第08讲 平面向量及其应用（8类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（上海专版）

第08讲 平面向量及其应用（8类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年秋考5、15题 向量平行的坐标表示，平面向量基本定理、空间向量基本定理 2023秋考2题 2023春考2、12题 平面向量的数量积运算 平面向量的坐标运算，平面向量数量积的性质及其运算、空间向量的坐标运算 2022秋考11题 2022春考10题 平面向量数量积的性质及其运算 平面向量数量积的性质及其运算 2021年秋考4题 2021年春考16题 平面向量数量积的性质及其运算 平面向量数量积的性质及其运算 2020年秋考12题 2020年春考9、11题 两个平面向量的和或差的模的最值 平面向量数量积的性质及其运算、向量垂直的充要条件，利用向量坐标解决向量问题的方法 2.备考策略 1.平面向量线性运算的解题策略 (1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义． (2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来进行比较，求参数的值． 2.利用向量共线定理解题的策略 (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据． (2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0. (3)已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)，则A，P，B三点共线的充要条件是m＋n＝1. 3.平面向量共线的坐标表示问题的解题策略 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1. (2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)． 知识讲解 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b)　 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与 a的方向相反； 当λ＝0时，λ a＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μ_a； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.两个向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa． 4．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 5．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝． (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)， ||＝． 6．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0． 7．向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角． (2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°. (3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直． 8．平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则|a||b|·cos_θ叫做a与b的数量积，记作a·b 投影 |a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积 9.向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 10．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充 要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 11.平面向量与解三角形的综合应用 (1)解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决． (2)还应熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、正、余弦定理等知识． <常用结论> 1．五个特殊向量 (1)要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0. (2)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同． (3)任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量． (4)与向量a平行的单位向量有两个，即向量和－. 2．五个常用结论 (1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即＋＋＋…＋＝.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量． (2)若P为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则＝(＋)． (3)若A，B，C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0⇔P为△ABC的重心． (4)在△ABC中，AD，BE，CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如图所示)，易知G为△ABC的重心，则有如下结论： ①＋＋＝0； ②＝(＋)； ③＝(＋)，＝(＋)． (5)若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. 3．基底需要的关注三点 (1)基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底． (2)基底给定，同一向量的分解形式唯一． (3)如果对于一组基底e1，e2，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到 4．共线向量定理应关注的两点 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0. (2)判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后按两向量共线进行判定． 5．