精品解析：福建省福州第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

福州一中2023—2024学年第二学期第四学段考试 高一数学（必修二）模块试卷 （完卷120分钟 满分150分） （注意：不得使用计算器，并把答案写在答案卷上） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则在复平面中对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先计算得到，然后根据定义判断即可. 【详解】由已知条件可得. 故在复平面中对应的点是，在第四象限. 故选：D. 2. 棉花的纤维长度是衡量棉花质量的重要指标.在一批棉花中随机抽测20根棉花的纤维长度（单位：mm），按从小到大排序结果如下： 82 86 113 115 140 143 146 170 175 195 202 206 233 236 238 255 260 263 264 265 请你估计这批棉花的第5百分位数是（ ） A. 84 B. 86 C. 99.5 D. 115 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以第5百分位数为. 故选：A 3. 已知某19个数据的平均数为5，方差为2，现加入一个数5，此时这20个数据的平均数为，方差为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目计算新的数据的和，进而计算出平均数，再结合方差计算公式计算方差即可. 【详解】原19个数据的平均数为5，方差为2， 加入一个数5之后，这20个数的 平均数为， 方差为. 故选：C. 4. 某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有2000人，其中各种态度对应的人数如表所示： 最喜爱 喜爱 一般 不喜欢 480 720 640 160 电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行按比例分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽选出的人数分别为（ ） A. 24，36，32，8 B. 48，72，64，16 C. 20，40，30，10 D. 25，25，25，25 【答案】A 【解析】 【分析】按比例抽取，即可求解. 【详解】最喜爱组应抽取人，喜爱组应抽取人， 一般组应抽取人，不喜欢组应抽取， 故选：A 5. 已知三个不同的平面α，β，γ和两条不重合的直线m，n，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 若m//α，α∩β=n，则m//n B. 若α∩β=m，m⊥γ，则α⊥γ C. 若α⊥β，γ⊥β，则α//γ D. 若α∩β=n，mα，m⊥n，则α⊥β 【答案】B 【解析】 【分析】由线面平行的性质定理可知A的正误；利用面面垂直的判定定理可知判断B,有反例可判断BD． 【详解】对于A，，，则，错误，原因是不一定是经过直线的平面；故A错误； 对于B,因为，，由面面垂直的判定定理得：，故B正确． 对于C，若，，不一定得到，例如长方体中，同一顶点出发的三个平面，故C错误， 对于D,若，，，则错误，如下图所示，原因是由题设条件无法推出一个平面经过另一个平面的垂线，故无法判定是否与一定垂直，故D错误； 故选：B 6. 如图1，在高为的直三棱柱容器 中，现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为 （如图2），则容器的高为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据三棱锥体积与三棱柱体积，由图2分析出水与容器体积的关系，即可求解. 【详解】由图2可知，三棱锥的体积是，占三棱柱体积的, 所以容器中水的体积占三棱柱容器体积的， 结合图1，可知，则. 故选：C 7. 若古典概型的样本空间，事件，事件，相互独立，则事件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据与是否相等判断事件是否独立，得到答案. 【详解】由题意得， A选项，，，故， 所以，故事件相互独立，A正确； B选项，，，故， 所以，故事件不相互独立，B错误； C选项，，，故， 所以，故事件不相互独立，C错误； D选项，，，故， 所以，故事件不相互独立，D错误； 故选：A 8. “迪拜世博会”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜举行，中国馆建筑名为“华夏之光”，外观取型中国传统灯笼，寓意希望和光明．它的形状可视为内外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个中国馆的实心模型，已知模型内层底面直径为，外层底面直径为，且内外层圆柱的底面圆周都在同一个球面上．若该模型的表面积为，此模型外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆柱的外接球性质以及几何体的表面积列式可得球的半径，进而可得球的体积. 【详解】设内、外层圆柱的高分别为，外接球的半径为， 由题意可得：，解得， 所以此模型外接球的体积为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 若为复数，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，对于A：根据共轭复数结合复数加法运算分析判断；对于B：根据共轭复数结合复数乘法运算分析判断；对于C：举反例说明即可；对于D：根据复数的模长公式结合复数除法运算分析判断. 【详解】设， 对于选项A：因为，则，故A正确； 对于选项B：因为， 则 ， 所以，故B正确； 对于选项C：例如，则， 可得，，即，故C错误； 对于选项D：若，则，即，可知， 可得， 所以，故D正确； 故选：ABD. 10. 若 两个随机事件，且，则（ ） A. 当 时， B. 当A和互斥时， C. 当A和独立时， D. 当A和独立时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：根据包含关系结合概率的性质分析判断；对于B：根据互斥事件结合事件的运算分析判断；对于C：根据题意结合独立事件概率乘法公式分析判断；对于D：根据互斥与独立事件概率的计算分析判断. 【详解】对于选项A：因为， 若，则，可得， 即，故A错误； 对于选项B：因为， 则， 若A和互斥，则，即， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，则， 若A和独立，则和独立， 所以，故C正确； 对于选项D：若，则， 即，可知A和不独立， 所以A和独立时，，故D正确； 故选：BCD. 11. 如图，在四边形中，和是全等三角形，． 下面有两种折叠方法将四边形折成三棱锥． 折法①；将沿着折起，得到三棱锥，如图1．折法②：将沿着折起，得到三棱锥，如图2．下列说法正确的是（ ） A. 按照折法①，三棱锥的外接球表面积恒为 B. 按照折法①，存在满足 C. 按照折法②，三棱锥外接球体积的最大值为 D. 按照折法②，当时，与平面所成角的正切值为 【答案】AD 【解析】 【分析】由已知利用棱锥的结构特征，球的表面积判断A；由棱锥的结构特征判断B；根据题意求外接球的半径，进而分析其最值即可判断C；由线面角的定义求出大小判断D. 【详解】由题意知， 设，可知为的中点，且， 取的中点，由于和是直角三角形且全等， 故，即四边形的外接圆圆心， 对于选项AB：在折法①的折叠过程中，三棱锥的外接球的球心为，半径为1， 故该球的表面积恒为，故A正确； 按照折法①，在折起过程中，点在平面内的投影在线段上(不包括端点)， 而线段 (不包括端点)不存在使得， 故不存在满足，故B错误； 对于选项C：按照折法②，设，此时的外接圆圆心为，三棱锥外接球的球心为， 则平面，平面，且， 可知，则， 可得， 且，则，可得， 即无最值，所以三棱锥外接球体积无最值，故C错误； 对于选项D：按照折法②，因为，，平面， 可得平面， 若，且，可得， 可知为锐角，且， 设点到平面的距离为， 由三棱锥的体积可得：，解得， 所以与平面所成角的正切值为，故D正确； 故选：AD. 【点睛】方法点睛：1.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解． 2.利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 甲、乙独立地解决同一数学问题，甲解决这个问题的概率是0.8，乙解决这个问题的概率是0.6，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是____________． 【答案】0.92## 【解析】 【分析】先求两个都没有解决的概率，然后由对立事件的概率可得. 【详解】解：由题意可得，甲、乙二人都不能解决这个问题的概率是．那么其中至少有1人解决这个问题的概率是1-0.08=0.92. 故答案为：0.92 13. 如图，圆锥底半径长为1，母线的长为6，是母线上一点，且． 一个质点从出发沿圆锥侧面图示路线到达． 若该质点走过的路程最短且质点在运动时先上升，后下降，则 的取值范围为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知，可求得圆锥侧面展开图扇形的圆心角是，由质点走过的路程最短且质点在运动时先上升，后下降，可得点到的距离小于，再由，即可得到的取值范围. 详解】 如图，圆锥侧面展开图中，， 所以，质点在上运动， 是母线上一点，作，垂足为， 则质点从到的运动过程中，质点到的距离减小，质点在运动时上升， 质点从到的运动过程中，质点到的距离增大，质点在运动时下降， 当时，质点在运动时上升，此时， 即是的中点， 当时，质点在运动时一直上升， 所以，即时，质点走过的路程最短且质点在运动时先上升，后下降， 由，可得，则，得. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用圆锥的侧面展开图，把立体问题转化为平面问题，进而分析求解. 14. 如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，1→2→3→5→7→8→9就是一条移动路线．从1移动到数字的不同路线条数记为，从1移动到9的事件中，经过数字的事件概率记为，则_____________；_____________________． 【答案】 ①. 8 ②. 【解析】 【分析】根据题意分析可知：，，进而求出相应的值，结合古典概型求. 【详解】由题意可知：， 若移动到数字，则由数字或数字移动一次得到，则， 据此可得，所以 又因为5到9共有56789，5679，5689，5789，579五条不同的路线， 所以经过5的路线共有，所以， 故答案为：8；. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 复数在复平面内对应的点位于第三象限，，且的虚部是实部的2倍 （1）求; （2）若复数使得为纯虚数，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件，设出复数，通过模长公式及所对点所在位置求出即可复数； （2）把（1）中所求复数代入，利用复数代数形式的乘除运算化简可得且，进而结合模长公式运算求解. 【小问1详解】 因为复数在复平面内对应的点位于第三象限，且的虚部是实部的2倍， 设， 又因为，则，解得或（舍去）， 所以. 【小问2详解】 设复数， 则 因为为纯虚数，则， 当时，解得， 即等价于且， 可得， 注意到，则， 所以的取值范围为. 16. 随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变．消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注． 某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在的老年人的年收入按年龄，分成两组进行分层抽样调查，已知抽取了年龄在的老年人人． 年龄在的老年人人．现作出年龄在的老年人年收入的频率分布直方图（如图所示）： （1）根据频率分布直方图，若每个区间取中点值为代表，估计该地年龄在的老年人年收入的平均数及第百分位数； （2）已知年龄在的老年人年收入的方差为，年龄在的老年人年收入的平均数和方差分别为和，试估计年龄在的老年人年收入的方差．（请先推导必要的公式，再代值计算） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图直接计算即可； （2）先根据方差的性质推出公式，再代入题目中的数据计算即可. 【小问1详解】 根据频率分布直方图，平均数为. 而由于， ， 故第百分位数在区间第百分位数内，设其为. 则，得. 所以第百分位数为. 【小问2详解】 先证明一个结论：对，设数据的平均值和方差分别为，数据的平均值和方差分别为，则数据的平均值和方差分别为和. 证明：设数据的平均值和方差分别为，则 由于方差. 故，，且 . 所以 . 这就证明了结论. 回到原题，本题中，，，，，. 代入数值即知所求方差为 . 17. 在四棱锥中，四边形为矩形，平面为垂足，，平面． （1）证明：为等腰三角形． （2）若为等腰直角三角形．设平面与平面的交线为 ，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线线平行可得面面平行，进而根据面面平行的性质可得，线线垂直可求证线面垂直，进而根据线面垂直的性质即可求证， （2）延长交于点，连接，分析可知即为二面角 的平面角，结合余弦定理运算求解. 【小问1详解】 取的中点，连接，，， 因为为的中点，所以． 又平面，平面，所以平面． 因平面，，平面， 所以平面平面． 因为平面平面，平面平面，所以． 因为，所以． 由平面，平面，可得． 又，平面,所以平面，平面, 从而． 因为是的中垂线，所以． 【小问2详解】 延长交于点，连接， 由平面，平面， 则， 因为∥，平面，平面，则∥平面， 且平面，平面平面，则∥， 即∥∥， 因为为等腰直角三角形．则，且， 且，可得，则， 又因为为矩形，则，可知∥， 则为矩形，则， 可得，， 由（1）可知：，则， 且，，平面， 则平面，且平面，可得， 即，可知即为二面角 的平面角， 可得， 所以二面角 的余弦值为. 18. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为， （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率； （2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率. 【详解】（1）记事件甲连胜四场，则； （2）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输， 则四局内结束比赛的概率为 ， 所以，需要进行第五场比赛的概率为； （3）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输， 记事件甲赢，记事件丙赢， 则甲赢的基本事件包括：、、、 、、、、， 所以，甲赢的概率为. 由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等， 所以丙赢的概率为. 【点睛】本题考查独立事件概率的计算，解答的关键就是列举出符合条件的基本事件，考查计算能力，属于中等题. 19. 如图，在矩形中，，，点分别在 上，且 ，沿 将四边形折成四边形． （1）求证：平面； （2）若点在平面上的射影在直线上，求直线与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，设点在线段上，平面与平面所成锐二面角的平面角为．若，求． 【答案】（1）证明过程见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过线面平行的判定定理证明平面，平面，再结合面面平行的判定定理、性质定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，由向量夹角的坐标公式即可得解； （3）引入参数，由此可表示出的坐标和平面的法向量，结合（2）中结论以及向量夹角的坐标公式即可得解. 【小问1详解】 ，平面，平面． 平面， 由，同理可得平面， 又，平面，平面， 平面平面，平面， 平面； 【小问2详解】 如图所示， 过作，过作平面， 分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系． 在平面上的射影在直线上， 设， ， 因为，且，； ，解得，， 而， 所以， 因为平面，平面， 所以， 因为，，平面，平面， 所以平面， 所以平面的一个法向量是， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值； 【小问3详解】 设，， 因为，， 所以， 所以， 从而， 设平面的法向量为， 所以， 设，解得，即， 由（2）可知平面的一个法向量是，， 由题意可知平面与平面所成锐二面角的余弦值 ， 整理得，，解得， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州一中2023—2024学年第二学期第四学段考试 高一数学（必修二）模块试卷 （完卷120分钟 满分150分） （注意：不得使用计算器，并把答案写在答案卷上） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则在复平面中对应点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 棉花纤维长度是衡量棉花质量的重要指标.在一批棉花中随机抽测20根棉花的纤维长度（单位：mm），按从小到大排序结果如下： 82 86 113 115 140 143 146 170 175 195 202 206 233 236 238 255 260 263 264 265 请你估计这批棉花的第5百分位数是（ ） A. 84 B. 86 C. 99.5 D. 115 3. 已知某19个数据的平均数为5，方差为2，现加入一个数5，此时这20个数据的平均数为，方差为，则（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 4. 某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有2000人，其中各种态度对应的人数如表所示： 最喜爱 喜爱 一般 不喜欢 480 720 640 160 电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行按比例分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽选出的人数分别为（ ） A. 24，36，32，8 B. 48，72，64，16 C. 20，40，30，10 D. 25，25，25，25 5. 已知三个不同的平面α，β，γ和两条不重合的直线m，n，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 若m//α，α∩β=n，则m//n B. 若α∩β=m，m⊥γ，则α⊥γ C. 若α⊥β，γ⊥β，则α//γ D. 若α∩β=n，mα，m⊥n，则α⊥β 6. 如图1，在高为的直三棱柱容器 中，现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为 （如图2），则容器的高为（ ） A B. C. 3 D. 4 7. 若古典概型的样本空间，事件，事件，相互独立，则事件可以是（ ） A. B. C. D. 8. “迪拜世博会”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜举行，中国馆建筑名为“华夏之光”，外观取型中国传统灯笼，寓意希望和光明．它的形状可视为内外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个中国馆的实心模型，已知模型内层底面直径为，外层底面直径为，且内外层圆柱的底面圆周都在同一个球面上．若该模型的表面积为，此模型外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 若为复数，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 10. 若 两个随机事件，且，则（ ） A. 当 时， B. 当A和互斥时， C. 当A和独立时， D. 当A和独立时， 11. 如图，在四边形中，和是全等三角形，． 下面有两种折叠方法将四边形折成三棱锥． 折法①；将沿着折起，得到三棱锥，如图1．折法②：将沿着折起，得到三棱锥，如图2．下列说法正确的是（ ） A. 按照折法①，三棱锥的外接球表面积恒为 B. 按照折法①，存在满足 C. 按照折法②，三棱锥外接球体积的最大值为 D. 按照折法②，当时，与平面所成角的正切值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 甲、乙独立地解决同一数学问题，甲解决这个问题的概率是0.8，乙解决这个问题的概率是0.6，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是____________． 13. 如图，圆锥底半径长为1，母线的长为6，是母线上一点，且． 一个质点从出发沿圆锥侧面图示路线到达． 若该质点走过的路程最短且质点在运动时先上升，后下降，则 的取值范围为_________________． 14. 如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，1→2→3→5→7→8→9就是一条移动路线．从1移动到数字的不同路线条数记为，从1移动到9的事件中，经过数字的事件概率记为，则_____________；_____________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 复数在复平面内对应的点位于第三象限，，且的虚部是实部的2倍 （1）求; （2）若复数使得为纯虚数，求的取值范围． 16. 随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变．消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注． 某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在的老年人的年收入按年龄，分成两组进行分层抽样调查，已知抽取了年龄在的老年人人． 年龄在的老年人人．现作出年龄在的老年人年收入的频率分布直方图（如图所示）： （1）根据频率分布直方图，若每个区间取中点值为代表，估计该地年龄在的老年人年收入的平均数及第百分位数； （2）已知年龄在的老年人年收入的方差为，年龄在的老年人年收入的平均数和方差分别为和，试估计年龄在的老年人年收入的方差．（请先推导必要的公式，再代值计算） 17. 在四棱锥中，四边形为矩形，平面为垂足，，平面． （1）证明：为等腰三角形． （2）若为等腰直角三角形．设平面与平面的交线为 ，求二面角的余弦值． 18. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为， （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 19. 如图，在矩形中，，，点分别在 上，且 ，沿 将四边形折成四边形． （1）求证：平面； （2）若点在平面上的射影在直线上，求直线与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，设点在线段上，平面与平面所成锐二面角的平面角为．若，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $