专题01 平面向量及其应用13大题型（期末真题汇编，广东专用）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 平面向量专题试题汇编，覆盖13个高频考点，精选广东各地期末真题，注重基础概念与综合应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选/多选/填空/解答|约90题|平面向量概念、线性运算、数量积、模与夹角、四心问题等|结合三角形、菱形等几何情境，如用基底表示向量、数量积最值问题，适配期末复习需求|

专题01 平面向量及其应用 高频考点概览 考点 01 平面向量的概念 考点 02 平面向量的线性运算 考点 03 平面向量共线定理及其应用 考点 04 用基底表示向量 考点 05 平面向量基本定理求参 考点 06 平面向量的坐标表示 考点 07 平面向量的数量积 考点 08 求向量的模 考点 09 求向量的夹角 考点 10 向量垂直问题 考点 11 求投影向量 考点 12 数量积的最值问题 考点 13 平面向量的四心问题 考点01 平面向量的概念 1．（2023春•龙川县校级期末）关于向量，，下列命题中，正确的是（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 2．（2024春•惠州期末）下列命题中正确的是（　　） A．零向量没有方向 B．共线向量一定是相等向量 C．若为实数，则向量与方向相同 D．单位向量的模都相等 3．（2024春•江门期末）（多选）已知两个非零向量，共线，则　　 A．，或 B．与方向相同或相反 C．与平行 D．存在实数，使得 4．（2023春•江城区校级期末）如果，是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2022春•揭阳期末）设分别是与同向的单位向量，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（2025秋•揭阳期末）向量、分别表示向东和向北方向走，则表示（　　） 考点02 平面向量的线性运算 A．向东北方向走 B．向西北方向走 C．向东北方向走 D．向西北方向走 7．（2025春•佛山期末）已知正方形的边长为1，，，，则（　　） A．1 B．2 C． D． 8．（2025春•云浮期末）（　　） A． B． C． D． 9．（2025春•广东期末）化简 　　． 10．（2024春•汕尾期末）（　　） A． B． C． D． 11．（2021秋•濠江区校级期末）（多选）下列能化简为的是（　　） A． B． C． D． 考点03 平面向量共线定理及其应用 12．（2025秋•龙岗区期末）已知，是不共线向量，则下列各组向量中是共线向量的有（　　） ①，；②，；③，． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 13．（2025春•茂名期末）已知，是同一平面内两个不共线的向量，则的是（　　） A．， B．， C．， D．， 14．（2024春•中山市期末）已知为不共线的非零向量，，，，则（　　） A．，，三点共线 B．，、三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线 15．（2024春•佛山期末）已知向量，不共线，若，则（　　） A． B． C． D．2 16．（2025春•佛山期末）已知向量，是两个不共线的向量，，，且，则（　　） A． B． C．1 D．2 17．（2024春•湛江期末）已知和是两个不共线的向量，，，且与是共线向量，则实数的值是 　　． 18．（2024春•廉江市校级期末）（多选）已知向量，，，若点，，能构成三角形，则实数可以是　　 A．0 B．1 C． D． 19．（2024秋•广州期末）已知平面向量，，若，则实数的值为（　　） A．0 B． C．1 D． 20．（2021春•惠州期末）已知向量，，若，则（　　） A． B．1 C．2 D．4 21．（2018秋•番禺区期末）已知向量，，且，则的值为（　　） A． B．2 C． D．1 考点04 用基底表示向量 22．（2025春•广州期末）在△中，，为中点，设，，则（　　） A． B． C． D． 23．（2025春•汕尾期末）如图，在△中，是上靠近的一个三等分点，记，，则可以用，表示为（　　） A． B． C． D． 24．（2025春•肇庆期末）已知为△的边的中点，为上一点，且满足，设，，则（　　） A． B． C． D． 25．（2023春•茂名期末）在平行四边形中，是线段的中点，则（　　） A． B． C． D． 26．（2025春•清远期末）在△中，已知，用表示，则（　　） A． B． C． D． 27．（2024春•广州期末）如图，在△中，，，设，，则（　　） A． B． C． D． 28．（2022春•深圳期末）如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（　　） A． B． C． D． 29．（2024春•广东期末）在△中，是边上一点，且，是的中点，记，则（　　） A． B． C． D． 30．（2022春•清远期末）在平行四边形中，是的中点，交于，则（　　） A． B． C． D． 考点05 平面向量基本定理求参 31．（2025秋•榕城区校级期末）若点是△所在平面上一点，且，是直线上一点，，则的最小值是（　　） A．2 B．1 C． D． 32．（2022秋•大埔县校级期末）如图，在△中，，是的中点，若，则（　　） A． B．1 C． D． 33．（2024春•潮州期末）如图，在中，，是线段上一点，若，则实数的值为　　 A． B． C．2 D． 34．（2023春•韶关期末）在△中，点为边的中点，点为的中点，若，则（　　） A． B． C．1 D． 35．（2023春•深圳期末）在梯形中，若，且，则（　　） A． B．2 C． D．3 考点06 平面向量的坐标表示 36．（2019春•阳春市期末）已知，，则（　　） A．2 B． C．4 D． 37．（2025春•佛山期末）若物体在共点力，的作用下产生位移，则合力对物体所做的功为 　　 ． 38．