2.4 解直角三角形（第2课时）（分层作业）数学青岛版九年级上册

2.4 解直角三角形（第2课时） 题型一 解非直角三角形 1．如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 2．已知在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，根据，得出,进而求得，由已知条件得出，进而得出，即可求解． 【详解】解：如图所示， 过点作，垂足为， 在中，， ∴, ∴ \ ∴， 在中， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 3．如图，在△中，，,.则边的长为 . 【答案】 【分析】过A作AD⊥BC于D点，根据，可求得CD，在Rt△ACD中由勾股定理可求得AD，再利用Rt△ADB中，可知AB=2AD，即可解题 【详解】过A作AD⊥BC于D点， ∵，AC=2 ∴CD= 在Rt△ACD中由勾股定理得：AD= 又∵∠B=30° ∴AB=2AD=. 【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理求线段长度，30°所对的直角边是斜边的一半，灵活联合运用即可解题. 4．如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，解，得出，进而解，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角形的边角关系是解题的关键． 5．如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离为 海里． 【答案】20 【分析】过点A作AC⊥BD，根据方位角及三角函数即可求解． 【详解】如图，过点A作AC⊥BD， 依题意可得∠ABC=45° ∴△ABC是等腰直角三角形，AB=20(海里) ∴AC=BC=ABsin45°=10(海里) 在Rt△ACD中，∠ADC=90°-60°=30° ∴AD=2AC=20 (海里) 故答案为：20． 【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值． 6．如图，在中，，，求． 【答案】10 【分析】本题考查解非直角三角形，过点作，分别解，求出的长，利用，进行求解即可．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形． 【详解】解：过点作，则：， 在中，，， ∴，， 在中，，， ∴， ∴． 7．如图，在△ABC中，，，，求的长．    【答案】 【分析】过作于，则，在中，由，，求得，，根据三角形的内角和得到，在中，根据，再根据即可得到结论． 【详解】解：如图，过作于， ∴， ∵在中，，， ∴， ， 又∵在△ABC中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴的长为．    【点睛】本题考查解直角三角形，特殊角三角函数，三角形内角和．熟练掌握好边角之间的关系是解题的关键． 8．在中，，，，求的长． 【答案】 【分析】过点作，交的延长线于点，由平角的定义可求解，通过解直角三角形可求解，的长，即可求解的长，再利用勾股定理可求解的长． 【详解】解：过点作，交的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 即，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查解非直角三角形．作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 9．如图，在中，已知，，，求的长． 【答案】 【分析】过点作，垂足为点，设，在中，得出，在中，得出，根据，列出方程求解得出，在中，根据即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点， 设，在中， ， 在中，， ， ， ， . 解得：，即， 在中，∵， ∴ 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角函数关系是解题的关键． 10．在△ABC中，，，，则 ． 【答案】或 【分析】画出图形，分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论即可． 【详解】解：情况一：当△ABC为锐角三角形时，如图1所示： 过A点作AH⊥BC于H， ∵∠B=45°， ∴△ABH为等腰直角三角形， ∴, 在Rt△ACH中，由勾股定理可知：， ∴． 情况二：当△ABC为钝角三角形时，如图2所示： 由情况一知：，， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理的应用，本题的关键是能将△ABC分成锐角三角形或钝角三角形分类讨论． 11．如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 12．如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是： （1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题； （2）在中，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，作于．        在中，，， ，， 在中，， ， ． （2）， ，，， 在中，． 的正弦值为． 13．公交总站点与、两个站点的位置如图所示，已知km，，，求站点离公交总站的距离即的长结果保留根号． 【答案】 【分析】过点C作交的延长线于D，易得是等腰直角三角形，由勾股定理可求得的长，再由含角直角三角形的性质求得，再由勾股定理可求得，从而求得． 【详解】过点C作交的延长线于D，如图， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得， ，， ， 由勾股定理得， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形，构造辅助线转化为特殊直角三角形来解决是问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4 解直角三角形（第2课时） 题型一 解非直角三角形 1．如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 2．已知在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，根据，得出,进而求得，由已知条件得出，进而得出，即可求解． 【详解】解：如图所示， 过点作，垂足为， 在中，， ∴, ∴ \ ∴， 在中， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 3．如图，在△中，，,.则边的长为 . 【答案】 【分析】过A作AD⊥BC于D点，根据，可求得CD，在Rt△ACD中由勾股定理可求得AD，再利用Rt△ADB中，可知AB=2AD，即可解题 【详解】过A作AD⊥BC于D点， ∵，AC=2 ∴CD= 在Rt△ACD中由勾股定理得：AD= 又∵∠B=30° ∴AB=2AD=. 【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理求线段长度，30°所对的直角边是斜边的一半，灵活联合运用即可解题. 4．如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，解，得出，进而解，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角形的边角关系是解题的关键． 5．如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离为 海里． 【答案】20 【分析】过点A作AC⊥BD，根据方位角及三角函数即可求解． 【详解】如图，过点A作AC⊥BD， 依题意可得∠ABC=45° ∴△ABC是等腰直角三角形，AB=20(海里) ∴AC=BC=ABsin45°=10(海里) 在Rt△ACD中，∠ADC=90°-60°=30° ∴AD=2AC=20 (海里) 故答案为：20． 【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值． 6．如图，在中，，，求． 【答案】10 【分析】本题考查解非直角三角形，过点作，分别解，求出的长，利用，进行求解即可．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形． 【详解】解：过点作，则：， 在中，，， ∴，， 在中，，， ∴， ∴． 7．如图，在△ABC中，，，，求的长．    【答案】 【分析】过作于，则，在中，由，，求得，，根据三角形的内角和得到，在中，根据，再根据即可得到结论． 【详解】解：如图，过作于， ∴， ∵在中，，， ∴， ， 又∵在△ABC中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴的长为．    【点睛】本题考查解直角三角形，特殊角三角函数，三角形内角和．熟练掌握好边角之间的关系是解题的关键． 8．在中，，，，求的长． 【答案】 【分析】过点作，交的延长线于点，由平角的定义可求解，通过解直角三角形可求解，的长，即可求解的长，再利用勾股定理可求解的长． 【详解】解：过点作，交的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 即，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查解非直角三角形．作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 9．如图，在中，已知，，，求的长． 【答案】 【分析】过点作，垂足为点，设，在中，得出，在中，得出，根据，列出方程求解得出，在中，根据即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点， 设，在中， ， 在中，， ， ， ， . 解得：，即， 在中，∵， ∴ 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角函数关系是解题的关键． 10．在△ABC中，，，，则 ． 【答案】或 【分析】画出图形，分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论即可． 【详解】解：情况一：当△ABC为锐角三角形时，如图1所示： 过A点作AH⊥BC于H， ∵∠B=45°， ∴△ABH为等腰直角三角形， ∴, 在Rt△ACH中，由勾股定理可知：， ∴． 情况二：当△ABC为钝角三角形时，如图2所示： 由情况一知：，， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理的应用，本题的关键是能将△ABC分成锐角三角形或钝角三角形分类讨论． 11．如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 12．如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是： （1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题； （2）在中，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，作于．        在中，，， ，， 在中，， ， ． （2）， ，，， 在中，． 的正弦值为． 13．公交总站点与、两个站点的位置如图所示，已知km，，，求站点离公交总站的距离即的长结果保留根号． 【答案】 【分析】过点C作交的延长线于D，易得是等腰直角三角形，由勾股定理可求得的长，再由含角直角三角形的性质求得，再由勾股定理可求得，从而求得． 【详解】过点C作交的延长线于D，如图， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得， ，， ， 由勾股定理得， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形，构造辅助线转化为特殊直角三角形来解决是问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$