )=( ) )。 的倍数,这个两位数最大是( ( )十()一() A.70 B.80 C.85 D.90 。我发现: (2)正三角形的边长是大于0的偶数,那 (3)一个偶数一个奇数,求和。 )。 么它的周长( ( )十( )=( )( )十( )=( ) A.一定是奇数 B.一定是偶数 ( )十()一() C.可能数奇数也可能是偶数 我发现: 26 )) 第三单元 第③课时 探索活动:3的倍数的特征 练基础 知识巩因 (4)5,同时是2、3、5的倍数。第一 个口里可以填( 填空。 ),第二个□里 可以填( 471-3-( )。 (1)75-3-( ) ) E(教材改编)在以下几个数字中任意选出3 2040-3-( ) 7263-3-( ) 个数字组成能同时是2、3、5的倍数的三 我发现:一个数( )上的 位数,你能组成多少个这样的三位数? 数字之( )是3的倍数,这个数就是 05[78 3的倍数。 (2)在4、6、27、50、79、240、312中,3的 倍数有( )。 练能力 知识运用 (3)2023至少要加上( )就是3的倍 6(情境·五育文化)冬奥会冰壶项目展现 数,至少要减去( )也是3的倍数。 了一种动静之美。为了组建冰壶社团, (4)(易错题)3的倍数中,最大的两位数 学校购买了65个冰壶,每5个摆一个圆 是( );同时是3和5的倍数的最小 圈,能正好摆完吗?如果每3个摆一个 三位数是( );同时是2、5、3的倍 圆圈,至少需要拿走几个?如果每9个 数的最小两位数是( )。 摆一个圆圈,至少需要再买多少个? 2判断。 (1)个位上是3、6、9的数一定是3的 倍数。 (2)3是奇数,3的倍数也是奇数。 7(新趋势·思维探究)3个连续自然数的和 (3)一个数是6的倍数,这个数一定也是 一定是3的倍数吗?借助下面的表格填 3的倍数。 ( ) 一填,写出你的发现。 3 不计算,在没有余数的算式下面画“/”。 算式 和 是不是3的倍数 2+3+4 39-3 230-3 645-3 0 _ ( ) ( 地耳 地到耳畔 128-3 113-3 927-3 我发现:( )。 从数学的角度解释这个发现:用字母a 4 按要求填一填。 表示中间的数,则三个连续自然数的和 (1)58,同时是2、5的倍数。里可以 为( )十( )十( )一( ): 填( )。 一定是3的倍数。 (2)64,同时是2、3的倍数。里可以 练思维 .素养提升 填( )。 在22222..-2这个数中,里最小填 (3)43,同时是3、5的倍数。里可以 2023个2 填( )。 ( )就能使这个数是3的倍数。 27 小学数学五年级 上册 第4课时 找因数 练基础 知识巩固 4按要求填数。 ①按要求画一画,填一填 在下面方格纸上画长方形,使它的面程 是24cm{},长和宽都是整厘米数。有哪 18的因数 27的因数 几种不同的画法?(每个小方格的边长 既是18的因数,又是27的因数的有 表示1cm) C )。 (1)一共有( )种画法。 练能力 知识运用 (2)24的全部因数有( ). 5(新情境·传统文化)太原锣鼓是太原社火 习俗的灵魂,先后在“首届中国民间艺术 节”和“第十一届亚运会”开幕式上大显 身手,声名远播,被誉为“中国第一鼓”。 现有63人组成的锣鼓队在北京巡演。 ②填一填。 (1)如果排成长方形队列,可以有几种排 )-2X( (1)40-1×( )-4X 法?(每排每列不少于1人) )X( )一( ) 40的全部因数有( ). 最小是( ),最大是( )。 (2)如果排成方队,至少去掉多少人?或 ).36-( (2)36-1-( )一 增加多少人? ( ).36-( )一( ),36- ,_ )一( )一( ).36-( )。 ). 36的全部因数有( 最小是( ),最大是( )。 练思维 .素养提升 我发现:既是40的因数,又是36 如果A-2×3×5,你能求出A的所有因 的因数的数有( )一 数吗? 个数的最小因数是( ),最大因数是 。。 r ③判断。 (易题)幼儿园给小朋友们发水果,一共 (1)15的倍数一定比15的因数大。( ) 有30个萝、71根香蕉和79颗草萄 (2)一个数越大,它的因数就越多;一个 每个小组分到的水果都一样,最后剩下 数越小,它的因数就越少。 C ) 19个水果没办法正好分出去。幼儿园 (3)一个非零自然数的因数和倍数都包 一共有多少个小组? 含它本身。 . ) (4)如果一个数的最大因数是a,那么这 个数就是a。 C ) 28 ))) 第三单元 第5课时 找质数 练基础 知识巩固 ③猜猜我是几? 填空。 我是100以内 我的个位上是最小的质 数,十位上的数字和个 (1)一个质数有( )个因数,一个合数 最大的质数。 