精品解析：湖南省祁阳市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

祁阳市2024年上期期末义务教育学业质量检测卷 八年级数学（试题卷） （时量：120分钟 分值：120分） 一、选择题（本题共10个小题，每小题只有一个正确答案，请将正确选项填涂到答题卡上相应的位置．每小题3分，共30分） 1. 人工智能与时代已悄然来临，科技逐渐融入人类生活．下列设计的人工智能图标中，是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解决问题的关键．中心对称图形定义：把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判断即可得出结论． 【详解】解：A、是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项符合题意； B、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故选项符合题意； C、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故选项不符合题意； D、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：A． 2. 点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是． 故选：D 3. 已知四个三角形分别满足下列条件：①一个内角等于另两个内角之和；②三个内角度数之比为3∶4∶5；③三边长分别为7，24，25；④三边长之比为5∶12∶13.其中直角三角形有(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】①已知∠A＝∠B＋∠C，由∠A＋∠B＋∠C＝180°，得2∠A＝180°，所以∠A＝90°，它是直角三角形；②三个内角之比为3∶4∶5．则这三个内角分别为45°，60°，75°，它是锐角三角形；③④可由勾股定理的逆定理判定是直角三角形．因此①③④是直角三角形，故选C. 4. 为推广全民健身运动，某单位组织员工进行爬山比赛，在50名报名者中，青年组有17人，中年组有20人，老年组有13人，则青年组频率是（ ） A. 0.34 B. 0.4 C. 0.26 D. 0.6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查频数与频率，用青年组的人数除以总人数可得青年组的频率． 【详解】解：青年组的频率是， 故选A． 5. 如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为，，则正确的是（ ） A. B. C. D. 无法比较与的大小 【答案】A 【解析】 【分析】多边形的外角和为，△ABC与四边形BCDE的外角和均为，作出选择即可． 【详解】解：∵多边形的外角和为， ∴△ABC与四边形BCDE的外角和与均为， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查多边形的外角和定理，注意多边形的外角和为是解答本题的关键． 6. 如图，点，将线段先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到线段，则点A的对应的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，根据点的平移规律，即可解答． 【详解】解：如图， 由题意得：点A的对应点， 故选：B． 7. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线和直线，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据两条直线的图象得到，，，，然后再进行判定求解． 【详解】解：∵一次函数与的图象分别为直线和直线， ∴，，，， ∴，，，， 故A，B，C项均错误，D项正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与k和b符号的关系，掌握当直线与y轴交于正半轴上时，；当直线与y轴交于负半轴时， 是解答关键． 8. 在中，，则两个锐角的度数为（ ） A. 和 B. 和 C. 和或和 D. 以上说法都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及直角三角形中两锐角互余等知识，分类计算，当时，，则，当时，，结合已知条件可得出和． 【详解】解：当时，， 则， 当时，， 则，， 故选：C． 9. 如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，以下结论错误的是（ ） A. 是的平分线 B. C. 点D在线段的垂直平分线上 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的含义，线段的垂直平分线的判定，含的直角三角形的性质，A．根据作图的过程可以判定是的角平分线；B．利用角平分线的定义可以推知，则由直角三角形的性质来求的度数；C．利用等角对等边可以证得，由线段垂直平分线的判定可以证明点在的垂直平分线上；D．利用角所对的直角边是斜边的一半求出，进而可得，则． 