精品解析：河南省新乡市2023-2024学年高二下学期期末测试数学试题

2023—2024学年高二期末（下）测试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. 3 B. 5 C. D. 17 2. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 3. 已知为抛物线的焦点，点在上，且点到直线的距离为，则（ ） A. B. C. D. 4. 若曲线在点处的切线与在点处的切线平行，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 5. 已知的内角的对边分别为，且，则为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在上单调递减，则满足条件的的个数为（ ） A. B. C. D. 8. 在正四棱锥中，，则正四棱锥体积的最大值为（ ） A B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 2019年至2023年河南省社会消费品零售总额及其增长速度如图所示，则（ ） A. 2019年至2023年河南省社会消费品零售总额稳步上升 B. 2019年至2023年河南省社会消费品零售总额的极差为3501亿元 C. 2019年至2023年河南省社会消费品零售总额增长速度的平均数为 D. 2019年至2023年河南省社会消费品零售总额增长速度的分位数为 10. 已知正三棱台的体积为，则（ ） A. B. 正三棱台高为9 C. 直线与平面所成角的正切值为 D. 正三棱台的外接球的表面积为 11. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A. B C. 方程有唯一的实数解 D. 函数有极大值 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，且，则__________. 13. 已知双曲线的离心率分别为和，则的最小值为__________. 14. 将六个数字填入如图所示的方格中，要求每个方格填个数字，且每个数字不重复，则在这三列数字中，第一列的数字之和最小的概率为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平面四边形中，为的中点，，将沿对折至，使得. （1）证明：平面； （2）求二面角的正切值. 16 已知函数. （1）求的单调区间； （2）当时，求在上的最小值与最大值. 17. 在某张试卷的多项选择题中，每道题有4个选项，其中仅有2个或3个选项正确. （1）已知多项选择题第9题仅有2个选项正确，甲从4个选项中随机选2个，求甲第9题得满分的概率； （2）在有3个选项正确的多项选择题中，选1个选项且选对得2分，选2个选项且都选对得4分，选3个选项且都选对得6分，有选错的得0分.已知多项选择题第10题仅有3个选项正确，以第10题得分的期望值为决策依据，甲应随机选多少个选项？ 18. 最大公因数，也称最大公约数，指两个或多个正整数公有约数中最大的一个，a，b的最大公约数记为，a，b，c的最大公约数记为.与最大公约数相对应的概念是最小公倍数，几个自然数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个自然数叫做这几个数的最小公倍数，a，b的最小公倍数记为，a，b，c的最小公倍数记为.例如，. （1）求的值； （2）若数列满足，，求数列的前n项和； （3）若公差为整数的等差数列满足，，证明：. 19. 在圆上任取一点，过点作轴的垂线段为垂足，平面内一动点满足，记的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）已知为的右焦点，过点且斜率为的直线交于两点，过点且斜率为的直线交于两点，且，求四边形面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年高二期末（下）测试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. 3 B. 5 C. D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数模的概念运算即可得解. 【详解】. 故选：B. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式求出集合，解指数不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以， 由，解得， 所以， 又，则，所以. 故选：D 3. 已知为抛物线的焦点，点在上，且点到直线的距离为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线的定义即可求解. 【详解】因为点到直线的距离为， 所以点到抛物线准线的距离为， 由抛物线的定义得，. 故选：D. 4. 若曲线在点处的切线与在点处的切线平行，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先应用导数运算律求出导函数再根据斜率相等求参即可. 【详解】由，得，当时， 由，得， 曲线在点处的切线与在点处的切线平行， 则，得. 故选：A. 5. 已知的内角的对边分别为，且，则为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理可得，消去，可得，结合，可知为中最大的内角，最后利用余弦定理求得，可知为钝角，即得解. 【详解】由正弦定理得，，，为的外接圆半径， 因为， 所以， 因为， 所以，即， 又因为，即， 所以为中最大的内角， 则， 所以为钝角三角形. 故选：C. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性排除C,D;再由函数的零点只有三个，排除B即得. 【详解】因为，所以是偶函数，排除C，D; 因为在上的零点有共三个，排除B. 故选:A. 7. 若函数在上单调递减，则满足条件的的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对分不同情况进行讨论，得出当时不满足条件，当或时满足条件，当时不满足条件，即得到所求的全部为和，从而得到答案. 【详解】若，则，故不满足条件； 若或，则对有，或. 所以，根据复合函数单调性知在上单调递减，满足条件； 若，则，故不满足条件； 若，则由可知，存在正整数满足. 此时，，从而在上存在极值点，不可能单调递减，不满足条件. 综上，满足条件的有和. 故选：C. 8. 在正四棱锥中，，则正四棱锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设正四棱锥的高为h，底面边长为x，由题可得及，后由导数知识可得答案. 【详解】过顶点P向平面ABCD作垂线，垂足为O，则PO为正四棱锥的高，设为h. 设底面边长为x，则，则，则. 所以正四棱锥的体积为：，则. 当时，；当时，. 即 在上单调递增，在上单调递减， 则 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 2019年至2023年河南省社会消费品零售总额及其增长速度如图所示，则（ ） A. 2019年至2023年河南省社会消费品零售总额稳步上升 B. 2019年至2023年河南省社会消费品零售总额的极差为3501亿元 C. 2019年至2023年河南省社会消费品零售总额增长速度的平均数为 D. 2019年至2023年河南省社会消费品零售总额增长速度的分位数为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，直接观察图形即可判断；对于BCD，由数据的数字特征结合图形即可逐一判断. 【详解】对于A，2020年河南省社会消费品零售总额有所下降，A错误. 对于B，2019年至2023年河南省社会消费品零售总额的极差为亿元，B正确. 对于C，2019年至2023年河南省社会消费品零售总额增长速度的平均数为，C正确. 对于D，2019年至2023年河南省社会消费品零售总额增长速度从小到大依次为， ，因为，所以该组数据的分位数为，D错误. 故选：BC. 10. 已知正三棱台的体积为，则（ ） A. B. 正三棱台的高为9 C. 直线与平面所成角的正切值为 D. 正三棱台的外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得三棱台的高，由其外接球的球心位于上，即可得到其半径，从而得到其外接球的表面积. 【详解】设正三棱台的高为，由， 得，B正确. 如图，设的中点分别为，连接， 设的外心分别为，连接，过作，垂足为. 易知，， 则，所以， 直线与平面所成角的正切值为A正确，C错误. 设正三棱台的外接球的球心为，半径为，连接， 则，得， 所以正三棱台的外接球的表面积为，D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A. B. C. 方程有唯一的实数解 D. 函数有极大值 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，取，推理即得；对于B，取得到，再取即可推得，利用其单调性即可判断不等式成立；对于C，利用B项求出的函数解析式代入，将问题转化成函数的零点个数问题即得；对于D，代入易得结论不成立. 【详解】对于A，令，得. 因为，所以，即，A正确； 对于B，令，得，由，得. 又，所以. 令，得，即，所以， 因为为增函数，且，所以，故B正确； 对于C，由B项可知，等价于.设， 因为，所以在上必至少有一个零点， 又，所以的零点不唯一，从而方程的实数解不唯一，故C错误； 对于D，因，故函数只有极小值，没有极大值，故D错误. 故选：AB. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象函数的性质的应用，属于难题. 解题的关键在于按照选项提示，通过赋值法，求出的值，继而求得的解析式，利用其单调性判断B项，利用函数的零点存在定理判断C项，利用函数的性质判断函数的极值情况. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，且，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】由向量线性运算及垂直的数量积即可求解出. 【详解】由题意得，则，得. 故答案为：2. 13. 已知双曲线的离心率分别为和，则的最小值为__________. 【答案】##1.5 【解析】 【分析】由双曲线离心率公式结合基本不等式即可求解. 【详解】，， 由题意得， 则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为. 故答案为：. 14. 将六个数字填入如图所示的方格中，要求每个方格填个数字，且每个数字不重复，则在这三列数字中，第一列的数字之和最小的概率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先计算存在某两列使得这两列各自的两个数之和同时为最小的概率，然后利用对称性和全概率公式即可. 【详解】设事件表示“存在某两列，使得这两列各自的两个数之和相等且同时为最小”，表示“第一列的数字之和最小”. 若事件发生，由于所有数字之和不是的倍数，所以三列的各自两个数之和不可能都相等. 这就意味着当事件发生时，存在且仅存在两列各自两个数之和相等且同最小，故根据对称性有. 列举即知，这两列各自的两个数只可能是和，和，和三种可能. 所以. 若事件不发生，则两数之和最小的一列是唯一的，故根据对称性有. 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，假设事件，利用条件概率公式与全概率公式分析计算得解. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平面四边形中，为的中点，，将沿对折至，使得. （1）证明：平面； （2）求二面角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知边长可证明一个直角，再结合线线垂直即可证明线面垂直； （2）方法一可用空间向量法来求二面角的正切值，方法二是用立体几何作图证明二面角的平面角，再进行求解即可. 【小问1详解】 由题设，易知 即. 又，即. 平面. 平面. 【小问2详解】 （方法一）如图，以为原点，所在的直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 设平面的法向量为，则 取，则，得. 易得平面的一个法向量为， 由图可知二面角为钝角，则二面角的余弦值为. 故二面角的正切值为. （方法二）如图，过点作，垂足为，连接. 由平面，面，则， 又平面，则平面， 又平面，则，则为二面角的平面角. 由由勾股定理可得 ， . 二面角与二面角互补， 二面角的正切值为. 16. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）当时，求在上的最小值与最大值. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）先求导函数再根据导数正负求出单调区间即可； （2）先根据函数的单调性结合自变量的区间分类讨论求最值即可； 【小问1详解】 . 令，得； 令，得；令，得. 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 当时，. 由（1）知，在处取得极大值，且极大值为. 当时，在上单调递增， . 当时，， 若，则， 因为，所以. 17. 在某张试卷的多项选择题中，每道题有4个选项，其中仅有2个或3个选项正确. （1）已知多项选择题第9题仅有2个选项正确，甲从4个选项中随机选2个，求甲第9题得满分的概率； （2）在有3个选项正确的多项选择题中，选1个选项且选对得2分，选2个选项且都选对得4分，选3个选项且都选对得6分，有选错的得0分.已知多项选择题第10题仅有3个选项正确，以第10题得分的期望值为决策依据，甲应随机选多少个选项？ 【答案】（1） （2）2个 【解析】 【分析】（1）由古典概型求出概率即可； （2）分别算出选1个选项，选2个选项，选3个选项的概率，再求出对应的期望，进行比较，即可得到答案. 【小问1详解】 甲第9题得满分的概率为. 【小问2详解】 若甲随机选1个选项，则甲得2分的概率为，得0分的概率为， 甲随机选1个选项的得分的期望为； 若甲随机选2个选项，则甲得4分的概率为，得0分的概率为， 甲随机选2个选项的得分的期望为； 若甲随机选3个选项，则甲得6分的概率为，得0分的概率为， 甲随机选3个选项的得分的期望为； 甲选4个选项必定得0分. 因为甲随机选2个选项的得分的期望最大，所以甲应随机选2个选项. 18. 最大公因数，也称最大公约数，指两个或多个正整数公有约数中最大的一个，a，b的最大公约数记为，a，b，c的最大公约数记为.与最大公约数相对应的概念是最小公倍数，几个自然数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个自然数叫做这几个数的最小公倍数，a，b的最小公倍数记为，a，b，c的最小公倍数记为.例如，. （1）求的值； （2）若数列满足，，求数列的前n项和； （3）若公差为整数的等差数列满足，，证明：. 【答案】（1）2 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据定义求出最小公倍数和最大公约数后，由对数运算法则计算； （2）由新定义转化后用错位相减法求和； （3）由新定义转化后利用裂项相消法求和后可证得不等式成立． 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为，， 且2与3互质，所以， 所以， ， 两式相减得 ， 所以. 【小问3详解】 证明：设的公差为d.因为，，所以， 则， 因为公差d为整数，所以，. 当时，因与互质，所以， 所以， 所以. 19. 在圆上任取一点，过点作轴的垂线段为垂足，平面内一动点满足，记的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）已知为的右焦点，过点且斜率为的直线交于两点，过点且斜率为的直线交于两点，且，求四边形面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设点坐标为，则点的坐标为，利用题中的条件，求得向量的坐标之间的关系，从而得到，代入圆的方程求得结果； （2）设直线与直线斜率为，根据，得，设，与第一问中所求的椭圆方程联立，消元，利用韦达定理以及弦长公式，化简代入，得，，再把四边形面积拆成三角形即可求解. 【小问1详解】 设，则，由，得. 因为点在圆上，所以. 把代入方程，得， 所以的方程为. 【小问2详解】 设的倾斜角为，由题意得，则， 设的倾斜角为，由题意得， 因为，所以，即. 综上，. 由题意得，设， 联立得， 则 所以 同理可得. . 令，由， 得，则. 由，得，所以， 因为在上单调递增，所以， 故四边形面积的最大值为. 【点睛】该题考查的是有关直线与圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有利用相关点法求轨迹方程，直线与椭圆相交的问题，弦长公式，韦达定理等，在解题的过程中，需要细心运算，思路清晰. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$