（2024春•珠海期末）已知扇形的半径为13，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，，弧的中点为，则（　　） A． B． C． D． 考点07 平面向量的数量积 39．（2025春•汕头期末）已知，，与的夹角为，则（　　） A． B．72 C．84 D． 40．（2024秋•广东校级期末）已知△是边长为1的正三角形，是上一点且，则（　　） A． B． C． D．1 41．（2025秋•荔湾区校级期末）如图所示，已知△中，点，，依次是边上的三个四等分点，若，，则（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 42．（2025春•深圳校级期末）如图，在四边形中，，，，为线段的中点，，则（　　） A．3 B． C． D． 43．（2025春•汕尾期末）如图，已知圆的弦的长度为4，则的值是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 44．（2025春•肇庆期末）已知向量，，且，则（　　） A．8 B． C． D． 45．（2022秋•大埔县校级期末）若向量与向量共线，则（　　） A．0 B．4 C． D． 考点08 求向量的模 46．（2025秋•汕头校级期末）平面向量，若，则 ． 47．（2025秋•龙岗区期末）（多选）已知向量，的夹角为，且，，则（　　） A． B． C． D．向量在向量上的投影向量为 48．（2025春•广州期末）若平面向量两两的夹角相等，且，则（　　） A．2 B．8 C．或 D．2或8 49．（2025春•广州期末）已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为，在方向上的投影向量为，且，则（　　） A． B．2 C． D．4 50．（2024秋•汕头期末）已知平面向量，满足：，，则（　　） A． B． C．2 D． 51．（2024秋•深圳期末）已知向量，，，满足与互为相反向量，，，，则（　　） A．2 B．7 C． D． 52．（2025秋•龙岗区期末）已知平面向量，，若，则 ． 53．（2025春•广州期末）已知向量，，若，则实数（　　） A．3 B．6 C． D． 54．（2012秋•海珠区校级期末）平面向量与的夹角为，若，，则（　　） A． B． C．4 D．12 考点09 求向量的夹角 55．（2024秋•湛江校级期末）已知非零向量、满足，则与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 56．（2025春•罗湖区期末）已知向量，满足，，若，则，的夹角为　　 ． 57．（2025春•梅州期末）如图，在△中，，，是边上靠近点的三等分点，是的中点，与交于点，（　　） A． B． C． D． 58．（2024秋•湛江期末）已知单位向量满足，则向量夹角的余弦值是 　　． 59．（2023秋•南山区期末）已知，为单位向量，且，则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 60．（2024春•越秀区校级期末）已知与的夹角为，且，当与的夹角为钝角时，的取值范围　　． 考点10 向量垂直问题 61．（2025春•河源期末）已知向量，，且，则（　　） A． B． C． D．2 62．（2024秋•揭阳期末）已知向量，，若，则（　　） A． B．2 C．4 D． 63．（2025春•深圳期末）已知向量，，且，则 　　 ． 64．（2013春•肇庆期末）已知，，且，则等于（　　） A．2 B．1 C．0 D． 65．（2025秋•南山区期末）设向量，向量，若，则（　　） A． B．0 C．1 D．2 66．（2024春•韶关校级期末）已知向量，若，则（　　） A．3 B． C．1 D． 67．（2024春•黄埔区校级期末）已知向量，，若，则（　　） A． B． C．1 D．0 68．（2024春•潮州期末）已知向量，． （1）若，求实数的值； （2）若，，求向量与的夹角． 69．（2022春•惠州期末）已知向量，，． （1）若点，，能构成三角形，求实数应满足的条件； （2）若为直角三角形，且为直角，求实数的值． 考点11 求投影向量 70．（2025秋•宝安区校级期末）已知向量满足，且，则向量在向量方向上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 71．（2025秋•汕头期末）向量，，则在方向上的投影数量为 ． 72．（2025秋•梅州期末）（多选）已知向量，则下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则在上的投影向量为 73．（2025春•广东期末）已知向量，，向量在向量方向上的投影向量的模为（　　） A． B． C．3 D． 74．（2025春•潮州期末）已知，向量在上的投影向量的坐标为（　　） A． B． C． D． 75．（2025春•河源期末）已知向量，，且，的夹角为，则向量在上的投影向量的坐标为　　 ． 76．（2024春•越秀区校级期末）已知△的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 77．（2024春•新会区校级期末）已知△的外接圆圆心，且，，则向量在向量上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 78．（2024春•广州期末）已知非零向量满足，则在方向上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 考点12 数量积的最值问题 79．（2022秋•金平区校级期末）已知△是边长为2的等边三角形，为圆的直径，若点为圆上一动点，则的取值范围为（　　） A．， B．， C．， D．， 80．（2025秋•罗湖区校级期末）如图所示，在矩形中，，，点在边上运动（包含端点），则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 81．（2025春•深圳期末）已知△是边长为2的等边三角形，是△内的一点，且，若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 82．