湖南省岳阳市岳阳县第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

试卷共 4 页 第1页 2023-2024 学年高一年级下期期考试题 数 学 满分：150分 时间：120分钟 命题人：丁岳龙 审题人：黄岳辉 一．选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1．设 z=2-i，则 的虚部是（ ） A．1 B．﹣1 C．﹣i D．i 2．在平行四边形 ABCD 中，点 E 满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 3．已知 α，β是两个不同的平面，m，n 是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A．若 m 上有两点到平面 α距离相等，则 m∥α B．若 α∥β，m⊂α，n⊂β，则 m 与 n 是异面直线 C．若 α∥β，m⊂α，n⊂β，则 m 与 n 没有公共点 D．若 α∩β＝n，m⊂α，则 m 与 β一定相交 4． 样本中共有 5 个个体，其值分别为 a、1、2、3、4，若该样本的中位数为 2，则 a 的取值范围为（ ） A．（0，1） B．（1，2） C．（﹣∞，2] D．[1，2] 5．2023 年 10 月 31 日，神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天的热爱．某 校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取 100 名学生成绩的频率分 布直方图如图所示，设这组样本数据的 75%分位数为 x，众数为 y，则（ ） A．x＝88，y＝90 B．x＝83，y＝90 C．x＝83，y＝85 D．x＝88，y＝85 6．设 z1、z2 为复数，下列命题一定成立的是（ ） A．如果 ，那么 z1＝z2＝0 B．如果|z1|＝|z2|，那么 z1＝±z2 C．如果|z1|≤a，a 是正实数，那么﹣a≤z1≤a D．如果 ，那么 z 为实数 试卷共 4 页 第2页 7*．已知△ABC 的外接圆圆心为 O，且 ，则向量 在向量 上的投影向量 为（ ） A． B． C． D． 8．欧拉公式 eiθ＝cosθ+isinθ把自然对数的底数 e、虚数单位 i、三角函数联系在一起，被誉为“数学中的天 桥”．若复数 z 满足 ，则|z﹣eiθ|的取值范围为（ ） A．[1，9] B．[1，3] C．[1，5] D．[3，5] 二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9．已知一组数据 x1，x2，…，x11是公差不为 0 的等差数列，若去掉数据 x6，则（ ） A．中位数不变 B．平均数不变 C．方差变大 D．方差变小 10．为了解“全民齐参与城市更美丽”的志愿服务情况，随机抽取了 100 名志愿者进行问卷调查，将这 100 名志愿者问卷调查的得分按[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成 5 组，并绘制出 频率分布直方图，如图所示，则下列结论正确的是（ ） A．a＝0.015 B．估计这 100 名志愿者问卷调查得分的 90%分位数为 85 C．这 100 名志愿者问卷调查得分的平均数为 75（同一组中的数据 用该组区间的中点值为代表） D．若采用分层随机抽样从得分在[50，60），[90，100]内的志愿者 中抽取 8 人，则抽取的这 8 名志愿者得分在[50，60）内的人数为 6 11． 已知事件 A，B 发生的概率分别为 P（A）＝0.2，P（B）＝0.4，则下列结论正确的有（ ） A．若 A 与 B 互斥，则 P（A+B）＝0.6 B．若 A⊆B，则 P（AB）＝0.4 C．若 ，则 A 与 B 相互独立 D．若 A 与 B 相互独立，则 P（A+B）＝0.52 三．填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12*．已知| |＝4，| |＝3，（2 3 ）•（2 ）＝61，则向量 与 的夹角 θ = ——————． 13．每年农历五月初五为端午节，又称端阳节；端午节是为了纪念楚国爱国诗人屈原而设立的传统节日．端 午节对于中华民族的文化传承具有重要意义，也成为了中华文化与世界文化交流的窗口．更有吃粽子， 试卷共 4 页 第3页 赛龙舟，挂菖蒲、蒿草、艾叶，薰苍术、白芷，喝雄黄酒的习俗．2023 年 6 月 22 日是我国的传统节日 “端午节”．这天，楠楠的妈妈煮了 9 个粽子，其中 4 个腊肉馅，5 个豆沙馅．楠楠想尝下粽子的味道， 第一次尝了一个粽子觉得味道好吃，接着第二次又尝了一个粽子，则楠楠第一次和第二次尝的都是腊肉 馅的概率为 ． 14．已知边长为 2 的等边△ABC 中，D 为 BC 的中点，以 AD 为折痕进行折叠，使折后的 ，则 过 A，B，C，D 四点的球的体积为 ． 四．解答题:本大题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13 分）．在△ABC 中，设角 A、B、C 所对边的边长分别为 a、b、c，已知 ． （1）求角 B 的大小； （2）当 ， 时，求边长 c 和△ABC 的面积 S． 16*．（15 分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜 对的概率为 ，乙每轮猜对的概率为 ．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影 响．