两个结论 (1)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为. (2)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为. 6．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线． 7．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. (3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2. 考点一．平面向量的相等与共线 1．（2024•嘉定区校级模拟）已知为不共线的两个单位向量，，为非零实数，设，则“”是“”的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】由向量的夹角公式，可得若，则有或，又为不共线的两个单位向量，故，从而可得结论． 【解答】解：由题意，，， 若，则有， 即， 整理得， 即，即， 则有或， 又为不共线的两个单位向量，故， 故“”是“”的充要条件． 故选：． 【点评】本题考查向量的夹角公式，数量积运算及充要条件的判定，属基础题． 2．（2024•黄浦区校级三模）已知向量，且，则　　． 【分析】根据题意，有，根据向量平行的充要条件，构造方程，解方程即可得到答案． 【解答】解：， 即 故答案为： 【点评】本题考查的知识点是向量平行的坐标运算：，则 3．（2023秋•黄浦区校级期中）已知向量，，若，则的值为 　　． 【分析】根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解． 【解答】解：，，， 由题意可知，不为0， 故，解得，， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题． 4．（2023春•静安区校级期中）在四边形中，，，，其中，不共线，则四边形为　　 A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 【分析】求出，从而四边形为梯形． 【解答】解：在四边形中， ，，，其中，不共线， ． 四边形为梯形． 故选：． 【点评】本题考查四边形形状的判断，考查平面向量加法法则、向量平行等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题． 考点二．平面向量数量积的性质及其运算 5．（2024•杨浦区二模）平面上的向量、满足：，，． 定义该平面上的向量集合．给出如下两个结论： ①对任意，存在该平面的向量，满足 ②对任意，存在该平面向量，满足 则下面判断正确的为　　 A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①正确，②正确 D．①错误，②错误 【分析】首先建立平面直角坐标系，进一步利用向量的数量积运算和点到直线的距离公式求出结果． 【解答】解：不妨设，，， 如图所示： 由于，所以， 化简得：，①， 由于，得到，②， 由①②得：，如图所示：其宽度． 故得到命题①②正确． 故选：． 【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量的数量积运算，点到直线的距离公式，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 6．（2024•浦东新区校级模拟）平面内互不重合的点、、、、、、，若，其中，2，3，4，则的取值范围为 　 　． 【分析】根据三角形重心的性质，推导出，其中为△的重心，可知点在以点为圆心，为半径的圆上，然后根据向量加减法的几何意义与三角形的性质，算出的最大值与最小值，进而可得所求取值范围． 【解答】解：设为△的重心， 则， 因为，所以，即在以点为圆心，为半径的圆上， 不妨设点与坐标原点重合，作出半径分别为，，1，的同心圆，如图所示， 则，当且仅当，，都在线段上，等号成立， 而， 当且仅当，，在线段上，且在线段上，在线段上时，等号成立． 综上所述，的最大值为5，最小值为1，可知，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查三角形重心的性质、向量的加法则、向量的模及其性质，考查了图形的理解能力，属于中档题． 7．（2024•普陀区模拟）若向量在向量上的投影为，且，则，　 　． 【分析】由平面向量的模的运算，结合平面向量数量积及夹角的运算求解． 【解答】解：若向量在向量上的投影为， 则， 即， 又， 则， 即， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查了平面向量的模的运算，重点考查了平面向量数量积及夹角的运算，属中档题． 8．（2024•宝山区二模）空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量、满足：，，且存在实数，使得成立，则由构成的空间几何体的体积是 　 　． 【分析】由不等式有解，结合数量积运算，求得，又且，可得，从而根据锥体体积公式求得结论． 【解答】解：由已知得，所以， 所以存在实数，使得不等式有解， 则有，解得， 又因为且，设，所以，则， 故由构成的空间几何体的体积为． 故答案为：． 【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查不等式能成立问题及锥体体积公式，属中档题． 考点三．平面向量的投影向量 9．（2024•宝山区三模）若向量在向量上的投影向量为，则等于 　　． 【分析】根据已知条件，结合投影向量的定义，即可求解． 【解答】解：向量，向量， 则，， 故向量在向量上的投影向量为：， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查投影向量的定义，属于基础题． 10．（2023•宝山区校级模拟）已知向量，向量在方向上的投影向量坐标为 　 　． 【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解． 【解答】解：向量， 则，， 故向量在方向上的投影向量坐标为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题． 11．（2023秋•闵行区校级期中）若向量，满足，与垂直，则在上的投影向量坐标为 　 　． 【分析】依题意可得，根据数量积的运算律得到，再求出，最后根据计算可得． 【解答】解：因为与垂直且， 所以，即，所以， 又因为， 所以在上的投影向量为． 故答案为：． 【点评】本题考查平面向量的垂直和投影向量的坐标表示，属于基础题． 12．（2023秋•宝山区校级月考）已知向量，，若，则在上的投影向量为 　 　． 【分析】由题意利用两个向量的夹角公式，两个向量坐标形式的运算，计算求得结果． 【解答】解：向量，，若，则， ，，， ， 在上的投影向量为：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查两个向量的夹角公式，两个向量坐标形式的运算，属于基础题． 考点四．