【详解】解：根据作图方法可得是的平分线，故A正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴点在的垂直平分线上，故C正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则，故D错误，符合题意， 故选：D． 10. 如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，应用直角三角形性质解决问题． 设的中点为O，连接，，证明，得出，点M在O点为圆心，4为半径的圆上，利用勾股定理求出从而计算出答案． 【详解】解：设的中点为O，连接，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴， ∵ ∴， ∴点M在O点为圆心，2为半径的圆O上． ∵ ∴ ∵的最小值为． 故选：D． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了利用勾股定理求平面直角坐标系中两点的距离，解题关键是掌握勾股定理． 直接利用勾股定理求解． 【详解】解：点到原点的距离是， 故答案为：5． 12. 如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐的底面周长是，高是，那么所需彩带最短的长度是________． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理求解即可． 【详解】解：由图可知，彩带从易拉罐底端的A处绕易拉罐4圈后到达顶端的B处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长， 设彩带长为， ∵易拉罐底面周长是，高是， ， 解得：， 所以彩带最短是， 故答案为：100． 13. 已知点，点，且直线轴，则m的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同列方程求出m的值，再求解即可． 【详解】解：直线轴， ， ， 故答案为：． 14. 如图，已知函数y=x+b和y=ax+3的图象交点为P，则不等式x+b＜ax+3的解集为_____． 【答案】x＜1 【解析】 【分析】当直线y=x+b的图象在直线y=ax+3的上方时，不等式x+b＞ax+3成立； 【详解】由于两直线的交点横坐标为：x=1， 观察图象可知，当x<1时，x+b<ax+3； 故答案为x<1． 考点： 一次函数与一元一次不等式． 15. 如图所示，E，F分别在和上，，则________． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，四边形内角和，平行线的判定与性质，根据已知可判定出四边形为菱形，得到，，根据平行线性质，等边对等角可得到，根据等边三角形的判定与性质可得，利用四边形内角和求出，利用平行线性质即可求出结果． 【详解】解：， 四边形为菱形， ，， ， ， ， ， 又， ， 同理， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：80． 16. 如图，和关于点C成中心对称，若，则的长是__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了中心对称的性质，勾股定理等知识，解题的关键是对中心对称性质的应用． 根据中心对称的性质得到，，继而求出 ，再根据勾股定理即可解答． 【详解】解：∵和关于点C成中心对称， ∴， ∴， 则． 故答案为：5． 17. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，然后根据∠C＝60°得出△BCD为等边三角形，即可得出答案． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，点D为边AC的中点， ∴， ∵∠C＝60°， ∴△BCD为等边三角形， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，根据题意得出△BCD为等边三角形，是解题的关键． 18. 如图所示，已知是腰长为的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第二个等腰直角三角形，再以的斜边为直角边，画第三个等腰直角三角形，……依此类推，则第2025个等腰直角三角形的斜边长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的变化规律，依据勾股定理求出斜边长，发现规律是解题的关键． 根据勾股定理依次求出斜边、、的长，得出规律即可． 【详解】解：∵是腰长为的等腰直角三角形， ∴， 在第二个等腰中，由勾股定理得：， 第三个等腰中，由勾股定理得： ， …… 依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长为， 第2025个等腰直角三角形的斜边长为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答题要求写出证明步骤或解答过程） 19. 已知函数． （1）若该函数是正比例函数，求m的值； （2）若这个函数图象过点，求这个函数的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，一次函数解析式的求解，一元一次方程的求解，熟练掌握相关定义是解题关键． （1）根据正比例函数定义可得，求出m的值即可； （2）利用待定系数法求出函数解析式即可． 【小问1详解】 解：函数是正比例函数， ， ； 【小问2详解】 将点代入函数解析式，得： ， 解得：， 因此函数解析式为：． 