求（1）甲在两轮活动中恰好猜对一个成语的概率；（2）“星队”在两轮活动中猜对 3 个成语的概率． 17．（15 分）如图，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P 分别是棱 CD，DD1，AA1 的中点． （1）求证：PC∥平面 AMN； （2）求直线 PM 与平面 BCC1B1 所成角的正弦值． 试卷共 4 页 第4页 18*．（17 分）互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系．如果坐标系中两条坐标轴不垂直， 那么这样的坐标系称为斜坐标系．如图，设 Ox，Oy 是平面内相交成 60°角的两条数轴， ， 分别是 与 x 轴、y 轴正方向同向的单位向量．若向量 ，则把有序数对（x，y）叫做向量在斜坐 标系 xOy 中的坐标． （1）设 ，求 ； （2）已知 ， ，求 ； （3）若 ， ， 与 的夹角记为 θ，求 θ的余弦值． 19．（17 分）已知 O 为坐标原点，对于函数 f（x）＝asinx+bcosx，称向量 为函数 f（x）的相 伴特征向量，同时称函数 f（x）为向量 的相伴函数． （1）求 的“相伴特征向量”； （2）已知 A（﹣2，3），B（2，6）， 为 的相伴特征向量， ， 请问在 y＝φ（x）的图象上是否存在一点 P，使得 ，若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明 理由； （3）记向量 的相伴函数为 f（x），若当 时不等式 恒成立， 求实数 k 的取值范围． 试卷共 4 页 第 1 页 2023-2024 学年高一年级下期期考试题 数 学（答案） 满分：150分 时间：120分钟 命题人：丁岳龙 审题人：黄岳辉 一、二．选择题答案 题号 1 2 3 4 5 6 7* 8 9 10 11 答案 A B C C D D A B ABC ABD ACD 注意：第 7 题见必修二教材 P24 第 21 题（原题） 三．填空题答案 12*（必修二教材 P24 第 18 题改）． ， 13． ， 14． ． 四．解答题答案 15．（13 分）解：（1）由正弦定理得 ， 由于 C＝π﹣（A+B），则 ， 展开得 ， 化简得 ， 则 ，所以 ； （2）由正弦定理，得 ，即有 ， 因为 a＜b，所以 A 是锐角，即 ， 因为 ，所以 ， 由正弦定理，得 ， 所以 ． 16*（教材 P25 例 3 改）．（15 分）解：（1）设 A1 表示甲两轮猜对 1 个成语的事件，则 P（A1） 。 （2）设 A1，A2 分别表示甲两轮猜对 1 个，2 个成语的事件，B1，B2 分别表示乙两轮猜对 1 个，2 个成语 的事件， 试卷共 4 页 第 2 页 P（A1） ，P（A2） ． P（B1） ，P（B2） 设 A＝“两轮活动‘星队’猜对 3 个成语”，则 A＝A1 B2∪A2 B1，且 A1 B2 与 A2 B1 互斥，A1 与 B2，A2 与 B1 分别相互独立， 所以 P（A）＝P（A1 B2）+P（A2 B1 ）＝P（A1 ）P（B2 ）+P（A2）P（ B1） ． 因此，“星队”在两轮活动中猜对 3 个成语的概率是 ． 17．（15 分）（1）证明：连接 PD，与 AN 交于点 E，连接 EM， 因为四边形 ADNP 是矩形，所以 E 是 PD 的中点， 又 M 是 CD 的中点，所以 PC∥EM， 因为 PC⊄平面 AMN，EM⊂平面 AMN， 所以 PC∥平面 AMN． （2）解：由正方体的性质知，平面 BCC1B1∥平面 ADD1A1， 所以直线 PM 与平面 BCC1B1 所成角等价于直线 PM 与平面 ADD1A1所成角， 因为 MD⊥平面 ADD1A1， 所以∠MPD 为直线 PM 与平面 ADD1A1 所成角， 设正方体的棱长为 2，则 PA＝DM＝1，AD＝2， 所以 ， ， 所以 ， 故直线 PM 与平面 BCC1B1所成角的正弦值为 ． 18（教材 P37T15 改编）．（17 分）解：（1）由题意知， ， ， 因为 3 2 ，所以 9 12 • 4 9+6+4＝19， 所以| | ； （2） ， ， 则 ， ， 所以 ， 试卷共 4 页 第 3 页 ； （3） ， ， 根据（2）的结果可知， ； 因为 4 16 • 16 4+8+16＝28，所以| |＝2 ； 因为 36 36 • 9 36﹣18+9＝27，所以| |＝3 ， 所以 ． 19．（17 分）解：（1）因为 g（x）＝cos（x ）﹣2cos（x+α） cosx sinx﹣2（cosxcosα﹣sinxsinα） ＝（2sinα ）sinx+（ 2cosα）cosx，所以 g（x）的相伴特征向量为 （2sinα ， 2cosα）； （2）由 为 的相伴特征向量，可知 m＝﹣2， 所以 ， 设 ， 因 为 A （ ﹣ 2 ， 3 ）， B （ 2 ， 6 ）， 所 以 ， ， 由 ，得 ，所以 ， 整理得 ，即 ， 因为 ，所以 ，可得 ， 结合 ，可知：当 x＝0 时， 和 的值同时取到 ，这时（*）式成立． 因此，在 y＝h（x）图像上存在点 P（0，2），使得 ； （3）向量 的相伴函数为 ， 试卷共 4 页 第 4 页 当 时， ， 即 ， 恒成立． 所以（i）当 ， 时， ，所以 ，即 ， 由 于 ， 所 以 的 最 小 值 为 ， 所 以 ； （ii）当 ， ，不等式可化为 1＞0 成立． （ iii ） 当 ， 时 ， 有 恒 成 立 ， 即 ， 由 于 ， 所 以 的 最 大 值 为 ， 所 以 ． 综上所述，k 的取值范围是 ．