平面向量的数量投影 13．（2023春•松江区校级月考）斜率为的直线过点为直线的一个法向量，坐标平面上的点满足条件，则点到直线的距离为 　 　． 【分析】根据条件求向量在法向量上的投影数量的绝对值即可． 【解答】解：，即在上的数量投影的绝对值等于1， 所以点到直线的距离为1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查向量的投影，属于基础题． 14．（2023秋•杨浦区校级月考）已知平面向量，满足，且向量，的夹角为，则在方向上的数量投影为 　　． 【分析】根据已知条件，结合数量投影公式，即可求解． 【解答】解：，且向量，的夹角为， 则， ， 故在方向上的数量投影为：． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查数量投影的公式，是基础题． 15．（2024•闵行区三模）已知，若向量在向量方向上的数量投影为，则实数的值为 　　． 【分析】利用向量投影的计算公式求解． 【解答】解：， ，， 向量在向量方向上的数量投影为， 解得． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了向量的数量积运算，考查了向量投影的概念，属于基础题． 16．（2023•嘉定区模拟）已知，5，、，4，，设点、在平面上的射影分别为、，则向量的坐标为 　 　． 【分析】根据已知条件，先求出，，再结合向量的坐标运算，即可求解． 【解答】解：，5，、，4，，点、在平面上的射影分别为、， 则，5，，，4，， 故向量的坐标为，，． 故答案为：，，． 【点评】本题主要考查向量的坐标运算，属于基础题． 考点五．平面向量的基本定理 17．（2024•松江区二模）已知正三角形的边长为2，点满足，且，，，则的取值范围是 　 　． 【分析】取的中点，由题意得，从而推得，，三点共线，进而得出，即可求得结论． 【解答】解：取的中点，则， 又，则， 又，故，，三点共线， 即点在中线上运动， 在正三角形中，， 又，，则， 故． 故答案为：． 【点评】本题考查平面向量基本定理的应用，属基础题． 18．（2024•黄浦区校级三模）已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图），若在上，且，则的最大值为 　 　． 【分析】以线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设，，，利用向量的坐标运算，结合三角函数的恒等变形与性质求解即可． 【解答】解：如图，以线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系， 设，，， 由题意：，，，， 则， 由，可得，，，， 即，解得， 所以， 因为，，则， 所以当时，取得最大值1， 则的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题考查平面向量的坐标运算及三角恒等变换，属中档题． 19．（2024•嘉定区二模）已知，，且、不共线，则的面积为　　 A． B． C． D． 【分析】由已知先求出到的距离，然后结合三角形面积公式即可求解． 【解答】解：设到的距离为， 因为，，则的一个法向量，， 则，， 故． 故选：． 【点评】本题主要考查了向量的坐标表示的应用，属于中档题． 20．（2024•青羊区校级模拟）如图所示，已知满足，，为所在平面内一点．定义点集，．若存在点，使得对任意，满足恒成立，则的最大值为 　 　． 【分析】延长到满足，取的靠近的三等分点，连接，由向量共线定理得，，三点共线，从而表示的边上的高，利用正弦定理求得的面积的最大值，从而可得结论． 【解答】解：延长到满足，取的靠近的三等分点，连接，如图， ， 所以，，三点共线， 又存在点，使得对任意，满足恒成立， 则的长表示到直线的距离，即的边上的高，设， 由得，，公用，因此， 所以， 中，设， 由正弦定理得，记为角， 所以， 所以 ， 若不是钝角， 则， 又，所以，即， 所以， 设，则，它是减函数， 所以时，， 若是钝角，则 ， 设，则，， 令，则， 令，得， 所以时，，递减，时，递增， 所以时，，，此时． 故答案为：3． 【点评】本题考查了平面向量的应用，考查了正弦定理的应用，考查了函数思想，属于难题． 考点六．平面向量共线（平行）的坐标表示 21．（2024•闵行区校级模拟）设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基，则　　． 【分析】根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解． 【解答】解：由题意可知，， ，， 则，解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题． 22．（2023•普陀区校级模拟）已知，若与互相平行，则实数的值是 　　． 【分析】由题意，利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得值． 【解答】解：，与互相平行， ，． 故答案为：． 【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题． 23．（2023•黄浦区校级三模）已知平面向量，，若，则　　． 【分析】由题意，利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求出的值． 【解答】解：平面向量，，， ，． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题． 24．（2023秋•青浦区校级期中）已知向量，，，，则　　． 【分析】由题意，利用两个向量共线的性质，求得的值． 【解答】解：向量，，，， ，求得， 故答案为：． 【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题． 考点七．数量积表示两个平面向量的夹角 25．（2024•青浦区二模）已知向量，，则　 　． 【分析】根据已知条件，结合平面向量的夹角公式，即可求解． 【解答】解：向量，， 则，，， 故， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查平面向量的夹角公式，属于基础题． 26．（2024•浦东新区校级模拟）已知均为单位向量，且，则与的夹角的余弦值为 　 　． 【分析】根据条件对两边平方，进行数量积的运算即可求出的值，然后即可求出和的值，从而根据向量夹角的余弦公式即可得解． 【解答】解：均为单位向量，， ， ， ，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了单位向量的定义，向量数量积的运算，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式，是基础题． 27．（2023•闵行区校级二模）已知单位向量，若对任意实数，恒成立，则向量的夹角的最小值为 　 　． 【分析】由平面向量的数量积运算，得到恒成立，进而得到，求解即可． 【解答】解：设向量的夹角为，，， 对任意实数，恒成立， 恒成立， 即恒成立， 则△，解得， 故夹角的取值范围是，， 向量的夹角的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，不等式恒成立问题的求法，属于中档题． 28．（2023•杨浦区校级三模）对任意两个非零的平面向量和，定义．若平面向量，满足，与的夹角，且和都在集合中，则　 　． 【分析】根据题中的定义，化简整理得且，其中、都是整数．两式相乘可得，由且与的夹角，讨论可得且，从而得出的值． 【解答】解：由题意，可得 ， 同理可得：，其中、都是整数 将化简的两式相乘，可得． ，且、， 与的夹角，可得， 即，，结合、均为整数，可得且，从而得 故答案为： 【点评】本题给出新定义，求式子的值．着重考查了向量数量积及其运算性质、三角函数的性质和整数解的讨论等知识，属于中档题． 考点八．数量积判断两个平面向量的垂直关系 29．（2024•金山区二模）已知向量，，若，则实数的值为 　　． 【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解． 【解答】解：，，， 则，解得． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题． 30．（2023秋•普陀区期中）若，，且，则　　． 【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解． 【解答】解：，，且， 则，解得． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题． 31．（2023•闵行区校级三模）已知向量，若，则实数　　． 【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解． 【解答】解：，， 则，解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题． 32．（2023春•浦东新区校级月考）已知，，，则　　． 【分析】由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得的值． 【解答】解：，，， ， ， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题． 一．选择题（共1小题） 1．（2024•浦东新区三模）设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 【分析】当两向量不共线时，可作为基底，据此判断即可． 【解答】解：对于，可设，可知且，显然不成立，所以这两个向量可作为基底， 同理可知，，选项中的两个向量都可构成基底； 对于，，所以这两个向量不构成基底． 故选：． 【点评】本题考查平面向量基本定理与向量共线的判断方法，属于基础题． 二．填空题（共15小题） 2．（2024•杨浦区校级三模）已知向量、满足，，，则　　． 【分析】由平面向量的数量积的运算律计算即可． 【解答】解：因为，，， 所以， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，属于基础题． 3．（2024•长宁区校级三模）已知点，将向量绕坐标原点顺时针旋转得到，则　4　． 【分析】由题中条件得到与的夹角与模，再由数量积的定义计算即可． 【解答】解：由题知，与所成角为，且， 所以． 故答案为：4． 【点评】本题考查平面向量的数量积与夹角，属于基础题． 4．（2024•闵行区校级模拟）已知点在以为直径的球面上，若，则　　． 【分析】根据平面向量数量积的定义，求解即可． 【解答】解：因为点在以为直径的球面上，且， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了平面向量数量积的定义与应用问题，是基础题． 5．（2024•浦东新区校级四模）已知平面内，，三点不共线，且点满足，则是的 　垂　心．（填“重”或“垂”或“内”或“外” 【分析】由条件等式移项后，逆用数量积的分配律将其化简成，即得，同理可得另外两个垂直关系，即得点为其垂心． 【解答】解：因为，同理，，故为的垂心． 故答案为：垂． 【点评】本题主要考查逆用数量积的分配律，属于基础题． 6．（2024•黄浦区校级模拟）在平面直角坐标系中，，把向量顺时针旋转定角得到，关于轴的对称点记为，，1，，10，则的坐标为 　　． 【分析】根据题意求出的前几个值，发现以2为周期出现，即可求出． 【解答】解：进行实际操作，则，，，， 注意到，重合，因此所有操作以2为周期，故． 故答案为：． 【点评】本题考查向量的坐标表示，属于基础题． 7．（2024•奉贤区三模）中，，若在上的投影向量为．则　24　． 【分析】根据数量积的几何意义即可求得结论． 【解答】解：如图，过点作，交于点， 由在上的投影向量为， 可得，则， 又，所以， 则． 故答案为：24． 【点评】本题考查平面向量数量积的几何意义，属基础题． 8．（2024•杨浦区校级三模）若平面向量，，的模均在区间，内，则的取值范围是 　，　． 【分析】由，且，即可求出的取值范围． 【解答】解：因为向量，，的模均在区间，内， 所以， 当且仅当，时取“”； 又，当时“”成立； 所以的取值范围是，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长计算问题，是基础题． 9．（2024•黄浦区校级三模）中，，，为上一点，，则　　． 【分析】由数量积的定义计算即可． 【解答】解：作交于，如图， 则，又， 则，因此， 故 ． 故答案为：． 【点评】本题考查平面向量数量积的计算，属基础题． 10．（2024•黄浦区校级模拟）已知非零向量、、满足，，若为在上的投影向量，则向量、夹角的余弦值为 　　． 【分析】根据题意，由平面向量的数量积运算，向量的投影向量的计算公式，结合其夹角公式代入计算，即可得到结果． 【解答】解：由，为在上的投影向量， 可得， 故． 故答案为：． 【点评】本题考查平面向量数量积运算，考查投影向量的概念，属基础题． 11．（2024•宝山区校级四模）如图，矩形中，为中点，与交于点，若将，作为平面向量的一个基，则向量可表示为 　　（用表示）． 【分析】根据平行线的性质证出，由此得到，结合，化简整理可得，从而可得答案． 【解答】解：矩形中，由，得， 所以，即，整理得， 结合，，可得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查平面向量的线性运算法则、平面向量基本定理等知识，属于基础题． 12．（2024•浦东新区校级四模）向量，且，则　　． 【分析】根据题意，用，表示，利用模长公式求出，，再计算，的数量积和夹角余弦值． 【解答】解：因为向量，，且， 所以， 所以， 所以，， 所以，， 所以， 又，， 所以， 所以， 所以，． 故答案为：． 【点评】本题考查向量的数量积，解题中需要一定的计算能力，属于中档题． 13．（2024•普陀区校级三模）设，，，为平面内四点，已知，，与的夹角为，为的中点，，则的最大值为 　　． 