20. 已知点．求的面积． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形．根据，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴ 21. 如图，在中，是的中点，，交于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，线段垂直平分线的性质，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，注意方程思想在这类问题中的应用． （1）连接，由线段垂直平分线的性质可求得，再结合可求得，可证得结论； （2）设，则，根据勾股定理列出方程解答即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵D是的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴设，则， 在中 ∴， 解得： ∴． 22. 体育运动是一切生命的源泉，运动使人健康、使人聪明、使人快乐，运动不仅能改变人的体质，更能改变人的品格．某学校开展体育训练，倡导学生开展体育锻炼，校学生会随机抽取了部分学生，就“平均每周开展体育锻炼所用时长t（单位：小时）”进行了调查，并将收集的数据整理分析，共分为四组（A．，B．，C．，D．，其中每周运动时间不少于3小时为达标），绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）在这次抽样调查中，共调查了________名学生； （2）请补全频数分布直方图； （3）计算在扇形统计图中C组所对应扇形的圆心角的度数； （4）计算该学校这次调查中达标人数的频率． 【答案】（1）150 （2）见解析 （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，扇形统计图，频率的求解，能从统计图中获取有用信息是解题的关键． （1）将B组人数除以所占百分比即可求出共调查了多少名学生； （2）将调查的总人数减去A组，B组，D组频数即可求出C组人数，再补全频数分布直方图； （3）将C组频数除以调查人数乘以即可求出扇形统计图中C组所对应扇形的圆心角的度数； （4）将该校学生一周在家运动时长不少于3小时的人数除以调查人数即可． 【小问1详解】 解：∵B组30人，占比， ∴在这次抽样调查中，共调查了（名）， 故答案为：150； 【小问2详解】 解：C组频数为：， 补全频数分布直方图如下： 小问3详解】 解：扇形统计图中C组所对应扇形的圆心角的度数为：； 【小问4详解】 解：该校学生一周在家运动时长不少于3小时的人数的频率为． 23. 如图，在中，点，分别是边，的中点，点在线段上，，交于点． （1）证明：四边形是菱形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及勾股定理，熟练地掌握相关内容是解题的关键． （）根据三角形的中位线定理，易证四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知，即可证明四边形是菱形； （）用勾股定理即可求出，用中位线定理可求出，由（）可知，最后用即可求出． 【小问1详解】 解：∵点，点分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，点是的中点， ∴， ∴四边形是菱形； 小问2详解】 解：∵点，点分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴ 在中，∵， ∴， ∵，， ∴, ∴ ， ∴． 24. 如图1，在矩形中，，，动点P从点B出发，沿，，运动至点A停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示． （1）求y关于x的函数解析式； （2）当的面积为7.5时，求x的值． 【答案】（1）当时，；当时，；当时，； （2）当的面积为7.5时，x的值为3或10． 【解析】 【分析】考查了动点问题的函数图象、矩形的有关知识，解决本题的关键是读懂图意，将矩形中的数据与梯形中各边之间的关系相对应，此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力． 分或或时，结合三角形面积公式求解即可； 根据题意可知或，分别代入函数解析式求解x即可． 【小问1详解】 解：当时，点P上，则， 即； 当时，点P在上，， 即； 当时，点P在上，， 即； 【小问2详解】 解：∵， ∴或， 当时，，解得； 当时，，解得：； 综上所述，当的面积为7.5时，x的值为3或10． 25. 春分是二十四个节气中的第四个节气．这天以后太阳直射位置便向北移，北半球昼长夜短，所以春分是北半球春季的开始，也是农民播种蔬菜的好时机．我国农谚有云：“春分有雨家家忙，先种瓜豆后插秧”．种植户农民刘大伯开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格比菜苗基地贵10元，用600元在市场上购买的A种菜苗捆数和用400元在菜苗基地购买的捆数一样多． （1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格； （2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是40元．刘大伯决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数的3倍，菜苗基地为支持刘大伯，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．设刘大伯购买A种菜苗的捆数为x，共花费w元． ①求w关于x的函数关系式； ②求刘大伯购买菜苗最少花费多少钱． 【答案】（1）菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元 （2）①，②刘大伯购买菜苗最少花费2250元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一次函数的应用等知识点，审清题意、正确列出方程和函数解析式成为解题的关键． （1）设菜苗基地A种菜苗每捆x元，然后根据题意列出分式方程求解即可； （2）根据题意得购买B种菜苗的捆数为；根据不等关系“A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数的3倍”列不等式可得，然后再列出购买菜苗的花费为w元与x的函数关系式，最后根据一次函数的增减性即可解答． 【小问1详解】 解：设菜苗基地A种菜苗每捆x元， 根据题意得：，解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元． 【小问2详解】 解：根据题意得，购买B种菜苗的捆数为，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴w随x的增大而较小．当时，w最小， ∴(元)． 答：刘大伯购买菜苗最少花费2250元． 26. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，B，C两点的坐标分别为，，CD⊥y轴于点D，直线l 经过点D. （1）直接写出点D的坐标； （2）作CE⊥直线l于点E，将直线CE绕点C逆时针旋转45°，交直线l于点F，连接BF. ①依题意补全图形； ②通过观察、测量，同学们得到了关于直线BF与直线l的位置关系的猜想，请写出你的猜想； ③通过思考、讨论，同学们形成了证明该猜想的几种思路： 思路1：作CM⊥CF，交直线l于点M，可证△CBF≌△CDM，进而可以得出，从而证明结论. 思路2：作BN⊥CE，交直线CE于点N，可证△BCN≌△CDE，进而证明四边形BFEN为矩形，从而证明结论. …… 请你参考上面的思路完成证明过程.（一种方法即可） 解：（1）点D的坐标为 . （2）①补全图形. ②直线BF与直线l的位置关系是 . ③证明： 【答案】（1）.（2）①补图见解析；②BF⊥直线l；③见解析 【解析】 【分析】（1）由，CD⊥y轴于D，即可推出D（0，4）； （2）①画出图形即可；②结论：BF⊥直线l； ③证法一：如图2中，作CM⊥CF交直线l于M，想办法证明△CBF≌△CDM即可解决问题； 证法二：如图3中，作BN⊥CE于N；只要证明四边形EFBN是矩形即可． 【详解】解：（1）∵，CD⊥y轴于点D， ∴D； 故答案为：． （2）①补全图形见图1所示： ②结论：BF⊥直线l ； ③法1： 证明：如图2，作CM⊥CF，交直线l于点M． ∵ ，，， ∴ ，． ∵ CE⊥直线l，CM⊥CF，， ∴△CEF，△CEM 为等腰直角三角形， ∴，CF=CM． ∵ ，， ∴ ． 又∵ CB=CD， ∴ △CBF≌△CDM． ∴ ． ∴ ． ∴ BF⊥直线l． 法2： 证明：如图3，作BN⊥CE，交直线CE于点N． ∵ ，，， ∴ ，． ∵ CE⊥直线l， BN⊥CE， ∴ ． ∴ ，． ∴ ， 又∵ CB=DC， ∴ △BCN≌△CDE． ∴ BN= CE． 又∵ ， ∴△CEF为等腰直角三角形，EF = CE． ∴ BN= EF． 又∵ ， ∴ BN∥FE． ∴ 四边形BFEN为平行四边形． 又∵ ， ∴ 平行四边形BFEN为矩形． ∴ ． ∴ BF⊥直线l． 【点睛】本题考查四边形综合题.正方形的判定和性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和 性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 祁阳市2024年上期期末义务教育学业质量检测卷 八年级数学（试题卷） （时量：120分钟 分值：120分） 一、选择题（本题共10个小题，每小题只有一个正确答案，请将正确选项填涂到答题卡上相应的位置．每小题3分，共30分） 1. 人工智能与时代已悄然来临，科技逐渐融入人类生活．下列设计人工智能图标中，是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知四个三角形分别满足下列条件：①一个内角等于另两个内角之和；②三个内角度数之比为3∶4∶5；③三边长分别为7，24，25；④三边长之比为5∶12∶13.其中直角三角形有(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 为推广全民健身运动，某单位组织员工进行爬山比赛，在50名报名者中，青年组有17人，中年组有20人，老年组有13人，则青年组的频率是（ ） A. 0.34 B. 0.4 C. 0.26 D. 0.6 5. 如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为，，则正确的是（ ） A. B. C. D. 无法比较与的大小 6. 如图，点，将线段先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到线段，则点A的对应的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线和直线，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，则两个锐角的度数为（ ） A. 和 B. 和 C. 和或和 D. 以上说法都不对 9. 如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，以下结论错误的是（ ） A. 是的平分线 B. C. 点D在线段的垂直平分线上 D. 10. 如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是_____． 12. 如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐的底面周长是，高是，那么所需彩带最短的长度是________． 13. 已知点，点，且直线轴，则m的值是________． 14. 如图，已知函数y=x+b和y=ax+3的图象交点为P，则不等式x+b＜ax+3的解集为_____． 15. 如图所示，E，F分别在和上，，则________． 16. 如图，和关于点C成中心对称，若，则的长是__________． 17. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC的长为______． 18. 如图所示，已知是腰长为的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第二个等腰直角三角形，再以的斜边为直角边，画第三个等腰直角三角形，……依此类推，则第2025个等腰直角三角形的斜边长是________． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答题要求写出证明步骤或解答过程） 19. 已知函数． （1）若该函数是正比例函数，求m的值； （2）若这个函数图象过点，求这个函数的解析式． 20. 已知点．求的面积． 21. 如图，在中，是的中点，，交于点，且． （1）求证：； （2）若，，求长． 22. 体育运动是一切生命源泉，运动使人健康、使人聪明、使人快乐，运动不仅能改变人的体质，更能改变人的品格．某学校开展体育训练，倡导学生开展体育锻炼，校学生会随机抽取了部分学生，就“平均每周开展体育锻炼所用时长t（单位：小时）”进行了调查，并将收集的数据整理分析，共分为四组（A．，B．，C．，D．，其中每周运动时间不少于3小时为达标），绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）在这次抽样调查中，共调查了________名学生； （2）请补全频数分布直方图； （3）计算在扇形统计图中C组所对应扇形的圆心角的度数； （4）计算该学校这次调查中达标人数的频率． 23. 如图，在中，点，分别是边，的中点，点在线段上，，交于点． （1）证明：四边形是菱形； （2）若，，，求的长． 24. 如图1，在矩形中，，，动点P从点B出发，沿，，运动至点A停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示． （1）求y关于x的函数解析式； （2）当的面积为7.5时，求x的值． 25. 春分是二十四个节气中第四个节气．这天以后太阳直射位置便向北移，北半球昼长夜短，所以春分是北半球春季的开始，也是农民播种蔬菜的好时机．我国农谚有云：“春分有雨家家忙，先种瓜豆后插秧”．种植户农民刘大伯开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格比菜苗基地贵10元，用600元在市场上购买的A种菜苗捆数和用400元在菜苗基地购买的捆数一样多． （1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格； （2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是40元．刘大伯决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数的3倍，菜苗基地为支持刘大伯，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．设刘大伯购买A种菜苗的捆数为x，共花费w元． ①求w关于x的函数关系式； ②求刘大伯购买菜苗最少花费多少钱． 26. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，B，C两点的坐标分别为，，CD⊥y轴于点D，直线l 经过点D. （1）直接写出点D的坐标； （2）作CE⊥直线l于点E，将直线CE绕点C逆时针旋转45°，交直线l于点F，连接BF. ①依题意补全图形； ②通过观察、测量，同学们得到了关于直线BF与直线l的位置关系的猜想，请写出你的猜想； ③通过思考、讨论，同学们形成了证明该猜想的几种思路： 思路1：作CM⊥CF，交直线l于点M，可证△CBF≌△CDM，进而可以得出，从而证明结论. 思路2：作BN⊥CE，交直线CE于点N，可证△BCN≌△CDE，进而证明四边形BFEN为矩形，从而证明结论. …… 请你参考上面的思路完成证明过程.（一种方法即可） 解：（1）点D坐标为 . （2）①补全图形. ②直线BF与直线l的位置关系是 . ③证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $