第01讲 空间向量及其运算（4个知识点+4种题型+过关检测）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019选修一）

第01讲 空间向量及其运算（4个知识点+4种题型+过关检测） 知识点1：空间向量的有关概念 1．在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模． 空间向量用字母a，b，c，…表示，也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或||. 2．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a 共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量叫做相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 注意点： (1)平面向量是一种特殊的空间向量． (2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等，方向相同． (3)空间向量不能比较大小． (4)空间向量共线不具备传递性(非零向量除外)． 知识点2：空间向量的加法、减法运算 加法运算 三角形 法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法运算 三角形 法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 加法运算 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 注意点： (1)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，可以共起点． (2)三角形法则、平行四边形法则在空间向量中也适用． (3)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即＋＋＋…＋＝. (4)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即＋＋＋…＋＝0. 知识点3：空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 λ>0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ<0 λa与向量a的方向相反 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb 注意点： (1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0. (2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度． (3)向量λa与向量a一定是共线向量． 知识点4：共线向量与共面向量 一、空间向量共线的充要条件 1．对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 2.如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示． 注意点： (1)直线可以由其上一点和它的方向向量确定． (2)非零向量a，b共线时，表示向量a，b的两条有向线段不一定在同一条直线上 二、空间向量共面的充要条件 1．向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α. 2．共面向量 定义 平行于同一个平面的向量 三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)使p＝xa＋yb 题型1空间向量的有关概念 【例题1】（21-22高二·全国·单元测试）对于空间任意两个非零向量，，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（24-25高二上·上海·课前预习）如果两个向量和 ，那么它们互为负向量，记作． 【变式2】（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）在长方体中，下列向量与是相等向量的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二上·四川成都·阶段练习）在空间中，定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件： ①，且和构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）； ②的模，（表示向量的夹角）. 在正方体中，有以下四个结论，其中正确的个数是（    ）      ①② ③④ A．1 B．2 C．3 D．4 题型2空间向量的线性运算 【例题2】（22-23高二上·山西晋中·期末）在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二下·河南·阶段练习）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·贵州遵义·期末）已知长方体中，点Q为线段的中点，，则 . 【变式3】（23-24高二下·江苏·课前预习）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 题型3共线向量 【例题3】（23-24高二上·贵州·开学考试）如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是（　　） A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 【变式1】（24-25高二上·上海·课前预习）空间两个向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量、，的充要条件是 ． 【变式2】（21-22高二·全国·课后作业）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？ 【变式3】（2023高二·江苏·专题练习）已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：． 题型4共面向量 【例题4】（23-24高二上·广东江门·期中）若是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1】（23-24高二上·河北石家庄·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·上海·课前预习）向量共面的充要条件：如果与是两个不平行的向量，那么空间中的向量与、共面的充要条件是，存在 的一对实数与，使得 . 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知是不共面向量，，证明这三个向量共面. 一、单选题 1．（23-24高二上·四川凉山·期末）空间四边形中，点在上，且，为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高二·全国·课后作业）在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 3．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）在长方体中，（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）下列命题中正确的是（    ） A．空间任意两个向量共面 B．向量、、共面即它们所在直线共面 C．若，，则与所在直线平行 D．若，则存在唯一的实数，使 5．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知分别是空间四边形的对角线的中点，点是线段的中点，为空间中任意一点，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·北京·开学考试）已知平行六面体，则下列四式中错误的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）下列命题正确的是（    ） A．若是空间任意四点，则有 B．若表示向量的有向线段所在的直线为异面直线，则向量一定不共面 C．若共线，则表示向量与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点与不共线的三点、、，若（其中、、），则、、、四点共面 8．（22-23高二下·甘肃金昌·期中）下列四个命题中为真命题的是（    ） A．已知，，，，是空间任意五点，则 B．若两个非零向量与满足，则四边形是菱形 C．若分别表示两个空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量 D．对于空间的任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 二、多选题 9．（23-24高二下·云南保山·开学考试）下列关于空间向量的命题中，不正确的是（    ） A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量 B．平行且模相等的两个向量是相等向量 C．若，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 10．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知是空间的一个基底，则可以与向量构成空间的一个基底的向量是（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高二上·重庆·期末）若构成空间的一个基底，则下列说法中正确的是（    ） A．存在，使得 B．也构成空间的一个基底 C．若，则直线与异面 D．若，则，，，四点共面 三、填空题 12．（23-24高二上·天津滨海新·阶段练习）如图，在三棱锥中，D是的中点，若，，，则等于 . 13．（23-24高二上·河北保定·期中）已知圆锥（为圆锥顶点，为底面圆心）的轴截面是边长为的等边三角形，，，为底面圆周上三点，空间一动点，满足，则的最小值为 ． 14．（24-25高二上·上海·单元测试）给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量、满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量、、满足，，则．其中不正确的命题的序号为 ． 四、解答题 15．（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．    (1)试写出与相等的所有向量． (2)试写出的相反向量． 16．（23-24高二·全国·课堂例题）你能说出平面向量与空间向量的区别与联系吗？ 17．（2022高二上·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，分别是的中点，在上且，在上且，判断与是否共线？ 18．（23-24高二上·全国·课后作业）在正方体中，G为的重心，证明：三点共线. 19．（23-24高二上·全国·课后作业）在空间四边形ABCD中，G为的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，化简下列各表达式. (1)； (2). 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 空间向量及其运算（4个知识点+4种题型+过关检测） 知识点1：空间向量的有关概念 1．在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模． 空间向量用字母a，b，c，…表示，也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或||. 2．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a 共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量叫做相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 注意点： (1)平面向量是一种特殊的空间向量． (2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等，方向相同． (3)空间向量不能比较大小． (4)空间向量共线不具备传递性(非零向量除外)． 知识点2：空间向量的加法、减法运算 加法运算 三角形 法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法运算 三角形 法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 加法运算 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 注意点： (1)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，可以共起点． (2)三角形法则、平行四边形法则在空间向量中也适用． (3)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即＋＋＋…＋＝. (4)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即＋＋＋…＋＝0. 