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，从而确定出点的轨迹方程，然后求出向量，的坐标，结合三角函数性质求出的最大值． 【解答】解：以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 因为，，与的夹角为， 所以， 由于，故，所以， 因为为的中点，，所以在以为圆心，半径为1的圆上， 设，，，则，， 可得， 当，即时，最大，最大值为，此时，则． 故答案为：． 【点评】本题主要考查平面向量数量积的运算性质、三角恒等变换与三角函数的性质等知识，属于中档题． 14．（2024•松江区校级模拟）如图，在矩形中，，，点在边上运动（包含端点），则的取值范围为 　　． 【分析】建立平面直角坐标系，设，，求出的坐标，由数量积的坐标运算和二次函数的值域求法计算即可． 【解答】解：以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立平面直角坐标系， 则，，，，设，， 所以，， 所以， 当时，有最小值； 当或时，有最大值4， 所以的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，涉及二次函数的值域求法，属于中档题． 15．（2024•嘉定区二模）在平面直角坐标系中，点在圆上运动，定点、满足且，若恒成立，则实数的取值范围为 　，　． 【分析】根据题意可得向量、是夹角等于的单位向量，因此给出点、的坐标，设，将表示为关于的三角函数表达式，利用两角和的正弦公式与正弦函数的图象与性质，算出的最大值，进而求出实数的取值范围． 【解答】解：根据题意，定点、满足且，可知， 设，，，圆上点坐标为，， 则，，可得， 由三角函数的定义与性质，可知：当时，与均为正数， 此时存在最大值， 因为，当时，的最大值为， 所以平分时，有最大值． 因为恒成立， 所以，即实数的取值范围为，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算法则、三角恒等变换及其应用、正弦函数的图象与性质等知识，属于中档题． 16．（2024•浦东新区校级模拟）在所在的平面上有一点，满足，则　　． 【分析】由可得，则． 即可求解． 【解答】解：由可得， 则． ， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查了向量的数量积运算，向量的线性运算，属于中档题． 一．选择题（共1小题） 1．（2024•闵行区校级三模）已知，，，，．若，，则 的最小值为　　 A．0 B． C．1 D． 【分析】根据给定条件，画出图形，确定点的位置，再利用向量模的几何意义，借助对称思想求解作答． 【解答】解：令，，， 依题意，， 而，则． 因为，，， 所以有点在半径为1，所含圆心角为的扇形的弧上，如图， 因为，，所以表示直线上的点与直线上的点间距离， ，分别是点到点，的距离， 因此，表示三点，，两两距离的和， 作点关于直线对称点，关于直线对称点，连交，分别于点，， 连，，，，则有，， 令，则，， 于是得：，而， 由余弦定理可得：， 因此，， 对于直线上任意点、直线上任意点，连接，，，，，， 则，，， 当且仅当点与重合且点与点重合时取“”， 从而得， 所以的最小值为． 故选：． 【点评】本题考查平面向量的数量积的应用，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题． 二．填空题（共6小题） 2．（2024•浦东新区校级三模）已知向量，函数，若函数在内有且只有一个零点，则实数的取值范围为 　　． 【分析】由题意，函数在内有且只有一个零点，等价于对应的方程在给定区间内只有一个根，进而转化为两个函数在给定区间内只有一个交点的问题，数形结合，即可求出参数的值． 【解答】解：由题意，函数 ， 因为函数在内有且只有一个零点， 所以在内有且只有一个实根， 则有，即， 故函数在上的图象与直线只有一个交点， 因为，所以， 结合函数图象可知， 当函数在区间上的图象与直线只有一个交点时， 所以，即的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查三角函数的化简及函数零点与方程的根的关系，属中档题． 3．（2024•金山区二模）已知平面向量、、满足：，，则的最小值为 　　． 【分析】由已知结合向量数量积的性质先表示，然后结合基本不等式即可求解． 【解答】解：设，，， 由题意可知，与的夹角和，的夹角相等，设为， ，， ， ，， ， 当且仅当，即时，取得等号． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了向量数量积的性质的应用，还考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题． 4．（2023•浦东新区校级一模）已知平面向量，，，满足，，，．若，则的取值范围是 　　． 【分析】设，则，得，由和，得，得． 【解答】解：设，则， 因为， 所以， 因为，又因为，所以，，故，得． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查向量模的求解，换元法与模的求解方法结合是解决本题的关键． 5．（2024•浦东新区校级模拟）已知，是平面内两个定点，且，点集．若，，则向量、夹角的余弦值的取值范围是 　　． 【分析】先求出的轨迹方程，再利用向量的夹角公式即可． 【解答】解：以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，，，由得，，，，解得， 因为，所以，代入，得， 设，，，，与的夹角， 则，， ， 当或时，取最小值为， 当时，取最大值为1． 故向量、夹角的余弦值的取值范围是是． 故答案为：． 【点评】本题考查了平面向量的数量积和夹角，属与中档题． 6．（2024•崇明区二模）已知、、是半径为1的圆上的三个不同的点，且，则的最小值是 　　． 【分析】根据正弦定理，分类讨论构建三角函数模型，再通过三角函数的性质，即可求解． 【解答】解：根据正弦定理可， ， ，或， 或， ①当时，， ，， ， 当，即时，取得最小值； ②当时，， ，， ，， 无最值， 综合①②可得的最小值是． 故答案为：． 【点评】本题考查向量数量积的最值的求解，函数思想，正弦定理的应用，属中档题． 7．（2024•黄浦区校级三模）已知平面向量两两都不共线．若，，2，3，4，，则的最大值是 　　． 【分析】的最大值就是在上的投影之和最大值，依题意可得相邻两向量夹角为，以相邻两向量的模为边长的第三边长度为1，结合图象即可得解． 【解答】解：由于，于是的最大值就是在上的投影之和最大值， 由，，2，3，4，知，相邻两向量夹角为，以相邻两向量的模为边长的第三边长度为1， 取，作出图象如下图所示， 则，由图可知，当时，所有向量在上的投影之和最大， ． 故答案为：． 【点评】本题考查平面向量的综合运用，考查转化思想及数形结合思想，属于难题． 一．选择题（共2小题） 1．（2024•上海）定义一个集合，集合元素是空间内的点集，任取，，，存在不全为0的实数，，，使得．已知，0，，则，0，的充分条件是　　 A．，0， B．，0， C．，1， D．，0， 【分析】利用空间向量的基本定理，结合充要条件，判断选项即可． 【解答】解：不全为0的实数，，，使得． 所以3个向量无法构成三维空间坐标系的一组基， 又因为，0，，所以对于三者不能构成一组基， 故不能推出，0，，故错误； 对于，，0，，，0，，且，0，，，0，共线， 所以，0，可以属于，此时三者不共面，故错误； 对于，显然三者可以构成一组基，与条件不符合，故可以推出，0，，故正确； 对于，三者无法构成一组基，故不能推出，0，，故错误． 故选：． 【点评】本题考查空间向量的基本定理的应用，充要条件的判断，是基础题． 2．（2021•上海）在中，为中点，为中点，则以下结论：①存在，使得；②存在，使得；它们的成立情况是　　 A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【分析】设，，，，，由向量数量的坐标运算即可判断①；为中点，可得，由为中点，可得与的交点即为重心，从而可判断② 【解答】解：不妨设，，，，， ①，， 若，则，即， 满足条件的存在，例如，满足上式，所以①成立； ②为中点，，与的交点即为重心， 因为为的三等分点，为中点， 所以与不共线，即②不成立． 故选：． 【点评】本题主要考查平面向量数量积的运算，共线向量的判断，属于中档题． 二．填空题（共10小题） 3．（2023•上海）已知向量，，则　　． 【分析】根据平面向量的坐标运算法则，计算即可． 【解答】解：因为向量，， 所以，，． 故答案为：． 【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题． 4．（2021•上海）如图正方形的边长为3，求　9　． 【分析】根据，直接求解即可． 【解答】解：由数量积的定义，可得， 因为，所以． 故答案为：9． 【点评】本题主要考查平面向量数量积的定义与计算，属于基础题． 5．（2024•上海）已知，，，则的值为 　15　． 【分析】根据向量平行的坐标表示，列方程求解即可． 【解答】解：由，，， 可得，解得． 故答案为：15． 【点评】本题考查向量平行的坐标表示，属基础题． 6．（2023•上海）已知向量，，则　4　． 【分析】直接利用平面向量的坐标运算法则求解． 【解答】解：向量，， ． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了平面向量的坐标运算，属于基础题． 7．（2020•上海）三角形中，是中点，，，，则　　． 【分析】根据余弦定理即可求出，并得出，然后进行数量积的运算即可． 【解答】解：在中，，，， 由余弦定理得，， ，且是的中点， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了余弦定理，向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题． 8．（2022•上海）若平面向量，且满足，，，则　　． 【分析】利用平面向量的数量积进行分析，即可得出结果． 【解答】解：由题意，有，则，设， 则得，， 由同角三角函数的基本关系得：， 则， ， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于中档题． 9．（2022•上海）在中，，，点为边的中点，点在边上，则的最小值为 　　． 【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求出，再利用二次函数求最值即可． 【解答】解：建立平面直角坐标系如下， 则，，， 直线的方程为，即， 点在直线上，设， ，， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了数量积的坐标运算，考查了二次函数求最值，属于中档题． 10．（2020•上海）已知，，，，，是平面内两两互不相等的向量，满足，且，（其中，2，，2，，，则的最大值是　6　． 【分析】设，，结合向量的模等于1和2画出图形，由圆的交点个数即可求得的最大值． 【解答】解：如图，设，， 由，且，， 分别以，为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个． 故满足条件的的最大值为6． 故答案为：6． 【点评】本题考查两向量的线性运算，考查向量模的求法，正确理解题意是关键，是中档题． 11．（2020•上海）已知、、、、五个点，满足，2，，，2，，则的最小值为　　． 【分析】可设，从而据题意可得出，，并设，根据是求的最小值，从而可得出，从而可求出，从而根据基本不等式即可求出的最小值． 【解答】解：设，则，， 设，如图， 求的最小值，则： ，，， ，当且仅当，即时取等号， 的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，利用向量坐标解决向量问题的方法，基本不等式求最值的方法，考查了计算能力，属于中档题． 12．（2023•上海）已知、、为空间中三组单位向量，且、，与夹角为，点为空间任意一点，且，满足，则最大值为 　　． 【分析】将问题坐标化，表示出的坐标，再设，代入条件，结合不等式的性质求解． 【解答】解：设，，， ，不妨设，，，则， 因为， 所以，可得，， 所以，解得， 故． 故答案为：． 【点评】本题考查空间向量的坐标运算以及不等式的性质，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 平面向量及其应用（8类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年秋考5、15题 向量平行的坐标表示，平面向量基本定理、空间向量基本定理 2023秋考2题 2023春考2、12题 平面向量的数量积运算 平面向量的坐标运算，平面向量数量积的性质及其运算、空间向量的坐标运算 2022秋考11题 2022春考10题 平面向量数量积的性质及其运算 平面向量数量积的性质及其运算 2021年秋考4题 2021年春考16题 平面向量数量积的性质及其运算 平面向量数量积的性质及其运算 2020年秋考12题 2020年春考9、11题 两个平面向量的和或差的模的最值 平面向量数量积的性质及其运算、向量垂直的充要条件，利用向量坐标解决向量问题的方法 2.备考策略 1.平面向量线性运算的解题策略 (1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义． (2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来进行比较，求参数的值． 2.利用向量共线定理解题的策略 (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据． (2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0. (3)已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)，则A，P，B三点共线的充要条件是m＋n＝1. 3.平面向量共线的坐标表示问题的解题策略 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1. (2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)． 知识讲解 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b)　 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与 a的方向相反； 当λ＝0时，λ a＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μ_a； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.两个向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa． 4．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 5．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝． (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)， ||＝． 6．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0． 7．向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角． (2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°. (3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直． 8．平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则|a||b|·cos_θ叫做a与b的数量积，记作a·b 投影 |a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积 9.向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 10．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充 要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 11.平面向量与解三角形的综合应用 (1)解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决． (2)还应熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、正、余弦定理等知识． <常用结论> 1．五个特殊向量 (1)要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0. (2)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同． (3)任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量． (4)与向量a平行的单位向量有两个，即向量和－. 2．五个常用结论 (1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即＋＋＋…＋＝.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量． (2)若P为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则＝(＋)． (3)若A，B，C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0⇔P为△ABC的重心． (4)在△ABC中，AD，BE，CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如图所示)，易知G为△ABC的重心，则有如下结论： ①＋＋＝0； ②＝(＋)； ③＝(＋)，＝(＋)． (5)若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. 3．基底需要的关注三点 (1)基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底． (2)基底给定，同一向量的分解形式唯一． (3)如果对于一组基底e1，e2，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到 4．共线向量定理应关注的两点 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0. (2)判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后按两向量共线进行判定． 5．两个结论 (1)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为. (2)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为. 6．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线． 7．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. (3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2. 考点一．平面向量的相等与共线 1．（2024•嘉定区校级模拟）已知为不共线的两个单位向量，，为非零实数，设，则“”是“”的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024•黄浦区校级三模）已知向量，且，则　　． 3．（2023秋•黄浦区校级期中）已知向量，，若，则的值为 　　． 4．（2023春•静安区校级期中）在四边形中，，，，其中，不共线，则四边形为　　 A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 考点二．平面向量数量积的性质及其运算 5．（2024•杨浦区二模）平面上的向量、满足：，，． 定义该平面上的向量集合．给出如下两个结论： ①对任意，存在该平面的向量，满足 ②对任意，存在该平面向量，满足 则下面判断正确的为　　 A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①正确，②正确 D．①错误，②错误 6．（2024•浦东新区校级模拟）平面内互不重合的点、、、、、、，若，其中，2，3，4，则的取值范围为 　 　． 7．（2024•普陀区模拟）若向量在向量上的投影为，且，则，　 　． 8．（2024•宝山区二模）空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量、满足：，，且存在实数，使得成立，则由构成的空间几何体的体积是 　 　． 考点三．平面向量的投影向量 9．（2024•宝山区三模）若向量在向量上的投影向量为，则等于 　　． 10．（2023•宝山区校级模拟）已知向量，向量在方向上的投影向量坐标为 　 　． 11．（2023秋•闵行区校级期中）若向量，满足，与垂直，则在上的投影向量坐标为 　 　． 12．（2023秋•宝山区校级月考）已知向量，，若，则在上的投影向量为 　 　． 考点四．平面向量的数量投影 13．（2023春•松江区校级月考）斜率为的直线过点为直线的一个法向量，坐标平面上的点满足条件，则点到直线的距离为 　 　． 14．（2023秋•杨浦区校级月考）已知平面向量，满足，且向量，的夹角为，则在方向上的数量投影为 　　． 15．（2024•闵行区三模）已知，若向量在向量方向上的数量投影为，则实数的值为 　　． 16．（2023•嘉定区模拟）已知，5，、，4，，设点、在平面上的射影分别为、，则向量的坐标为 　 　． 考点五．平面向量的基本定理 17．（2024•松江区二模）已知正三角形的边长为2，点满足，且，，，则的取值范围是 　 　． 18．（2024•黄浦区校级三模）已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图），若在上，且，则的最大值为 　 　． 19．（2024•嘉定区二模）已知，，且、不共线，则的面积为　　 A． B． C． D． 20．（2024•青羊区校级模拟）如图所示，已知满足，，为所在平面内一点．定义点集，．若存在点，使得对任意，满足恒成立，则的最大值为 　 　． 考点六．平面向量共线（平行）的坐标表示 21．（2024•闵行区校级模拟）设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基，则　　． 22．（2023•普陀区校级模拟）已知，若与互相平行，则实数的值是 　　． 23．（2023•黄浦区校级三模）已知平面向量，，若，则　　． 24．（2023秋•青浦区校级期中）已知向量，，，，则　　． 考点七．数量积表示两个平面向量的夹角 25．（2024•青浦区二模）已知向量，，则　 　． 26．（2024•浦东新区校级模拟）已知均为单位向量，且，则与的夹角的余弦值为 　 　． 27．（2023•闵行区校级二模）已知单位向量，若对任意实数，恒成立，则向量的夹角的最小值为 　 　． 28．（2023•杨浦区校级三模）对任意两个非零的平面向量和，定义．若平面向量，满足，与的夹角，且和都在集合中，则　 　． 考点八．数量积判断两个平面向量的垂直关系 29．（2024•金山区二模）已知向量，，若，则实数的值为 　　． 30．（2023秋•普陀区期中）若，，且，则　　． 31．（2023•闵行区校级三模）已知向量，若，则实数　　． 32．（2023春•浦东新区校级月考）已知，，，则　　． 一．选择题（共1小题） 1．（2024•浦东新区三模）设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 二．填空题（共15小题） 2．（2024•杨浦区校级三模）已知向量、满足，，，则　　． 3．（2024•长宁区校级三模）已知点，将向量绕坐标原点顺时针旋转得到，则　　． 4．（2024•闵行区校级模拟）已知点在以为直径的球面上，若，则　　． 5．（2024•浦东新区校级四模）已知平面内，，三点不共线，且点满足，则是的 　　心．（填“重”或“垂”或“内”或“外” 6．（2024•黄浦区校级模拟）在平面直角坐标系中，，把向量顺时针旋转定角得到，关于轴的对称点记为，，1，，10，则的坐标为 　　． 7．（2024•奉贤区三模）中，，若在上的投影向量为．则　　． 8．（2024•杨浦区校级三模）若平面向量，，的模均在区间，内，则的取值范围是 　　． 9．（2024•黄浦区校级三模）中，，，为上一点，，则　　． 10．（2024•黄浦区校级模拟）已知非零向量、、满足，，若为在上的投影向量，则向量、夹角的余弦值为 　　． 11．（2024•宝山区校级四模）如图，矩形中，为中点，与交于点，若将，作为平面向量的一个基，则向量可表示为 　　（用表示）． 12．（2024•浦东新区校级四模）向量，且，则　　． 13．（2024•普陀区校级三模）设，，，为平面内四点，已知，，与的夹角为，为的中点，，则的最大值为 　　． 14．（2024•松江区校级模拟）如图，在矩形中，，，点在边上运动（包含端点），则的取值范围为 　　． 15．（2024•嘉定区二模）在平面直角坐标系中，点在圆上运动，定点、满足且，若恒成立，则实数的取值范围为 　　． 16．（2024•浦东新区校级模拟）在所在的平面上有一点，满足，则　　． 一．选择题（共1小题） 1．（2024•闵行区校级三模）已知，，，，．若，，则 的最小值为　　 A．0 B． C．1 D． 二．填空题（共6小题） 2．（2024•浦东新区校级三模）已知向量，函数，若函数在内有且只有一个零点，则实数的取值范围为 　　． 3．（2024•金山区二模）已知平面向量、、满足：，，则的最小值为 　　． 4．（2023•浦东新区校级一模）已知平面向量，，，满足，，，．若，则的取值范围是 　　． 5．（2024•浦东新区校级模拟）已知，是平面内两个定点，且，点集．若，，则向量、夹角的余弦值的取值范围是 　　． 6．（2024•崇明区二模）已知、、是半径为1的圆上的三个不同的点，且，则的最小值是 　　． 7．（2024•黄浦区校级三模）已知平面向量两两都不共线．若，，2，3，4，，则的最大值是 　　． 一．选择题（共2小题） 1．（2024•上海）定义一个集合，集合元素是空间内的点集，任取，，，存在不全为0的实数，，，使得．已知，0，，则，0，的充分条件是　　 A．，0， B．，0， C．，1， D．，0， 2．（2021•上海）在中，为中点，为中点，则以下结论：①存在，使得；②存在，使得；它们的成立情况是　　 A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 二．填空题（共10小题） 3．（2023•上海）已知向量，，则　　． 4．（2021•上海）如图正方形的边长为3，求　　． 5．（2024•上海）已知，，，则的值为 　　． 6．（2023•上海）已知向量，，则　　． 7．（2020•上海）三角形中，是中点，，，，则　　． 8．（2022•上海）若平面向量，且满足，，，则　　． 9．（2022•上海）在中，，，点为边的中点，点在边上，则的最小值为 　　． 10．（2020•上海）已知，，，，，是平面内两两互不相等的向量，满足，且，（其中，2，，2，，，则的最大值是　　． 11．（2020•上海）已知、、、、五个点，满足，2，，，2，，则的最小值为　　． 12．（2023•上海）已知、、为空间中三组单位向量，且、，与夹角为，点为空间任意一点，且，满足，则最大值为 　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$