精品解析：湖南省衡阳市蒸湘区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

湖南省衡阳市蒸湘区2023-2024学年 八年级下学期期末数学试题 考生注意：本试卷共6页，3大题，满分120分，考试时量为120分钟 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 我们八年级下册的数学课本厚度约为0.0085米，用科学记数法表示为（　　） A 8.5×10﹣4米 B. 0.85×10﹣3米 C. 8.5×10﹣3米 D. 8.5×103米 2. 约分的结果为（ ） A. B. C. D. 3. 目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水．据测试：拧不紧水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，请写出y与x之间的函数关系式是（　　） A. y=0.05x B. y=5x C. y=100x D. y=0.05x+100 4. 数学老师计算同学们的一学期的平均成绩时，将平时、期中和期末的成绩按3：3：4计算，若小红平时、期中和期末的成绩分别是90分、80分、100分，则小红一学期的数学平均成绩是（　　） A. 90分 B. 91分 C. 92分 D. 93分 5. 如图，在中，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 随的增大而减小 D. 当时， 7. 下列说法中不正确的是（ ） A. 四边相等的四边形是菱形 B. 对角线垂直的平行四边形是菱形 C. 菱形的对角线互相垂直且相等 D. 菱形的邻边相等 8. 下列条件可以利用定义说明平行四边形是正方形的是（ ） A. B. C. D. 以上均错 9. 菱形的面积为2，其对角线分别为x、y，则y与x的图象大致（）． A. B. C. D. 10. 阅读材料：物理学中“力的合成”遵循平行四边形法则，即和的合力是以这两个力为邻边构成的平行四边形的对角线所表示的力，如图． 解决问题：设两个共点的合力为，现保持两力的夹角不变，使得其中一个力增大，则（ ） A. 合力一定增大 B. 合力的大小可能不变 C. 合力可能增大，也可能减小 D. 合力一定减小 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11 计算：_____． 12. 一组数据23，27，18，21，12的中位数是____． 13. 已知函数，当_________时，函数值为0． 14. 已知点，关于轴对称，则_____________ 15. 已知菱形的边长为5，一个内角为，则菱形较短的对角线长是_______． 16. 下列给出的条件中，不能判定四边形是平行四边形的是________（填序号）． ①，；②，；③，；④，． 17. 如图，矩形的对角线、相交于点，过点作交于，若，的面积为5，则______. 18. 正比例函数与反比例函数图象相交于A，C两点，轴于B，轴于D，则四边形的面积为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19 计算： （1）； （2）． 20. 如图，在中，． （1）求证：四边形是矩形； （2）求的长． 21. 如图，已知直线y1=﹣x+1与x轴交于点A，与直线y2=﹣x交于点B． （1）求△AOB的面积； （2）求y1＞y2时x的取值范围． 22. 某社区准备在甲乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）． 甲、乙两人射箭成绩统计表 甲、乙两人射箭成绩折线图 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲成绩 9 4 7 4 6 乙成绩 7 5 7 a 7 小宇的作业： 解：， ． （1）________，________； （2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线． （3）①观察图，可看出________的成绩比较稳定（填“甲”或“乙”），参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差，并验证你的判断． ②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中． 23. 李明到离家2.1千米的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具还放在家中，此时距联欢会开始还有42分钟，于是他立即匀速步行回家，在家拿道具用了1分钟，然后立即匀速骑自行车返回学校．已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的速度是步行速度的3倍． (1)李明步行的速度(单位：米/分)是多少？ (2)李明能否在联欢会开始前赶到学校？ 24. 如图，在中，为边上的一动点（点不与两点重合），交于点，交于点． （1）试探索满足什么条件时，四边形为菱形，并说明理由． （2）在（1）的条件下，满足什么条件时，四边形为正方形？为什么？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边，顶点坐标为，点坐标为. （1）点的坐标是___________，点的坐标是___________（用表示）； （2）若双曲线过平行四边形的顶点和，求该双曲线的表达式； （3）若平行四边形与双曲线总有公共点，求的取值范围. 26. 定义：我们已知点其中为常数，，无论实数取何值时，点都在直线上，我们就称直线为点的“磐石线”．例如，点，无论实数取何值时，点都在直线上，即当时，，则直线是点的“磐石线”． （1）已知直线，它是_________的“磐石线”（填序号）； ①点 ②点 ③点 （2）若点，求点的“磐石线”解析式； （3）若点，为任意实数，当变化时，点在它的“磐石线”上运动，若点的“磐石线”与两条坐标轴围成了等腰直角三角形，求此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖南省衡阳市蒸湘区2023-2024学年 八年级下学期期末数学试题 考生注意：本试卷共6页，3大题，满分120分，考试时量为120分钟 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 我们八年级下册的数学课本厚度约为0.0085米，用科学记数法表示为（　　） A. 8.5×10﹣4米 B. 0.85×10﹣3米 C. 8.5×10﹣3米 D. 8.5×103米 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数． 【详解】0.0085的小数点向右移动3位得到8.5， 所以0.0085米用科学记数法表示为8.5×10-3米， 故选C． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2. 约分的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了约分，直接把分子分母同时除以即可得到答案． 【详解】解：， 故选：D． 3. 目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，请写出y与x之间的函数关系式是（　　） A. y=0.05x B. y=5x C. y=100x D. y=0.05x+100 【答案】B 【解析】 【分析】每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升，则一分钟滴水100×0.05毫升，则x分钟可滴100×0.05x毫升，据此即可求解． 【详解】解：y=100×0.05x，即y=5x． 故选：B． 4. 数学老师计算同学们的一学期的平均成绩时，将平时、期中和期末的成绩按3：3：4计算，若小红平时、期中和期末的成绩分别是90分、80分、100分，则小红一学期的数学平均成绩是（　　） A. 90分 B. 91分 C. 92分 D. 93分 【答案】B 【解析】 【分析】按3：3：4的比例算出本学期数学学期平均成绩即可． 【详解】小红一学期的数学平均成绩是 =91（分）， 故选B． 【点睛】考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 5. 如图，在中，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的对边平行和平行线的性质即可一一判断． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，∠BAD=∠BCD，（平行四边形的对边相等，对角相等）故B、C正确． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥BC， ∠1=∠2，故A正确， 故只有∠1=∠3错误， 故选：D． 【点睛】此题考查平行四边形性质，解题关键在于掌握平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对边平行． 6. 一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 随的增大而减小 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的图象与性质判断即可． 【详解】由图象知，k﹥0，且y随x的增大而增大，故A、C选项错误； 图象与y轴负半轴的交点坐标为（0，-1），所以b=﹣1，B选项正确； 当x﹥2时，图象位于x轴的上方，则有y﹥0即﹥0，D选项错误， 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，利用数形结合法熟练掌握一次函数的图象与性质是解答本题的关键． 7. 下列说法中不正确的是（ ） A. 四边相等的四边形是菱形 B. 对角线垂直的平行四边形是菱形 C. 菱形的对角线互相垂直且相等 D. 菱形的邻边相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的判定与性质即可得出结论. 【详解】解：A．四边相等的四边形是菱形；正确； B．对角线垂直的平行四边形是菱形；正确； C．菱形的对角线互相垂直且相等；不正确； D．菱形的邻边相等；正确； 故选C． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质以及平行四边形的性质；熟记菱形的性质和判定方法是解题的关键． 8. 下列条件可以利用定义说明平行四边形是正方形的是（ ） A. B. C. D. 以上均错 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得该平行四边形，再添加条件：一组邻边相等并且有一个角是直角，即可判定为正方形． 【详解】正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形． 由此可知选B． 【点睛】此题考查正方形的判定，解题关键在于掌握判定定理. 9. 菱形的面积为2，其对角线分别为x、y，则y与x的图象大致（）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据菱形的面积公式，得出x、y的函数关系，再根据x的取值范围选出答案． 【详解】∵菱形的面积S= ∴，即y= 其中，x＞0 故选：C 【点睛】本题考查菱形面积公式的应用，注意在求解出x、y的关系后，还需要判断x的取值范围． 10. 阅读材料：物理学中“力的合成”遵循平行四边形法则，即和的合力是以这两个力为邻边构成的平行四边形的对角线所表示的力，如图． 解决问题：设两个共点的合力为，现保持两力的夹角不变，使得其中一个力增大，则（ ） A. 合力一定增大 B. 合力的大小可能不变 C. 合力可能增大，也可能减小 D. 合力一定减小 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，理解题意是解题的关键． 详解】解：如下图： 已知两边长度和夹角的度数可以确定一个平行四边形，即其对角线也是确定的，而两边的夹角不变，某一边长增大时，平行四边形的对角线也在增大．如图所示，两力的夹角不变，使得其中一个力不变，增大时，合力F也在增大，故A正确，B，C，D错误， 故选∶A． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 计算：_____． 【答案】0 【解析】 【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．首先计算零指数幂、负整数指数幂，然后合并即可． 【详解】解： ． 故答案为：0． 12. 一组数据23，27，18，21，12的中位数是____． 【答案】21 【解析】 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数． 【详解】解：从小到大排列此数据为：12，18，21，23，27，处在最中间的数为21， 故中位数是21． 故答案为：21． 【点睛】本题考查了中位数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）． 13. 已知函数，当_________时，函数值为0． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】本题主要考查了求自变量的值，直接把代入中求出x的值即可． 【详解】解：当时，， 故答案为：． 14. 已知点，关于轴对称，则_____________ 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：点，关于轴对称， ， ． 故答案为：6． 15. 已知菱形边长为5，一个内角为，则菱形较短的对角线长是_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，根据菱形的性质和已知条件证明为等边三角形，则． 【详解】解：如图，在菱形中，，为较短的对角线， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴． 故答案为：5． 16. 下列给出的条件中，不能判定四边形是平行四边形的是________（填序号）． ①，；②，；③，；④，． 【答案】③ 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出答案． 【详解】解：①∵，，∴四边形是平行四边形，不符合题意； ②∵，，∴四边形是平行四边形，不符合题意； ③，不能判定四边形是平行四边形，符合题意； ④∵，，∴四边形是平行四边形，不符合题意； 故答案为：③． 17. 如图，矩形的对角线、相交于点，过点作交于，若，的面积为5，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】首先连接EC，由题意可得OE为对角线AC的垂直平分线，可得CE=AE，S△AOE=S△COE=5，继而可得AE•BC=10，则可求得AE的长，即EC的长，然后由勾股定理求得答案． 【详解】解：连接EC． 由题意可得，OE为对角线AC的垂直平分线， ∴CE=AE，S△AOE=S△COE=5， ∴S△AEC=2S△AOE=10． ∴AE•BC=10， 又∵BC=4， ∴AE=5， ∴EC=5． 在Rt△BCE中，由勾股定理得：=3． 故答案为3． 【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理以及三角形的面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 18. 正比例函数与反比例函数的图象相交于A，C两点，轴于B，轴于D，则四边形的面积为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的判定，反比例函数的性质，掌握k的几何意义是解本题的关键；由反比例函数的性质先判断四边形是平行四边形，可得，再利用k的几何意义可得答案． 【详解】解：如图， ∵轴于B，轴于D， 由反比例函数的对称性可得：，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：2． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了同分母分母减法计算，含乘方的分式除法计算： （1）根据同分母分母减法计算法则求解即可； （2）先计算乘方，再计算分式除法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，在中，． （1）求证：四边形是矩形； （2）求的长． 【答案】（1）见解析； （2）10． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理的逆定理： （1）利用勾股定理的逆定理证明即可证明结论； （2）根据矩形对角线相等即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴． 21. 如图，已知直线y1=﹣x+1与x轴交于点A，与直线y2=﹣x交于点B． （1）求△AOB的面积； （2）求y1＞y2时x的取值范围． 【答案】（1）1.5；（2）x＞﹣1． 【解析】 【分析】（1）由函数的解析式可求出点A和点B的坐标，进而可求出△AOB的面积； （2）结合函数图象即可求出y1＞y2时x的取值范围． 【详解】解：（1）由y1=﹣x+1 可知当y=0时，x=2 ∴点A的坐标是（2，0） ∴AO=2 ∵y1=﹣x+1与x与直线y2=﹣x交于点B ∴B点的坐标是（﹣1，1.5） ∴△AOB的面积=×2×1.5=1.5； （2）由（1）可知交点B的坐标是（﹣1，1.5） 由函数图象可知y1＞y2时x＞﹣1． 考点：一次函数与一元一次不等式． 22. 某社区准备在甲乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）． 甲、乙两人射箭成绩统计表 甲、乙两人射箭成绩折线图 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲成绩 9 4 7 4 6 乙成绩 7 5 7 a 7 小宇的作业： 解：， ． （1）________，________； （2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线． （3）①观察图，可看出________的成绩比较稳定（填“甲”或“乙”），参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差，并验证你的判断． ②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中． 【答案】（1）4，6 （2）见解析 （3）①乙，，验证见解析；②乙被选中，分析见解析 【解析】 【分析】（1）根据甲的平均数计算公式求出射箭5次的总环数，进而求出a的值，再根据平均数的定义求出乙的平均数即可； （2）根据（1）所求结合表格中的数据补全统计图即可； （3）①根据折线图可知乙的波动小，乙更稳定，然后根据方差计算公式求出乙的方差验证即可；②平均数相同，乙的方差小，则乙被选择． 【小问1详解】 解：环， ∴甲、乙两人射箭5次的总环数都为30环， ∴， ∴ 故答案为：4，6； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问3详解】 解：①观察折线统计图可知，甲的成绩波动比乙的成绩波动大，故乙的成绩比较稳定； ， ∴， ∴乙的成绩比较稳定； ②从平均数来看，两人的平均数相同，从方差来看，乙的方差小于甲的方差，即乙的成绩比甲稳定，因此应选择乙，即乙被选中． 【点睛】本题主要考查了折线统计图，平均数和方差，灵活运用所学知识是解题的关键． 23. 李明到离家2.1千米的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具还放在家中，此时距联欢会开始还有42分钟，于是他立即匀速步行回家，在家拿道具用了1分钟，然后立即匀速骑自行车返回学校．已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的速度是步行速度的3倍． (1)李明步行的速度(单位：米/分)是多少？ (2)李明能否在联欢会开始前赶到学校？ 【答案】（1）70米/分（2）能 【解析】 【分析】（1）设步行速度为x米/分，则自行车的速度为3x米/分，根据等量关系：骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟可得出方程，解出即可； （2）计算出步行、骑车及在家拿道具的时间和，然后与42比较即可作出判断． 【详解】（1）设步行速度为x米/分，则自行车的速度为3x米/分， 根据题意得：， 解得：x=70， 经检验x=70是原方程的解， 即李明步行的速度是70米/分． （2）根据题意得，李明总共需要：+1=41＜42． 即李明能在联欢会开始前赶到． 答：李明步行的速度为70米/分，能在联欢会开始前赶到学校． 考点：分式方程的应用． 24. 如图，在中，为边上的一动点（点不与两点重合），交于点，交于点． （1）试探索满足什么条件时，四边形为菱形，并说明理由． （2）在（1）的条件下，满足什么条件时，四边形为正方形？为什么？ 【答案】（1）当平分时，四边形为菱形．理由见解析；（2）当满足时，四边形为正方形．理由见解析. 【解析】 【分析】（1）当AD平分∠EAF时，四边形AEDF为菱形，首先由题意推出四边形AEDF为平行四边形，然后根据角平分线的性质和平行线的性质推出∠EAD=∠FDA，∠EAD=∠FAD，通过等量代换求出∠FAD=∠FDA，确定AF=DF后，即可推出结果； （2）当△ABC为直角三角形，∠BAC=90°时，四边形AEDF为正方形，首先根据（1）所推出的结论四边形AEDF为菱形，通过正方形的判定定理（一个内角为直角的菱形为正方形），即可推出结论． 【详解】（1）当平分时，四边形为菱形．理由如下： ∵，， ∴四边形为平行四边形，． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形菱形． （2）当满足时，四边形为正方形．理由如下： 由（1）可知，四边形为菱形， ∵， ∴四边形为正方形（有一个角为直角的菱形是正方形）． 【点睛】此题考查正方形的判定，平行四边形的判定与性质，解题关键在于求出∠FAD=∠FDA. 25. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边，顶点坐标为，点坐标为. （1）点的坐标是___________，点的坐标是___________（用表示）； （2）若双曲线过平行四边形顶点和，求该双曲线的表达式； （3）若平行四边形与双曲线总有公共点，求的取值范围. 【答案】（1），；（2）；（3）的取值范围 【解析】 【分析】（1）由四边形ABCD为平行四边形，得到A与B纵坐标相同，C与D纵坐标相同，横坐标相差2，得出B、C坐标即可； （2）根据B与D在反比例图象上，得到C与D横纵坐标乘积相等，求出b的值确定出B坐标，进而求出k的值，确定出双曲线解析式； （3）抓住两个关键点，将A坐标代入双曲线解析式求出b的值；将C坐标代入双曲线解析式求出b的值，即可确定出平行四边形与双曲线总有公共点时b的范围． 【详解】（1），； （2）∵双曲线过点和点， ∴，解得， ∴点的坐标为，点的坐标为， 把 点的坐标代入，解得， ∴双曲线表达式为； （3）∵平行四边形与双曲线总有公共点， ∴当点在双曲线，得到， 当点在双曲线，得到， ∴的取值范围. 【点睛】本题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定反比例解析式，平行四边形的性质，以及反比例函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 26. 定义：我们已知点其中为常数，，无论实数取何值时，点都在直线上，我们就称直线为点的“磐石线”．例如，点，无论实数取何值时，点都在直线上，即当时，，则直线是点的“磐石线”． （1）已知直线，它是_________的“磐石线”（填序号）； ①点 ②点 ③点 （2）若点，求点的“磐石线”解析式； （3）若点，为任意实数，当变化时，点在它的“磐石线”上运动，若点的“磐石线”与两条坐标轴围成了等腰直角三角形，求此时的值． 【答案】（1）③；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）直接利用“磐石线”的定义解答即可； （2）设，则，进而求得即即可解答； （3）先求出点的“磐石线”解析式，根据等腰直角三角形的定义确定其与x轴、y轴的交点坐标，再根据“磐石线”解析式确定k即可． 【详解】解：（1）根据“磐石线”定义可知，直线是的“磐石线” 故答案为③； （2）设，则 将代入y=4m+8，得 即； （3）设，则 将代入，得，即， ∴该函数必过点 又点的“磐石线”与坐标轴围成等腰直角三角形， “磐石线”与坐标轴的另一个交点为或 解得“磐石线”解析式为或 即或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质、等腰直角三角形以及点P的“磐石线”的定义等知识，弄懂题意、掌握“磐石线”的定义是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$