精品解析：四川省成都市龙泉驿区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度（下）期末考试 七年级数学试题 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、班级写在答题卡上，并检查条形码信息．考试结束，监考人员将答题卡收回． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4，请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 2025年成都世界运动会是第十二届世界运动会，是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主．2025年世界运动会将在中国四川成都举行，是中国第二次举办世界运动会，下列各图都是成都世界运动会的预选图案，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列成语所描述的事件中，属于必然事件的是（ ） A. 一箭双雕 B. 刻舟求剑 C. 水涨船高 D. 拔苗助长 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将一副直角三角板如图摆放，点A落在边上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（ ） A. 三边中线交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边高的交点 D. 三边垂直平分线的交点 6. 龙泉驿是闻名全国的花果山和风景名胜区，素以“四时花不断，八节佳果香”著称．阳春三月，龙泉漫山遍野，桃花盛霞，梨花如雪，风景如画，吸引成千上万的游客纷至沓来．若桃花的花粉直径约为，且已知，则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，添加以下条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 小华同学在市场买某种水果，如图是称重时电子秤数据显示牌，则其中的变量是（ ） A. 单价和金额 B. 重量和金额 C. 重量和单价 D. 重量，单价和金额 第II卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 计算：__________． 10. 若一个等腰三角形有两条边长分别为1和3，则这个等腰三角形的周长为__________． 11. 某小组利用课堂上学习的“全等测距离法”测量本地一条河岸相对两点A，B的距离，如图所示，已知垂直于河岸，先在上取两点C，D，使，再过点D作的垂线，小明在射线上移动，当小明移动到点E时，点A，C，E在一条直线上，此时测出米，则的长是__________米． 12. 当光线从空气射向水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的．如图，水面和杯底互相平行，，，则的度数为__________． 13. “与可爱的人，赴一场朝霞盛宴”吸引了大量户外爱好者夜爬龙泉山．大三学生张明为了感受一下这样的氛围，与同学相约从音乐广场出发，开始夜爬龙泉山，他们离音乐广场的距离与从音乐广场出发时间的关系如图所示，他们在此期间停下过若干次，请问总共停下来时间为__________小时． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14 计算 （1）； （2）． 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. 如图，在边长为单位1的正方形网格中有，点都在格点上． （1）求的面积； （2）在图中画出关于直线对称； （3）在直线上画出点，使得的周长最小． 17. 如图，是等腰三角形，是底边，是上的一点，连接，过点作，且，与全等吗？为什么？ 18. 如图，与中，，，线段与线段在一条直线上，且，连接，，，与相交于点． （1）与全等吗？为什么？ （2）试说明点是线段的中点． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 如果是一个完全平方式，那么的值是__________． 20. 如图，在中，，，于点，于点，，，则的长是__________． 21. (2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)的个位数字是____． 22. 如图，在中，是的角平分线，若，，，则__________． 23. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ②分别以B，D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点；③连接交于点，若，，，则__________． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 《2022年义务教育数学课程标准》关于核心素养之运算能力的描述为“根据法则和运算律进行正确运算的能力”．下面请阅读理解并运算： 【理论依据】 当我们学习乘方运算后，我们知道，所以若，则； 当我们会运用整体思想后，可以解决这样的问题： 若， 所以， 所以或， 所以或； 当我们学习完全平方公式后，可以继续解决这样的问题： 若， 所以， 所以， 所以， 所以或， 所以或． 【实际应用】 请你仿照上面的方法解决下面的问题： （1）解关于方程； （2）解关于x的方程． 25. 和均为等腰直角三角形，． （1）如图1，连接，，与交于点，请问，有怎样的数量和位置关系？为什么？ （2）如图2，连接，是中点，连接并延长交于点．与有怎样的位置关系？为什么？ 26. 如图1，为等腰三角形，，是线段的中点，过点作射线和射线，分别交边，于点，，． （1）与相等吗？为什么？ （2）与相等吗？为什么？ （3）如图2，若，，，试求的最小值．（在直角三角形中，如果有一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度（下）期末考试 七年级数学试题 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、班级写在答题卡上，并检查条形码信息．考试结束，监考人员将答题卡收回． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4，请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 2025年成都世界运动会是第十二届世界运动会，是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主．2025年世界运动会将在中国四川成都举行，是中国第二次举办世界运动会，下列各图都是成都世界运动会的预选图案，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义解答即可．本题考查的是轴对称图形，熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（对称轴）对称是解题的关键． 【详解】解：由图形可知，A是轴对称图形，符合题意； B、C、D不是轴对称图形，不符合题意． 故选：A． 2. 下列成语所描述的事件中，属于必然事件的是（ ） A. 一箭双雕 B. 刻舟求剑 C. 水涨船高 D. 拔苗助长 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查事件分类，根据不可能事件、随机事件及必然事件定义，逐项验证即可得到答案，熟记不可能事件、随机事件及必然事件定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、一箭双雕属于随机事件，不符合题意； B、刻舟求剑属于不可能事件，不符合题意； C、水涨船高属于必然事件，符合题意； D、拔苗助长属于不可能事件，不符合题意； 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是合并同类项、积的乘方、同底数幂相除、多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握整式的相关运算． 根据合并同类项、积的乘方、同底数幂相除、多项式乘多项式对选项进行逐一判断即可求解． 【详解】解：选项，，原运算错误，不符合题意； 选项，，运算正确，符合题意； 选项，，原运算错误，不符合题意； 选项，，原运算错误，不符合题意． 故选：． 4. 将一副直角三角板如图摆放，点A落在边上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理．根据平行线的性质，可得，从而得到，再由三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D 5. 如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（ ） A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边高的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知支撑点应是三角形的重心，根据三角形的重心是三角形三边中线的交点即可判断． 【详解】解：∵支撑点应是三角形的重心， ∴三角形的重心是三角形三边中线的交点． 故选：． 【点睛】此题考查了三角形重心这一知识点，知道三角形重心是三角形三边中线交点是解题的关键． 6. 龙泉驿是闻名全国的花果山和风景名胜区，素以“四时花不断，八节佳果香”著称．阳春三月，龙泉漫山遍野，桃花盛霞，梨花如雪，风景如画，吸引成千上万的游客纷至沓来．若桃花的花粉直径约为，且已知，则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：用科学记数法表示为，故A正确． 故选：A． 7. 如图，已知，添加以下条件，不能判定的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】全等三角形的判定方法有，，，根据定理逐个判断即可．本题考查了全等三角形的性质和判定，能正确根据全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定方法有，，，． 【详解】解： A、，，，符合，即能推出，故本选项错误； B、，，，符合，即能推出，故本选项错误； C、，，，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出，故本选项正确； D、，，，符合，即能推出，故本选项错误； 故选：C． 8. 小华同学在市场买某种水果，如图是称重时电子秤的数据显示牌，则其中的变量是（ ） A. 单价和金额 B. 重量和金额 C. 重量和单价 D. 重量，单价和金额 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实际生活中的变量，读懂题意，理解水果的单价是固定的，金额随着重量的变化而变化，即可得到答案，熟记数学概念在生活中的运用是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，小华同学在市场买某种水果，图中称重时电子秤的数据显示牌，中具有重量、单价和金额，显然水果的单价是固定的，金额随着重量的变化而变化， 其中的变量是重量和金额， 故选：B． 第II卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查积的乘方的逆运算，由恒等变形计算即可得到答案，熟记积的乘方的逆运算是解决问题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 10. 若一个等腰三角形有两条边长分别为1和3，则这个等腰三角形的周长为__________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形三边关系．利用分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当该等腰三角形的腰长为1，底边长为3时和当该等腰三角形的腰长为3，底边长为1时，先利用三角形三边关系验证是否成立，再求周长即可． 【详解】解：当腰长为1，底边长为3时， ∵， ∴1，1，3不构成三角形，不成立； 当腰长为3，底边长为1时， ∵， ∴该等腰三角形成立， ∴此时这个等腰三角形的周长为． 综上可知这个等腰三角形的周长为7． 故答案为：7． 11. 某小组利用课堂上学习的“全等测距离法”测量本地一条河岸相对两点A，B的距离，如图所示，已知垂直于河岸，先在上取两点C，D，使，再过点D作的垂线，小明在射线上移动，当小明移动到点E时，点A，C，E在一条直线上，此时测出米，则的长是__________米． 【答案】10.2 【解析】 【分析】证明，得米即可．本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：，， ， 在和中， ， ， （米）， 故答案为：10.2． 12. 当光线从空气射向水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的．如图，水面和杯底互相平行，，，则的度数为__________． 【答案】50度## 【解析】 【分析】由平行线的性质推出，，求出，即可得到的度数．本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出，． 【详解】解：如图： ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 13. “与可爱的人，赴一场朝霞盛宴”吸引了大量户外爱好者夜爬龙泉山．大三学生张明为了感受一下这样的氛围，与同学相约从音乐广场出发，开始夜爬龙泉山，他们离音乐广场的距离与从音乐广场出发时间的关系如图所示，他们在此期间停下过若干次，请问总共停下来时间为__________小时． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息．观察图象可得：1时至时间段和至时间段停下，即可求解． 【详解】解：观察图象得：总共停下来时间为小时． 故答案为： 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用绝对值运算、乘方运算、0指数幂及负整数指数幂先计算，再由有理数的加减乘法运算求解即可得到答案； （2）利用平方差公式及完全平方和公式求解即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查有理数混合运算及整式混合运算，涉及绝对值运算、乘方运算、0指数幂、负整数指数幂、平方差公式及完全平方和公式等知识，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键． 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式化简求值，涉及平方差公式、完全平方差公式及整式的加减乘除混合运算，根据整式混合运算法则先化简，再将，代入化简后的整式求值即可得到答案，熟记整式混合运算法则是解决问题的关键． 【详解】解： ， 将，代入，原式． 16. 如图，在边长为单位1的正方形网格中有，点都在格点上． （1）求的面积； （2）在图中画出关于直线对称的； （3）在直线上画出点，使得的周长最小． 【答案】（1） （2）作图见解析 （3）作图见解析 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）利用割补法间接表示，代值求解三角形的面积即可； （2）根据轴对称的性质作图即可得到答案； （3）在（2）的基础上，连接，交直线于点，则点即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示： 的面积为． 【小问2详解】 解：如图所示： 即为所求； 【小问3详解】 解：连接，交直线于点，连接，如图所示： 此时，为最小值，则的值最小，即的周长最小， 点即为所求． 17. 如图，是等腰三角形，是底边，是上的一点，连接，过点作，且，与全等吗？为什么？ 【答案】全等，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质、平行线性质及三角形全等的判定与性质，由等腰三角形性质得到，再由平行线性质得到，最后利用三角形全等的判定与性质求证即可，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：全等， 理由如下： 是等腰三角形，是底边， ， ， ， 在和中 ， ． 18. 如图，与中，，，线段与线段在一条直线上，且，连接，，，与相交于点． （1）与全等吗？为什么？ （2）试说明点是线段的中点． 【答案】（1）全等，理由见解析 （2）说明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中点定义等知识，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）利用证明，根据全等三角形的性质得出，，再利用即可证明； （2）利用证明，根据全等三角形的性质及线段中点定义即可得解． 【小问1详解】 解：， 理由如下： ， ，即， 在与中， ， ， ，， 在和中 ， ； 【小问2详解】 解：由（1）知，， 与相交于点， ， 在和中， ， ， ， 点是线段的中点． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 如果是一个完全平方式，那么的值是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据完全平方式的特征进行计算，即可解答．本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的特征是解题的关键． 【详解】解：是一个完全平方式， ， ， ， ， 解得：或， 故答案为： 或． 20. 如图，在中，，，于点，于点，，，则的长是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，通过证明，得出，，最后根据即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：3． 21. (2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)的个位数字是____． 【答案】5． 【解析】 【分析】利用平方差公式求解 【详解】(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1) =(2﹣1)(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1) =(22﹣1)(22+1)(24+1)…(232+1) =(24﹣1)(24+1)…(232+1) =… =264﹣1． ∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…， ∴264的末位数字是6， ∴264﹣1的末位数字是5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了平方差公式的运用，能灵活运用平方差公式进行计算是解此题的关键. 22. 如图，在中，是的角平分线，若，，，则__________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了角平分线性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，以及三角形的面积的应用．过D作于M，于N，根据角平分线性质定理得出垂线段相等，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过D作于M，于N， ∵为的平分线， ∴， ∵若，， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：10． 23. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ②分别以B，D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点；③连接交于点，若，，，则__________． 【答案】17 【解析】 【分析】连接，由作图过程可知，，，则，，可得，，则．本题考查作图—基本作图、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：连接． 由作图过程可知，，， ，， ． ，， ． ， ， ， ， ． 故答案为：17． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 《2022年义务教育数学课程标准》关于核心素养之运算能力的描述为“根据法则和运算律进行正确运算的能力”．下面请阅读理解并运算： 【理论依据】 当我们学习乘方运算后，我们知道，所以若，则； 当我们会运用整体思想后，可以解决这样的问题： 若， 所以， 所以或， 所以或； 当我们学习完全平方公式后，可以继续解决这样的问题： 若， 所以， 所以， 所以， 所以或， 所以或． 【实际应用】 请你仿照上面的方法解决下面的问题： （1）解关于的方程； （2）解关于x的方程． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】本题考查利用完全平方公式，配方解一元二次方程，读懂题意，按照阅读材料中的方法求解是解决问题的关键． （1）先移项，再配方，利用完全平方差公式变形后直接开平方即可得到答案； （2）先移项，再配方，利用完全平方差公式变形后直接开平方即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 或，即或； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或，即或． 25. 和均为等腰直角三角形，． （1）如图1，连接，，与交于点，请问，有怎样的数量和位置关系？为什么？ （2）如图2，连接，是中点，连接并延长交于点．与有怎样的位置关系？为什么？ 【答案】（1）且，理由见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）设与交于点，根据等腰直角三角形性质得，，，由此可依据“”判定和全等，则，，再由，得，则由此得，据此可得，的数量和位置关系； （2）过点作，交延长线于点，先证明和全等得，再证明，进而可依据“”判定和全等，则，然后根据得，则，进而得，据此可得与的位置关系． 【小问1详解】 解：且， 理由如下： 设与交于点，如图1所示： 和为等腰直角三角形，且， ，， 又， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ，即； 【小问2详解】 解：， 理由如下： 过点作，交延长线于点，如图2所示： ，，， 是中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 和为等腰直角三角形，且， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定与性质，中点定义，垂直判定等知识，理解等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 26. 如图1，为等腰三角形，，是线段的中点，过点作射线和射线，分别交边，于点，，． （1）与相等吗？为什么？ （2）与相等吗？为什么？ （3）如图2，若，，，试求最小值．（在直角三角形中，如果有一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半） 【答案】（1），原因见解析 （2），原因见解析 （3）最小值为15 【解析】 【分析】（1）利用等角的补角相等即可证得； （2）过点作，，分别交于，，通过证得，即可得到结论； （3）易证得为等边三角形，则，求最小值即为求的最小最小值，作点关于直线对称点，连接，，，，，由对称的性质可得，求最小值即为求最小值，最小值为的长度，求得的长即可． 【小问1详解】 解：，， ； 【小问2详解】 解：过点作，，分别交于，，如图所示： 是线段的中点且为等腰三角形， 平分， ，， ，， 在和中， ， ， ； 【小问3详解】 解：由（2）可知， ， 等边三角形， ， 求的最小值，即为求的最小值， 作点关于直线对称点，连接，，，，，由对称的性质可得， 求最小值即为求最小值， 最小值为的长度， 则最小值为的长度， 由对称的性质可得． ，，， 为等腰三角形，， ， ， 为等边三角形， 由等边三角形对称性可得， 是线段的中点， ， ， ，， ， 最小值为15． 【点睛】本题考查了邻补角定义，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，轴对称最短路线问题，作出辅助线构建等边三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$