知识点3：空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 λ>0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ<0 λa与向量a的方向相反 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb 注意点： (1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0. (2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度． (3)向量λa与向量a一定是共线向量． 知识点4：共线向量与共面向量 一、空间向量共线的充要条件 1．对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 2.如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示． 注意点： (1)直线可以由其上一点和它的方向向量确定． (2)非零向量a，b共线时，表示向量a，b的两条有向线段不一定在同一条直线上 二、空间向量共面的充要条件 1．向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α. 2．共面向量 定义 平行于同一个平面的向量 三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)使p＝xa＋yb 题型1空间向量的有关概念 【例题1】（21-22高二·全国·单元测试）对于空间任意两个非零向量，，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由向量共线与向量夹角的关系，判断 【详解】空间任意两个非零向量，， ，包括向量和同向共线和反向共线两种情况， 即当时，有或，不能得到，充分性不成立. ，则和方向相同，有，必要性成立； 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【变式1】（24-25高二上·上海·课前预习）如果两个向量和 ，那么它们互为负向量，记作． 【答案】模相等而方向相反 【变式2】（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）在长方体中，下列向量与是相等向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方体的性质，结合相等向量的定义进行判断即可. 【详解】如图所示的长方体中， A：向量与方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确； B：向量与大小相等，方向相同，所以这两个向量相等，因此本选项正确； C：向量与方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确； D：显然向量与向量方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确， 故选：B      【变式3】（23-24高二上·四川成都·阶段练习）在空间中，定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件： ①，且和构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）； ②的模，（表示向量的夹角）. 在正方体中，有以下四个结论，其中正确的个数是（    ）      ①② ③④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】作出正方体，通过化简即可得出结论. 【详解】由题意，设正方体边长为，    ①由几何知识得，是全等的等边三角形，且边长为 ∴， ， ， ∴，①正确. ②由几何知识得，， ， ∴ ，② 错误. ③， ∴ ∵右手系叉乘具有方向， ∴， ， ∴，③ 错误； ④，，故④ 错误； 故选：A. 题型2空间向量的线性运算 【例题2】（22-23高二上·山西晋中·期末）在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目条件和平行六面体的定义，利用向量的运算法则，将用所给基底表示，计算化简得到结果. 【详解】 . 故选：C 【变式1】（23-24高二下·河南·阶段练习）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】, 故选:A 【变式2】（23-24高二上·贵州遵义·期末）已知长方体中，点Q为线段的中点，，则 . 【答案】/2.5 【分析】根据向量的加法运算及向量的相等求值即可. 【详解】如图， 因为, 所以. 故答案为： 【变式3】（23-24高二下·江苏·课前预习）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 【答案】(1)，作图见解析 (2)，作图见解析 (3)，作图见解析 【分析】根据空间向量的线性运算依次求解即可. 【详解】（1）； （2）； （3）， 设是线段的中点， 则. 向量如图所示，   题型3共线向量 【例题3】（23-24高二上·贵州·开学考试）如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是（　　） A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 【答案】B 【分析】由空间向量共线定理逐一判断即可. 【详解】对于，当时，，， 所以，则点在棱上，故正确； 对于，当时， ， ， 即，即 所以点在线段上，故错误； 对于，当时，，， 所以，所以，即， 所以点在棱上，故正确； 对于，当时， 所以，， 所以， 即，即， 所以点在线段上，故正确． 故选： 【变式1】（24-25高二上·上海·课前预习）空间两个向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量、，的充要条件是 ． 【答案】存在实数λ，使得 【分析】根据空间两个向量共线的充要条件填空. 【详解】存在实数，使得. 【变式2】（21-22高二·全国·课后作业）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？ 