第16讲 双曲线及其标准方程（3个知识点+3个要点+7种题型+2个易错点+过关检测）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019选修一）

第16讲双曲线及其标准方程 （3个知识点+3个要点+7种题型+2个易错点+过关检测） 知识点1：双曲线的定义 一般地，把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 注意点： (1)常数要小于两个定点的距离． (2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支． (3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)． (4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在． (5)当2a＝0时，动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 知识点2：双曲线的标准方程 1.双曲线的两种标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 －＝1_(a>0，b>0) －＝1_(a>0，b>0) 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝c2－a2 注意点： (1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上． (2)a与b没有大小关系． (3)a，b，c的关系满足c2＝a2＋b2. 2．双曲线与椭圆的比较 曲线 椭圆 双曲线 定义 |PF1|＋|PF2|＝2a (|F1F2|＝2c,2a＞2c) ||PF1|－|PF2||＝2a (|F1F2|＝2c,2a＜2c) 标准方程 ＋＝1或＋＝1(a＞b＞0) －＝1或－＝1(a＞0，b＞0) 图形特征 封闭的连续曲线 分两支，不封闭，不连续 根据标准方程确定a，b的方法 以大小分a，b(如＋＝1中，9＞4，则,a2＝9，b2＝4) 以正负分a，b (如－＝1中，a2＝9，b2＝4) a，b，c的 关系 a2＝b2＋c2(a最大) a2＋b2＝c2(c最大) 3．求双曲线标准方程的步骤 (1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式． (2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解． 4．双曲线标准方程的两种求法 (1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程． (2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可． 知识点3：点与双曲线的位置关系 点与双曲线的位置关系,类似于点与椭圆的位置关系也有三种，即点在双曲线外,点在双曲线上,点在双曲线内.一般地,在直角坐标平面上,含有焦点的区域为双曲线的内部,不含有焦点的区域为双曲线的外部,设点,则 要点1：双曲线方程的其他形式 1.双曲线的一般方程 当ABC≠0时,方程Ax²+By²=C可以变形为,由此可以看出方程 Ax²+By²=C表示双曲线的充要条件是ABC≠0,且A,B异号.此时称方程 Ax²+By²=C为双曲线的一般方程。 在求解双曲线的标准方程时,如果我们无法准确判定双曲线的焦点位置,我们可以设双曲线的一般方程为 Ax²+By²=C(AB<0)。 当A>0,B<0时,表示焦点在x轴上的双曲线:当 B>0,A<0 时,表示焦点在y轴上的双曲线。 2.共焦点的双曲线系方程 与双曲线－＝1(a>0,b>0)有公共焦点的双曲线的方程为(a>0,b>0,-a²<λ＜ b²，λ≠0);与双曲线－＝1(a>0,b>0)有公共焦点的双曲线的方程为(a>0,b>0，,-a²<λ＜ b²，λ≠0） 要点2：与双曲线有关的轨迹问题 解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种： (1)列出等量关系，化简得到方程； (2)寻找几何关系，结合双曲线的定义，得出对应的方程． 求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支． 要点3：双曲线的焦点三角形问题 求双曲线中的焦点△PF1F2面积的方法 (1)①根据双曲线的定义求出|PF1－PF2|＝2a； ②利用余弦定理表示出PF1，PF2，F1F2之间满足的关系式； ③通过配方，整体的思想求出PF1·PF2的值； ④利用公式＝×PF1·PF2·sin∠F1PF2求得面积． (2)利用公式＝×F1F2×|yP|求得面积． 题型1：方程表示双曲线的条件 【例题1】（23-24高二上·上海·期末）已知实常数、，是为双曲线方程的______条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）对于方程表示的曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线只能表示圆、椭圆或双曲线 B．若为负角，则曲线为双曲线 C．若为正角，则曲线为椭圆 D．若为椭圆，则其焦点在轴上 【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）根据下列条件判断方程表示什么曲线. (1)； (2). 【变式3】（23-24高二上·上海·期中）试讨论方程所表示的曲线. 题型2：双曲线定义的应用 【例题2】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）双曲线的左、右焦点分别是，点在双曲线上，且，则（    ） A．18 B．2 C．6或14 D．2或18 【变式2】（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）已知双曲线上一点P与它的一个焦点的距离等于5，那么点P与另一个焦点的距离等于 . 【变式3】（21-22高二上·全国·课前预习）已知双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，若，求点的坐标． 题型3：与双曲线有关的轨迹问题 【例题3】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）已知圆，动圆与圆都外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知点，，若动点满足，则动点的轨迹方程为 . 【变式3】（23-24高二上·广东东莞·期中）动点M与定点的距离和它到定直线的距离比是常数，动点M的轨与经过点且倾斜角为的直线交于D、E两点． (1)求动点M的轨迹方程； (2)求线段的长． 题型4：利用待定系数法求双曲线的标准方程 【例题4】（23-24高二上·广东茂名·期末）双曲线经过点，焦点分别为、，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的两个焦点为，，M是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知为双曲线的两个焦点，双曲线上一点满足（为半虚轴长），则双曲线的标准方程为 . 【变式3】（20-21高二·全国·课后作业）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)半焦距为，经过点，且焦点在轴上； (2)两个焦点的坐标分别为，，双曲线上一点到，的距离之差的绝对值等于6； (3)与双曲线有公共焦点，且过点． 题型5：椭圆与双曲线的相关问题 【例题5】（23-24高二上·广东广州·期末）若椭圆（）与双曲线的焦点相同，则的值为（    ） A．25 B．16 C．5 D．4 【变式1】（23-24高二上·江西·阶段练习）已知双曲线的焦点与椭圆：的上、下顶点相同，且经过的焦点，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线：与椭圆：有公共的焦点，，且与在第一象限的交点为M，若的面积为1，则a的值为 ． 【变式3】（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，，求的面积． 题型6：双曲线在实际问题中的应用 【例题6】（23-24高二上·安徽·阶段练习）根据中国地震局发布的最新消息，2023年1月1日至2023年11月10日，全球共发生六级以上地震110次，最大地震是2023年02月06日09时02分37秒在土耳其发生的7.8级地震．地震定位对地震救援具有重要意义，根据双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.已知地震台站A，B在公路l上（l为直线），且A，B相距，地震局以的中点为原点O，直线l为x轴，为单位长度建立如图所示的平面直角坐标系.在一次地震发生后，根据A，B两站收到的信息，并通过计算发现震中P在双曲线的右支上，且，则P到公路l的距离为（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·江西·期中）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为，则该塔筒的高为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22高二上·辽宁营口·期末）若､､是三个雷达观察哨，在的正东，两地相距，在的北偏东30°，两地相距，在某一时刻，观察哨发现某种信号，测得该信号的传播速度为，后､两个观察哨同时发现该信号，在如图所示的平面直角坐标系中，指出发出了这种信号的点的坐标 . 【变式3】（22-23高二上·上海浦东新·期中）某市轨道交通s号线的线路示意图如图所示，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为km，线路AB段上的任意一点到景点N的距离比到景点M的距离都多10km，线路BC段上的任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多10km，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系. (1)求轨道交通s号线的线路示意图所在曲线的方程： (2)规划部门在设计s号线线路的一个站点G时，考虑到景点Q为客流量巨大的热门景点，为了最大程度便于轨道交通s号线的乘客到达景点Q，应该如何设置站点G的位置？ 题型7：与双曲线有关的最值问题 【例题7】（22-23高二上·浙江湖州·期末）双曲线的离心率是2，左右焦点分别为为双曲线左支上一点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．4 【变式1】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）直线过圆的圆心，且与圆相交于两点，为双曲线右支上一个动点，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．0 【变式2】（21-22高二上·四川成都·期中）双曲线上一点P到的距离最小值为 . 【变式3】（23-24高二上·河北保定·期中）已知双曲线C的实轴长为4，且与双曲线有公共的焦点． (1)求双曲线C的方程； (2)已知，P是C上的任意一点，求的最小值． 易错点1：忽视双曲线定义中2a＜||这一条件 【例题1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知点，动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．射线 B．线段 C．双曲线的一支 D．双曲线 【变式1】（多选）（21-22高二上·吉林长春·期末）若，，动点满足，当和时，点轨迹（    ） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．一条直线 【变式2】（22-23高二上·吉林·期末）已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为 . 【变式3】（2023高二·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，，点的轨迹为.求的方程； 易错点2：忽略双曲线方程中含有的字母的正负 【例题2】（23-24高二上·江苏·阶段练习）若双曲线：为等轴双曲线，其焦点在轴上，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式1】（20-21高二·全国·课后作业）椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a等于（    ） A． B． C．1 D．或1 【变式2】（20-21高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）设为常数，若点是双曲线的一个焦点，则 . 【变式3】（20-21高二·全国·课后作业）已知双曲线的一个焦点为，求的值． 一、单选题 1．（23-24高二上·湖北武汉·期中）平面内到两定点、的距离之差等于10的点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．以上选项都不对 2．（24-25高二上·广西梧州·阶段练习）若双曲线的右支上一点到右焦点的距离为9，则到左焦点的距离为（    ） A．3 B．12 C．15 D．3或15 3．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）已知方程 表示双曲线，则m的取值范围为 （     ） A． B．或 C． D． 4．（22-23高二上·贵州六盘水·阶段练习）已知定点，动点满足，则动点的轨迹为（   ） A．双曲线的上支 B．双曲线的下支 C．双曲线的左支 D．轴负半轴上的射线 5．（23-24高二上·全国·课后作业）已知点，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（    ） A．不存在 B．8 C．7 D．6 7．（23-24高二上·全国·单元测试）已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，左焦点为，焦距为4，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·全国·课后作业）已知双曲线的下、上焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二上·河北·阶段练习）已知曲线的方程为，则（    ） A．当时，曲线表示一个圆 B．当时，曲线表示椭圆 C．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 D．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 10．（21-22高二上·河北沧州·期末）已知点为双曲线右支上一点，、分别为圆：、：上的动点，则的值可能为（    ） A．2 B．6 C．9 D．12 11．（23-24高二上·湖北襄阳·阶段练习）过椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为，若直线的斜率之积为（为大于0的常数），则点的轨迹可能是（    ） A．两条直线的一部分 B．圆的一部分 C．椭圆的一部分 D．双曲线的一部分 三、填空题 12．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线右支交于点，若在线段的中垂线上，且，则双曲线的方程为 . 13．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知点，点P是双曲线左支上的动点，点为双曲线右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ． 14．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线右支上一点到直线的距离为3，若点到右焦点的距离为，则点的坐标为 ． 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课堂例题）根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与双曲线有相同的焦点，且经过点； (2)过点，且焦点在坐标轴上． 16．（23-24高二上·上海·课后作业）已知点是双曲线右支上的一点，点、分别是圆和上的点，求的最大值． 17．（24-25高二上·全国·课后作业）已知动圆与直线恒过同一定点，且与圆外切，求动圆圆心的轨迹方程. 18．（21-22高二·全国·课后作业）某工程队要在平面内挖一个半圆形的地基，如图，已知挖出的土只能沿道路AP、BP运到P处，若PA＝100m，PB＝150m，，试说明怎样运土才能最省工？ 19．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）已知：点不在圆的内部，：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，：“曲线表示双曲线”． (1)若和都成立，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲双曲线及其标准方程 （3个知识点+3个要点+7种题型+2个易错点+过关检测） 知识点1：双曲线的定义 一般地，把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 注意点： (1)常数要小于两个定点的距离． (2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支． (3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)． (4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在． (5)当2a＝0时，动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 知识点2：双曲线的标准方程 1.双曲线的两种标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 －＝1_(a>0，b>0) －＝1_(a>0，b>0) 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝c2－a2 注意点： (1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上． (2)a与b没有大小关系． (3)a，b，c的关系满足c2＝a2＋b2. 2．双曲线与椭圆的比较 曲线 椭圆 双曲线 定义 |PF1|＋|PF2|＝2a (|F1F2|＝2c,2a＞2c) ||PF1|－|PF2||＝2a (|F1F2|＝2c,2a＜2c) 标准方程 ＋＝1或＋＝1(a＞b＞0) －＝1或－＝1(a＞0，b＞0) 图形特征 封闭的连续曲线 分两支，不封闭，不连续 根据标准方程确定a，b的方法 以大小分a，b(如＋＝1中，9＞4，则,a2＝9，b2＝4) 以正负分a，b (如－＝1中，a2＝9，b2＝4) a，b，c的 关系 a2＝b2＋c2(a最大) a2＋b2＝c2(c最大) 3．求双曲线标准方程的步骤 (1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式． (2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解． 4．双曲线标准方程的两种求法 (1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程． (2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可． 知识点3：点与双曲线的位置关系 点与双曲线的位置关系,类似于点与椭圆的位置关系也有三种，即点在双曲线外,点在双曲线上,点在双曲线内.一般地,在直角坐标平面上,含有焦点的区域为双曲线的内部,不含有焦点的区域为双曲线的外部,设点,则 要点1：双曲线方程的其他形式 1.双曲线的一般方程 当ABC≠0时,方程Ax²+By²=C可以变形为,由此可以看出方程 Ax²+By²=C表示双曲线的充要条件是ABC≠0,且A,B异号.此时称方程 Ax²+By²=C为双曲线的一般方程。 在求解双曲线的标准方程时,如果我们无法准确判定双曲线的焦点位置,我们可以设双曲线的一般方程为 Ax²+By²=C(AB<0)。 当A>0,B<0时,表示焦点在x轴上的双曲线:当 B>0,A<0 时,表示焦点在y轴上的双曲线。 2.共焦点的双曲线系方程 与双曲线－＝1(a>0,b>0)有公共焦点的双曲线的方程为(a>0,b>0,-a²<λ＜ b²，λ≠0);与双曲线－＝1(a>0,b>0)有公共焦点的双曲线的方程为(a>0,b>0，,-a²<λ＜ b²，λ≠0） 要点2：与双曲线有关的轨迹问题 解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种： (1)列出等量关系，化简得到方程； (2)寻找几何关系，结合双曲线的定义，得出对应的方程． 求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支． 要点3：双曲线的焦点三角形问题 求双曲线中的焦点△PF1F2面积的方法 (1)①根据双曲线的定义求出|PF1－PF2|＝2a； ②利用余弦定理表示出PF1，PF2，F1F2之间满足的关系式； ③通过配方，整体的思想求出PF1·PF2的值； ④利用公式＝×PF1·PF2·sin∠F1PF2求得面积． (2)利用公式＝×F1F2×|yP|求得面积． 题型1：方程表示双曲线的条件 【例题1】（23-24高二上·上海·期末）已知实常数、，是为双曲线方程的______条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【答案】C 【分析】先求出表示双曲线的充要条件，再根据充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】当表示双曲线时，则， 而当时，表示的是双曲线， 所以是为双曲线方程的充要条件. 故选：C. 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）对于方程表示的曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线只能表示圆、椭圆或双曲线 B．若为负角，则曲线为双曲线 C．若为正角，则曲线为椭圆 D．若为椭圆，则其焦点在轴上 【答案】B 【分析】对A，根据的取值，即可判断选项.；对B若为负角，即，双曲线标准方程的形式，即可判断；对C，当时，结合圆的标准方程的形式，即可判断；对D，变形后结合椭圆的标准方程的形式，即可判断选项. 【详解】对A，当，即时，曲线的方程为， 此时曲线为两条平行的直线，故A错误； 对B，若为负角，即，则， 此时曲线为双曲线，故B正确； 对C，若为正角，即，当时，， 则曲线的方程为1，是圆，故C错误； 对D，若为椭圆，则，又可变形为， 则为焦点在轴上的椭圆，故D错误． 故选：B． 【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）根据下列条件判断方程表示什么曲线. (1)； (2). 【答案】(1)椭圆 (2)双曲线 【分析】（1）利用椭圆的标准方程判断即可； （2）利用双曲线的标准方程判定即可. 【详解】（1）当时，且，故方程表示椭圆； （2）当时，，方程，故表示双曲线； 【变式3】（23-24高二上·上海·期中）试讨论方程所表示的曲线. 【答案】答案见解析 【分析】考虑的系数为0，的系数为0，两者系数均不为0时，结合椭圆，圆，双曲线的方程特征得到不等式，求出不同的范围下，方程所表示的曲线. 【详解】当时，变形为，解得， 此时方程所表示的是两条平行直线； 当时，变形为，解得， 此时方程所表示的是两条平行直线； 当时，变形为，此时方程无解， 此时不表示任何曲线 当且时，变形为， 若，解得或， 故当时，方程所表示的曲线是椭圆； 当，即时，方程所表示的曲线是圆； 当，解得或， 故当时，方程所表示的曲线是双曲线； 若，解得，即时，不表示任何曲线， 综上：或，方程所表示的是两条平行直线； 当时，方程所表示的曲线是椭圆； 即时，方程所表示的曲线是圆； 当时，方程所表示的曲线是双曲线； 时，不表示任何曲线. 题型2：双曲线定义的应用 【例题2】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由双曲线的定义即可求解. 【详解】因为为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点， 所以，故， 由于， 所以. 故选：B 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）双曲线的左、右焦点分别是，点在双曲线上，且，则（    ） A．18 B．2 C．6或14 D．2或18 【答案】B 【分析】应用双曲线的定义，结合已知，计算得出且符合到焦点距离范围. 【详解】由题知点在双曲线右支上，根据双曲线的定义得， 因为，所以，即， 又因为，所以满足题意. 故选：B. 【变式2】（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）已知双曲线上一点P与它的一个焦点的距离等于5，那么点P与另一个焦点的距离等于 . 【答案】 【分析】根据双曲线的定义即可求解 【详解】因为双曲线的标准方程为， 所以，，所以，，. 由双曲线的定义可知，令，则. 故答案为： 【变式3】（21-22高二上·全国·课前预习）已知双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，若，求点的坐标． 【答案】点的坐标是，，，． 【分析】不妨设点在第一象限，坐标为，为左焦点，为右焦点，根据双曲线的定义及勾股定理求得，再根据三角形的面积，从而可求得，从而可求得点在第一象限是的坐标，再根据对称性可求得其他三个象限内的坐标. 【详解】解：由双曲线的方程，知， 不妨设点在第一象限，坐标为，为左焦点，为右焦点， 则 由①，得， 所以， 所以， 在中，， 所以，代入双曲线的方程，得， 即点的坐标是， 再根据双曲线的对称性，得点坐标还可以是，，． 题型3：与双曲线有关的轨迹问题 【例题3】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆P的半径为r，外切关系可得，，进而得，从而利用双曲线的定义即可求解. 【详解】由圆M：，得圆心，半径， 由圆N：，得圆心，半径． 设圆P的半径为r，则有，． 两式相减得， 所以圆心P的运动轨迹为以、为焦点的双曲线的左支， 又，所以C的方程为． 故选：B． 【变式1】（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）已知圆，动圆与圆都外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图结合两圆相外切性质可得，后由双曲线定义可得答案. 【详解】由题可得圆圆心，半径为；圆圆心，半径为 由图设动圆P与圆，圆外切切点分别为A，B.则共线，共线. 则，注意到， 则，又，则点P轨迹为以为焦点双曲线的右支. 设双曲线方程为：，由题可得. 故相应轨迹方程为：. 故选：A    【变式2】（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知点，，若动点满足，则动点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设，根据斜率得到，化简即可. 【详解】设，由题意可知，， 整理可得动点的轨迹方程为. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·广东东莞·期中）动点M与定点的距离和它到定直线的距离比是常数，动点M的轨与经过点且倾斜角为的直线交于D、E两点． (1)求动点M的轨迹方程； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，得，整理得M的轨迹方程； （2）直线方程为代入得由弦长公式求. 【详解】（1）设，由已知得， 整理得，即动点M的轨迹方程为； （2）由已知条件得直线方程为， 由与消y得 ，∴直线与双曲线有两个交点， 设，则 所以. 故线段的长. 题型4：利用待定系数法求双曲线的标准方程 【例题4】（23-24高二上·广东茂名·期末）双曲线经过点，焦点分别为、，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由的关系结合已知即可求解. 【详解】由题意知，，所以， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的两个焦点为，，M是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可得进一步求出，由此得到，则该双曲线的方程可求． 【详解】 ， 即， ． 则． ．即． ，． 则该双曲线的方程是：． 故选：A 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知为双曲线的两个焦点，双曲线上一点满足（为半虚轴长），则双曲线的标准方程为 . 【答案】 【分析】由题意可知双曲线焦点在轴上，且，结合可求出，进而得到标准方程. 【详解】依题意， 则由可得， 因为焦点在轴上，因此双曲线的标准方程为. 故答案为： 【变式3】（20-21高二·全国·课后作业）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)半焦距为，经过点，且焦点在轴上； (2)两个焦点的坐标分别为，，双曲线上一点到，的距离之差的绝对值等于6； (3)与双曲线有公共焦点，且过点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）可设双曲线的标准方程为，将点代入，求得，即可得出答案； （2）设标准方程为，根据题意可得，求得，即可得解； （2）方法一：设双曲线的标准方程为，利用待定系数法求得，即可得解； 方法二：设双曲线的标准方程为（，且），将点代入方程，求得，即可得解. 【详解】（1）因为半焦距为，且焦点在轴上， 所以可设双曲线的标准方程为， 因为双曲线经过点，所以， 解得或（舍去）． 于是双曲线的标准方程为； （2）因为双曲线的焦点在轴上， 所以设它的标准方程为， 因为，，所以，． 于是双曲线的标准方程为； （3）方法一：设双曲线的标准方程为， 点在双曲线上，故． 又，所以，， 则双曲线的标准方程为． 方法二：设双曲线的标准方程为（，且）， 将点代入方程，解得或（舍去），则双曲线的标准方程为． 题型5：椭圆与双曲线的相关问题 【例题5】（23-24高二上·广东广州·期末）若椭圆（）与双曲线的焦点相同，则的值为（    ） A．25 B．16 C．5 D．4 【答案】C 【分析】求出双曲线的焦点坐标，再根据题意即可得解. 【详解】双曲线的焦点为， 因为椭圆（）与双曲线的焦点相同， 所以，解得. 故选：C. 【变式1】（23-24高二上·江西·阶段练习）已知双曲线的焦点与椭圆：的上、下顶点相同，且经过的焦点，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设双曲线方程为，由题意算出即可. 【详解】椭圆：，上、下顶点分别为，，上、下焦点分别为，. 因为双曲线的焦点与的上、下顶点相同，且经过的焦点， 设双曲线方程为，则有，，， 所以双曲线的方程为. 故选：C 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线：与椭圆：有公共的焦点，，且与在第一象限的交点为M，若的面积为1，则a的值为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线和椭圆的定义求解、的长，再结合余弦定理求出，进而得到，再根据面积公式求解即可. 【详解】设，分别为左、右焦点，根据椭圆以及双曲线定义可得 所以，， 所以， 由余弦定理可得， 所以， 故， 因此的面积为， 解得． 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件列方程，求出即可得出答案； （2）设，利用双曲线的定义，结合余弦定理，求得，再由求解 【详解】（1）椭圆的焦点为和， 所以双曲线的，所以， 又双曲线过点，所以， 由，解得， 双曲线的标准方程为 （2）设，由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理， 得， 所以， 则的面积， 题型6：双曲线在实际问题中的应用 【例题6】（23-24高二上·安徽·阶段练习）根据中国地震局发布的最新消息，2023年1月1日至2023年11月10日，全球共发生六级以上地震110次，最大地震是2023年02月06日09时02分37秒在土耳其发生的7.8级地震．地震定位对地震救援具有重要意义，根据双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.已知地震台站A，B在公路l上（l为直线），且A，B相距，地震局以的中点为原点O，直线l为x轴，为单位长度建立如图所示的平面直角坐标系.在一次地震发生后，根据A，B两站收到的信息，并通过计算发现震中P在双曲线的右支上，且，则P到公路l的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可求出a的值，即得的值，利用余弦定理即可求出的值，从而求得的面积，进而结合等面积法求得答案. 【详解】设双曲线的焦距为2c， 由题意，得，所以，解得， 所以，由及余弦定理， 得， 即，所以， 的面积， 设P到公路l的距离为h，则，所以， 即P到公路l的距离为， 故选：D. 【变式1】（23-24高二上·江西·期中）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为，则该塔筒的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据模型建立平面直角坐标系，由已知条件先求双曲线的标准方程，再计算高度即可. 【详解】该塔筒的轴截面如图所示，以喉部的中点为原点，建立平面直角坐标系， 设A与分别为上，下底面对应点.设双曲线的方程为， 因为双曲线的离心率为，所以. 又喉部（中间最细处）的直径为，所以，所以双曲线的方程为. 由题意可知，代入双曲线方程，得， 所以该塔筒的高为. 故选:C. 【变式2】（21-22高二上·辽宁营口·期末）若､､是三个雷达观察哨，在的正东，两地相距，在的北偏东30°，两地相距，在某一时刻，观察哨发现某种信号，测得该信号的传播速度为，后､两个观察哨同时发现该信号，在如图所示的平面直角坐标系中，指出发出了这种信号的点的坐标 . 【答案】 【分析】转化条件为点在线段的垂直平分线上，再结合双曲线的定义可得点在以､为焦点的双曲线的左支上，联立方程即可得解. 【详解】由题意，点，，即， 则线段的中点为，直线的斜率， 所以线段的垂直平分线的斜率， 所以线段的垂直平分线的方程为即， 设，由可得点在线段的垂直平分线上， 又，所以点在以､为焦点的双曲线的左支上， 该双曲线的方程为， 所以，解得. 所以点的坐标为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛： 解决本题的关键是对条件的转化，转化条件为点P为线段的垂直平分线与双曲线左支的交点，运算即可得解. 【变式3】（22-23高二上·上海浦东新·期中）某市轨道交通s号线的线路示意图如图所示，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为km，线路AB段上的任意一点到景点N的距离比到景点M的距离都多10km，线路BC段上的任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多10km，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系. (1)求轨道交通s号线的线路示意图所在曲线的方程： (2)规划部门在设计s号线线路的一个站点G时，考虑到景点Q为客流量巨大的热门景点，为了最大程度便于轨道交通s号线的乘客到达景点Q，应该如何设置站点G的位置？ 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用双曲线、圆的定义求解方程作答. （2）设出点G的坐标，利用（1）的结论，两点间距离公式建立函数关系，分段求解作答. 【详解】（1）依题意，点，设曲线上任意一点， 当时，， 因此线路AB段所在曲线是以点M，N为左、右焦点，实轴长为10，虚轴长为10的双曲线的左支在x轴及上方部分， 则线路AB段所在曲线的方程为； 当时，显然点，，因此线路BC段所在曲线是以O为圆心、以OB长为半径的圆， 则线路BC段所在曲线的方程为； 当时，， 因此线路CD段所在曲线是以点Q、P为上、下焦点，实轴长为10，虚轴长为10的双曲线下支在y轴及右侧部分， 则线路CD段所在曲线的方程为， 所以线路示意图所在曲线的方程为. （2）设，而，则， 由（1）知，当时，，， 当且仅当，时取等号，此时点G的坐标为； 当时，，，当且仅当时取等号， 当时，，，当且仅当时取等号， 显然，因此，即当时， 使G到景点Q的距离最近，最大程度便于轨道交通s号线的乘客到达景点Q， 所以站点G应设置在点处. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的动点到定点距离最值问题，可以设出动点的坐标，建立函数关系，求解函数最值作答. 题型7：与双曲线有关的最值问题 【例题7】（22-23高二上·浙江湖州·期末）双曲线的离心率是2，左右焦点分别为为双曲线左支上一点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】结合焦半径公式讨论分式函数的最大值. 【详解】由焦半径公式得，，则当时，. 故选：C. 【变式1】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）直线过圆的圆心，且与圆相交于两点，为双曲线右支上一个动点，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．0 【答案】D 【分析】求出圆的圆心的坐标，结合平面向量的混合运算法则推出再由两点间的距离公式，配方法，即可得解． 【详解】圆，所以圆心，半径为1． 设,，在双曲线右支上一个动点，且， 所以, 对称轴为,开口向上， 因为， 所以当时，取最小值为． 故选：D． 【变式2】（21-22高二上·四川成都·期中）双曲线上一点P到的距离最小值为 . 【答案】2 【分析】设出点P的坐标，利用两点间距离公式结合二次函数求出最小值即可作答. 【详解】设，则，即， 于是得，而，则当时，， 所以双曲线上一点P到的距离最小值为2. 故答案为：2 【变式3】（23-24高二上·河北保定·期中）已知双曲线C的实轴长为4，且与双曲线有公共的焦点． (1)求双曲线C的方程； (2)已知，P是C上的任意一点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的性质求解； （2）利用点在双曲线上以及两点间的距离公式求解. 【详解】（1）双曲线的焦点为， 所以设双曲线C的方程为， 所以，解得， 所以双曲线C的方程为. （2）由可得，或， 设，或，则， 所以， 所以当时，有最小值为. 易错点1：忽视双曲线定义中2a＜||这一条件 【例题1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知点，动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．射线 B．线段 C．双曲线的一支 D．双曲线 【答案】C 【分析】根据题意，计算A，B之间的距离，比较可得，由双曲线的定义分析可得答案. 【详解】根据题意，点，则， 若动点P满足，且， 则P的轨迹是以A，B为焦点双曲线的右支， 故选：C. 【变式1】（多选）（21-22高二上·吉林长春·期末）若，，动点满足，当和时，点轨迹（    ） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．一条直线 【答案】BC 【分析】根据已知条件判断的大小关系，结合双曲线定义判断轨迹的图形. 【详解】当时，，故轨迹为双曲线的右支； 当时，，故轨迹为射线； 故选：BC. 【变式2】（22-23高二上·吉林·期末）已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为 . 【答案】 【分析】由焦点坐标特征设出双曲线方程，根据双曲线定义得到，得到，即可求出双曲线方程. 【详解】由题意得：双曲线的焦点在轴上，设双曲线方程为， 因为，故， 又双曲线的上、下焦点分别为，，故， 故， 故双曲线的标准方程为：， 故答案为： 【变式3】（2023高二·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，，点的轨迹为.求的方程； 【答案】； 【分析】利用双曲线的定义可知轨迹是以点、为左、右焦点双曲线的右支，求出、的值，从而得的值，即可得出轨迹的方程； 【详解】因为，由双曲线的定义可知， 轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支， 设轨迹的方程为，则，可得， ，即，所以， 所以轨迹的方程为. 易错点2：忽略双曲线方程中含有的字母的正负 【例题2】（23-24高二上·江苏·阶段练习）若双曲线：为等轴双曲线，其焦点在轴上，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据题意写出焦点在轴的双曲线的标准方程，再根据该双曲线为等轴双曲线写出满足的条件，解得即可. 【详解】由于双曲线是焦点在轴上的双曲线，所以双曲线的标准方程为， 又因为双曲线为等轴双曲线，所以，解得. 故选：. 【变式1】（20-21高二·全国·课后作业）椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a等于（    ） A． B． C．1 D．或1 【答案】D 【分析】根据椭圆的焦点和双曲线的焦点性质进行求解即可. 【详解】因为双曲线的焦点在横轴上， 所以由题意可得：， 故选：D 【变式2】（20-21高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）设为常数，若点是双曲线的一个焦点，则 . 【答案】 【分析】利用双曲线的标准方程与的关系式即可得解. 【详解】因为是双曲线，所以，则， 又点是双曲线的一个焦点，则， 所以由，得，则. 故答案为：. 【变式3】（20-21高二·全国·课后作业）已知双曲线的一个焦点为，求的值． 【答案】 【分析】先化为双曲线的标准形式，利用，列出关于的方程，求出答案 【详解】将双曲线方程化为标准方程为． 因为一个焦点是，所以焦点在轴上， 所以，，， 所以， 所以． 一、单选题 1．（23-24高二上·湖北武汉·期中）平面内到两定点、的距离之差等于10的点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．以上选项都不对 【答案】D 【分析】根据动点满足的几何性质判断即可. 【详解】因为、，所以， 而平面内到两定点、的距离之差等于的点的轨迹为一条射线. 故选：D 2．（24-25高二上·广西梧州·阶段练习）若双曲线的右支上一点到右焦点的距离为9，则到左焦点的距离为（    ） A．3 B．12 C．15 D．3或15 【答案】C 【分析】利用双曲线方程求得，再利用双曲线的定义即可得解. 【详解】因为双曲线方程为，所以，则， 设双曲线的左､右焦点分别为， 又点在双曲线的右支上，且， 所以，则. 故选：C. 3．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）已知方程 表示双曲线，则m的取值范围为 （     ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的概念，解不等式即可. 【详解】因为方程 表示双曲线，所以， 解得或. 故选：B 4．（22-23高二上·贵州六盘水·阶段练习）已知定点，动点满足，则动点的轨迹为（   ） A．双曲线的上支 B．双曲线的下支 C．双曲线的左支 D．轴负半轴上的射线 【答案】A 【分析】根据题意，得到，结合双曲线的定义，即可得到答案. 【详解】由定点且在y轴上，可得， 因为，即， 根据双曲线的定义得，点的轨迹为双曲线的上支. 故选：A. 5．（23-24高二上·全国·课后作业）已知点，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的定义可知，动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，利用待定系数法求轨迹方程. 【详解】，，又动点满足， 动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 设双曲线方程为， 则有， 动点的轨迹方程为． 故选：A． 6．（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（    ） A．不存在 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义以及三点共线来确定正确答案.. 【详解】依题意，下焦点，设上焦点， 双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为， 所以延长时，与双曲线没有交点，， 设延长，交双曲线上支于， 依题意，是双曲线上支上的动点， 根据双曲线的定义可知， ，当在点时等号成立，则， 所以，所以， 所以，所以的最大值不存在. 故选：A 7．（23-24高二上·全国·单元测试）已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，左焦点为，焦距为4，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的定义和三点共线取得最值的性质，可得最大值． 【详解】由题意可设双曲线的方程为， 则，即，得到，所以， 由双曲线的定义可得， 则， 当三点共线时，取得等号，则的最大值为， 故选：C． 8．（23-24高二上·全国·课后作业）已知双曲线的下、上焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合题意依次求得，从而得到双曲线的标准方程. 【详解】因为双曲线的下、上焦点分别为，， 所以设双曲线的方程为，半焦距为； 又因为是双曲线上一点且， 所以，即，则； 所以双曲线的标准方程为. 故选：C. 二、多选题 9．（23-24高二上·河北·阶段练习）已知曲线的方程为，则（    ） A．当时，曲线表示一个圆 B．当时，曲线表示椭圆 C．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 D．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 【答案】ACD 【分析】根据双曲线、椭圆及圆的方程判断即可. 【详解】当时，曲线是，故A正确； 当时，曲线表示一个圆，故B错误； 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故C正确； 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故D正确. 故选：ACD. 10．（21-22高二上·河北沧州·期末）已知点为双曲线右支上一点，、分别为圆：、：上的动点，则的值可能为（    ） A．2 B．6 C．9 D．12 【答案】BC 【分析】先由已知条件可知双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再利用平面几何知识把转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离，结合双曲线的定义可求出的范围，从而可得答案 【详解】由双曲线的方程可得，焦点为， 圆：的圆心为，半径为2， 圆：的圆心为，半径为1， 所以，， 所以, ， 所以， 故选：BC 11．