（2025春•湛江期末）如图，以边长为4的菱形的四条边为直径向外作四个半圆，是这四个半圆弧上的一动点，，则的最大值是（　　） A．16 B． C．18 D．20 故选：． 83．（2025春•云浮期末）△的内角，，的对边分别为，，，且，若△外接圆的圆心为，则的最大值为　　 ． 故答案为：16． 84．（2025春•潮阳区校级期末）已知△为直角三角形，，，，为的中点．若点在射线上运动，则的最小值为 　　 ． 85．（2025春•深圳期末）如图，在△中，，，点满足，为中点，点在线段上移动（包括端点），则的取值范围是　　 ． 86．（2025春•龙岗区校级期末）已知点为等腰△外接圆上的一个动点，，则的取值范围为　　 ． 考点13 平面向量的四心问题 87．（2024春•赤坎区校级期末）（多选）已知是所在平面内一点，则下列结论正确的是　　 A．若，则为等腰三角形 B．若，则为钝角三角形 C．若是的垂心，，则 D．若，，则的轨迹经过的重心 88．（2024春•汕头期末）（多选）已知点、、在所在平面内，则　　 A．若，则点是的外心 B．若，则点是的重心 C．若，则点是的内心 D．若，则是等腰三角形 89．（2025春•佛山期末）（多选）已知在△中，，，，点为△所在平面内一点，则　　 A．若为△的垂心，则 B．若为△的重心，则 C．若为△的外心，则 D．若为△的内心，则 90．（2024春•梅州期末）欧拉是伟大的数学家，也是最多产的数学家，他在数论、复变函数、变分法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献．1765年，欧拉在他的著作《三角形的几何学》中指出，任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直线上（这条直线被称为三角形的欧拉线），此外，外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半．为证明以上结论，我们作以下探究： 如图，点、、分别为的外心、重心、垂心． （1）求证：； （2）求证：； （3）求证：． 注：①重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成； ②垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直； ③外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． 91．（2023春•清远期末）瑞士数学家欧拉是数学史上最多产的数学家，被誉为“数学之王”，欧拉在1765年发表了令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条直线被称为欧拉线．已知，，，为△所在平面上的点，满足，，，，，分别为△的内角，，的对边），则欧拉线一定过（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 92．（2021春•越秀区期末）（多选）已知点在所在平面内，则　　 A．满足时，是的外心 B．满足时，是的重心 C．满足时，是的内心 D．满足时，是的垂心 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量及其应用 高频考点概览 考点 01 平面向量的概念 考点 02 平面向量的线性运算 考点 03 平面向量共线定理及其应用 考点 04 用基底表示向量 考点 05 平面向量基本定理求参 考点 06 平面向量的坐标表示 考点 07 平面向量的数量积 考点 08 求向量的模 考点 09 求向量的夹角 考点 10 向量垂直问题 考点 11 求投影向量 考点 12 数量积的最值问题 考点 13 平面向量的四心问题 ( 考点01 平面向量的概念 ) 1．（2023春•龙川县校级期末）关于向量，，下列命题中，正确的是（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【解答】解：选项，两个向量的模相等，但是方向不确定，所以不一定相等，错误； 选项，若，则与任意向量共线，而与的方向不确定，错误； 选项，两个向量不能比较大小，错误； 选项，若，则，正确． 故选：． 【点评】本题考查平面向量的概念与向量的模，考查向量共线问题，属于基础题． 2．（2024春•惠州期末）下列命题中正确的是（　　） A．零向量没有方向 B．共线向量一定是相等向量 C．若为实数，则向量与方向相同 D．单位向量的模都相等 【解答】解：零向量的方向任意，选项错误； 共线向量不一定是相等向量，错误； 当时，显然错误； 单位向量的模都为1，正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了向量的基本概念，属于基础题． 3．（2024春•江门期末）（多选）已知两个非零向量，共线，则　　 A．，或 B．与方向相同或相反 C．与平行 D．存在实数，使得 【解答】解：因为非零向量，共线， 则，即同向或反向，存在实数，使得． 故选：． 【点评】本题主要考查了向量共线的定义及共线定理的应用，属于基础题． 4．（2023春•江城区校级期末）如果，是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：两个单位向量的方向不一定相同或相反，所以选项，不正确； 由于两个单位向量的夹角不确定，则不一定成立，所以选项不正确； 因为，是两个单位向量，故，则选项正确． 故选：． 【点评】本题考查单位向量相关知识，属于基础题． 5．（2022春•揭阳期末）设分别是与同向的单位向量，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由分别是与同向的单位向量， 则与不一定相等，也不一定相反，也不一定共线， 但， 所以． 故选：． 【点评】本题考查了单位向量的定义与应用问题，是基础题． ( 考点02 平面向量的线性运算 ) 6．（2025秋•揭阳期末）向量、分别表示向东和向北方向走，则表示（　　） A．向东北方向走 B．向西北方向走 C．向东北方向走 D．向西北方向走 【解答】解：向量、分别表示向东和向北方向走， 作，，以、为邻边作平行四边形，如下图所示： 故平行四边形是边长为10的正方形， 所以，且，且， 故表示向东北方向走． 