数学（辽宁专用，初中知识点）01-2024年秋季高一数学入学分班考试模拟卷

2024年秋季高一入学分班考试模拟卷（辽宁专用）（01） 数 学 (满分150分) 第I卷 一、单选题(本大题共10小题,每小题3分,共30分） 1．若，则的算术平方根是（    ） A．2 B．4 C． D．0 2．下列算式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．一组从小到大排列的数据的中位数和平均数相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．若使函数的自变量的取值范围是一切实数，则下面的关系中一定满足要求的是（　　） A． B． C． D． 6．如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（    ） A．缩小到原来的 B．扩大倍 C．扩大倍 D．不变 7．请根据学习函数的经验，自主尝试探究表达式为的函数图象与性质，下列说法正确的是（    ） A．图象与y轴的交点是   B．图象与x轴有一个交点 C．当时， D．y随x的增大而减小 8．关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知二次函数（a为非零常数，），当时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（　　） ①当时，y随x的增大而减小； ②若图象经过点，则； ③若，是函数图象上的两点，则； ④若图象上两点，对一切正数n，总有，则． A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④ 10．如图，平行四边形的对角线，相交于点，且，点为边上一动点（不与点A，重合），于点，于点，若，，则的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分） 11．若，则 ， ． 12．已知，则代数式的值为 ． 13．一个不透明的布袋中装有若干个红球和白球，其中白球的个数比红球的个数多3个，这些球除颜色外其余都相同．小明通过多次重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在，则布袋中的红球一共有 个． 14．如图，已知一次函数和正比例函数的图象交于点，则关于x的一元一次方程的解是 ． 15．如图是用大小相等的五角星按一定规律拼成的一组图案，请根据你的观察，写出第个图案中小五角星有 颗． 16．如图，点在反比例函数的图像上，将直线向上平移2个单位长度后交y轴于点B，交反比例函数的图像于点C，若，则k的值等于 ．    17．第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，，若正方形与正方形的面积之比为，，则n的值为 ．    18．一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线重合，．现将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，则点A经过的路径长至少为 ．（结果保留） 第II卷 三、解答题(本大题共8小题,共90分。） 19．（10分）阅读下列材料： 在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须满足_______． （1）请回答：横线填什么_____． 完成下列问题： （2）已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围； （3）若关于的方程无解，求的值． 20．（12分）某公园中有一人造湖泊，两侧开辟了两条环湖线路，如图；①；②，经勘测，点在点的正东方，点在点的正北方千米处，点在点的正西方千米处，点在点的北偏东方向，点在点的正南方，点在点的南偏东方向． (1)求的长度． (2)在保证速度相同下，小明打算较快完成从到的骑行，小明应该选择线路①还是线路②进行环湖骑行，请计算说明他的选择？ 21．（12分）为庆祝中国共产党成立周年，文昌中学组织全校学生参加党史知识竞赛，从中任取名学生的竞赛成绩进行统计，绘制了不完整的统计图表： 各组别人数占比情况 组别 成绩范围 频数 A 2 B C 9 D (1)分别求，的值； (2)若把每组中各学生的成绩用该组数据的组中值代替（如～的组中值为），估计全校学生的平均成绩； (3)现要将组的甲、乙、丙、丁四位同学分成两组，每组两人一起合作进行比赛，并随机抽签决定分组．请用树状图或列表法来说明甲、乙两位同学分到同一组的概率． 22．（12分）已知矩形中，，，点是边上的动点(不与重合)，设，将沿折叠至． (1)如图1，当点在对角线上时，求的值； (2)设与矩形重叠部分的面积为，求关于的函数表达式． 23．（12分）某校八年级学生在数学课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下： 【提出驱动性问题】越来越多的人选择通过快递公司代办点邮寄包裹，那么选择哪家快递公司更合算呢？ 【设计实践任务】根据“素材1”“素材2”，设计了“任务1”“任务2”“任务3”的实践活动．请你尝试帮助他们解决相关问题． 选择更优惠的快递公司 素材1 甲、乙两个快递代办点省外邮寄费用标准如下： 甲：首重收费8元，续重5元；（即所寄物品重量不超过时收费8元，重量超过时超过部分按每千克加收5元计费） 乙：首重收费10元，续重3元． 素材2 快递代办点所寄物品的快递费用元）与物品重量之间存在函数关系，关系式为：， 其中，的函数图像如图所示． 问题解决 任务1 建立模型 求与之间的函数关系式． 任务2 绘制图像 在图中画出的函数图像． 任务3 解决问题 根据图像推断哪个快递代办点更优惠． 24．