精品解析：山东省青岛市崂山区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

八年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共15小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义和轴对称图形的定义，根据中心对称图形的定义（把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，）和轴对称图形的定义（如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，）进行逐一判断即可． 【详解】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 如果，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．利用不等式的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：A、如果，那么，故本选项错误，不符合题意； B、如果，那么，本选项错误，不符合题意； C、如果，那么，故本选项错误，不符合题意； D、如果，那么，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 3. 随着青岛市地铁线路陆续开通，小明同学上学不再乘坐公交车，改乘地铁，这样他乘坐地铁上学比乘坐公交车上学所需要的时间少了10分钟．已知小明同学家距学校8千米，乘坐地铁平均速度比乘坐公交车平均速度每小时快20千米，若设乘公交车平均速度为x千米每小时，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找出等量关系式是解题的关键．等量关系式：乘坐公交车所用的时间乘坐地铁所用的时间小时，据此列出方程，即可求解． 【详解】解：10分钟小时， 由题知，， 故选：B． 4. 下列各式从左到右，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题关键．把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解．根据因式分解的定义逐一判断，即可得到答案． 【详解】A、，结果不是整式乘积的性质，不属于因式分解，是多项式乘多项式，不符合题意； B、，结果不是整式乘积的性质，不属于因式分解，不符合题意； C、，属于因式分解，符合题意； D、，原等式结果中因式不是整式，不符合题意； 故选：C． 5. 下列正多边形中，与正三角形同时使用不能进行镶嵌的是（） A. 正六边形 B. 正十二边形 C. 正八边形 D. 正四边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平面镶嵌（密铺），掌握“判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能”是解题的关键．根据判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能判断即可． 【详解】解：选项，正六边形的每个内角等于，，故该选项不符合题意； 选项，正十二边形的每个内角等于，，故该选项不符合题意； 选项，正八边形的每个内角等于，与正三角形不能铺满地面，故该选项符合题意； 选项，正四边形的每个内角等于，，故该选项不符合题意； 故选：． 6. 如图，绕点A按顺时针方向旋转后与重合，连接，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转性质，得到是旋转角是解答的关键．根据旋转性质得旋转角为可求解． 【详解】解：绕点A按顺时针方向旋转后与重合， ． 故选：D． 7. 如图，平分，于点A，点Q是射线上的一个动点．若，则的长不可能是（　　） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂线段最短得出当时，的值最小，根据角平分线性质得出的最小值等于，再逐一判断即可． 本题考查了角平分线的性质，垂线段最短的应用，求出的最小值是解题的关键． 【详解】解：∵平分，于点A，， ∴当时，， ∴， ∴的长不可能． 故选：A． 8. 某电梯乘载的重量超过1000公斤时会响起警示音，小刚、小明的体重分别为55公斤、70公斤．小刚、小明依序进入电梯，小刚走进后，警示音没响，小明走进后，警示音响起．设两人没进入电梯前已乘载的重量为x公斤，则x满足（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是根据题意找到不等关系．根据题意分别列出不等式即可求解． 【详解】解：由题意可知：小刚的重量为55公斤，小刚走进后，警示音没响, 所以此时电梯乘载的重量， 解得， 因为小明的重量分别为70公斤．且进入电梯后，警示音响起， 所以此时电梯乘载的重量， 解得， 因此． 故选：C． 9. 如图，将一副直角三角板在平行四边形中作如下摆放，若，那么（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形性质，三角形外角性质，多边形内角和，根据平行四边形性质得到，利用三角形外角性质得到，最后利用四边形内角和即可得到的度数． 【详解】解：如图： 四边形为平行四边形， ， ， ， 由题知，， ． 故选：A． 10. 已知直线与x轴交于点，直线与x轴交于点，据此推断不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了利用一次函数图象解不等式，数形结合是解题的关键，根据图象即可得到不等式的解集． 【详解】解：∵直线与x轴交于点，直线与x轴交于点，与轴的交点坐标为． 由图象可知，不等式的解集是， 故选：D 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 若分式的值为0，则x的值为______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据分式的值为零的条件列式求出x的值即可．本题主要考查了分式值为零的条件，解题关键在于掌握若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴． 故答案为：0． 12. 如图，在中，点是边上的一点．若，，则的度数为 ___． 【答案】32 【解析】 【分析】题目主要考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质三角形内角和定理，根据等边对等角得出，再由三角形内角和定理确定，利用三角形外角的性质即可求解，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键 【详解】解：， ， ， ， ，， ， 故答案为：32． 13. 如图，在中，，，将绕O点逆时针方向旋转到的位置，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，旋转的性质，解题的关键在于作辅助线构造全等三角形．作轴，轴，得到，，由旋转的性质可知，，，，证明，利用全等三角形性质可得，，进而可得，即可解得点的坐标． 【详解】解：作轴于E，轴， ， ， ，， 在中，， ， 由旋转的性质可知，，，， ， ， ， ，， ， 点的坐标是． 故答案为：． 14. 如图，在中，垂直平分线段，E为的中点，连接，若，则的长为 ______. 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，掌握这些知识是关键；由垂直平分线的性质、等腰三角形的性质得；由互余关系得，从而；再可得，从而求解． 【详解】解：垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， 则； 在中，E为中点，， ， ， ． 故答案为：6． 15. 如图，在四边形中，，，为的中点，将，分别平移到和的位置，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了图形得平移变换及性质，平行四边形的判定和性质，首先证明四边形，四边形均为平行四边形，从而得，，进而得，据此可得出的长． 【详解】解：∵为的中点，， ∴ 根据平移的性质得：， 又∵， ∴四边形，四边形均为平行四边形， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 16. 如图，在平行四边形中，，的平分线，分别与相交于点，，与相交于点，有下列结论： ①； ②； ③若连接，，则； ④若，，则． 其中，正确的结论是______．（填写序号即可） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据平行四边形两组对边分别平行可得，再根据角平分线的性质可得，进而可得①正确；由平行四边的性质及角平分线的定义得，从而得，于是得，由，得于是故③正确，过作，再利用勾股定理计算出的长即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，． ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，，故②正确； ∴．故①正确； 如图， ∵， ∴，即 ∴故③正确； 过点作，交的延长线于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴ ∵，， ∴， ∴在中，，即， 所以故④错误． 故答案为：①②③． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质及判定，角平分线的定义，平行线的性质，勾股定理，以及等腰三角形的判定，解题时要数形结合，便于求得相关线段间的数量关系． 三、作图题（本大题满分4分） 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17. 已知：，线段． 求作：等腰，使得顶角，底边上的中线长为线段的长度． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、尺规作图，解决此题的关键是熟悉作等角，作角平分线，过已知点作垂线的尺规作图．先作一等角，然后利用三线合一的性质作角的平分线，取长为，再过此点作垂线交的两边于，． 【详解】作法：(1)作， (2)作的平分线，并在射线上截取， (3)过点作直线分别交的两边于，， 则为所求的三角形． 【点睛】【点睛】 四、解答题（本大题共8小题，满分68分） 18. 计算 （1）解不等式组：，并求出该不等式组的最大整数解； （2）分解因式：． 【答案】（1），不等式组的最大整数解为1． （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及公式法因式分解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解． （1）先分别解两个不等式，求出它们解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出其中的最大整数即可． （2）直接利用完全平方公式因式分解即可得解． 【小问1详解】 解： 解①，得， 解②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的最大整数解为1． 【小问2详解】 解： ． 19. 先化简，再求值：，然后从，0，1，2中选择一个合适的数代入求值． 【答案】； 时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式，然后根据分式有意义的条件把或代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 且， 可以取0或1， 当时，原式． 20. 某校学生会组织七年级和八年级共50名学生参加环保活动，七年级学生平均每人收集16个废弃塑料瓶，八年级学生平均每人收集24个废弃塑料瓶，请你根据以上信息，设计一个可以用一元一次不等式解决的问题，并给出解决方案． 【答案】问题：为了保证所收集的塑料瓶总数不少于880个，则七年级学生参加活动的人数至多是多少名？七年级学生参加活动的人数至多是名 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用．读懂题意，正确的列出不等式，是解题的关键．设七年级学生参加活动的人数是名，根据题意，列出不等式，进行求解即可． 【详解】解：问题：为了保证所收集的塑料瓶总数不少于880个，则七年级学生参加活动的人数至多是多少名？ 设七年级学生参加活动的人数是名，由题意，得： ， 解得：； ∴七年级学生参加活动的人数至多是名． 21. 证明：直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半．（根据命题画出图形，写出已知，求证，并完成证明过程．） 【答案】见解析 【解析】 【分析】画出图形，写出已知，求证，取的中点，连接．根据直角三角形的性质得到，推出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论； 【详解】已知：中，，， 求证：， 证明：取的中点，连接． 在中，点是的中点， ， ，， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 22. 在中，是中线，为的中点，过点作与的延长线相交于点． （1）如图①，连接，判断四边形的形状并证明你的结论； （2）如图②，连接，若，，求的度数． 【答案】（1）四边形是平行四边形，理由见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质得，由是的中点得，由证得，得出，即可得解； （2）连接，先证明四边形是矩形，得，由（）得，由是的中线得，则，又，则四边形是平行四边形，进而证明是等边三角形，即可得出结论． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ∵， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（）得：，四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ∴ ∵，是的中线， ， ∵, ∴四边形是平行四边形， ， ∴是等边三角形， ∴ 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定及性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 23. 为落实青岛市促进中小学生全面发展“十个一”项目行动计划，某学校准备购进一批足球和篮球使更多的学生参与这两个体育项目．据了解，某体育用品超市每个足球的价格比篮球的价格贵30元，用2400元购买篮球的数量是用1500元购买足球数量的2倍． （1）求每个足球和篮球的价格； （2）学校决定购买足球和篮球共54个，且购买足球的数量不少于篮球的数量的一半，求本次购买最少花费多少钱？ （3）在（2）最少花费方案下，体育用品超市为支持学校体育活动，对足球提供9折优惠，篮球提供7.5折优惠．学校决定将节约下的资金全部用于再次购买足球和篮球（此时按原价购买，可以只购买一种），求再次购买足球和篮球的方案． 【答案】（1）每个足球的价格为150元，每个篮球的价格为120元； （2）本次购买最少花费7020元钱； （3）学校再次购买足球和篮球的方案有3种：①只购买10个足球；②购买6个足球，5个篮球；③购买2个足球，10个篮球． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设每个足球的价格为元，则每个篮球的价格为元，根据用2400元购买篮球的数量是用1500元购买足球数量的2倍．列出分式方程，解方程即可； （2）设学校决定购买足球个，则购买篮球个，根据购买足球的数量不少于篮球的数量的一半，列出一元一次不等式，解得，设本次购买花费元，由题意得出与的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论； （3）求出学校节约资金1350元，设学校再次购买足球个，篮球个，再根据学校决定将节约下的资金全部用于再次购买足球和篮球（此时按原价购买，可以只购买一种），列出二元一次方程，求出非负整数解，即可解决问题． 【小问1详解】 解：设每个足球的价格为元，则每个篮球的价格为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：每个足球的价格为150元，每个篮球的价格为120元； 【小问2详解】 解：设学校决定购买足球个，则购买篮球个， 由题意得：， 解得：， 设本次购买花费元， 由题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值， 答：本次购买最少花费7020元钱； 【小问3详解】 解：由题意可知，学校节约资金：（元， 设学校再次购买足球个，篮球个， 由题意得：， 整理得：， 、都是非负整数， 或或， 学校再次购买足球和篮球的方案有3种：①只购买10个足球；②购买6个足球，5个篮球；③购买2个足球，10个篮球． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，动点从原点出发，沿轴正方向匀速运动，速度为；同时，动点从点出发，沿射线方向匀速运动，速度为/．设运动时间为（）． （1）求直线的函数关系式； （2）当时，直线与直线交于点，求点的坐标； （3）当为何值时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形． 【答案】（1）； （2）； （3）的值为或． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法可得直线的函数关系式为； （2）当时，，可得直线解析式为，联立，即可解得； （）根据题意得，由，分两种情况∶①当，为对角线时，，的中点重合，，②当，为对角线时，，的中点重合，，解方程可得答案． 【小问1详解】 解：设直线的函数关系式为，把，代入得∶ 解得 ∴直线的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，，， ∴，， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， ， 解得， 直线解析式为 联立， 解得． ∴； 【小问3详解】 解：根据题意得， ∵， ∴， 当，为对角线时，，的中点重合，， 解得； 当，为对角线时，，的中点重合，， 解得； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，一次函数图象上点坐标的特征，平行四边形的判定与性质等，解题的关键是用含的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度． 25. 综合实践课上，同学们展开了以“轴对称”为主题的探究活动． 实践操作： 四边形是平行四边形，，，在边上取一点，如图①，连接，点关于的对称点为点，连接，． 问题解决： （1）当与重合时，连接，与有何位置和数量关系，请说明理由； （2）如图②，当时，连接，与位置关系为______，数量关系为______； （3）若，时，求线段的长． 【答案】（1），．理由见解析； （2），； （3）的长为或． 【解析】 【分析】（1）由对称的性质可知，利用边角边证明即可得到． （2）由对称的性质可知，先证是等边三角形，可得，由直角三角形的性质可求，，，即可求解； （3）要考虑点在点两侧的情况：①当点在点的右侧时，，可证明，求出，再按照计算即可；②当点在点的左侧时，，过点作于点，利用三角函数求出即可． 【小问1详解】 解：，，理由如下： 四边形是平行四边形，， 且．， ， ．， ，， ， 当与重合时，如图，连接， 由对称的性质可知，， ， ， 与中， ， ， ． ∴，． 【小问2详解】 解：如图②，连接，过点作于， ∵点关于的对称点为点， ∴，，，垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 设， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为∶，； 【小问3详解】 解：由（）得，， ∴， ∴． 分两种情况讨论：①当点在点的右侧时，如图， ， ， 由对称的性质得：， ， ∵ ∴，即 ， ． ②当点在点的左侧时，如图， ， ， 由对称的性质得：， ， 过点作于点，设， 由（）得，， ∴， ，解得， ． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理．找准点的位置是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共15小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 随着青岛市地铁线路陆续开通，小明同学上学不再乘坐公交车，改乘地铁，这样他乘坐地铁上学比乘坐公交车上学所需要的时间少了10分钟．已知小明同学家距学校8千米，乘坐地铁平均速度比乘坐公交车平均速度每小时快20千米，若设乘公交车平均速度为x千米每小时，根据题意可列方程为（ ） A. B. C D. 4. 下列各式从左到右，属于因式分解是（ ） A. B. C. D. 5. 下列正多边形中，与正三角形同时使用不能进行镶嵌的是（） A. 正六边形 B. 正十二边形 C. 正八边形 D. 正四边形 6. 如图，绕点A按顺时针方向旋转后与重合，连接，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平分，于点A，点Q是射线上的一个动点．若，则的长不可能是（　　） A. B. 4 C. D. 8. 某电梯乘载的重量超过1000公斤时会响起警示音，小刚、小明的体重分别为55公斤、70公斤．小刚、小明依序进入电梯，小刚走进后，警示音没响，小明走进后，警示音响起．设两人没进入电梯前已乘载的重量为x公斤，则x满足（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将一副直角三角板在平行四边形中作如下摆放，若，那么（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线与x轴交于点，直线与x轴交于点，据此推断不等式的解集为（ ） A B. C D. 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 若分式的值为0，则x的值为______． 12. 如图，在中，点是边上的一点．若，，则的度数为 ___． 13. 如图，在中，，，将绕O点逆时针方向旋转到的位置，则点的坐标是______． 14. 如图，在中，垂直平分线段，E为的中点，连接，若，则的长为 ______. 15. 如图，在四边形中，，，为的中点，将，分别平移到和的位置，若，，则的长为______． 16. 如图，在平行四边形中，，的平分线，分别与相交于点，，与相交于点，有下列结论： ①； ②； ③若连接，，则； ④若，，则． 其中，正确的结论是______．（填写序号即可） 三、作图题（本大题满分4分） 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17. 已知：，线段． 求作：等腰，使得顶角，底边上的中线长为线段的长度． 四、解答题（本大题共8小题，满分68分） 18. 计算 （1）解不等式组：，并求出该不等式组的最大整数解； （2）分解因式：． 19. 先化简，再求值：，然后从，0，1，2中选择一个合适的数代入求值． 20. 某校学生会组织七年级和八年级共50名学生参加环保活动，七年级学生平均每人收集16个废弃塑料瓶，八年级学生平均每人收集24个废弃塑料瓶，请你根据以上信息，设计一个可以用一元一次不等式解决的问题，并给出解决方案． 21. 证明：直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半．（根据命题画出图形，写出已知，求证，并完成证明过程．） 22. 在中，是的中线，为的中点，过点作与的延长线相交于点． （1）如图①，连接，判断四边形的形状并证明你的结论； （2）如图②，连接，若，，求的度数． 23. 为落实青岛市促进中小学生全面发展“十个一”项目行动计划，某学校准备购进一批足球和篮球使更多的学生参与这两个体育项目．据了解，某体育用品超市每个足球的价格比篮球的价格贵30元，用2400元购买篮球的数量是用1500元购买足球数量的2倍． （1）求每个足球和篮球的价格； （2）学校决定购买足球和篮球共54个，且购买足球的数量不少于篮球的数量的一半，求本次购买最少花费多少钱？ （3）在（2）最少花费方案下，体育用品超市为支持学校体育活动，对足球提供9折优惠，篮球提供7.5折优惠．学校决定将节约下的资金全部用于再次购买足球和篮球（此时按原价购买，可以只购买一种），求再次购买足球和篮球的方案． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，动点从原点出发，沿轴正方向匀速运动，速度为；同时，动点从点出发，沿射线方向匀速运动，速度为/．设运动时间为（）． （1）求直线的函数关系式； （2）当时，直线与直线交于点，求点的坐标； （3）当为何值时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形． 25. 综合实践课上，同学们展开了以“轴对称”为主题的探究活动． 实践操作： 四边形是平行四边形，，，在边上取一点，如图①，连接，点关于的对称点为点，连接，． 问题解决： （1）当与重合时，连接，与有何位置和数量关系，请说明理由； （2）如图②，当时，连接，与位置关系为______，数量关系为______； （3）若，时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$