【答案】共线. 【分析】利用空间向量的线性运算，结合空间向量的共线定理，即可判断. 【详解】因为M､N分别是AC､BF的中点，而四边形ABCD､ABEF都是平行四边形， 所以. 又， 所以. 所以， 即，即与共线. 【变式3】（2023高二·江苏·专题练习）已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】根据题意，由向量的线性运算可得，即可得到证明. 【详解】，，， ， ， 因为、无公共点，故. 题型4共面向量 【例题4】（23-24高二上·广东江门·期中）若是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】根据共面向量定理逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，，三个向量共面，所以A错误， 对于B，因为，所以，，三个向量共面，所以B错误， 对于C，假设，，三个向量共面，则存在实数，使， 所以三个向量共面， 因为是空间的一个基底，所以三个向量不共面， 所以假设错误，所以，，三个向量不共面，所以C正确， 对于D，因为，所以，，三个向量共面，所以D错误， 故选：C 【变式1】（23-24高二上·河北石家庄·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】A选项，根据得到三向量不共面；BCD选项，设为未知数，得到方程组，方程无解则不共面，方程有解则共面，得到答案. 【详解】A选项，因为，故不共面，A错误； B选项，设， 故，无解，故不共面，B正确； C选项，设， 则，解得，故共面，C错误； D选项，， 则，解得，故共面，D错误. 故选：B 【变式2】（24-25高二上·上海·课前预习）向量共面的充要条件：如果与是两个不平行的向量，那么空间中的向量与、共面的充要条件是，存在 的一对实数与，使得 . 【答案】 唯一 【分析】略 【详解】略 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知是不共面向量，，证明这三个向量共面. 【答案】证明见解析 【分析】由空间向量基本定理可得答案. 【详解】由是不共面向量，得与不共线， 设，则， 所以，解得，所以， 所以这三个向量共面 一、单选题 1．（23-24高二上·四川凉山·期末）空间四边形中，点在上，且，为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出空间四边形，即可得出的表达式. 【详解】由题意，在空间四边形中，，为中点， ∴, ∴ , 故选：C.    2．（20-21高二·全国·课后作业）在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】根据转化以及正方体的性质求出各组向量的夹角可得答案. 【详解】对于A，因为，结合正方体的性质可得与的夹角为， 所以与的夹角为，故A正确； 对于B，由与方向相反，结合A可知与的夹角为，故B不正确； 对于C，因为，结合正方体的性质与垂直， 所以与的夹角为，故C不正确； 对于D，因为，而与方向相反， 所以与的夹角为，故D不正确. 故选：A 3．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）在长方体中，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量加法法则计算出答案. 【详解】. 故选：A 4．（22-23高二上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）下列命题中正确的是（    ） A．空间任意两个向量共面 B．向量、、共面即它们所在直线共面 C．若，，则与所在直线平行 D．若，则存在唯一的实数，使 【答案】A 【分析】根据共面向量，共线向量的定义判断． 【详解】空间任意两个向量都能平移到同一平面内，因此它们共面，A正确； 空间三个向量指能平移到同一平面内，而不是指表示它们的直线在同一平面内，B错； 若，，但当时，与不一定平行，因此它们所在直线也不一定平行，即使两个向量平行，它们所在的直线也可能是同一直线，不一定平行，C错； 若，当时，不存在唯一的实数，使，D错． 故选：A． 5．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知分别是空间四边形的对角线的中点，点是线段的中点，为空间中任意一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量加法运算可解. 【详解】由题知：. 故选：D 6．（23-24高二下·北京·开学考试）已知平行六面体，则下列四式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行六面体的性质及空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：因为，所以，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：因为，所以， 故D错误. 故选：D 7．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）下列命题正确的是（    ） A．若是空间任意四点，则有 B．若表示向量的有向线段所在的直线为异面直线，则向量一定不共面 C．若共线，则表示向量与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点与不共线的三点、、，若（其中、、），则、、、四点共面 【答案】A 【分析】根据题意，由已知条件结合空间向量共面定理，以及向量共线的性质，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】由空间向量的加法运算可知，故A正确； 空间中任意两个向量都共面，故B错误； 若共线，则表示向量与的有向线段所在直线平行或重合，故C错误； 若，且，则、、、四点共面，故D错误； 故选：A 8．（22-23高二下·甘肃金昌·期中）下列四个命题中为真命题的是（    ） A．已知，，，，是空间任意五点，则 B．若两个非零向量与满足，则四边形是菱形 C．若分别表示两个空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量 D．对于空间的任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 【答案】C 【分析】根据空间向量的运算，即可判断A项；根据已知可推得，且，即可判断B项；根据空间向量可以平移，即可得出C项；当且仅当时，，，，四点共面，可知D项错误. 