故选：． 【点评】本题主要考查向量的加法，考查计算能力，属于基础题． 7．（2025春•佛山期末）已知正方形的边长为1，，，，则（　　） A．1 B．2 C． D． 【解答】解：正方形的边长为1，，，，则． 故选：． 【点评】本题主要考查向量的加法，属于基础题． 8．（2025春•云浮期末）（　　） A． B． C． D． 【解答】解：原式． 故选：． 【点评】本题主要考查向量的线性运算，属于基础题． 9．（2025春•广东期末）化简 　　． 【解答】解：原式． 故答案为：． 【点评】本题主要考查向量的加减运算，属于基础题． 10．（2024春•汕尾期末）（　　） A． B． C． D． 【解答】解：． 故选：． 【点评】本题考查向量的运算，属于基础题． 11．（2021秋•濠江区校级期末）（多选）下列能化简为的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：对于，，故正确； 对于，，故正确； 对于，，故正确； 对于，，故不合题意； 故选：． 【点评】本题考查了向量的线性运算，考查转化思想，是基础题． ( 考点0 3 平面向量共线定理及其应用 ) 12．（2025秋•龙岗区期末）已知，是不共线向量，则下列各组向量中是共线向量的有（　　） ①，；②，；③，． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【解答】解：对于①，因为，，所以，故共线； 对于②，因为，，所以，故共线； 对于③，因为，，设，可得，故无解，故不共线． 故选：． 【点评】本题考查了平面向量共线定理的应用，解题的关键是看是否存在倍数关系，属于基础题． 13．（2025春•茂名期末）已知，是同一平面内两个不共线的向量，则的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【解答】解：若，则， 若， 知，是同一平面内两个不共线的向量， 则，解得，选项正确； 若， ，是同一平面内两个不共线的向量， 则，无解，选项错误； 若， 知，是同一平面内两个不共线的向量， 则，无解，选项错误； 若， 知，是同一平面内两个不共线的向量， 则，无解，选项错误． 故选：． 【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题． 14．（2024春•中山市期末）已知为不共线的非零向量，，，，则（　　） A．，，三点共线 B．，、三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线 【解答】解：，， 不存在，使， 故，，三点不共线， 故选项错误； ， ， ，、三点共线， 故选项正确； ，， 不存在，使， 故，，三点不共线， 故选项错误； ，， 不存在，使， 故，，三点不共线， 故选项错误； 故选：． 【点评】本题考查了向量共线定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 15．（2024春•佛山期末）已知向量，不共线，若，则（　　） A． B． C． D．2 【解答】解：向量，不共线，， ， 解得． 故选：． 【点评】本题考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 16．（2025春•佛山期末）已知向量，是两个不共线的向量，，，且，则（　　） A． B． C．1 D．2 【解答】解：已知向量，是两个不共线的向量，，，且， 则，解得． 故选：． 【点评】本题考查的知识点：向量的共线，主要考查学生的运算能力，属于基础题． 17．（2024春•湛江期末）已知和是两个不共线的向量，，，且与是共线向量，则实数的值是 　　． 【解答】解：以和为基底，利用坐标表示，， 由与是共线向量，得，解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了平面向量的共线定理应用问题，是基础题． 18．（2024春•廉江市校级期末）（多选）已知向量，，，若点，，能构成三角形，则实数可以是　　 A．0 B．1 C． D． 【解答】解：因为，，， 可得，， 因为点，，能构成三角形，则与不共线，与不共线， 所以，且， 解得． 故选：． 【点评】本题考查用向量的方法判断三角形的条件，属于基础题． 19．（2024秋•广州期末）已知平面向量，，若，则实数的值为（　　） A．0 B． C．1 D． 【解答】解：； ； ． 故选：． 【点评】考查向量坐标的概念，以及向量平行时的坐标关系． 20．（2021春•惠州期末）已知向量，，若，则（　　） A． B．1 C．2 D．4 【解答】解：，，且， ，即． 故选：． 【点评】本题考查平面向量共线的坐标运算，是基础题． 21．（2018秋•番禺区期末）已知向量，，且，则的值为（　　） A． B．2 C． D．1 【解答】解：向量，， 当时，， 解得． 故选：． 【点评】本题考查了平面向量的共线定理应用问题，是基础题． ( 考点0 4 用基底表示向量 ) 22．（2025春•广州期末）在△中，，为中点，设，，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在△中，，为中点， 则， 故选：． 【点评】本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量基本定理，属基础题． 23．（2025春•汕尾期末）如图，在△中，是上靠近的一个三等分点，记，，则可以用，表示为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据是上靠近的一个三等分点，可得， 可得，化简得． 故选：． 【点评】本题主要考查平面向量的线性运算法则，属于基础题． 24．（2025春•肇庆期末）已知为△的边的中点，为上一点，且满足，设，，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：已知为△的边的中点，为上一点，且满足，设，， 如图所示，因为为△的边的中点，所以， 因为，所以， ． 故选：． 【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 25．（2023春•茂名期末）在平行四边形中，是线段的中点，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为是线段的中点， 所以 ． 故选：． 【点评】本题考查平面向量线性运算，属基础题． 26．（2025春•清远期末）在△中，已知，用表示，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在△中，已知， 所以． 故选：． 【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于基础题． 27．（2024春•广州期末）如图，在△中，，，设，，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为，所以． 因为，所以． 故选：． 【点评】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题． 28．（2022春•深圳期末）如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为为平行四边形，故，故易知△△， 故可得， 故， 故选：． 【点评】本题主要考查平面向量基本定理的应用，属于基础题． 29．（2024春•广东期末）在△中，是边上一点，且，是的中点，记，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意，，是的中点， 则有，， 故 ． 故选：． 【点评】本题考查平面向量的基本定理，属基础题． 30．（2022春•清远期末）在平行四边形中，是的中点，交于，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为是的中点，，所以， 所以． 故选：． 【点评】本题考查平面向量基本定理，考查向量的线性运算，属基础题． ( 考点0 5 平面向量基本定理求参 ) 31．（2025秋•榕城区校级期末）若点是△所在平面上一点，且，是直线上一点，，则的最小值是（　　） A．2 B．1 C． D． 【解答】解：设，，，，，，， 因为，所以，， 所以点是△的重心， 设点是的中点，则，、、共线，如图， 又． 因为、、三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号，即的最小值是． 故选：． 【点评】本题考查平面向量基本定理，基本不等式的应用，属中档题． 32．（2022秋•大埔县校级期末）如图，在△中，，是的中点，若，则（　　） A． B．1 C． D． 【解答】解：在△中，，是的中点， ， ，， ， 故选：． 【点评】本题考查向量的线性运算，属基础题． 33．（2024春•潮州期末）如图，在中，，是线段上一点，若，则实数的值为　　 A． B． C．2 D． 【解答】解：， ； 又， ， ，，三点共线； ， ． 故选：． 【点评】考查向量数乘的几何意义，向量的数乘运算，以及三点共线的充要条件，考查运算求解能力．属于基础题． 34．（2023春•韶关期末）在△中，点为边的中点，点为的中点，若，则（　　） A． B． C．1 D． 【解答】解：由题意， ， 则． 故选：． 【点评】本题考查平面向量的线性运算，属基础题． 35．（2023春•深圳期末）在梯形中，若，且，则（　　） A． B．2 C． D．3 【解答】解：，， ， ，， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了平面向量的线性运算，属于基础题． ( 考点0 6 平面向量的坐标表示 ) 36．（2019春•阳春市期末）已知，，则（　　） A．2 B． C．4 D． 【解答】解：，， ，． 故选：． 【点评】本题考查了向量是运算和向量的模，属基础题． 37．（2025春•佛山期末）若物体在共点力，的作用下产生位移，则合力对物体所做的功为 　　 ． 【解答】解：已知共点力，，则合力为， 又已知位移为，所以合力对物体所做的功． 故答案为：13． 【点评】本题主要考查向量的坐标运算，属于基础题． 38．（2024春•珠海期末）已知扇形的半径为13，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，，弧的中点为，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，可得点在的平分线上， 因为，所以，其中． 由点在弧上，可得，解得（舍负）． 所以，，． 故选：． 【点评】本题主要考查平面向量的坐标运算、向量的模的公式等知识，考查了计算能力、图形的理解能力，属于中档题． ( 考点0 7 平面向量的数量积 ) 39．（2025春•汕头期末）已知，，与的夹角为，则（　　） A． B．72 C．84 D． 【解答】解：，，与的夹角为， ， 则 ． 故选：． 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查运算求解能力，是基础题． 40．（2024秋•广东校级期末）已知△是边长为1的正三角形，是上一点且，则（　　） A． B． C． D．1 【解答】解：因为，所以， 因为，，三点共线， 所以， 因为，所以， 解得，即， 所以． 故选：． 【点评】本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，属于基础题． 41．（2025秋•荔湾区校级期末）如图所示，已知△中，点，，依次是边上的三个四等分点，若，，则（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【解答】解：因为△中，点，，依次是边上的三个四等分点，又，， 所以， 所以， 所以． 故选：． 【点评】本题考查向量的线性运算及向量数量积的运算，属中档题． 42．（2025春•深圳校级期末）如图，在四边形中，，，，为线段的中点，，则（　　） A．3 B． C． D． 【解答】解：在△中，由余弦定理可得， 则． 由， 可得， 故在△中，为线段中点， 则， 又， 则，，且， 所以． 故选：． 【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了余弦定理，属中档题． 43．