（23-24高二上·湖北襄阳·阶段练习）过椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为，若直线的斜率之积为（为大于0的常数），则点的轨迹可能是（    ） A．两条直线的一部分 B．圆的一部分 C．椭圆的一部分 D．双曲线的一部分 【答案】AD 【分析】设出切线方程且斜率为，联立椭圆化简使判别式等于零得到关于等式，根据判别式及二次方程和韦达定理可得的范围及，根据的不同取值分别判断关于方程所对应的轨迹即可. 【详解】依题意可知直线和直线的斜率存在， 设过的椭圆的切线方程为， 联立化简可得： ， 取， 即， 且有，且上式两根分别为， 则上式的判别式， 整理得，符合题意，所以， ①若，则， 即点的轨迹是直线（两条）的一部分； ②若，则，即点的轨迹是直线（两条）的一部分； 若且，整理可得， ③当时，12， 轨迹方程可化为，即点的轨迹是圆的一部分； ④当或时，，且， 由于，且，所以点的轨迹是椭圆的一部分； ⑤当时，，表示焦点在轴上的双曲线， 由于，所以点的轨迹是双曲线的一部分. 又因为为大于0的常数，所以点的轨迹可能是两条直线的一部分或双曲线的一部分. 故选：AD. 三、填空题 12．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线右支交于点，若在线段的中垂线上，且，则双曲线的方程为 . 【答案】 【分析】根据已知可得，再结合双曲线定义得出，计算求出，即得双曲线方程. 【详解】由过的直线与双曲线右支交于点，若在线段的中垂线上， 可知，则，即， 又因为，得解得，故双曲线方程为. 故答案为：. 13．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知点，点P是双曲线左支上的动点，点为双曲线右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号，及，当且仅当三点共线时取等号，再结合双曲线的定义可得． 【详解】由已知，是双曲线的左焦点，它也是圆的圆心，， 圆半径为， ，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号， ，当且仅当三点共线时取等号， 所以，又由双曲线的定义，， 所以，即的最小值为， 故答案为：． 14．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线右支上一点到直线的距离为3，若点到右焦点的距离为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】先设点的坐标再根据两点间距离公式求出参数即可. 【详解】由题可设双曲线的方程为，设，又， 则，化简得， 故点在双曲线上，即点的坐标为． 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课堂例题）根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与双曲线有相同的焦点，且经过点； (2)过点，且焦点在坐标轴上． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设双曲线的方程为或，然后根据已知条件来求得正确答案. （2）双曲线的方程为，然后根据已知条件来求得正确答案. 【详解】（1）方法一 根据题意，设所求双曲线的标准方程为， ，即．① 双曲线经过点， ．② 由①②得，， 双曲线的标准方程为． 方法二 设所求双曲线的方程为． 双曲线过点， ， 解得或（舍去）． 双曲线的标准方程为． （2）设双曲线的方程为，． 点，在双曲线上， 解得 双曲线的标准方程为． 16．（23-24高二上·上海·课后作业）已知点是双曲线右支上的一点，点、分别是圆和上的点，求的最大值． 【答案】 【分析】先由已知条件可知双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再利用平面几何知识把转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离，结合双曲线的定义即可求的最大值. 【详解】，，，则， 故双曲线的两个焦点为，， ，也分别是两个圆的圆心，两圆的半径分别为， 所以，， 则 ， 即的最大值为．    17．（24-25高二上·全国·课后作业）已知动圆与直线恒过同一定点，且与圆外切，求动圆圆心的轨迹方程. 【答案】 【分析】由题意易得定点，再根据直线与圆外切，可得，由双曲线定义即可得到双曲线的方程. 【详解】易得定点，圆的标准方程为， 所以圆的圆心为，半径为. 因为圆与圆外切，所以， 所以由双曲线定义知：动圆圆心的轨迹是以为焦点的双曲线的左半支. 因为，所以. 故动圆圆心的轨迹方程为. 18．（21-22高二·全国·课后作业）某工程队要在平面内挖一个半圆形的地基，如图，已知挖出的土只能沿道路AP、BP运到P处，若PA＝100m，PB＝150m，，试说明怎样运土才能最省工？ 【答案】运土时将双曲线弧左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工． 【分析】由题意，做功最少，找到路程相等那些点，可得线段之间的关系，可得这些点的轨迹在双曲线的右支上，可得答案. 【详解】以AB所在直线为x轴，线段AB的中点为原点，建立直角坐标系xOy． 设是沿AP、BP运土同样远的点，则， 所以． 在△PAB中，由余弦定理得， 且．由双曲线定义知M点在以A、B为焦点的双曲线右支上． 设此双曲线方程为（，）．因为，解得 所以点轨迹是在半圆内的一段双曲线弧． 于是运土时将双曲线弧左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工． 19．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）已知：点不在圆的内部，：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，：“曲线表示双曲线”． (1)若和都成立，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）结合点与圆的位置关系、椭圆方程的特点分别解出当、为真时，的取值范围，再求交集即可； （2）当为真时，求得，再根据或，求解即可. 【详解】（1）解：当为真时，则有， 整理得：，解得或； 当为真时，则有，解得或； 又因为和都为真， 所以，解得或， 所以实数的取值范围为； （2）解：当为真时，则有，解得， 又因为是的必要不充分条件， 所以或， 所以或， 解得或， 所以的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$