【详解】对于A，因为，故A项错误； 对于B，因为，所以，且， 所以四边形是平行四边形，不一定是菱形，故B项错误； 对于C，因为空间向量可以平移，将空间任意两个向量平移到同一起点时，则这两个向量可以是共面向量，故C项正确； 对于D，对于空间的任意一点和不共线的三点，，，若，当且仅当时，，，，四点共面，故D项错误. 故选：C. 二、多选题 9．（23-24高二下·云南保山·开学考试）下列关于空间向量的命题中，不正确的是（    ） A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量 B．平行且模相等的两个向量是相等向量 C．若，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】BCD 【分析】根据相等向量的有关概念判断． 【详解】对于选项A：由相等向量的定义知A正确； 对于选项B：平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，B错； 对于选项C：若两个向量不相等，但模长仍可能相等，例如不共线的单位向量，C错； 对于选项D：相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，D错， 故选：BCD． 10．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知是空间的一个基底，则可以与向量构成空间的一个基底的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据空间向量基本定理知基底需不共面，从而进行求解. 【详解】对于A：因为，所以共面，故不符题意； 对于B：假设存在，使得， 即，此方程组无解，即不存在， 所以假设不成立，所以不共面，故符合题意； 对于C：假设存在，使得， 即，此方程组无解，即不存在 所以假设不成立，所以不共面，故符合题意； 对于D：因为，所以共面，故不符合题意； 故选：BC. 11．（22-23高二上·重庆·期末）若构成空间的一个基底，则下列说法中正确的是（    ） A．存在，使得 B．也构成空间的一个基底 C．若，则直线与异面 D．若，则，，，四点共面 【答案】BCD 【分析】根据空间向量基本定理判断A,B选项，再由共线向量基本性质及为一组基底判断出C、D. 【详解】由题意知，三向量不共面，所以错误； 若三向量共面，则有， 化简有：，因为不共面， 则，无解，故三向量不共面，能够构成一组基底，故B正确； 若与共面，则有，则有，与题意矛盾，故C正确； 若，化简有，则有，所以四点共面，故D正确． 故选：BCD 三、填空题 12．（23-24高二上·天津滨海新·阶段练习）如图，在三棱锥中，D是的中点，若，，，则等于 . 【答案】 【分析】直接利用向量的几何运算结合平行四边形法则可得答案. 【详解】由图可得. 故答案为：. 13．（23-24高二上·河北保定·期中）已知圆锥（为圆锥顶点，为底面圆心）的轴截面是边长为的等边三角形，，，为底面圆周上三点，空间一动点，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据空间向量基本定理可判断，，共面，又平面，所以. 【详解】因为， 所以，， 所以，，共面， 又，，为底面圆周上三点，所以点为平面上一点， 由已知平面， 所以， 又圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，所以， 所以的最小值为， 故答案为：. 14．（24-25高二上·上海·单元测试）给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量、满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量、、满足，，则．其中不正确的命题的序号为 ． 【答案】①② 【分析】由相等向量的定义依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】对于①，当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，它们的起点和终点都不一定相同，①错误； 对于②，根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量与的方向不一定相同，②错误； 对于③，根据正方体的性质，在正方体中，向量与向量的方向相同，模也相等，则，③正确； 对于④，由向量相等关系可知，④正确． 故答案为：①②. 四、解答题 15．（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．    (1)试写出与相等的所有向量． (2)试写出的相反向量． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据相等向量的定义写出即可； （2）根据相反向量的定义写出即可. 【详解】（1）由题意，与相等有； （2）由题意，的相反向量有. 16．（23-24高二·全国·课堂例题）你能说出平面向量与空间向量的区别与联系吗？ 【答案】答案见解析 【详解】（1）区别：平面向量研究的是二维平面的向量，空间向量研究的是三维空间的向量． （2）联系：空间向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量和相等向量的概念都与平面向量相同． 17．（2022高二上·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，分别是的中点，在上且，在上且，判断与是否共线？ 【答案】共线 【分析】根据空间向量的线性运算法则，化简得到，即可得到结论. 【详解】由空间向量的线性运算法则，可得 ，即， 又由向量的共线定理，可得与共线． 18．（23-24高二上·全国·课后作业）在正方体中，G为的重心，证明：三点共线. 【答案】证明见解析 【分析】选择为基向量，用基向量表示和，通过证明与平行可证三点共线. 【详解】设的中点为，连接GB，GD，，，    ， 因为G为的重心，所以， 所以， 所以，即三点共线. 19．（23-24高二上·全国·课后作业）在空间四边形ABCD中，G为的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，化简下列各表达式. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的运算法则运算即可； （2）根据空间向量的运算法则运算即可求解； 【详解】（1）根据空间向量的运算法则，可得 . （2）分别取AB，AC的中点P，Q，连接PH，QH，则四边形APHQ为平行四边形，且有 根据空间向量的运算法则，可得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$