（2025春•汕尾期末）如图，已知圆的弦的长度为4，则的值是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【解答】解：由圆的性质知， 又，且， 所以． 故选：． 【点评】本题考查圆的性质及平面向量数量积的运算，属基础题． 44．（2025春•肇庆期末）已知向量，，且，则（　　） A．8 B． C． D． 【解答】解：向量，，且， 则，得， 所以． 故选：． 【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题． 45．（2022秋•大埔县校级期末）若向量与向量共线，则（　　） A．0 B．4 C． D． 【解答】解：向量与向量共线， 则，解得， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了平面向量的共线定理与数量积运算问题，是基础题． ( 考点0 8 求向量的模 ) 46．（2025秋•汕头校级期末）平面向量，若，则 ． 【解答】解：由，向量， 得，解得． 则，． 故答案为：． 【点评】本题主要考查向量垂直的性质，以及向量模公式，属于基础题． 47．（2025秋•龙岗区期末）（多选）已知向量，的夹角为，且，，则（　　） A． B． C． D．向量在向量上的投影向量为 【解答】解：选项向量，的夹角为，且，， ，故错误； 选项，故正确； 选项，，故正确； 选项：向量在向量上的投影向量为，故错误． 故选：． 【点评】本题考查了投影向量公式，属于中档题． 48．（2025春•广州期末）若平面向量两两的夹角相等，且，则（　　） A．2 B．8 C．或 D．2或8 【解答】解：因为，，两两的夹角相等，所以夹角为0或， 如果夹角为0， 因为 所以得到， 如果夹角为，， 所以． 故选：． 【点评】本题主要考查平面向量的数量积，属于中档题． 49．（2025春•广州期末）已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为，在方向上的投影向量为，且，则（　　） A． B．2 C． D．4 【解答】解：在方向上的投影向量为，即，① 在方向上的投影向量为，即，② 由①②得，又， 所以． 故选：． 【点评】本题主要考查投影向量的求解，属于基础题． 50．（2024秋•汕头期末）已知平面向量，满足：，，则（　　） A． B． C．2 D． 【解答】解：已知平面向量，满足：，， 所以， 即， 可得， 则． 故选：． 【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量模的运算，属中档题． 51．（2024秋•深圳期末）已知向量，，，满足与互为相反向量，，，，则（　　） A．2 B．7 C． D． 【解答】解：与互为相反向量，， 得， 两边平方可得， 即，① 又由， 在两边同时点乘向量， 得， 即，② 又， 联立①②，解得， ． 故选：． 【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属中档题． 52．（2025秋•龙岗区期末）已知平面向量，，若，则 ． 【解答】解：向量，， 可得， 故，可得，解得， 故，可得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查向量垂直的性质应用，考查计算能力，属于基础题． 53．（2025春•广州期末）已知向量，，若，则实数（　　） A．3 B．6 C． D． 【解答】解：因为， 所以两边同时平方可得：， 所以， 因为，， 所以， 解得． 故选：． 【点评】本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题． 54．（2012秋•海珠区校级期末）平面向量与的夹角为，若，，则（　　） A． B． C．4 D．12 【解答】解：由，所以， 所以 ． 所以． 故选：． 【点评】点评本题考查了向量的模及向量的数量积运算，考查了数学转化思想，解答此题的关键是运用． ( 考点0 9 求向量的夹角 ) 55．（2024秋•湛江校级期末）已知非零向量、满足，则与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为， 所以， 所以， 因为， ， 设与的夹角为，则． 故选：． 【点评】本题考查平面向量的数量积与夹角，属于基础题． 56．（2025春•罗湖区期末）已知向量，满足，，若，则，的夹角为　　 ． 【解答】解：设，的夹角为，，， 若， 则，解得， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查向量垂直的性质，向量的夹角公式，属于基础题． 57．（2025春•梅州期末）如图，在△中，，，是边上靠近点的三等分点，是的中点，与交于点，（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，， 则． 故选：． 【点评】本题主要考查了向量夹角公式的应用，属于基础题． 58．（2024秋•湛江期末）已知单位向量满足，则向量夹角的余弦值是 　　． 【解答】解：因为单位向量满足， 平方可得， 解得， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，属基础题． 59．（2023秋•南山区期末）已知，为单位向量，且，则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由，为单位向量，可得， 又，可得， 即， 解得， 故， 又， 所以与的夹角为． 故选：． 【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，属基础题． 60．（2024春•越秀区校级期末）已知与的夹角为，且，当与的夹角为钝角时，的取值范围　　． 【解答】解：的夹角为，且 的夹角为钝角 但不能反向即 解得或且． 故答案为：或且． 【点评】本题考查向量的数量积公式、考查利用向量的数量积公式解决向量的夹角问题． ( 考点 10 向量垂直问题 ) 61．（2025春•河源期末）已知向量，，且，则（　　） A． B． C． D．2 【解答】解：，，且， ，解得． 故选：． 62．（2024秋•揭阳期末）已知向量，，若，则（　　） A． B．2 C．4 D． 【解答】解：， 则， 向量，， 则，解得． 故选：． 63．（2025春•深圳期末）已知向量，，且，则 　　 ． 【解答】解：向量，，， 因为， 所以，解得． 故答案为：． 64．（2013春•肇庆期末）已知，，且，则等于（　　） A．2 B．1 C．0 D． 【解答】解：因为，，所以， 由，得，解得． 故选：． 65．（2025秋•南山区期末）设向量，向量，若，则（　　） A． B．0 C．1 D．2 【解答】解：因为，， 所以， 所以，解得． 故选：． 66．（2024春•韶关校级期末）已知向量，若，则（　　） A．3 B． C．1 D． 【解答】解：， 则， ， 故，解得． 故选：． 67．（2024春•黄埔区校级期末）已知向量，，若，则（　　） A． B． C．1 D．0 【解答】解：根据题意，因为，， 所以， 因为， 所以，即，解得． 故选：． 68．（2024春•潮州期末）已知向量，． （1）若，求实数的值； （2）若，，求向量与的夹角． 【解答】解：（1）由于，，由于，故，解得． （2）由于，且，所以，解得． 所以， 故， 由于， 所以． 69．（2022春•惠州期末）已知向量，，． （1）若点，，能构成三角形，求实数应满足的条件； （2）若为直角三角形，且为直角，求实数的值． 【解答】解：（1）若点，，能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线， 由，， 知， 解得，满足条件； （若根据点、、能构成三角形，必须任意两边长的和大于第三边的长， 即由去解答，相应给分） （2）若为直角三角形，且为直角，则， ， 即， 解得． ( 考点 11 求投影向量 ) 70．（2025秋•宝安区校级期末）已知向量满足，且，则向量在向量方向上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：向量满足，且， 则，解得， 向量在向量方向上的投影向量为． 故选：． 71．（2025秋•汕头期末）向量，，则在方向上的投影数量为 ． 【解答】解：因为，， 所以，， 所以在方向上的投影数量为． 故答案为：． 72．（2025秋•梅州期末）（多选）已知向量，则下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则在上的投影向量为 【解答】解：向量，， 则，即，故错误； 选项：若，则，解得，故正确； 选项：若，则，解得，即，故正确； 选项：若，则， 所以在上的投影向量为，故正确． 故选：． 73．（2025春•广东期末）已知向量，，向量在向量方向上的投影向量的模为（　　） A． B． C．3 D． 【解答】解：由题意知向量，，则 故向量在向量方向上的投影向量为， 故向量在向量方向上的投影向量的模为． 故选：． 74．（2025春•潮州期末）已知，向量在上的投影向量的坐标为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意可知，，， 则在上的投影向量的坐标为． 故选：． 75．（2025春•河源期末）已知向量，，且，的夹角为，则向量在上的投影向量的坐标为　　 ． 【解答】解：因为，所以，又，且的夹角为， 所以， 所以向量在上的投影向量为． 故答案为：． 76．（2024春•越秀区校级期末）已知△的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为， 所以△外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径，如图， 又，所以△为等边三角形， 则，故， 故所求投影向量为：． 故选：． 77．（2024春•新会区校级期末）已知△的外接圆圆心，且，，则向量在向量上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，△中，，则是的中点， 又由是的中点，则为圆的直径，则有， 又由，则△为等边三角形，， 则向量在向量上的投影向量为． 故选：． 78．（2024春•广州期末）已知非零向量满足，则在方向上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：，，可得， 所以在方向上的投影向量为． 故选：． ( 考点 12 数量积的最值问题 ) 79．（2022秋•金平区校级期末）已知△是边长为2的等边三角形，为圆的直径，若点为圆上一动点，则的取值范围为（　　） A．， B．， C．， D．， 【解答】解：如图所示 ， 由图像可知与夹角的范围为，， 所以， 所以． 故选：． 80．（2025秋•罗湖区校级期末）如图所示，在矩形中，，，点在边上运动（包含端点），则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示： 则，，，设，，； 所以，，， 所以， 时，取得最小值，或时取得最大值4， 所以的取值范围是，． 故选：． 81．（2025春•深圳期末）已知△是边长为2的等边三角形，是△内的一点，且，若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：取的中点，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系， 则点，，， 设点，，， 因为，且， 所以， 解得， 由于点在正△内，则， 可得， 则， 可得，， 所以， 所以当时，取最小值． 故选：． 82．（2025春•湛江期末）如图，以边长为4的菱形的四条边为直径向外作四个半圆，是这四个半圆弧上的一动点，，则的最大值是（　　） A．16 B． C．18 D．20 【解答】解：当点在半圆的弧上时，在方向上的投影的数量在，内，； 当点在半圆或半圆的弧上时，在方向上的投影的数量为非正数； 当点在半圆的弧上时，在方向上的投影的数量不小于2， 因此当取最大值时，点在半圆的弧上，如图，取中点， 则， 而， ，当且仅当时取等号， 综上，的最大值是20． 故选：． 83．（2025春•云浮期末）△的内角，，的对边分别为，，，且，若△外接圆的圆心为，则的最大值为　　 ． 【解答】解：如图所示，作，，垂足分别为，， 则 ， 在△中，， 由余弦定理及基本不等式， 可得， 当且仅当时，等号成立， 所以，即， 则的最大值为16． 故答案为：16． 84．（2025春•潮阳区校级期末）已知△为直角三角形，，，，为的中点．若点在射线上运动，则的最小值为 　　 ． 【解答】解：已知△为直角三角形，，，，为的中点．若点在射线上运动， 以点为原点，建立平面直角坐标系， 则， 所以直线的方程为， 设点， 所以， 所以， 当时，的最小值为． 故答案为：． 85．（2025春•深圳期末）如图，在△中，，，点满足，为中点，点在线段上移动（包括端点），则的取值范围是　　 ． 【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系， 设，，， 因为，，所以， 则，， 由，可得，解得， 所以，则， 由，可得， 解得，则， 因为为中点，所以， 设，，则，， 所以， 又，所以当时，可得， 当时，可得， 则的取值范围是． 故答案为：． 86．（2025春•龙岗区校级期末）已知点为等腰△外接圆上的一个动点，，则的取值范围为　　 ． 【解答】解：根据题意可知，为等腰△外接圆上的一个动点，，则， 若，则，矛盾， 若，则，合乎题意． ， 设，，当点在优弧（不包括点、上运动时，，则， ， 所以，，当且仅当点与点重合时，等号成立， 又因为，此时，，此时，， 当点与点或点重合时，， 当点在劣弧（不包括点、上运动时，，此时，， ， 即，当且仅当点为劣弧的中点时，等号成立，又因为，则， 此时，， 综上所述，的取值范围是． 故答案为：． ( 考点 13 平面向量的四心问题 ) 87．（2024春•赤坎区校级期末）（多选）已知是所在平面内一点，则下列结论正确的是　　 A．若，则为等腰三角形 B．若，则为钝角三角形 C．若是的垂心，，则 D．若，，则的轨迹经过的重心 【解答】解：对于选项，则，则，则为等腰三角形，即选项正确； 对于选项，则，即，即，为锐角，角与角不一定为钝角，则的形状不确定，即选项不正确； 对于选项，是的垂心，，则，即选项正确； 对于选项，由正弦定理得， 所以， 设中点为，则，所以， 所以，，三点共线，即点在边的中线上，故点的轨迹经过的重心，即选项正确． 故选：． 88．（2024春•汕头期末）（多选）已知点、、在所在平面内，则　　 A．若，则点是的外心 B．若，则点是的重心 C．若，则点是的内心 D．若，则是等腰三角形 【解答】解：对于选项，已知， 由外心定义可得：点是的外心； 即选项正确； 对于选项，设是中点， 由得， 即选项正确； 对于选项，由得， 即， 同理，， 故点是的垂心， 即选项错误； 对于选项，设， 则为的平分线， 又， 即选项正确． 故选：． 89．（2025春•佛山期末）（多选）已知在△中，，，，点为△所在平面内一点，则　　 A．若为△的垂心，则 B．若为△的重心，则 C．若为△的外心，则 D．若为△的内心，则 【解答】解：选项，由垂心定义可知，为边上的高线， 故，故正确； 选项，由为△的重心，可得， 则 ，故错误； 选项，由为△的外心， 可得，， 故 ，故正确； 选项，由题意，，，， 又为△的内心，可得， 则 ，故正确． 故选：． 90．（2024春•梅州期末）欧拉是伟大的数学家，也是最多产的数学家，他在数论、复变函数、变分法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献．1765年，欧拉在他的著作《三角形的几何学》中指出，任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直线上（这条直线被称为三角形的欧拉线），此外，外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半．为证明以上结论，我们作以下探究： 如图，点、、分别为的外心、重心、垂心． （1）求证：； （2）求证：； （3）求证：． 注：①重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成； ②垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直； ③外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． 【解答】证明：（1）因为为的重心， 所以连接，并延长交于， 则为中点，且． 在中，因为为中点，所以， 所以； （2）在中，为中点， 所以． 因为为的重心，所以， 则在中，有， 所； （3）由欧拉定理知，，所以． 由（2）知， 所以． 91．（2023春•清远期末）瑞士数学家欧拉是数学史上最多产的数学家，被誉为“数学之王”，欧拉在1765年发表了令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条直线被称为欧拉线．已知，，，为△所在平面上的点，满足，，，，，分别为△的内角，，的对边），则欧拉线一定过（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【解答】解：因为，，，为△所在平面上的点，则有： 由，可知点为△的外心， 设边的中点为，则， 又，， 所以，即，，三点共线且点为靠近点的三等分点， 故点为△的重心， 由可知， 当时，点是△的重心，反之则不是， 由可得：，即， 同理可得：，， 故点为△的垂心， 由欧拉线定义可知，欧拉线一定经过，，三点． 故选：． 92．（2021春•越秀区期末）（多选）已知点在所在平面内，则　　 A．满足时，是的外心 B．满足时，是的重心 C．满足时，是的内心 D．满足时，是的垂心 【解答】解：对于，点满足时， 可得，， 则，，所以点是的垂心，故错误； 对于，因为，所以， 取中点为，则， 故在边的中线上，同也在、边的中线上， 故为的重心，故正确； 对于，因为， 所以由正弦定理有， 所以， 所以， 即， 所以，故在的角平分线上， 同理可证点在、的角平分线上，故为的内心，故正确； 对于，先证明点为所在平面内上一点， 则满足，，，不全为0的点是唯一的， 假设还有一点满足，则有， 即，故，此时、重合，所以点是唯一的． 再证若为外心时，， 因为 ， 设的外接圆半径为， 则 ， 即， 综上，为的外心．故错误． 故选：． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $