专题三 复数与平面向量（8考点）【好题汇编】五年（2020-2024）高考数学真题分类汇编（新高考通用）

专题三 复数与平面向量 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点01 复数的概念 2024年新课标Ⅱ卷：复数模的计算 以考查复数的运算为主，间或涉及复数的概念、复数的几何意义、复数模的计算，除共轭复数的概念，对于复数相等也应予重视. 考点02 复数的运算 2020年新高考全国I、II卷、2021年新高考I卷、2022年新高考全国I、II卷、2023年新高考I卷、2024年新课标I卷：复数的乘法、除法，其中，2021--2023三个年份的I卷，涉及共轭复数的运算. 考点03 复数的运算与复数的几何意义 2021、2023年新高考II卷：复数的乘法、除法及其对应点所在象限 考点04 向量的线性运算运算 2020年新高考II卷、2022年新高考I卷：以三角形为载体，向量的线性运算. 关于平面向量相关知识点的考查比较广泛，主要有： 1.平面向量的概念； 2.以几何图形为载体，考查向量的线性运算； 3.考查向量数量积及其应用，与向量的模、夹角相结合，考查数量积的运算； 4.考查向量的平行、垂直，一是判断，二是求参数； 5.关注数量积、模、角的函数值及参（系）数的最值、范围问题6.注意向量的“工具性”作用的发挥，在三角函数、解三角形及解析几何问题中的应用.. 考点05 向量的数量积及其范围 2020年新高考Ⅰ卷：以正六边形为载体，求两向量数量积的范围. 考点06 向量的数量积与向量的模 2021年新高考I、II卷、2023年新高考II卷、2024年新高考II卷：三类，一是已知向量求数量积、模；二是，已知模的关系，求数量积；三是已知模的关系求模. 考点07 向量的垂直与向量的数量积 2023、2024年新高考I卷：已知向量的垂直关系，求参数. 考点08 向量的夹角与向量的数量积 2022年新高考II卷：已知向量的夹角相等，求参数. 考点01 复数的概念 1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】由复数模的计算公式直接计算即可. 【详解】若，则. 故选：C. 考点02 复数的运算 2．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学试题）（    ） A．1 B．−1 C．i D．−i 【答案】D 【分析】根据复数除法法则进行计算. 【详解】 故选：D 3．（2020年新高考全国卷Ⅱ数学试题）=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接计算出答案即可. 【详解】 故选：B 4．（2021年全国新高考I卷数学试题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果. 【详解】因为，故，故 故选：C. 5．（2022年新高考全国II卷数学真题）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的乘法可求. 【详解】， 故选：D. 6．（2022年新高考全国I卷数学真题）若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用复数的除法可求，从而可求. 【详解】由题设有，故，故， 故选：D 7．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出． 【详解】因为，所以，即． 故选：A． 8．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：C. 考点03 复数的运算与复数的几何意义 9．（2021年全国新高考II卷数学试题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置. 【详解】，所以该复数对应的点为， 该点在第一象限， 故选：A. 10．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）在复平面内，对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断. 【详解】因为， 则所求复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 考点04 向量的线性运算运算 11.（2020年新高考全国卷Ⅱ数学试题）在中，D是AB边上的中点，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可. 【详解】 故选：C 12．（2022年新高考全国I卷数学真题）在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出． 【详解】因为点D在边AB上，，所以，即， 所以． 故选：B． 考点05 向量的数量积及其范围 13．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学试题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果. 【详解】 的模为2，根据正六边形的特征， 可以得到在方向上的投影的取值范围是， 结合向量数量积的定义式， 可知等于的模与在方向上的投影的乘积， 所以的取值范围是， 故选：A. 考点06 向量的数量积与向量的模 14．（多选）（2021年全国新高考I卷数学试题）已知为坐标原点，点，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误. 【详解】A：，，所以，，故，正确； B：，，所以，同理，故不一定相等，错误； C：由题意得：，，正确； D：由题意得：， ，故一般来说故错误； 故选：AC 15．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 16．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知向量，，， ． 【答案】 【分析】由已知可得，展开化简后可得结果. 【详解】由已知可得， 因此，. 故答案为：. 17．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量，满足，，则 ． 【答案】 【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解. 【详解】法一：因为，即， 则，整理得， 又因为，即， 则，所以. 法二：设，则， 由题意可得：，则， 整理得：，即. 故答案为：. 考点07 向量的垂直与向量的数量积 18．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出． 【详解】因为，所以，， 由可得，， 即，整理得：． 故选：D． 19．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 考点08 向量的夹角与向量的数量积 20．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得 【详解】解：,,即,解得, 故选：C 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题三 复数与平面向量 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点01 复数的概念 2024年新课标Ⅱ卷：复数模的计算 以考查复数的运算为主，间或涉及复数的概念、复数的几何意义、复数模的计算，除共轭复数的概念，对于复数相等也应予重视. 考点02 复数的运算 2020年新高考全国I、II卷、2021年新高考I卷、2022年新高考全国I、II卷、2023年新高考I卷、2024年新课标I卷：复数的乘法、除法，其中，2021--2023三个年份的I卷，涉及共轭复数的运算. 考点03 复数的运算与复数的几何意义 2021、2023年新高考II卷：复数的乘法、除法及其对应点所在象限 考点04 向量的线性运算运算 2020年新高考II卷、2022年新高考I卷：以三角形为载体，向量的线性运算. 关于平面向量相关知识点的考查比较广泛，主要有： 1.平面向量的概念； 2.以几何图形为载体，考查向量的线性运算； 3.考查向量数量积及其应用，与向量的模、夹角相结合，考查数量积的运算； 4.考查向量的平行、垂直，一是判断，二是求参数； 5.关注数量积、模、角的函数值及参（系）数的最值、范围问题6.注意向量的“工具性”作用的发挥，在三角函数、解三角形及解析几何问题中的应用.. 考点05 向量的数量积及其范围 2020年新高考Ⅰ卷：以正六边形为载体，求两向量数量积的范围. 考点06 向量的数量积与向量的模 2021年新高考I、II卷、2023年新高考II卷、2024年新高考II卷：三类，一是已知向量求数量积、模；二是，已知模的关系，求数量积；三是已知模的关系求模. 考点07 向量的垂直与向量的数量积 2023、2024年新高考I卷：已知向量的垂直关系，求参数. 考点08 向量的夹角与向量的数量积 2022年新高考II卷：已知向量的夹角相等，求参数. 考点01 复数的概念 1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 考点02 复数的运算 2．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学试题）（    ） A．1 B．−1 C．i D．−i 3．（2020年新高考全国卷Ⅱ数学试题）=（    ） A． B． C． D． 4．（2021年全国新高考I卷数学试题）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（2022年新高考全国II卷数学真题）（    ） A． B． C． D． 6．（2022年新高考全国I卷数学真题）若，则（    ） A． B． C．1 D．2 7．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知，则（    ） A． B． C．0 D．1 8．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若，则（    ） A． B． C． D． 考点03 复数的运算与复数的几何意义 9．（2021年全国新高考II卷数学试题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）在复平面内，对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点04 向量的线性运算运算 11.（2020年新高考全国卷Ⅱ数学试题）在中，D是AB边上的中点，则=（    ） A． B． C． D． 12．（2022年新高考全国I卷数学真题）在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 考点05 向量的数量积及其范围 13．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学试题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点06 向量的数量积与向量的模 14．（多选）（2021年全国新高考I卷数学试题）已知为坐标原点，点，，，，则（    ） A． B． C． D． 15．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 16．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知向量，，， ． 17．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量，满足，，则 ． 考点07 向量的垂直与向量的数量积 18．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 19．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 考点08 向量的夹角与向量的数量积 20．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$