位上的数字之和是8 至少有( )个因数。其中最小的质数 ) 是( ) );( );最小的合数是( ) 7 既不是质数也不是合数。 我是一位数, 我是一个三位数,每个数位 ). 既是奇数又 (2)20以内的质数有( 上都是不同的质数,并且我 是合数 既是3的倍数,又是5的倍数。 合数有( ),不是偶 数的合数有( ),不是奇数的 ~ 质数有( )。 练能力 .知识运用 (3)在括号里填上合适的质数。 4 中国传统绘画一水墨画是由水和墨调配 10-( )X( ) _~ 成不同深浅的墨色所画出的画,是国画的 20-( )十( 代表。李老师画了一幅水墨画,已知这幅 3-( )一( ) 水墨画的长和宽都是质数,并且周长是 30-( )X( )X( ) 32cm。这幅水墨画的面积最大是多少? ②选择。 意。 (1)相邻两个自然数的积一定是( )。 A.奇数 B.偶数 C.质数 D.合数 (2)20以内的自然数中,三个连续的合 奶奶今年66岁了,姐姐的年龄是20以 )组。 数有( 内的质数,弟弟的年龄是10以内的合 A.1 B.2 数。奶奶的年龄正好是姐姐和弟弟年龄 C.3 D.4 的乘积。姐姐和弟弟今年各多少岁? (3)(金华期末真题)两个质数的差是4,积 是77,这两个质数的和是 )。 A.16 B.17 练思维 素养提升 C.18 D.19 把一个合数用几个质数相乘的形式表示出 (4)下列说法正确的是( )。 来,叫作分解质因数。如;20一2×2×5。 A.所有的质数都是奇数 请用这样的形式把下面各数分解质因数。 B.所有的自然数不是质数就是合数 36- C.两个质数的差是质数 68一 D.4的倍数一定是偶数 125- 29答案详析 时和回来时的实际时间，分别为7：00、 【解析】(1)3和8的倍数有24、48…，24的 8:15,所以爸爸一共锻炼了1时15分. 因数有1、2,3、4、6、8、12、24，因为这个数既是 【解析】本题首先找出镜中时间的对称图 24的因数，又是3和8的倍数，所以这个数是 形，如下图，即可判断出爸爸出门锻炼的 24。(2)36的因数有1,2、3、4、6、9、12,18、 时间和锻炼完回来的时间。 36,9的倍数有9、18,27、36，而这个数既是9 的倍数，又是36的因数，同时它还是一个两 位数，所以这个数是36、18。(3)100以内45 的倍数有45,90，又因为这个数比100以内45 的倍数多5，所以这个数最大是95。 6.(1)34,36、64、46(2)36、63(3)36 【解析】从③、④、⑥这三张数字卡片中任选 三倍数与因数 两张，共组成6个不同的两位数，分别是34、 36,46,64、63、43:然后再分别从这6个数中 第①课时倍数与因数 找出2的倍数的数，3的倍数的数和既是2的 倍数又是3的倍数的数。 1.(1)45202045 7.在60以内的数，4的倍数有4、8,12、16,20、 (2)倍数因数【解析】本题中被除数和除 24、28,32.36、40、44、48、52、56.60:6的倍数 数都是整数，商也是整数且没有余数。像这 有6、12、18、24,30、36、42、48、54,60 样的算式，可以说被除数是除数和商的倍数， 其中既是4的倍数又是6的倍数的是12、24、 除数和商是被除数的因数。 36、48.60 (3)10(4)无数9 根据妹妹卡通画片的数量在50张左右，可以 2.(1)X(2)X(3)X 判断出妹妹有48张卡通画片 3.(1)D【解析】被除数和除数都是整数，商也 答：妹妹有48张卡通画片 是整数且没有余数。像这样的算式，可以说 【解析】由题意可知，妹妹的卡通画片平均分给 被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除 4个或者6个小朋友都正好分完且没有剩余， 数的因数。据此可以排除A、B、C选项。 说明妹妹卡通画片的数量既是4的倍数，又是 (2)D(3)B 6的倍数，并且大小在50左右。 4.(1)3的倍数：12,9,24、15,36（涂上红色） (2)4的倍数：4,12、16、20、24,36、28（涂上黄色） 第〔)课时探索活动：2,5的倍数的特征 (3)12、24、36 1.(1) 2的倍极 5的件轻 【解析】能被3整除的就是3的倍数：能被4 26、12、408. 50. 15、95 整除的就是4的倍数：题中12、24和36既可 44、6 10 以被3整除，也可以被4整除，所以12、24和 是是2的倍数又范5的徐效 36既是3的倍数又是4的倍数。 0、2,4、6、8050 5.(1)24(2)3618(3)95 (2)偶奇 ◆13 仙小学数学五年级上册 【解析】2的倍数的特征是个位上是0、2、4、6、 5.算式不唯一，略： 8的数，也就是偶数。个位上是1、3、5、7、9的 (1)偶数十偶数=偶数 数是奇数。在自然数中，一个数不是偶数就 (2)奇数十奇数=偶数 是奇数。 (3)偶数十奇数=奇数 (3)0580(4)13(5)西 【解析】按要求写数可以得到相应的结论，同 (6)11【解析】①由已知得这个数同时是2 时也可以用同样的方式得到诚法和乘法算式 和5的倍数，这个数个位上应是0：②因为要 的奇偶性。 求“至少”，即最小，那么十位上应该是1：③即 同时是2和5倍数的最小数是10，又因为每 第〔③课时 探索活动：3的倍数的特征 次都剩1块，所以这个数应该是11。 1.(1)251576802421各个数位和 2.(1)D (2)6、27、240.312(3)21(4)9910530 (2)B【解析】正三角形的边长特征是3条边 2.(1)×(2)X(3)/ 相等，所以它的周长一偶数十偶数十偶数，结 3.()()(/) 果仍是偶数。 )()(√) (3)B 4.(1)0(2)2、5,8(3)5(4)1、4、70 3.(1)540、504、450(2)540、405、450 5.4个，分别是570、750、780、870. (3)540、504、450(4)405 6.每5个摆一个圆圈，能正好摆完：每3个摆一 【解析】本题考查的是2和5的倍数的特征。 个圆圈，至少需要拿走2个：如果每9个摆一 0、5、4三个数字可以组成以下三位数：540、 个圆圈，至少需要再买7个。 504、405、450. 【解析】本题考查倍数特征。第一个问题，根 (1)个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数，所 据5的倍数特征：个位数是0或5的数是5的 以组成的数是2的倍数的有540、504、450。 倍数，可以判断65个冰壶，每5个摆一个圆 (2)个位上是5或0的数是5的倍数，所以组 圈，能正好摆完；第二个问题，根据3的倍数 成的数是5的倍数的有540、405、450。 特征：各个数位上的数的和是3的倍数，可以 (3)是2的倍数的数叫偶数，所以组成的偶数 判断，6+5=11,11不是3的倍数，11-2=9， 有540、504、450。 可知每3个摆一个圆圈，至少需要拿走2个： (4)既是奇数又是5的倍数，其个位上的数字 第三个问题，根据3的倍数特征可以推出满 只能是5。因此组成的数既是奇数又是5的 足9的倍数的数，也可以直接用除法解决。 倍数的只有405。 7.示例： 4.小西说的对。5的倍数的特征是个位上的数 算式 和 是不是3的倍数 是0或5。因为一共有95名志愿者，95是5 2+3+4 9 是 的倍数。所以每5人分一组，正好分完 7+8+9 24 是 【解析】本题首先知道5的倍数的特征是个位 11+12+13 36 上是0或5的数，2的倍数特征是个数上是0、 是 2、4、6、8的数。由此可判断小西说的对。 3个连续自然数的和一定是3的倍数 14p>D 答案详析 a-1 aa+l 3a 因数有1,2,3,6,9,18.27÷1=27,27÷3= 【解析】列举算式时，加数是3个连续的自然 9,27的因数有1,3,9,27。 数，再判断和是否是3的倍数，然后根据表格 5.(1)因为63=1×63=3×21=7×9，所以一共 写出你的发现。从数学的角度解释这个发 有6种排法。①每排1人，共63排：或者每排 现：用字母α表示中间的数，则三个连续自然 63人，共1排。②每排3人，共21排：或者每 数的和为a-1+a+a+1=3a.3a÷3=a,所 排21人，共3排。③每排7人，共9排：或者 以3个连续自然数的和一定是3的倍数。 每排9人，共7排。又因为每排每列不少于1 81【解析】222 人，所以①中的2种排法不符合要求。故实 各个数位上的数字之和是 2023个2 际共4种排法。 2×2023+☐=4046+☐，而4046+☐各个数 答：如果排成长方形队列，可以有4种排法 位上的数字之和是4+0+4十6十☐=14十口， (2)7×7=49(人) 所以要使这个数是3的倍数，☐中的数又最小， 至少去掉：63一49=14（人） 只有在14+☐=15的情况下才成立，则口= 8×8=64(人) 15-14=1。 至少增加：64-63=1（人） 第)课时找因数 答：如果排成方队，至少去掉14人，或增加1人。 【解析】(1)根据题意把63写成两个数的乘 1.画一画略(1)4(2)1、2、3、4、6,8、12、24 积，排除不符合要求的排法，即可判断出可以 2.(1)40201058 怎样安排队伍每排和每列的人数。 1、2、4、5、8、10、20、40140 (2)理解“方队”即为正方形的队伍，也就是每 (2)362183124966 排和每列的人数相同，所以最接近的排法是 1、2、3、4,6、9,12、18、36136 8×8或7×7，即49<63<64，由此得出至少 1、2、41它本身 需要去掉(63一49)人或至少要增加(64一 3.(1)×【解析】一个数的最大因数和最小倍 63)人. 数都是它本身，所以15的最小倍数和最大因 6.方法一：A=2×3×5=30 数都是15。 30=1×30-2×15=3×10=5×6 (2)×【解析】例：5>4，但5有1、5两个因 所以A的全部因数有1,2,3,5,6,10、15、30 数，而4有1、2、4三个因数。 方法二：A=2×3×5 (3)√【解析】一个数的最大因数和最小倍 A的因数有1、2、3、5，也有2×3=6,3×5= 数都是它本身。 15,2×5=10,2×3×5=30 (4) 所以A的因数有1、2、3,5、6、10、15、30 4.123、6、918 1.3.9,27 【解析】本题要求出A的所有因数，可以有两种 18的因数 27的因数 方法。方法一：如果已知A是多少，那么就能用 1、3.9 求一个数的因数的方法求出它的所有因数，所以 【解析】利用乘法或除法算式求出18和27的 可以先求出A是多少，再找出A的因数。 因数。18÷1=18,18÷2=9,18÷3=6,18的 A=2×3×5=30=1×30=2×15=3×10=5×6 ◆◆15 仙小学数学五年级上册 A的因数有1、2、3、5、6、10、15、30 4.32÷2=16(cm)16=3+13=5+11 方法二：可以用乘法组合，直接找因数。A 3×13=39(cm) 2×3×5:①最小的因数是1：②2、3、5也是A 5×11=55(cm)55>39所以当水墨画的 的因数：③2,3、5的乘法组合：2×3=6,2× 长为11cm,宽为5cm时面积最大，最大面积 5=10,3×5=15,2×3×5=30也是A的因 为55cm2. 数。因此，A的因数有1、2、3、5、6、10、15、30 答：这幅水墨画的面积最大是55cm。 7.共分出去了30+71+79-19=161（个），161的因 【解析】①由水墨画的周长是32cm可知，水 数有1,7,23,161。若为1个小组，则不存在分不 墨画的长与宽的和是16cm:②而水墨画的长 出去的情况：若为161个小组，则每种水果都不 和宽都是质数，可推出水墨画的长和宽：16= 够分：若为7个小组，30÷7=4（个）…2（个）， 3十13=5十11：③通过计算可知，当水墨画的 71÷7=10(根)…1（根），79÷7=11（颗）… 长为l1cm、宽为5cm时面积最大，最大面积 2(颗)，则剩下2+1十2=5（个）水果无法正好分 为5×11=55(cm2)。 出去：若为23个小组，经过计算，剩下19个水果 5.既是20以内的质数又是66的因数：2.3.11： 无法正好分出去，符合题意。 既是10以内的合数又是66的因数：6 答：幼儿园一共有23个小组。 66=6×11 【解析】因为每个小组分的都一样，所以小组个 答：姐姐今年11岁，弟弟今年6岁。 数是分出去的水果总个数的因数。共分出去 【解析】①由题意可知，姐姐的年龄既是20以 了30+71+79-19=161（个）.找出161的因 内的质数，又是66的因数，符合条件的数有 数，分别讨论，找出符合题意的即可。 2、3、11:②弟弟的年龄是10以内的合数，而 且是66的因数，可知弟弟的年龄是6。 第⑤课时找质数 ③66=6×11，所以，姐姐的年龄是11岁，弟 1.(1)23241 弟的年龄是6岁。 【解析】根据因数的个数，非0自然数可分为 6.36=2×2×3×3 质数、合数和1。质数的因数只有1和它本 68=2×2×17 身：合数的因数至少有三个：最小的质数是2： 125=5×5×5 最小的合数是4：1既不是质数也不是合数。 【解析】解此类题的关键是理解题中所给出的 (2)2.3、5、7、11,13、17、194,6、8,9、10、12、 新定义，然后再去求解。把一个合数写成几 14,15,16、189、152 个质数连乘的积的形式，可以先从最小的质 (3)25137(或317)52 数开始分解。 235 重难点专项练习（四）】 2.(1)B(2)B (3)C【解析】77的因数有1,77,7,11，符合 1.(1)26485688142070 是质数并且相差是4的两个数是7和11。 (2)3694548511539 (4)D (3)4515207095 3.97629735或375 (4)没有 16》