（12分）网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/ ，每日销售量y（）与销售单价x（元/ ）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于元/ ．设公司销售板栗的日获利为w（元）． x（元/ ） 7 8 9 y（） (1)直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为______；（不用写自变量的取值范围） (2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？ (3)当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于元？ 25．（12分） 如图，在矩形中，，．动点P，Q从A同时出发，且速度均为，点P，Q分别沿折线，向终点C运动．设点P的运动时间为，的面积为． (1)当点P与点B重合时，x的值为______． (2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． (3)当PQ长度不变时，直接写出x的取值范围及PQ的长度． 26．（14分）如图，已知抛物线经过点A（1,0）和点B （0，-3），与x轴交于另一点C． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线上是否存在一点D，使△ACD的面积与△ABC的面积相等（点D不与点B重合）？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若点P是抛物线上的动点，点Q是抛物线对称轴上的动点，那么是否存在这样的点P，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★考试结束前 2024年秋季高一入学分班考试模拟卷（辽宁专用）（01） 数 学 答案及评分标准 1、 单选题(本大题共10小题,每小题3分,共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B D D A A C A D C 2、 填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分） 11. 2 -4 12.6 13.6 14.x=2 15. 6061 16. 17.3 18. 三、解答题 19．（10分） 【详解】（1）解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0 ∴小聪说得对，分式的分母不能为0．………………………… 2分 （2）解：原方程可化为 去分母得： 解得：…………………………4 分 ∵解为非负数 ∴，即 又∵ ∴，即 ∴且…………………………6分 （3）解：去分母得： 解得： ∵原方程无解 ∴或者………………………… 8分 ①当时，得： ②当时，，得： 综上：当或时原方程无解．…………………………10分 20．（12分） 【详解】（1）解：如图，延长交于点，则， 由题意可得：，，， ∴四边形是矩形， ∴，………………………… 3分 ∵， ∴（千米）， ∴的长度为千米；………………………… 5分 （2）由（1）知：，，， ∴线路①的路程为：（千米），………………… 7分 在中，，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，………………………… 9分 ∵，， ∴， ∴， ， ∴线路②的路程为：（千米）， ∵， ∴在保证速度相同下，小明打算较快完成从到的骑行，小明应该选择线路①进行环湖骑行．…………………………12 分 21．（12分） 【详解】（1）解：由题意得：，则，……………………… 3分 （2）（分）， 即估计全校学生的平均成绩为82.5分；………………………… 6分 （3）解析：画树状图如图： 共有12种等可能的结果，甲、乙两位同学分到同一组的结果有4种， 甲、乙两位同学分到同一组的概率为．………………………… 12分 22．（12分） 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，将沿折叠至，当点在对角线上， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴，………………………… 3分 ∴， ∴，即；………………………… 5分 （2）解：当时，点在左侧以及上， 此时； 如图，当时，点在右侧，记和交于点，过点作于点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，四边形是矩形， ∴，，， ∴，………………………… 6分 设，则， ∵， ∴， ∴， 展开得：， 整理得：，………………………… 9分 ∴； 综上所述，．………………………… 12分 23．（12分） 【详解】解：任务一：建立模型 由题意得，当时，； 当时，． ∴．………………………… 4分 任务二：绘制图像 的函数图像如图所示； ………………………… 8分 任务三：解决问题 由图知：时，，即甲优惠； 时，，两家一样； 时，，即乙优惠．………………………… 12分 24．（12分） 【详解】（1）解：设日销售量y与销售单价x之间的函数关系式， 将，，代入得，， 解得，， ∴日销售量y与销售单价x之间的函数关系式；………………………… 4分 （2）解：依题意得，， ∵，， ∴当时，日获利w最大，最大利润为元； （3）解：令，则，………………………… 8分 解得，或， ∵， ∴， 又∵， ∴．………………………… 12分 25． （12分） 【详解】（1）解：当点P与点B重合时，即， ∴．