精品解析：福建省福州市仓山区福建师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题

福建师大附中2023-2024学年第二学期期末考试 高一数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 命题：曾豪阁 审核：周裕燕 试卷说明： （1）本卷共四大题，20小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷． （2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设为虚数单位，复数z满足，则复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数除法运算法则，求得复数的代数形式，再利用虚部的定义可以求解. 【详解】因为， 所以， 所以复数的虚部为. 故选：B 2. 某汽车生产厂家用比例分配的分层随机抽样方法从，，三个城市中抽取若干汽车进行调查，各城市的汽车销售总数和抽取数量如右表所示，则样本容量为（ ） 城市 销售总数 抽取数量 420 280 20 700 A. 60 B. 80 C. 100 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】根据分层抽样的方法求解. 【详解】由题可得，，，三个城市的销售总数比为， 所以，所以 所以样本容量为100. 故选:C 3. 某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解. 【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件， 其中这2名学生来自不同年级的基本事件有， 所以这2名学生来自不同年级的概率为. 故选：D. 4. 设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】举例说明判断ACD；利用线面垂直性质、面面垂直的判定推理判断B. 【详解】对于A，在长方体中，平面，平面分别为，分别为直线， 显然，而平面平面，A错误； 对于B，由，知存在过的平面与相交，令交线为，则，而， 于是，，B正确； 对于C，在长方体中，平面，平面分别为，分别为直线， 显然，而平面平面，C错误； 对于D，在长方体中，平面，平面分别为，分别为直线， 显然，而平面平面，D错误. 故选：B 5. 如图，在三棱锥中，，，，分别是，的中点.则异面直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】为中点，可知即为异面直线，所成角（或其补角），余弦定理求解即可. 【详解】连结，取中点，连结，，如图所示， 则，可知即为异面直线，所成角（或其补角）， ，， ，， 所以，即异面直线，所成角的余弦值为. 故选：D 6. 有一组样本数据：，其平均数为2024．由这组数据得到新的样本数据：，2024，那么这两组数据一定有相同的（ ） A. 极差 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 【答案】A 【解析】 【分析】由题意不妨设，由极差、中位数、方差以及众数的概念并结合的平均数为2024，即可逐一判断各个选项. 【详解】对于A，不妨设已经按照从小到大的顺序排列好了， 由其平均数为2024可知，， 所以两组数据的极差都是，故A正确； 对于B，取为满足题设， 但是的中位数为2023， 的中位数为，故B错误； 对于C，结合B选项以及题设可知， 的平均数是2024， 的平均数也是2024， 的方差为， 的方差为，故C错误； 对于D，的众数是2029， 的众数是2024，2029，故D错误. 故选：A. 7. 已知正四棱台上底面边长为，下底面边长为，体积为，则正四棱台的侧棱与底面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出相应图形，借助正四棱台的性质及体积公式可得其高，结合线面角定义计算即可得解. 【详解】如图所示，作于点， 则，即， ， 则， 由正四棱台的侧棱与底面所成角即为与底面所成角， 设其为，则，即. 故答案为：. 8. 已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，底面是以B为直角顶点的直角三角形，且，三棱锥P-ABC的体积为，过点A作于M，过M作MN⊥PC于N，则三棱锥P-AMN外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意求得，再利用线面垂直的判定定理与性质定理证得，PC⊥平面AMN，从而可将三棱锥P-AMN补形成一个长方形，由此得解. 【详解】由题可知中，，所以， 又PA⊥底面ABC，三棱锥P-ABC的体积为， 所以，则， 因为PA⊥底面ABC，底面ABC，所以， 又，且，PA，AB平面PAB，所以BC⊥平面PAB， 又平面PAB，则， 又，PB，BC平面PBC，所以AM⊥平面PBC， 又PC，MN平面PBC，， 又，平面AMN，所以PC⊥平面AMN， 则三棱锥P-AMN的四个顶点可以与一个长方体的四个顶点重合，如图所示， 则该长方体的外接球即三棱锥P-AMN的外接球， 设外接球半径为R，故，所以， 所以三棱锥P-AMN外接球的体积为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某班级体温检测员对一周内甲乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 乙同学体温的极差为0.3℃ B. 甲同学体温的中位数与平均数相等 C. 乙同学体温的方差比甲同学体温的方差小 D. 甲同学体温的第60百分位数为36.6℃ 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定的折线图，利用极差、中位数、平均数、方差、第p百分位数的意义逐项计算判断作答. 【详解】由乙同学体温折线图知体温的极差为36.5℃36.3℃0.2℃，A错误； 甲同学的体温由低到高为：36.2℃，36.2℃，36.4℃，36.4℃，36.5℃，36.5℃，36.6℃， 因此中位数为36.4℃，平均数为℃，B正确； 乙同学体温的平均数为℃，与甲同学体温的平均数相同， 甲同学体温的极差为0.4℃，大于乙同学体温的极差，因此乙同学的体温比甲同学的稳定， 所以乙同学体温的方差比甲同学体温的方差小，C正确； 由及选项B知，甲同学体温的第60百分位数为36.5℃，D错误. 故选：BC 10. 如图是一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为奇数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件B与C互斥 B. C. 事件与相互独立 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据互斥事件的概念以及相关公式和古典概型与事件独立的乘法公式进行计算与判断即可. 【详解】由题意得，事件的样本点为，事件的样本点为，事件的样本点为， 事件与共有样本点，所以不互斥，故错误； 事件的样本点为，所以，故正确； ，的样本点为，所以，所以事件与不相互独立，故错误； 事件的样本点为，所以，，故正确； 故选：. 11. 如图，正方体中，顶点在平面内，其余顶点在的同侧，的交点为，顶点到的距离分别为，则（ ） A. 平面 B. 到平面的距离为1 C. 平面平面 D. 正方体的棱长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据点到面的距离的性质，结合面面垂直的判定定理、面面相交的性质进行求解判断即可. 【详解】对于A，因为B，C到的距离分别为1，2，显然不相等，所以BC不可能与平面平行，因此选项A不正确； 对于B，的交点为，显然是的中点，因为平面，顶点到的距离为，所以到的距离为1，因此选项B正确; 对于C，到的距离分别为，所以到的距离为，因此，即， 设平面，所以，因为是正方形，所以， 又因为平面平面，所以， 因为平面，所以平面， 因此有平面，而，所以平面平面，因此选项C正确； 对D，因为平面平面，所以令平面平面， 因为平面平面， 所以在平面的射影与共线， 显然，，如图所示： 由， 由（负值舍去）， 因此选项D正确， 故选：BCD. Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 某地天气预报中说未来三天中该地下雪的概率均为0.6，为了用随机模拟的方法估计未来三天中恰有两天下雪的概率，用计算机产生之间的随机整数，当出现随机数1，2或3时，表示该天下雪，其概率为0.6，每3个随机数一组，表示一次模拟的结果，共产生了如下的20组随机数： 则据此估计该地未来三天中恰有两天下雪的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题中的条件，找出20个随机数中表示三天中有两天下雪的随机数，确定其个数，利用古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【详解】在20组随机数中，找出三位数中有2个数字为，或的即可， 故表示三天中有两天下雪的随机数有：，共有9个， 根据古典摡型的概率计算公式，可得该地未来三天中恰有两天下雪的概率为. 故答案为： 13. 与是两个单位向量，，则当______时，取得最小值． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】先由向量加法法则及其几何意义得出与夹角为，再建立平面直角坐标系，用坐标进行运算即可求解，或也可通过作图探究最小值. 【详解】法一：因为与是两个单位向量，， 所以由向量加法法则及其几何意义可知与夹角为， 将、放置共起点位置，如图所示，建立平面直角坐标系， 则，， 所以， 所以当 ，取得最小值为. 故答案为：. 法二：因为与是两个单位向量，， 所以由向量加法法则及其几何意义可知与夹角为， 将、与放置共起点位置，如图所示： 则终点始终在过终点且平行于所在直线上， 且当与垂直时取得最小值为， 此时，即. 故答案为：. 14. 如图，直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点，为直四棱柱表面上的动点，若，，，四点共面，则动点P的轨迹的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】设直线分别于得延长线交于点，连接，交于点，连接，交于点，得到截面，再利用直四棱柱的柱长和结构特征得到截面的各边长. 【详解】设直线分别于得延长线交于点，连接，交于点， 连接，交于点，连接， 所以动点P的轨迹为直四棱柱的截面五边形. 由平行线分线段比例可知：， 故，故为等腰直角三角形， 所以，故，则， . 所以五边形的边长为： . 故答案为：. 四、解答题：5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图,在直四棱柱中,底面四边形是直角梯形，其中. （1）求证：直线平面； （2）试求三棱锥体积. 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据给定的几何体，证明平面，再利用线面垂直的性质、判定推理作答. （2）利用等体积法计算作答. 【小问1详解】 在直角梯形中，，则，，有， 在中，， 即有，则，在直四棱柱中，平面， 平面，有，而，平面， 于是得平面，而平面，则， 矩形中，，则矩形是正方形，即有， 因，平面， 所以平面. 【小问2详解】 在直四棱柱中，，，平面，则平面， 因，平面，平面，则平面， 因此点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以三棱锥的体积. 16. 在中，角的对边分别为． （1）求的大小； （2）若，且边上的中线长为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解； （2）取的中点，连接，在和中，分别利用余弦定理表示，结合化简求出，再利用三角形的面积公式即可得解. 【小问1详解】 ， 由余弦定理得， 化简得． ； 【小问2详解】 由（1）可得①， 又②， 取的中点，连接， 在中，③， 由②③得④， 由①④得，解得或（舍去）， ， . 17. 一城市的某爱心机构建议市民应合理使用手机，可以尝试设定使用时间限制，多参加户外活动，与人面对面交流，让生活更加丰富多彩，为了更好地做好该项宣传工作，做到宣传的全面有效，该机构随机选择了100位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如下： （1）请估计这100位市民的平均年龄，结果请保留整数（同组数据用区间的中点值代替） （2）请估计该市市民中的一位市民年龄位于区间的概率； （3）从100位市民里年龄在和的两组中用比例分配的分层抽样方法抽取6人再从这6人中不放回地随机抽取2人进行电话回访，若抽取的2人的年龄差大于10，则代表该机构宣传工作做得全面，获得好评，求该机构宣传工作获得好评的概率． 【答案】（1）48； （2）0.43； （3）. 【解析】 【分析】（1）运用区间的中点值代替组值，运用平均数公式计算即可； （2）求出区间的长方形面积和即可; （3）运用古典概型的公式，结合列举法求解即可. 【小问1详解】 这100位市民的平均年龄为： ， 即这100位市民的平均年龄约为48； 【小问2详解】 这100位市民的年龄位于区间的频率为， 故估计该市市民中的一位市民年龄位于区间的概率为0.43； 【小问3详解】 参与调查的100为市民中年龄在区间内的人数为， 年龄在区间内的人数为， 按照分层抽样的方法抽取6人， 则年龄在区间内应抽取人，设为1，2，3，4； 年龄在区间内的应抽取人，设为； 从6人中按照不放回抽样抽取2人，所有可能出现的情况如下： ， 共15种； 从2人的年龄差大于10的有，共8种； 则获得好评的概率为． 18. 某学校组织校园安全知识竞赛.在初赛中有两轮答题，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分若两轮总积分不低于60分则晋级复赛. 小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5.在A类的5个问题中，小明只能答对4个问题；在B类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响. （1）求小明在第一轮得40分的概率； （2）以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？ 【答案】（1）； （2）小明更容易晋级复赛. 【解析】 【分析】（1）对A类的5个问题进行编号：，设小明只能答对4个问题的编号为：，列出所有的样本空间，即可求出小明在第一类得40分的概率； （2）依题意能够晋级复赛，则第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分；或第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分；或第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分；或第一轮答对一题得分，第二轮答对两题得分；分别求出小芳和小明晋级复赛的概率，进行比较得出结论. 【小问1详解】 对A类的5个问题进行编号：，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答， 则有共种， 设小明只能答对4个问题的编号为：， 则小明在第一轮得40分，有共种， 则小明在第一轮得40分的概率为：； 【小问2详解】 由（1）知，小明在第一轮得40分的概率为， 则小明在第一轮得0分的概率为：， 依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分 当第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分时， 小芳和小明晋级复赛的概率分别为： ； ； 当第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分时， 小芳和小明晋级复赛的概率分别为： ；； 当第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分时， 小芳和小明晋级复赛的概率分别为： ；； 当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分时， 小芳晋级复赛的概率分别为： ； 小芳晋级复赛的概率为：； 小明晋级复赛的概率为：； ， 小明更容易晋级复赛. 19. 如图，在三棱锥中，侧面和底面均为正三角形，且． （1）求证：； （2）已知在棱上（不含端点）且， （ⅰ）若，求二面角的大小； （ⅱ）若直线与平面所成角的正弦值为，求实数的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）（ⅰ）；（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和线面垂直的定义求解即可, （2）（ⅰ）结合第一小问可以证明出是二面角的平面角，接着利用解三角形的知识求解从而；（ii）利用直线与平面PBC所成角的正弦值为，求出与平面的距离为，利用待定系数法结合等体积法求解出结果. 【小问1详解】 （1）取的中点，连接， 因侧面和底面均为正三角形， 所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以； 【小问2详解】 （ⅰ）连接，由，所以为的中点， 由（1）可知平面，又平面，所以． 所以是二面角的平面角， 又侧面和底面均为正三角形，， 所以， 所以平分，又， 在中，由余弦定理可得， 所以，所以， 所以二面角的大小为； （ⅱ）因为，又直线与平面PBC所成角的正弦值为， 所以与平面的距离为， 由（ⅰ）可得，由题意，可得， 在出，由余弦定理可得： ， 由， 可得， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福建师大附中2023-2024学年第二学期期末考试 高一数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 命题：曾豪阁 审核：周裕燕 试卷说明： （1）本卷共四大题，20小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷． （2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设为虚数单位，复数z满足，则复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 3 2. 某汽车生产厂家用比例分配的分层随机抽样方法从，，三个城市中抽取若干汽车进行调查，各城市的汽车销售总数和抽取数量如右表所示，则样本容量为（ ） 城市 销售总数 抽取数量 420 280 20 700 A. 60 B. 80 C. 100 D. 120 3. 某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（ ） A. 若，则 B 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 如图，在三棱锥中，，，，分别是，的中点.则异面直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 有一组样本数据：，其平均数为2024．由这组数据得到新的样本数据：，2024，那么这两组数据一定有相同的（ ） A. 极差 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 7. 已知正四棱台上底面边长为，下底面边长为，体积为，则正四棱台的侧棱与底面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，底面是以B为直角顶点的直角三角形，且，三棱锥P-ABC的体积为，过点A作于M，过M作MN⊥PC于N，则三棱锥P-AMN外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某班级体温检测员对一周内甲乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 乙同学体温的极差为0.3℃ B. 甲同学体温的中位数与平均数相等 C. 乙同学体温方差比甲同学体温的方差小 D. 甲同学体温的第60百分位数为36.6℃ 10. 如图是一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为奇数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件B与C互斥 B. C. 事件与相互独立 D. 11. 如图，正方体中，顶点在平面内，其余顶点在同侧，的交点为，顶点到的距离分别为，则（ ） A. 平面 B. 到平面距离为1 C. 平面平面 D. 正方体的棱长为 Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 某地天气预报中说未来三天中该地下雪的概率均为0.6，为了用随机模拟的方法估计未来三天中恰有两天下雪的概率，用计算机产生之间的随机整数，当出现随机数1，2或3时，表示该天下雪，其概率为0.6，每3个随机数一组，表示一次模拟的结果，共产生了如下的20组随机数： 则据此估计该地未来三天中恰有两天下雪的概率为__________. 13. 与是两个单位向量，，则当______时，取得最小值． 14. 如图，直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点，为直四棱柱表面上的动点，若，，，四点共面，则动点P的轨迹的长度为______． 四、解答题：5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图,在直四棱柱中,底面四边形是直角梯形，其中. （1）求证：直线平面； （2）试求三棱锥的体积. 16. 在中，角的对边分别为． （1）求的大小； （2）若，且边上中线长为，求的面积． 17. 一城市的某爱心机构建议市民应合理使用手机，可以尝试设定使用时间限制，多参加户外活动，与人面对面交流，让生活更加丰富多彩，为了更好地做好该项宣传工作，做到宣传的全面有效，该机构随机选择了100位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如下： （1）请估计这100位市民的平均年龄，结果请保留整数（同组数据用区间的中点值代替） （2）请估计该市市民中的一位市民年龄位于区间的概率； （3）从100位市民里年龄在和的两组中用比例分配的分层抽样方法抽取6人再从这6人中不放回地随机抽取2人进行电话回访，若抽取的2人的年龄差大于10，则代表该机构宣传工作做得全面，获得好评，求该机构宣传工作获得好评的概率． 18. 某学校组织校园安全知识竞赛.在初赛中有两轮答题，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分若两轮总积分不低于60分则晋级复赛. 小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5.在A类的5个问题中，小明只能答对4个问题；在B类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响. （1）求小明在第一轮得40分的概率； （2）以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？ 19. 如图，在三棱锥中，侧面和底面均为正三角形，且． （1）求证：； （2）已知在棱上（不含端点）且， （ⅰ）若，求二面角的大小； （ⅱ）若直线与平面所成角的正弦值为，求实数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$