精品解析：湖南省衡阳市蒸湘区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2024年上学期期末监测试卷 七年级数学 考生注意：本试卷共6页，3大题，满分120分，考试时量为120分钟 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知x=1是方程x+2a=-1的解，那么a的值是（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 3. 方程3x+4＝2x﹣5移项后，正确的是（　　） A. 3x+2x＝4﹣5 B. 3x﹣2x＝4﹣5 C. 3x﹣2x＝﹣5﹣4 D. 3x+2x＝﹣5﹣4 4. 对于二元一次方程，下列结论正确的是(     ) A. 任何一对有理数都是它的解 B. 只有一个解 C. 只有两个解 D. 有无数个解 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 7. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 8. 在下列正多边形组合中，能铺满地面是（ ） A 正八边形和正方形 B. 正五边形和正八边形 C. 正六边形和正三角形 D. 正三角形和正方形 9. 我国古代数学著作《九章算术》记载了一道“牛马问题”：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价．一马、二牛价不满一万，如半牛之价．问牛、马价各几何．”其大意为：现有两匹马加一头牛的价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱；一匹马加上二头牛的价钱则不到一万，不足部分正好是半头牛的价钱，求一匹马、一头牛各多少钱？设一匹马价钱为x元，一头牛价钱为y元，则符合题意的方程组是（　　） A. B. C. D. 10. 小明把一副，的直角三角板如图摆放，其中，，，则等于 （ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．） 11. 已知是关于的一元一次方程，则______． 12. 已知是方程组的解，则的值为________． 13. 一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，则这个多边形的边数为______． 14. 如图，已知，若∠BAC=60°，∠ACD=23°，则__________． 15. 如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多3，与的和为13，则________． 16. 若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为________． 17. 如图，在中，，将沿方向平移的长度得到，已知．则图中阴影部分的面积 _____． 18. 一列方程如下排列： 解是； 的解是； 的解是； …… 根据观察得到的规律，写出其中解是的方程：____________． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 解方程：． 20. 解方程组： 21. 解不等式组，并在数轴上表示它解集． 22. 如图，在直角三角形中，是斜边上高，，求： （1）的度数； （2）的度数． 23. 为建设“秀美幸福之市”，我市绿化提质改造工程正如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵，对外环路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元． （1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲种树苗多少棵? （2）若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？ 24. 如图是一个4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1．请你在网格中以左上角的三角形为基本图形，通过平移、对称或旋转变换，设计一个精美图案，使其满足： ①既是轴对称图形，又是以点O为对称中心的中心对称图形； ②所作图案用阴影标识，且阴影部分的面积为4． 25. 为加快复工复产，某企业需运输批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱． (1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资； (2)计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5 000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元，请你列出所有运输方案,并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少? 26. 如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN=30°． (1)将如图中的三角尺绕点O顺时针旋转至如图，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数； (2)将如图中的三角尺绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第______秒时，边MN恰好与射线OC平行；在第　　　秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC．(直接写出结果)； (3)将如图中的三角尺绕点O顺时针旋转至如图，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年上学期期末监测试卷 七年级数学 考生注意：本试卷共6页，3大题，满分120分，考试时量为120分钟 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：、，，故本选项正确； 、，，故本选项错误； 、，，故本选项错误； 、，，故本选项错误． 故选：． 【点睛】本题考查不等式的性质，不等式的基本性质1 ：若a<b和b<c，则a<c（不等式的传递性）；不等式的基本性质2：不等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得到的不等式仍成立；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，所得的不等式仍成立；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，必须把不等号的方向改变，所得的不等式成立． 