………………………… 2分 （2）分类讨论：当时，如图， ∴， ∴；………………………… 4分 当时，如图， ∴，的高即为长， ∴；…………………………6 分 当时，如图， ∴，，， ∴． 综上可知；………………………… 8分 （3）由题意可知当点P在上运动或点Q在上运动时长度一定发生变化， ∴讨论即可，此时点P在上运动，点Q在上运动，如图，过点P作于E． ∴，，， ∴， ∴， ∴当长度不变时，，且．………………………… 12分 26． 【详解】解：（1）把点A （1，0）和点B （0，-3）代入二次函数解析式，则 ，解得：， ∴抛物线的解析式为：.………………………… 3分 （2）存在； 由（1）可知，二次函数的对称轴为：， ∴点C坐标为：（-3，0）， ∴AC=4，OB=3， ∴△ABC的面积为：；………………………… 4分 设点D坐标为（x，y），则 ， 解得：， ∴. 当时，有， 解得：， ∴点D为：（-1±，3）；………………………… 6分 当时，有， 解得：， 当时为点B，舍去， ∴点D为（）； 综合上述，点D的坐标为：（-1±，3）或（）；…………………………8 分 （3）存在； 以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，则分为两种情况： 当AC为对角线时，如图：此时点P在对称轴上，且点P为抛物线的顶点； 当时，代入抛物线解析式，得 ， 则点P坐标为：（）；………………………… 10分 ②当AC为边长时，如图，此时PQ∥AC，PQ=AC=4， ， ∵点Q在直线上， ∴点P的横坐标为：或， 当时，有， ∴点P为：（3，12）； 当时，有， ∴点P为：（-5，12）； 综合上述，点P的坐标为：（-5，12）或（3，12）或（-1，-4）.………………………… 14分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋季高一入学分班考试模拟卷（辽宁专用版）（01） 数 学 ( 条 码 粘 贴 处 （正面朝上 贴在此 虚线框内） ) 姓名：______________班级：______________ 准考证号 ( 注意事项 1 、 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 2 、 请将准考证条码粘贴在右侧的 [ 条码粘贴处 ] 的方框内 3 、 选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 4 、 请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 5 、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 6 、填涂样例 正确 [■] 错误 [--][√] [×] ) ( 缺考标记 考生禁止填涂缺考标记 ！只能由监考老师负责用黑色字迹的签字笔填涂。 ) 选择题（请用2B铅笔填涂） １、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ２、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ３、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ４、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ５、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ６、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ７、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ８、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ９、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 填空题（请在各试题的答题区内作答） 11 12 13 14 15 16 17 18 解答题 19题、 20题、 21题、 22题、 23题、 24题、 25题、 26题、 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★考试结束前 2024年秋季高一入学分班考试模拟卷（辽宁专用）（01） 数 学 (满分150分) 第I卷 一、单选题 1．若，则的算术平方根是（    ） A．2 B．4 C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根的非负性，绝对值的非负性等知识，依据题意得出，，从而求出a、b的值，继而得解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴的算术平方根是：， 故选：A． 2．下列算式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简和除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．根据二次根式的性质和除法法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，则此项正确，符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：B． 3．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了合并同类项、积的乘方与完全平方公式、同底数幂乘法运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．