5.4 一元一次方程的应用 第4课时课件-2024—-2025学年冀教版（2024）数学七年级上册

2024年秋季 数学 冀教版（2024） 七年级上册 冀教版2024 5.4 一元一次方程的应用 第4课时 追及及等积变形问题 第五章 一元一次方程 学习目标 1.通过对追及和等积变形问题的解决过程，进一步体会“同一个量的不同表示”这个基本的等量关系. 2.在解决追及和等积变形问题的过程中引导学生多角度地分析和解决问题，发展思维能力 . 想一想： 阿基米德为了帮助国王辨别皇冠的真假，需要测量皇冠的体积，确定皇冠的密度，聪明的阿基米德用非常巧妙的方法测出了皇冠的体积，你知道他是如何测量的吗？ h r = 课堂导入 小明早晨要在7：20以前赶到距家1 000米的学校上学．一天，小明以80米/分的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘了带历史作业，于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他． 问爸爸追上小明用了多长时间？ 新知探究 知识点1 追及问题 分析：当爸爸追上小明时，两人所走路程相等. 解：设爸爸追上小明用了x分钟，则此题的数量关系可用线段图表示. 据题意，得 80×5＋80x=180x. 答：爸爸追上小明用了4分钟． 解得 x=4. 80×5 80x 180x 新知探究 知识点1 追及问题 1、追击问题=速度差×追击时间=路程差；2、识别相遇问题和追及问题的方法：看方向（相反是相遇，相同是追及）。 追及问题解题思路： 追及问题中的等量关系： 速度差×追及时间=追及路程 其中追及时间指快者和慢者共同行驶的时间，追及路程指慢者先行驶的路程. 新知探究 知识点1 追及问题 例1 某学校七年级学生进行了一次徒步行走活动.带队教师和学生们以4 km/h的速度从学校出发，20 min后，小王骑自行车前去追赶.如果小王以12 km/h的速度行驶，那么小王要用多久才能追上队伍？此时，队伍已走了多远？ 分析：小王追上队伍，就是小王和队伍走过的路程相等. 即小王骑车行驶的路程=队伍行走的路程. 列方程时，量的单位要统一, 20min= h. 新知探究 知识点1 追及问题 解：设小王要用x h才能追上队伍，这时队伍行走的时间为（ ）h.依题意，得 解得 答：小王要 h才能追上队伍.此时，队伍已行走了2 km. 新知探究 知识点1 追及问题 例2 甲、乙两地相距100 km，一列慢车与一列快车同时从甲、乙两地出发，慢车每小时行驶65 km，快车每小时行驶85 km，快车行驶几小时后追上慢车？ 分析：快车与慢车同时出发，即它们行驶的时间相等. 快车追上慢车，比慢车多行驶的距离即为甲、乙两地的距离. 即：快车行驶路程=慢车行驶路程+100km. 解：设快车出发x h能追上慢车. 依题意，得 解得 x=5. 答：快车出发5h能追上慢车. 新知探究 知识点1 追及问题 归纳总结 追及问题： 1.同地不同时：(1) (2) (a为慢者先走的时间） 2.同时不同地：(1) (2) 新知探究 知识点1 追及问题 把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本.这个班有多少名学生，共有多少本图书？ 【分析】如果设这个班有x名学生，则图书的本数可以表示为___________本 或___________本. 根据图书的本数可以列方程解决. 解：设这个班有x名学生，根据题意列方程，得 解得x=45. 所以3x+20=3×45+20=155. 答：这个班有45名学生，共有155本图书. 新知探究 知识点2 盈亏问题 例3 某农场要对一块麦田施底肥，现有化肥若干千克．如果每公顷施肥400 kg，那么余下化肥800 kg；如果每公顷施肥500 kg，那么缺少化肥300 kg；这块麦田是多少公顷？现有化肥多少千克？ 【分析】设这块麦田有x公顷，根据题意可得化肥的总数可表示为400x+800，或500x﹣300，根据化肥的总数不变可得方程． 解：设这块麦田有x公顷，根据题意, 得 400x+800＝500x﹣300， 解得 x＝11． 现有化肥数：400x+800＝5 200． 答：这块麦田是11公顷，现有化肥5 200千克． 新知探究 知识点2 盈亏问题 对于第2个问题，可分设几问，如：化肥为ykg时，由“每公顷施肥400kg，余下800kg”，用含y的代数式表示麦田公顷数是什么？由“每公顷施肥500kg，余下300kg”，用含y的代数式表示麦田公顷数是什么？二者之间有什么关系？怎样列关于y的方程？ 常见图形周长及面积公式 名称 图形 正方形 三角形 梯形 圆 平行四边形 r a b h c d a h b c a a h b 用字母表示公式 周长（C） 面积（S） 新知探究 知识点3 等积变形问题 常见图形的体积公式 名称 图形 用字母表示公式 体积（V） 正方体 长方体 圆柱体 圆锥体 a a b c r h r h 新知探究 知识点3 等积变形问题 问题 用一根长为100米的铁丝围成一个长比宽长10米的长方形，问这个长方形的长和宽各是多少米？ 在这个过程中什么没有发生变化？ 长方形的周长=原铁丝的长度 新知探究 知识点3 等积变形问题 解：设长方形的宽为x米，则长为(x+10)米. 依题意，得 2（x+x+10）=100. 解得 x=20. 所以长为x+10=20+10=30（米）. 答：长方形的长为30米，宽为20米. 新知探究 知识点3 等积变形问题 例4 如图，用直径为200毫米的圆钢，锻造一个长、宽、高分别为300毫米、300毫米和90毫米的长方体毛坯底板，应截取圆钢多少？（计算时，π取3.14） 200 x 90 300 300 新知探究 知识点3 等积变形问题 解：设应截取圆钢x毫米.依题意，得 【分析】本题中涉及的等量关系为 圆钢体积=长方体毛胚的体积 答：应截取258毫米长的圆柱体钢. 解得 等积变形就是无论物体怎么变化都存在一个等量关系，即物体变化前后面积或体积不变 新知探究 知识点3 等积变形问题 1.一个长方形的周长是40 cm，若将长减少8 cm，宽增加2 cm，长方形就变成了正方形，则正方形的边长为( 　　) A.6 cm　　　B.7 cm　　　C.8 cm　　　D. 9 cm B 随堂练习 2.一个宽为3cm的长方形与一个边长为6cm的正方形面积相等，则这个长方形的周长为（ ） A.12 cm B.18 cm C.24 cm D.30 cm D 3.甲、乙两人练习赛跑，从同一地点出发，甲每秒跑7米，乙先跑1秒，结果甲用10秒追上乙，在这个过程中下列说法正确的是(　　) A．乙跑了1秒 B．乙跑了11秒 C．甲跑了11秒 D．甲比乙跑的路程少 B 随堂练习 4.一种牙膏出口处直径为5 mm，小明每次刷牙都挤出1 cm长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次，该品牌牙膏推出新包装，只是将出口处直径改为6 mm，小明还是按习惯每次挤出1 cm 的牙膏，这样，这一支牙膏能用多少次？ 解：设这一支牙膏能用x次. 依题意，得 π×2.52×10×36＝π×32×10x. 解得 x=25. 答：这一支牙膏能用25次. 随堂练习 5.若干辆汽车装运一批货物，若每辆车装运3.5吨，则这批货物还有2吨运不走，若每辆车装运4吨，那么装完这批货物后，有一辆汽车只装3吨．问这批货物有多少吨？有多少辆汽车？ 解：设有x辆汽车，依题意列方程，得 3.5x+2=4x-1. 解得x=12. 所以4x-1=4×12-1=47. 答：这批货物有47吨，有12辆汽车. 随堂练习 6．一个底面直径为16厘米的圆柱形木桶内装满水，水中淹没着一个底面直径为8厘米、高为15厘米的铁质小圆柱体．当铁质小圆柱体取出后，木桶内水面下降了多少？ [解析] 木桶内水面下降的圆柱体体积＝铁质小小圆柱体体积． 解：设木桶内水面下降xcm.由题意,得 解得 答：木桶内水面下降 随堂练习 7.A，B两车分别停靠在相距115千米的甲、乙两地，A车每小时行50千米，B车每小时行30千米，A车出发1.5小时后B车再出发.若两车同向而行（B车在A车前面），请问B车行了多长时间后被A车追上？ 解：设B车行驶了xh后被A车追上. 由题意，得 1.5×50+50x-30x=115. 解得 x=2. 答：B车行驶了2h后被A车追上. 【分析】本题中涉及的等量关系为： A车先行路程 + A车后行路程 - B车路程 = 115千米. 随堂练习 课堂小结 列方程解决盈亏、追击及等积变形问题 追及问题 等积变形问题 同地不同时 同时不同地 等长变形 等积变形 盈亏问题 根据总数不变列方程 谢谢！同学们再见！ $$