1.2.3 等差数列的前m项和教学设计-2024-2025学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

课题 1.2.3 等差数列的前项和 编号 选择性必修 第一册 第一章 第2节 共3课时 施教 教师 施教日期 第 周 星期 施教班级 课型 新授课 主备 教师 内容分析 本节课在前面所学等差数列的概念、等差数列的通项公式、等差中项、等差数列与一次函数的关系的基础上进一步研究等差数列的前项和公式的由来、推导过程及应用. 这节课承载着立德树人以文化人的职责，同时蕴含丰富的数学思想. 在中西方数学文化背景下各采用一个实际案例来展示求等差数列前项和的思路. 无论是高斯算法的“数“还是杨辉算法的“形”，都同归于等差数列前项和的一般方法：倒序相加法. 为接下来用倒序相加法推导等差数列前项和一般形式做准备. 本节内容，一是通过推导等差数列的前项和公式理解倒序相加法，熟练掌握等差数列前项和的两个公式，理解和体会首项、末项、公差、项数、前项和之间的关系，学会知三求一，引导学生可以通过已知条件选择恰当的公式；第二，关于等差数列求和问题，要善于观察数列的特点，选择最优解法，倡导一体多解.帮助学生从不同的角度分析问题、解决问题，拓宽学生的解题思路；第三是分析等差数列的前项和与通项公式之间的关系，进一步解决已知数列前项和求一般数列通项公式的方法. 从函数的观点看待等差数列的求和公式，培养学生用函数的眼光、函数的思维来表达解决最值问题. 本节课让学生掌握数形结合思想、方程思想、函数思想，深入探究等差数列前项和蕴含的内在联系和数学本质，对进一步落实数学核心素养的培养产生积极的意义. 湘教版教材注重数学思想内涵和数学文化的价值，对培养学生热爱数学、热爱科学将产生深远的影响. 教学目标 理解等差数列的前项和公式，掌握首项、第项、项数、前项和这四个量之间的关系，通过方程思想解决问题. 学会观察和探究等差数列前项和蕴含的性质，理解等差数列前项和等差数列通项公式的关系，进一步解决已知数列前项和求一般数列通项公式的方法. 从函数的观点分析等差数列的求和公式，培养学生用函数的眼光、函数的思维来解决最值问题，进一步感受数列教学中数形结合思想、函数思想方法. 核心素养 ●直观想象、●数学运算、●数据分析、●数学抽象、●逻辑推理、●数学建模 教学重点 会求等差数列前项和，学会观察等差数列的前项和蕴含的性质，会利用等差数列前项和的函数性质求最值并确定值的个数，掌握已知数列的前项和求一般数列的通项. 教学难点 等差数列前项和公式的推导及其性质.. 教学方法 问题驱动、引导发现、合作探究相结合的教学方法展开教学. 教学手段 多媒体辅助教学 教学过程 教学环节 教学内容 设计意图 二次备课 创设情境 复习1： （1）等差数列的通项公式. （2）等差数列与一次函数的关系，体现函数思想. 问题1：等差数列是特殊的数列，那么，它的前项和有公式吗？ 其实早在18世纪就有人解决过其中一些特殊的问题，他就是数学王子——高斯。在他幼年的时候，数学老师才教完加法就给他们出了道难题： 当时其他小伙伴只知道埋头苦算，而小高斯一下子就给出了答案5050，小伙伴们都惊呆了。那他是怎么做的呢？ 这个引入从问题入手，抓住了学生的注意力，启发学生的思维，激发学生的兴趣。同时也渗透数学文化，让学生感到既耳目一新，又能深刻感受到数学存在于生活中，存在于我们悠久的文化中，从而引导学生用数学的眼光去观察生活。 自主探究 合作交流 展示完善 精讲释疑 从特殊到一般： 我国南宋数学家杨辉提出了这样一个问题：“今有圭垛草一堆，顶上一束，底阔八束。问共几束？” 在特殊问题中高斯运用的是“两两配对”的方法，那对于一般等差数列的求和问题，也能否这样处理呢？这个就不行了，因为不一定是偶数，这样就不好“两两配对”了，这时我们就要改进方法了，我们不妨从其他地方找灵感。大家回忆一下梯形面积公式的求法： 先构造一个一模一样的梯形，然后将它倒过来补成一个平行四边形，这样梯形面积等于平行四边形面积的一半，非常之巧妙。类比上述两种做法，我们就能推导一般等差数列的求和公式： 结合通项公式，我们可以推导出等差数列的前n项和公式的其它形式： 例1：某体育馆一角的看台上有20排，每一排比前一排多两个座位，若第一排有15个座位，则体育馆一角里共有多少个座位？ 解：由题意知：首项为15，公差为2，项数为20，再代入求和公式： 变式：某体育馆一角的看台上有20排，每一排座位依次构成等差数列，若第三排有21个座位，第九排有33个座位，则体育馆一角里共有多少个座位？ 解：由题意知：,，求出首项为17公差为2，项数为20，再代入求和公式： 例2.已知等差数列，，求等差数列的前项和. 方法1：求出，，代入 方法2：求出，代入公式 例3．已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220，求该数列的前项和. 方法1：通过方程组求解和； 方法2：观察，成等差数列. 方法3：可通过后面得到、是等差数列前项 (其中为常 数，且)上的两点，可求，进而求. 问题1：已知数列的前项为，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？可以得到求数列通项公式的一个方法： 问题2：等差数列的前项和公式可以写成，所以可以看成函数,当时的函数值.另一方面，容易知道关于的图象是一条抛物线上的一些点.因此，我们可以利用二次函数来求的值.一般地，如果一个数列的前项和为(其中为常数，且)，那么这个数列一定是等差数列. 例4. 已知是等差数列前项的和,且 （1）求数列的通项公式； （2）求的最大值及对应的值. 分析：（1） （2）方法1： 所以当时,取最大值， 方法2：由，得到对称轴，可求. 方法3：由 ，解得， 又所以当时,取最大值，. 由问题引导学生思考，从而正确理解如何推导等差数列前项和公式. 问题1进一步引导学生对一般数列通项公式的求法. 问题2继续引导学生建立函数思想，通过对等差数列前项和的函数形式分析，进一步判断等差数列. 帮助学生求最值的方法，同时提醒学生求最值时值可能是一个，也可能是2个，关键看数列中是否有一项为0. 课堂练习 1. 已知数列为等差数列，前项和，求解下列问题： （1）若，求； （2）若，求； （3）若为大于1的正整数，且， ，求. 2. 已知数列的前项和. （1）求数列的通项公式； （2）求的最小值及对应的值． 练习1强化等差数列中的计算. 练习2强化通项公式的求法. 加深理解等差数列的前项和与的二次函数关系. 总结提升 本节课你学到了哪些知识？有哪些收获？用到的数学方法有哪些？ 系统梳理整节课所学内容. 作业布置 必做题 P21习题1.2第7、8、11题 分层布置作业，满足不同学生的学习能力要求. 选做题 P21习题1.2第17、18、19题 教后反思 更快、更高、更强，领先就是金牌 我自信，我拼搏，我出色，我成功1 学科网（北京）股份有限公司 $$