根据合并同类项的法则、积的乘方与同底数幂乘法运算法则、完全平方公式分别计算各项，然后再进行判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 4．一组从小到大排列的数据的中位数和平均数相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平均数和中位数，根据平均数和中位数的定义可得，解之即可求解，掌握平均数和中位数的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 解得， 故选：． 5．若使函数的自变量的取值范围是一切实数，则下面的关系中一定满足要求的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题是函数有意义的条件与一元二次方程的解相结合的问题．函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0．函数的自变量取值范围是一切实数，即分母一定不等于0，即方程 无解．即，即可解得、的关系． 【详解】解：∵函数的自变量取值范围是一切实数， ∴分母一定不等于0， ∴无解， 即， 解得：或． 当时，一定满足要求． 故选：A． 6．如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（    ） A．缩小到原来的 B．扩大倍 C．扩大倍 D．不变 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是分式的性质，解题关键是熟练掌握分式的性质．按题意对分式中的、进行扩大，再与原分式比较即可求解． 【详解】解：依题得，将分式中的，都扩大倍可得， ， 原分式的值缩小到原来的． 故选：． 7．请根据学习函数的经验，自主尝试探究表达式为的函数图象与性质，下列说法正确的是（    ） A．图象与y轴的交点是   B．图象与x轴有一个交点 C．当时， D．y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与平移，熟练掌握反比例函数图象性质是解题的关键．利用当时，求得与轴交点纵坐标确定A选项；当,求得与轴交点横坐标确定B选项；画出函数大致图形确定C、D选项即可． 【详解】解：A、当时，， ∴图象与y轴的交点是， 选项A错误，故不符合题意； B、∵， ∴图象与x轴没有交点， 选项B错误，故不符合题意； C、函数的图象是向右平移个单位长度，如图， 由图可知当时，成立， 选项C正确，故符合题意； D、由图可知当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， 选项D错误，故不符合题意； 故选：C． 8．关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先求出不等式组的解（用表示出来），再根据其解为，列出关于k的不等式，即可求解． 【详解】解：， 解不等式①：， ， ， 解不等式②：， ， 不等式组的解集是， ， 解得：， 故选：A． 9．已知二次函数（a为非零常数，），当时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（　　） ①当时，y随x的增大而减小； ②若图象经过点，则； ③若，是函数图象上的两点，则； ④若图象上两点，对一切正数n，总有，则． A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【详解】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 解：①：∵二次函数（a为非零常数，）， ∴，，， 又∵当时，y随x的增大而增大， ∴，开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小， 故①正确； ②：∵二次函数（a为非零常数，），当时，y随x的增大而增大， ∴， 若图象经过点，则，得， ∵，， ∴ ， 故②错误； ③：又∵对称轴为直线，， ∴ ， ∴若，是函数图象上的两点，2021离对称轴近些，则， 故③正确； ④若图象上两点，对一切正数n，总有，， 则满足， 解得 ， 故④正确； ∴①③④正确；②错误． 故选：D． 10．如图，平行四边形的对角线，相交于点，且，点为边上一动点（不与点A，重合），于点，于点，若，，则的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，先根据勾股定理计算出，再证明四边形是矩形，得到，再根据垂线段最短求出的最小值即可． 【详解】解：如下图所示，连接， ∵，且四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，最小， 当时，当最小， 当时，， ∴， 故选：C． 二、填空题 11．若，则 ， ． 【答案】 2 【分析】本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解题的关键．利用多项式乘以多项式法则展开，根据两多项式相等，则对应项系数相等，求出m、n值． 【详解】解：∵ ， ∵ ∴ ∴，， ∴，， 故答案为：2，． 12．已知，则代数式的值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，利用整体代入思想解答是解题的关键．根据平方差公式，把原式化为，然后用整体代入法即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：6． 13．一个不透明的布袋中装有若干个红球和白球，其中白球的个数比红球的个数多3个，这些球除颜色外其余都相同．小明通过多次重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在，则布袋中的红球一共有 个． 【答案】6 【分析】本题考查根据频率估计概率，分式方程的解法，已知概率求数量，大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，根据概率公式计算即可． 【详解】解：由题意知，摸到红球的概率为， 设布袋中红球有个，则， 化为整式方程为， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 故答案为：6． 14．如图，已知一次函数和正比例函数的图象交于点，则关于x的一元一次方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，两个一次函数图象的交点横纵坐标即为两个一次函数解析式组成的方程组的解，据此求解即可． 【详解】解：∵一次函数和正比例函数的图象交于点， ∴关于x的一元一次方程的解是， 故答案为：． 15．如图是用大小相等的五角星按一定规律拼成的一组图案，请根据你的观察，写出第个图案中小五角星有 颗． 【答案】6061 【分析】观察图案可以得到，每个图形的小五角星都是有三层构成的，第一层、第三层的数量与图案的序号相同，第二层的数量比图案的序号多1，据此规律求和即可． 【详解】解：观察这一组图形，可以得到第2020个图案共有三层构成，第一层、第三层小五角星的数量都是2020，第二层的数量是2021， 所以第2020个图案中小五角星一共有2020+2021+2020=6061（个）． 故答案为：6061 【点睛】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出图形规律的能力，要求学生要会分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．． 16．如图，点在反比例函数的图像上，将直线向上平移2个单位长度后交y轴于点B，交反比例函数的图像于点C，若，则k的值等于 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了一次函数的平移问题，反比例函数与几何综合，平行四边形的性质与判定，两点中点坐标公式，过点C作交于D，根据平移可得，则四边形是平行四边形，可得，，再证明点D为的中点，得到，则，即可得到，解方程即可． 【详解】解：如图所示，过点C作交于D， ∵将直线向上平移2个单位长度后交y轴于点B， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴点D为的中点， ∴， ∴， ∵点和在反比例函数的图像上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：．    17．第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，，若正方形与正方形的面积之比为，，则n的值为 ．    【答案】3 【分析】此题考查了勾股定理，解直角三角形，赵爽“弦图”等知识，设，，首先根据得到，然后表示出正方形的面积为，正方形的面积为，最后利用正方形与正方形的面积之比为求解即可． 【详解】设，， ∵，， ∴，即， ∴，整理得， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的面积为， ∵正方形的面积为， ∵正方形与正方形的面积之比为， ∴， ∴解得． 故答案为：3． 18．一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线重合，．现将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，则点A经过的路径长至少为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、弧长公式等知识点，掌握弧长公式成为解题的关键． 由旋转的性质可得,即，再根据点A经过的路径长至少为以B为圆心，以为半径的圆弧的长即可解答． 【详解】解：∵将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上， ∴,即， ∴点A经过的路径长至少为． 故答案为：． 第II卷 三、解答题 19．阅读下列材料： 在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须满足_______． （1）请回答：横线填什么_____． 完成下列问题： （2）已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围； （3）若关于的方程无解，求的值． 【答案】（1）分式的分母不能为0（a≠0）；（2）且；（3）或． 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况，求参数： （1）根据分式有意义的条件：分母不能为0，即可知道小聪说得对； （2）首先按照解分式方程的步骤得到方程的解，再利用解是非负数结合分式有意义即可求出的取值范围； （3）按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，若分式方程无解，则得到增根或者整式方程无解，即可求出的范围． 【详解】（1）解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0 ∴小聪说得对，分式的分母不能为0． （2）解：原方程可化为 去分母得： 解得： ∵解为非负数 ∴，即 又∵ ∴，即 ∴且 （3）解：去分母得： 解得： ∵原方程无解 ∴或者 ①当时，得： ②当时，，得： 综上：当或时原方程无解． 20．某公园中有一人造湖泊，两侧开辟了两条环湖线路，如图；①；②，经勘测，点在点的正东方，点在点的正北方千米处，点在点的正西方千米处，点在点的北偏东方向，点在点的正南方，点在点的南偏东方向． (1)求的长度． (2)在保证速度相同下，小明打算较快完成从到的骑行，小明应该选择线路①还是线路②进行环湖骑行，请计算说明他的选择？ 【答案】(1)千米 (2)小明应该选择线路①进行环湖骑行 【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题， （1）延长交于点，则，证明四边形矩形，从而可得千米，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答； （2）由（1）知的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，最后利用线段的和差关系进行计算，比较即可解答． 根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，延长交于点，则， 由题意可得：，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴（千米）， ∴的长度为千米； （2）由（1）知：，，， ∴线路①的路程为：（千米）， 在中，，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ， ∴线路②的路程为：（千米）， ∵， ∴在保证速度相同下，小明打算较快完成从到的骑行，小明应该选择线路①进行环湖骑行． 21．为庆祝中国共产党成立周年，文昌中学组织全校学生参加党史知识竞赛，从中任取名学生的竞赛成绩进行统计，绘制了不完整的统计图表： 各组别人数占比情况 组别 成绩范围 频数 A 2 B C 9 D (1)分别求，的值； (2)若把每组中各学生的成绩用该组数据的组中值代替（如～的组中值为），估计全校学生的平均成绩； (3)现要将组的甲、乙、丙、丁四位同学分成两组，每组两人一起合作进行比赛，并随机抽签决定分组．请用树状图或列表法来说明甲、乙两位同学分到同一组的概率． 【答案】(1)， (2)估计全校学生的平均成绩为分 (3)甲、乙两位同学分到同一组的概率为 【分析】此题考查了列表法或树状图法、频数分布表和扇形统计图． （1）由抽取的人数乘以所占的百分比求出，即可求出的值； （2）求出样本平均数，即可得出答案； （3）画树状图，共有种等可能的结果，符合条件的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，则， （2）（分）， 即估计全校学生的平均成绩为82.5分； （3）解析：画树状图如图： 共有12种等可能的结果，甲、乙两位同学分到同一组的结果有4种， 甲、乙两位同学分到同一组的概率为． 22．已知矩形中，，，点是边上的动点(不与重合)，设，将沿折叠至． (1)如图1，当点在对角线上时，求的值； (2)设与矩形重叠部分的面积为，求关于的函数表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数与面积问题，灵活运用知识点、分类讨论是解题的关键． （1）根据矩形的性质、折叠的性质，得出，，推出，证明，得出，则，计算即可； （2）分“当时”和“当时”两种情况讨论．当时，点在左侧以及上，则此时，得出函数表达式；当时，点在右侧，记和交于点，过点作于点，根据折叠的性质，得出，证明四边形是矩形，得出，设，则，根据勾股定理，则，得出，表示出，根据，得出函数表达式．综合两种情况，得出关于的函数表达式即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，将沿折叠至，当点在对角线上， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：当时，点在左侧以及上， 此时； 如图，当时，点在右侧，记和交于点，过点作于点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，四边形是矩形， ∴，，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 展开得：， 整理得：， ∴； 综上所述，． 23．某校八年级学生在数学课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下： 【提出驱动性问题】越来越多的人选择通过快递公司代办点邮寄包裹，那么选择哪家快递公司更合算呢？ 【设计实践任务】根据“素材1”“素材2”，设计了“任务1”“任务2”“任务3”的实践活动．请你尝试帮助他们解决相关问题． 选择更优惠的快递公司 素材1 甲、乙两个快递代办点省外邮寄费用标准如下： 甲：首重收费8元，续重5元；（即所寄物品重量不超过时收费8元，重量超过时超过部分按每千克加收5元计费） 乙：首重收费10元，续重3元． 素材2 快递代办点所寄物品的快递费用元）与物品重量之间存在函数关系，关系式为：， 其中，的函数图像如图所示． 问题解决 任务1 建立模型 求与之间的函数关系式． 任务2 绘制图像 在图中画出的函数图像． 任务3 解决问题 根据图像推断哪个快递代办点更优惠． 【答案】任务一： 任务二：的函数图像如图所示； 任务三：解决问题时，即甲优惠；时，两家一样；时，即乙优惠． 【分析】先根据题意列出与之间的函数关系式，再作出的函数图像，最后根据图像即可推断出哪个快递代办点更优惠． 本题主要考查了利用一次函数解决实际问题．能够根据题意列出与之间的函数关系式并能够根据图像获取相关信息是解题的关键． 【详解】解：任务一：建立模型 由题意得，当时，； 当时，． ∴． 任务二：绘制图像 的函数图像如图所示； 任务三：解决问题 由图知：时，，即甲优惠； 时，，两家一样； 时，，即乙优惠． 24．网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/ ，每日销售量y（）与销售单价x（元/ ）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于元/ ．设公司销售板栗的日获利为w（元）． x（元/ ） 7 8 9 y（） (1)直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为______；（不用写自变量的取值范围） (2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？ (3)当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于元？ 【答案】(1) (2)当销售单价定为元时，日获利w最大，最大利润为元 (3) 【分析】（1）设日销售量y与销售单价x之间的函数关系式，将，，代入得，，计算求解，进而可得结果； （2）依题意得，，由，，可知当时，日获利w最大，最大利润为元； （3）令，则，可求或，由，可得，由，可得． 【详解】（1）解：设日销售量y与销售单价x之间的函数关系式， 将，，代入得，， 解得，， ∴日销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （2）解：依题意得，， ∵，， ∴当时，日获利w最大，最大利润为元； （3）解：令，则， 解得，或， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识．熟练掌握一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 25． 如图，在矩形中，，．动点P，Q从A同时出发，且速度均为，点P，Q分别沿折线，向终点C运动．设点P的运动时间为，的面积为． (1)当点P与点B重合时，x的值为______． (2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． (3)当PQ长度不变时，直接写出x的取值范围及PQ的长度． 【答案】(1)1 (2) (3)，， 【分析】（1）当点P与点B重合时，即，再计算出x的值即可； （2）分类讨论：当时、当时和当时，分别画出图形，再根据三角形面积公式计算即可，注意当时利用矩形面积减去三个小三角形面积计算； （3）由题意可知当点P在上运动或点Q在上运动时长度一定发生变化，即讨论即可，此时点P在上运动，点Q在上运动，过点P作于E．根据矩形的性质结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：当点P与点B重合时，即， ∴． （2）分类讨论：当时，如图， ∴， ∴； 当时，如图， ∴，的高即为长， ∴； 当时，如图， ∴，，， ∴． 综上可知； （3）由题意可知当点P在上运动或点Q在上运动时长度一定发生变化， ∴讨论即可，此时点P在上运动，点Q在上运动，如图，过点P作于E． ∴，，， ∴， ∴， ∴当长度不变时，，且． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、列二次函数解析式、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 26．如图，已知抛物线经过点A（1,0）和点B （0，-3），与x轴交于另一点C． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线上是否存在一点D，使△ACD的面积与△ABC的面积相等（点D不与点B重合）？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若点P是抛物线上的动点，点Q是抛物线对称轴上的动点，那么是否存在这样的点P，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为:. (2)D（-2，-3）（-1±，3）(3) P（-5，12）（3，12）（-1，-4） 【分析】（1）由待定系数法，把点A、B代入解析式，求出a、b的值，即可得到答案； （2）先求出点C的坐标，得到AC和OB的长度，计算出面积，根据面积相等，则设D点坐标为（x，y），求出y的值，然后代入二次函数解析式求出x，即可得到答案； （3）根据题意，可分为AC为对角线和AC为边长，两种情况进行讨论，然后根据平行四边形的性质，即可求出P点坐标. 【详解】解：（1）把点A （1，0）和点B （0，-3）代入二次函数解析式，则 ，解得：， ∴抛物线的解析式为：. （2）存在； 由（1）可知，二次函数的对称轴为：， ∴点C坐标为：（-3，0）， ∴AC=4，OB=3， ∴△ABC的面积为：； 设点D坐标为（x，y），则 ， 解得：， ∴. 当时，有， 解得：， ∴点D为：（-1±，3）； 当时，有， 解得：， 当时为点B，舍去， ∴点D为（）； 综合上述，点D的坐标为：（-1±，3）或（）； （3）存在； 以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，则分为两种情况： 当AC为对角线时，如图：此时点P在对称轴上，且点P为抛物线的顶点； 当时，代入抛物线解析式，得 ， 则点P坐标为：（）； ②当AC为边长时，如图，此时PQ∥AC，PQ=AC=4， ， ∵点Q在直线上， ∴点P的横坐标为：或， 当时，有， ∴点P为：（3，12）； 当时，有， ∴点P为：（-5，12）； 综合上述，点P的坐标为：（-5，12）或（3，12）或（-1，-4）. 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，抛物线上动点问题，平行四边形性质，求二次函数解析式.解题的关键掌握二次函数的性质和平行四边形性质，注意在分类讨论时不能漏解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$