2. 已知x=1是方程x+2a=-1的解，那么a的值是（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：根据方程解的定义，将方程的解代入方程可得关于字母系数a的一元一次方程，从而可求出a的值． 解：把x=1代入方程，得：1+2a=﹣1， 解得：a=﹣1． 故选A． 点评：已知条件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，转化为关于字母系数的方程进行求解．可把它叫做“有解就代入”． 3. 方程3x+4＝2x﹣5移项后，正确的是（　　） A. 3x+2x＝4﹣5 B. 3x﹣2x＝4﹣5 C. 3x﹣2x＝﹣5﹣4 D. 3x+2x＝﹣5﹣4 【答案】C 【解析】 【分析】根据等式的性质，方程3x+4＝2x﹣5移项后，正确的是：3x﹣2x＝﹣5﹣4． 【详解】解：方程3x+4＝2x﹣5移项后， 正确的是：3x﹣2x＝﹣5﹣4． 故选：C． 【点睛】本题考查了移项的运算法则，解题的关键是掌握移项的法则进行解题． 4. 对于二元一次方程，下列结论正确的是(     ) A. 任何一对有理数都是它的解 B. 只有一个解 C. 只有两个解 D. 有无数个解 【答案】D 【解析】 【分析】将二元一次方程3x+2y=11，化为用一个未知数表示另一个未知数的情况，即可解答． 【详解】解：原方程可化为y=，可见对于每一个x的值，y都有唯一的值和它相对应， 故方程有无数个解． 故选D 【点睛】考查二元一次方程的解的定义，要求理解什么是二元一次方程的解． 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得出不等式组的解集，再找到对应的数轴表示即可． 详解】解：由题意可得： 不等式组的解集为：-2≤x＜1， 在数轴上表示为： 故选A. 【点睛】此题主要考查了不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 6. 以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系：“任意两边之和大于第三边，”进行判断即可． 【详解】解：A、，不能组成三角形，故不符合题意； B、，不能组成三角形，故不符合题意； C、，不能组成三角形，故不符合题意； D、，能组成三角形，故符合题意； 故选：D． 7. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】A.是轴对称图形不是中心对称图形，符合题意， B.是轴对称图形也是中心对称图形，不符合题意， C.是中心对称图形不是轴对称图形，不符合题意， D. 轴对称图形也是中心对称图形，不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称图形与中心对称图形，正确地识别是解题的关键． 8. 在下列正多边形组合中，能铺满地面的是（ ） A. 正八边形和正方形 B. 正五边形和正八边形 C. 正六边形和正三角形 D. 正三角形和正方形 【答案】ACD 【解析】 【分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满． 【详解】解：A、正方形的每个内角是90°，正八边形的每个内角是135°，由于90＋2×135＝360，故能铺满，符合题意； B、正五边形和正八边形内角分别为108°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满，不合题意； C、正六边形和正三角形内角分别为120°、60°，由于60×4＋120＝360，故能铺满，符合题意； D、正三角形、正方形内角分别为60°、90°，由于60×3＋90×2＝360，故能铺满，符合题意． 故选：ACD． 【点睛】本题考查了平面密铺的知识，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 9. 我国古代数学著作《九章算术》记载了一道“牛马问题”：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价．一马、二牛价不满一万，如半牛之价．问牛、马价各几何．”其大意为：现有两匹马加一头牛的价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱；一匹马加上二头牛的价钱则不到一万，不足部分正好是半头牛的价钱，求一匹马、一头牛各多少钱？设一匹马价钱为x元，一头牛价钱为y元，则符合题意的方程组是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据现有两匹马加一头牛的价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱；一匹马加上二头牛的价钱则不到一万，不足部分正好是半头牛的价钱，可以列出相应的方程组． 【详解】解：设一匹马价钱为x元，一头牛价钱为y元， 由现有两匹马加一头牛的价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱，可得方程，由一匹马加上二头牛的价钱则不到一万，不足部分正好是半头牛的价钱，可得方程，故可得方程组， 故选：B． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组． 10. 小明把一副，的直角三角板如图摆放，其中，，，则等于 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角的性质．根据三角形的外角的性质结合角的和与差，计算即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ，， ， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．） 11. 已知是关于的一元一次方程，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由是关于的一元一次方程，可得且，从而可得答案． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查是一元一次方程的定义，熟记一元一次方程的定义是解本题的关键． 12. 已知是方程组的解，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组，将代入，将两个方程相加可得答案． 【详解】解：将代入，得：， 得：， 解得， 故答案为：2． 13. 一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，则这个多边形的边数为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，任何多边形的外角和是360度，因而这个正多边形的内角和为度．边形的内角和是，代入就得到一个关于的方程，就可以解得边数． 【详解】解：根据题意，得 ， 解得：． 所以此多边形的边数为12． 故答案为：12． 14 如图，已知，若∠BAC=60°，∠ACD=23°，则__________． 【答案】97°##97度 【解析】 【分析】根据全等三角形对应角相等求出∠DAC的度数，再根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解． 【详解】解：∵△ABC≌△ADC，∠BAC=60°， ∴∠DAC=∠BAC=60°， 又∵∠ACD=23°， ∴在△ACD中， ∠D=180°-60°-23°=97°． 故答案为：97°． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应顶点的字母放在对应位置结合图形准确确定对应角是解题的关键，还利用了三角形的内角和定理． 15. 如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多3，与的和为13，则________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的中线的定义， 根据三角形中线的定义得到，根据三角形周长公式得到，再由，然后问题可求解． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵的周长，的周长，且的周长比的周长多3， ∴， ∴， 又∵ ∴． 故答案为：8． 16. 若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】先解不等式组中的两个不等式，然后根据不等式组无解可得关于a的不等式，解不等式即得答案． 【详解】解：对不等式组， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵原不等式组无解， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握解一元一次不等式组的方法是关键． 17. 如图，在中，，将沿方向平移的长度得到，已知．则图中阴影部分的面积 _____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平移的性质得到即，再根据再证明，最后根据梯形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵将沿方向平移的长度得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：19.5． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等． 18. 一列方程如下排列： 的解是； 的解是； 的解是； …… 根据观察得到的规律，写出其中解是的方程：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方程的解，观察方程得出规律是解题的关键．根据观察，可发现规律：第一个的分子是分母是解的二倍，第二个分子是减比解小1的数，分母是2，可得答案． 【详解】解：由一列方程如下排列： 的解是， 的解是， 的解是， 得第一个的分子是分母是解的二倍，第二个分子是减比解小1的数，分母是2， 解是的方程：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】直接去分母进而去括号，移项合并同类项，进而得出答案． 【详解】解：方程两边同乘以12得： ， 则， 故， 移项合并同类项得：， 解得：． 【点睛】此题主要考查了解一元一次方程，正确掌握解方程的方法是解题关键． 20. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】利用消元法进行求解即可. 【详解】， 得， 解得③， 将③代入②，得， ∴方程的解为. 【点睛】此题主要考查二元一次方程组的求解，熟练掌握，即可解题. 21. 解不等式组，并在数轴上表示它的解集． 【答案】，数轴表示见解析 【解析】 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再根据夹逼原则求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确求出每个不等式的解集是解题的关键． 22. 如图，在直角三角形中，是斜边上的高，，求： （1）的度数； （2）的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查垂线的定义、三角形外角的性质， （1）根据垂线的定义可得，再根据三角形外角的性质求解即可； （2）根据三角形外角的性质可得，即，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 23. 为建设“秀美幸福之市”，我市绿化提质改造工程正如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵，对外环路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元． （1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲种树苗多少棵? （2）若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？ 【答案】（1）购买甲种树苗300棵 （2）至少应购买甲种树苗240棵 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解此题的关键． （1）设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，根据“购买两种树苗的总金额为90000元”列出一元一次方程，解方程即可得出答案； （2）设应购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，根据“购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额”列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案． 【小问1详解】 解：设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵， 由题意，得， 解得：． 答：购买甲种树苗300棵． 【小问2详解】 解：设应购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵， 由题意，得， 解得：． 答：至少应购买甲种树苗240棵． 24. 如图是一个4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1．请你在网格中以左上角的三角形为基本图形，通过平移、对称或旋转变换，设计一个精美图案，使其满足： ①既是轴对称图形，又是以点O为对称中心的中心对称图形； ②所作图案用阴影标识，且阴影部分的面积为4． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据轴对称图形的性质以及阴影部分面积求法得出即可，本题答案不唯一，只要满足题目两个条件即可． 【详解】解：如图所示；答案不唯一． 【点睛】此题主要考查了利用旋转以及利用轴对称变换设计图案，正确利用中心对称和轴对称图形的定义得出是解题关键． 25. 为加快复工复产，某企业需运输批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱． (1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资； (2)计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5 000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元，请你列出所有运输方案,并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少? 【答案】（1）1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输150箱，100箱物资；（2）共有3种方案，6辆大货车和6辆小货车，7辆大货车和5辆小货车；8辆大货车和4辆小货车，当安排6辆大货车和6辆小货车时，总费用最少，为48000元. 【解析】 【分析】（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输x箱，y箱物资，根据题意列出二元一次方程组，求解即可； （2）设安排m辆大货车，则小货车（12-m）辆，总费用为W，根据运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元分别得出不等式，求解即可得出结果. 【详解】解：（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输x箱，y箱物资， 根据题意，得：， 解得：， 答：1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输150箱，100箱物资； （2）设安排m辆大货车，则小货车（12-m）辆，总费用为W， 则150m+（12-m）×100≥1500， 解得：m≥6， 而W=5000m+3000×（12-m）=2000m+36000＜54000， 解得：m＜9， 则6≤m＜9， 则运输方案有3种： 6辆大货车和6辆小货车； 7辆大货车和5辆小货车； 8辆大货车和4辆小货车； ∵2000＞0， ∴当m=6时，总费用最少，且为2000×6+36000=48000元. ∴共有3种方案，当安排6辆大货车和6辆小货车时，总费用最少，为48000元. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的实际应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系和不等关系，列出式子. 26. 如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN=30°． (1)将如图中的三角尺绕点O顺时针旋转至如图，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数； (2)将如图中的三角尺绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第______秒时，边MN恰好与射线OC平行；在第　　　秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC．(直接写出结果)； (3)将如图中的三角尺绕点O顺时针旋转至如图，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）150°；（2）9或27　12或30；（3）∠AOM与∠NOC之间的数量关系为∠AOM－∠NOC＝30°，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据邻补角定义求出∠BOC=120°，再根据角平分线的定义求出∠COM，然后根据∠CON=∠COM+90°解答； （2）分别分两种情况根据平行线的性质和旋转的性质求出旋转角，然后除以旋转速度即可得解； （3）用∠AOM和∠CON表示出∠AON，然后列出方程整理即可得解． 【详解】解：（1）∵∠AOC=60°， ∴∠BOC=120°， 又∵OM平分∠BOC， ∴∠COM=∠BOC=60°， ∴∠CON=∠COM+90°=150°； （2）∵∠OMN=30°， ∴∠N=90°-30°=60°， ∵∠AOC=60°， ∴当ON在直线AB上时，MN∥OC， 旋转角为90°或270°， ∵每秒顺时针旋转10°， ∴时间为9或27， 直线ON恰好平分锐角∠AOC时， 旋转角为90°+30°=120°或270°+30°=300°， ∵每秒顺时针旋转10°， ∴时间为12或30； 故答案为：9或27；12或30． （3）∵∠MON=90°，∠AOC=60°， ∴∠AON=90°-∠AOM， ∠AON=60°-∠NOC， ∴90°-∠AOM=60°-∠NOC， ∴∠AOM-∠NOC=30°， 故∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM-∠NOC=30°． 【点睛】此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$