专题02 解三角形12大题型（期末真题汇编，广东专用）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦解三角形12个高频考点，汇编2020-2025年多地期末真题，覆盖基础应用到综合创新 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约60题|正弦定理（考点01）、面积计算（考点07）、实际应用（考点12）|基础题（如考点01选择）、综合题（如考点09几何图形计算）、应用题（如考点12测量问题），梯度分明，贴合期末考情| |解答题|约40题|边角互化（考点06）、最值问题（考点11）、角平分线（考点10）|结合几何图形（如四边形计算）、跨考点综合（如面积与周长结合），体现逻辑推理与数学建模素养|

专题02 解三角形 高频考点概览 考点 01 利用正弦定理解三角形 考点 02 三角形解的个数问题 考点 03 正弦定理求外接圆半径 考点 04 利用余弦定理解三角形 考点 05 判断三角形形状 考点 06 正余弦定理边角互化的应用 考点 07 三角形的面积问题 考点 08 三角形的周长问题 考点 09 几何图形中的计算 考点 10 角平分线、中线、高线问题 考点 11 解三角形的最值问题 考点 12 解三角形的实际应用 考点01 利用正弦定理解三角形 1．（2021春•肇庆期末）在△中，，，，则（　　） A． B． C． D． 2．（2022春•潮州期末）在△中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则（　　） A． B． C． D． 3．（2025春•清远期末）在△中，角，，的对边分别为，，，已知，则 　　 ． 4．（2021春•安宁市校级期末）在△中，角，，的对边长分别为，，，，，，则（　　） A． B． C． D． 5．（2021春•深圳期末）已知△中，，，分别是角，，的对边，，，，则（　　） A． B． C．或 D． 6．（2020春•湛江期末）在△中，内角、、所对的边分别为、、，若，则（　　） A． B． C． D． 7．（2021春•封开县校级期末）在△中，，，，则此三角形（　　） 考点02 三角形解的个数问题 A．无解 B．两解 C．一解 D．解的个数不确定 8．（2020春•湛江期末）（多选）在中，内角、、所对的边分别为、、，不解三角形，确定下列判断错误的是　　 A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，有一解 D．，，，无解 9．（2021春•广东期末）（多选）在中，，，则下列的长度能使该三角形有两解的是　　 A．3 B．4 C．5 D．6 10．（2024春•梅州期末）在△中，角，，的对边分别是，，，若满足条件，的三角形有两个，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 11．（2021春•肇庆期末）在△中，内角，，所对的边分别为，，，若，，当有两解时，的取值范围是（　　） A． B． C． D．， 12．（2025春•梅州期末）在△中，，，分别三个内角，，的对边，，，若该三角形有两个解，则边长的取值范围为 　　 ． 考点03 正弦定理求外接圆半径 13．（2025秋•揭东区校级期末）已知在△中，，则△外接圆的周长为（　　） A． B． C． D． 14．（2025秋•汕头校级期末）在△中，角，，的对边分别为，，，若，则△外接圆半径为 ． 15．（2024秋•阳江期末）在△中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则△外接圆的半径为（　　） A． B． C．6 D．12 16．（2025春•潮州期末）在△中，已知，则△的外接圆直径为（　　） A．2 B． C． D． 17．（2019春•福田区校级期末）已知△的内角，，满足． （1）求角； （2）若△的外接圆半径为1，求△的面积的最大值． 18．（2023春•汕头期末）在△中，为上一点，，，． （1）若，求△外接圆的半径； （2）设，若，求△面积． 考点04 利用余弦定理解三角形 19．（2025春•佛山期末）在△中，，，，则（　　） A．9 B．10 C．12 D．15 20．（2024春•潮州期末）在△中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（　　） A． B． C． D． 21．（2024春•清远期末）在三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则　　． 22．（2021春•广东期末）在△中，，，，则（　　） A． B． C． D． 考点05 判断三角形形状 23．（2022春•中山市期末）已知△中，，，分别是角，，的对边，且满足，则该三角形的形状是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 24．（2021春•普宁市期末）在△中，已知，则该三角形的形状为（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 25．（2020春•禅城区期末）△中，，，，则△的形状一定为（　　） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 26．（2025春•汕头校级期末）△中角、、的对边分别是、、，，则三角形是（　　） A．直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 27．（2024秋•广东校级期末）（多选）关于△，下列说法正确的是　　 A．若，则△是等腰三角形 B． C．若△为锐角三角形，则恒成立 D．若，则△为钝角三角形 考点06 正余弦定理边角互化的应用 28．（2025春•龙岗区校级期末）已知，，分别为△三个内角，，的对边，且，则 　　 ． 29．（2020春•珠海期末）设的内角，，的对边分别为，，，若，，则　　． 30．（2024春•江门期末）△的内角，，的对边分别为，，，已知，，则（　　） A． B． C． D． 31．（2023春•汕尾期末）在△中，内角，，所对的边分别为，，，，，则（　　） A． B． C． D． 32．（2021春•揭阳期末）已知△中，内角，，的对边分别为，，，若，则（　　） A． B． C． D． 考点07 三角形的面积问题 33．（2024春•肇庆期末）△的内角，，的对边分别为，，，若，，则△的面积为（　　） A． B．1 C． D．2 34．（2024春•海珠区校级期末）记△的内角，，的对边分别为，，，若，则△的面积为（　　） A． B． C． D． 35．（2021春•东莞市校级期末）在△中，若，且满足，则该三角形的面积为（　　） A．1 B．2 C． D． 36．（2021春•东莞市校级期末）设△的内角，，的对边分别为，，，若，，，则△的面积为（　　） A． B． C．4 D． 37．（2025秋•梅州期末）在△中，内角，，所对的边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）若，△的面积为，求的值． 38．（2025秋•榕城区校级期末）在△中，角，，所对的边分别是，，，且． （1）求； （2）若是边的中点，，，求△的面积； 39．（2025秋•汕头校级期末）在△中，内角，，的对边分别为，，，已知． （1）证明：． （2）若，，求△的面积． 40．（2025春•深圳期末）在△中，，，分别是角，，的对边，向量，，且，且角是锐角． （1）求角的值； （2）若，求△的面积的最大值． 41．（2024春•廉江市校级期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，满足． （1）求角的大小； （2）若的外接圆半径为1，求边长的值； （3）若，求的面积的最大值． 42．（2024春•揭阳期末）记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若为边的中点，且，求面积的最大值． 考点08 三角形的周长问题 43．（2024秋•揭阳期末）已知△内角，，的对边分别为，，，． （1）求的值； （2）若△的面积为，且，求△的周长． 44．（2025春•清远期末）在△中，角，，的对边分别为，，，若． （1）求； （2）若，△的面积为，求△的周长． 45．（2024秋•潮州期末）△的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，△的面积为，求△的周长． 46．（2025春•深圳期末）在中，、、分别是角、、的对边，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积和周长． 47．（2025春•广州期末）已知△是钝角三角形，内角，，的对边分别为，，，且，，则△的周长的取值范围为 　 ． 48．（2025秋•广州期末）已知△中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，求△周长的最大值． 49．（2024秋•广东校级期末）在△中，、、分别为角、、所对的边，且． （1）求角． （2）若，求△周长的最大值． 考点09 几何图形中的计算 50．（2024春•广州期末）△中，角，，的对边分别为，，，点在边上，且直线平分． （1）求证：； （2）若，． ①求△面积的最大值； ②若△和△的内切圆半径分别是和，求的取值范围． 51．（2025春•广州期末）如图，在平面四边形中，点与点分别在直线的两侧，． （1）已知，且， 当时，求△的面积； 若，求． （2）已知，且，求的最大值． 52．（2025秋•深圳期末）如图，在平面四边形中，已知，，． （1）求△的面积； （2）若，且，求的长． 53．（2025秋•深圳期末）如图，在△中，，点、分别在、延长线上，满足，，． （1）证明：； （2）若，求的长． 54．（2024春•潮州期末）如图，在中，，，，点在边的延长线上． （1）求的面积； （2）若，，求的长． 55．（2025春•湛江期末）在△中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求； （2）已知为边上的一点，且． （ⅰ）若，，求的长； （ⅱ）求的取值范围． 56．（2025春•广州期末）已知△的三个角，，的对边分别为，，，． （1）求的大小； （2）若，在△的边和上分别取点，，将△沿线段折叠到平面后，顶点恰好落在边上（设为点．设，，回答以下问题： （ⅰ）当时，求的长度； （ⅱ）当取最小值时，求△的面积． 57．（2024秋•广东期末）如图，在平面四边形中，，，，，，点在上，且． （1）求； （2）求△的面积． 58．（2024秋•天河区期末）如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的点． （1）当时，求的值； （2）当△的周长为2时， 求的大小； 设，为△的面积，求的最小值． 59．（2023秋•深圳期末）某景区为吸引游客，拟在景区门口的三条小路，，之间划分两片三角形区域用来种植花卉（如图中阴影部分所示），已知，，，，三点在同直线上，． （1）若，求的长度； （2）求面积的最小值． 考点10 角平分线、中线、高线问题 60．（2025春•深圳期末）在中，的角平分线交于，则　　． 61．（2025春•广州期末）在△中，是的中点，，，，则的大小为 　　 ；为的角平分线，在线段上，则的长度为 　　 ． 62．（2025秋•荔湾区校级期末）已知点，，为坐标原点，函数． （1）求的解析式及最小正周期． （2）三角形中，角，，所对的边分别为，，，为的角平分线，，．若，求△的面积． 63．（2025秋•广州期末）如图，在△中，，点在线段上，，且，． （1）求和的值； （2）的角平分线与相交于，求的长度． 64．（2025春•福田区校级期末）已知，，分别为△三个内角，，的对边，且． （1）求； （2）若，，设为△的角平分线，求的长． （3）若，且△的面积为，求△的周长． 65．（2025春•广州期末）已知△的内角，，的对边分别为，，，且满足． （1）求角； （2）已知△的外接圆的圆心为，半径． 作角的平分线交于，，求△的面积； 若，求的取值范围． 66．（2024春•番禺区期末）在△中，角，，的对边分别是，，，且． （1）求角； （2）若，，的角平分线交于点，求． 67．（2023秋•福田区校级期末）已知①，②，③，从上述三个条件中任选一个补充到下面问题中，并解答问题．在中，内角，，的对边分别为，，，并且满足_____． （1）求角； （2）若，为角的平分线，点在上，且，求的面积． 68．（2021春•封开县校级期末）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答． ①；②；③． 已知的内角，，的对应边分别为，，．____． （1）求； （2）设是的内角平分线，边，的长度是方程的两根，求线段的长度． 69．（2022春•茂名期末）已知的内角，，的对边分别为，，，． （1）求； （2）若，，在角的平分线上取点，且，则点是否在线段上？请说明理由． 70．（2021春•端州区校级期末）在中，角，，所对的边分别是，，，已知． （1）求角的大小； （2）在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答． 若，，点是边上的一点，且______． 求线段的长． ①是的高；②是的中线；③是的角平分线． 71．（2023秋•濠江区校级期末）已知中角，，所对的边分别为，，，设其面积为，． （1）求角； （2）若，点在边上，若是的平分线，且，求． 72．（2024秋•龙岗区期末）已知△的内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若△的面积为，中线，求． 73．（2022秋•湛江期末）在△中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，． （1）求； （2）若是钝角，求边上的中线长． 74．（2022春•肇庆期末）在中，内角，，的对边分别为，，，，，若为边上的中线，，则的面积为 　　． 75．（2025秋•深圳校级期末）已知在中，内角，，对应的边分别是，，，，． （1）求的大小； （2）已知的周长为，求边上的中线的长度． 76．（2021秋•佛山期末）中，内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，边上的中线，求的面积． 77．（2022春•惠州期末）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答． 问题：在中，角，，的对边分别为，，，________． （1）求； （2），，求的边上的中线的长． 78．（2020秋•天河区期末）在中，角，，的对边分别为，，，若． （1）求角的值； （2）若，且的面积为，求边上的中线的长． 考点11 解三角形的最值问题 79．（2023春•梅州期末）在锐角△中，角，，的对边分别为，，，，，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 80．（2023春•香洲区校级期末）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 记的内角，，的对边分别为，，，已知 _____． （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分． 81．（2023秋•阳江期末）在中，为的角平分线，且． （1）若，，求的面积； （2）若，求边的取值范围． 82．（2025春•湛江期末）（多选）在锐角△中，角，，对应的边分别为，，，且．则下列说法正确的是　　 A． B．角的范围是 C．若的平分线交于，，，则 D．的取值范围是 83．（2020春•梅州期末）在三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若且，求的取值范围． 84．（2024春•茂名期末）若△是锐角三角形，，，则边的取值范围是（　　） A． B． C． D． 85．（2024春•番禺区期末）已知，，分别是三内角，，所对的三边，且． （1）求的大小； （2）若，的面积为，求，； （3）求的取值范围． 86．（2021春•深圳校级期末）已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 87．（2023春•广州期末）（多选）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的有　　 A． B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 88．（2023春•香洲区校级期末）在锐角△中，角，，的对边分别为，，，若，其中为△的面积，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 89．（2023春•香洲区校级期末）在中，内角，，所对的边，，满足，则　　，三角形为锐角三角形，则的取值范围是 　　． 90．（2023秋•香洲区校级期末）中，角，，的对边分别为，，，满足，． （1）证明：； （2）求的取值范围． 91．（2025春•广州期末）在锐角△中，内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 92．（2025春•汕头校级期末）在中，角，，的对边分别为，，，，，若有最大值，则实数的取值范围是 　　． 93．（2024春•越秀区校级期末）已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且． （1）求角的值； （2）若，求的取值范围． 94．（2024秋•深圳期末）在△中，角、、的对边分别为、、，已知． （1）求的大小； （2）若，且，求的取值范围． 95．（2023秋•东莞市期末）在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，且为外接圆劣弧上一点，求的取值范围． 96．（2023春•清远期末）（多选）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，则　　 A． B． C．的取值范围是 D．的取值范围是， 97．（2025春•惠州期末）在△中，已知，，分别是△的内角，，所对的边，记，，且． （1）求角； （2）若，求的取值范围． 98．（2024春•顺德区校级期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是 　　． 99．（2024春•广东期末）已知的内角，，的对边分别为，，，，且． （1）求的大小； （2）若的平分线交于点，且，求的取值范围， 100．（2024春•云浮期末）记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）若，，求角； （2）若为锐角三角形，设，求的取值范围． 考点12 解三角形的实际应用 101．（2025春•湛江期末）如图，两座山峰的高度，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点，，在同一水平面上）测得点的仰角为，点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（　　） A． B． C． D． 102．（2025春•惠州期末）位于灯塔处正西方相距30海里的处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔处北偏东方向有一与灯塔相距海里的处有一艘乙船，则乙船前往支援处甲船需要航行的最短距离是（　　） A．海里 B．海里 C．海里 D．30海里 103．（2024秋•汕头期末）如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走到达处，在处测得山顶的仰角为，则山高 　　．（结果用、、、表示） 104．（2025春•汕尾期末）如图，一艘巡逻船从小岛出发，沿北偏东的方向航行海里后到达小岛，然后从小岛出发，继续沿某一方向航行海里后到达小岛．小岛与小岛相距海里．三个小岛构成△．其中，，分别为三角形在顶点，，处的内角． （1）若满足关系式：，求巡逻船从小岛直接航行到小岛时应采用的方向（以北偏东角度表示）； （2）巡逻船从小岛向小岛直线航行，恰好在行驶了一半路程时，巡逻船在点抛锚．若从小岛直接前往救援，需行驶2海里到达点．若△满足关系式：，求的最大值． 105．（2025春•福田区校级期末）如图，无人机在离地面高的处，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为（　　） A． B． C． D． 106．（2024春•广州期末）如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东、点北偏西的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里小时，则该救援船到达点最快所需时间为（　　） A．0.2小时 B．0.3小时 C．0.5小时 D．1小时 107．（2025春•东莞市期末）如图，欲测量河对岸的塔高时，选与塔底在同一水平面内的两个观测点与，在，两观测点处测得塔顶的仰角分别为，，并测得，，则塔高为（　　） A． B． C． D． 108．（2025春•广州期末）空中有一气球（近似看成一个点），其在地面的射影是点，在点的正西方点测得它的仰角为，同时在点的南偏东的点，测得它的仰角为，若、两点间的距离为100米，那么测量时气球到地面的距离是（　　） A．100米 B．米 C．米 D．米 109．（2025春•云浮期末）如图，某河流两边有，，，（在同一个平面内）四点，已知，两个观察点在河的南岸，二者间的距离为，为了测量在河的北．岸，两个目标点间的距离，某小组测得，，，，则，两个目标点间的距离为（　　） A． B． C． D． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 解三角形 高频考点概览 考点 01 利用正弦定理解三角形 考点 02 三角形解的个数问题 考点 03 正弦定理求外接圆半径 考点 04 利用余弦定理解三角形 考点 05 判断三角形形状 考点 06 正余弦定理边角互化的应用 考点 07 三角形的面积问题 考点 08 三角形的周长问题 考点 09 几何图形中的计算 考点 10 角平分线、中线、高线问题 考点 11 解三角形的最值问题 考点 12 解三角形的实际应用 ( 考点01 利用 正弦定理解三角形 ) 1．（2021春•肇庆期末）在△中，，，，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为，，， 所以由正弦定理， 又， 所以． 故选：． 2．（2022春•潮州期末）在△中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为，，， 所以由正弦定理得，可得， 又， 所以是锐角， 可得． 故选：． 3．（2025春•清远期末）在△中，角，，的对边分别为，，，已知，则 　　 ． 【解答】解：因为， 所以，， 由正弦定理，得． 故答案为：． 4．（2021春•安宁市校级期末）在△中，角，，的对边长分别为，，，，，，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：△中，，，，即， 由正弦定理得：， 故选：． 5．（2021春•深圳期末）已知△中，，，分别是角，，的对边，，，，则（　　） A． B． C．或 D． 【解答】解：根据正弦定理可知， ， ，且， 或， 故选：． 6．（2020春•湛江期末）在△中，内角、、所对的边分别为、、，若，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由且，则，， 因为． 故选：． ( 考点02 三角形解的个数 问题 ) 7．（2021春•封开县校级期末）在△中，，，，则此三角形（　　） A．无解 B．两解 C．一解 D．解的个数不确定 【解答】解：在△中，，，， 则， 可得， 可得此三角形有两解． 故选：． 8．（2020春•湛江期末）（多选）在中，内角、、所对的边分别为、、，不解三角形，确定下列判断错误的是　　 A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，有一解 D．，，，无解 【解答】解：已知，，如图于． 易知． ①当或时，有一解； ②当时，无解； ③当时，两解． 结合四个选项，可知，，，三项错误． 故选：． 9．（2021春•广东期末）（多选）在中，，，则下列的长度能使该三角形有两解的是　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：在中，，， 所以， 当时，三角形有两解， 故选：． 10．（2024春•梅州期末）在△中，角，，的对边分别是，，，若满足条件，的三角形有两个，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由正弦定理得， 所以， 因为三角形有两解， 所以且， 所以， 解得． 故选：． 11．（2021春•肇庆期末）在△中，内角，，所对的边分别为，，，若，，当有两解时，的取值范围是（　　） A． B． C． D．， 【解答】解：当有两解时，， 又， 故， 所以． 故选：． 12．（2025春•梅州期末）在△中，，，分别三个内角，，的对边，，，若该三角形有两个解，则边长的取值范围为 　　 ． 【解答】解：由题意，如下图所示： 则，即，即， 可得边的长的取值范围为． 故答案为：． ( 考点0 3 正弦定理求外接圆半径 ) 13．（2025秋•揭东区校级期末）已知在△中，，则△外接圆的周长为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设△外接圆的半径为， 根据正弦定理可得， 则， 故△外接圆的周长为， 故选：． 14．（2025秋•汕头校级期末）在△中，角，，的对边分别为，，，若，则△外接圆半径为 ． 【解答】解，在△中，因为，设△的外接圆的半径为， 由正弦定理可得，即， 可得． 故答案为： 15．（2024秋•阳江期末）在△中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则△外接圆的半径为（　　） A． B． C．6 D．12 【解答】解：设△外接圆的半径为， 由正弦定理知，， 所以． 故选：． 16．（2025春•潮州期末）在△中，已知，则△的外接圆直径为（　　） A．2 B． C． D． 【解答】解：由题意可得，其中为三角形外接圆半径． 所以三角形外接圆直径为． 故选：． 17．（2019春•福田区校级期末）已知△的内角，，满足． （1）求角； （2）若△的外接圆半径为1，求△的面积的最大值． 【解答】解：（1）设内角、、所对的边分别为、、， 根据， 可得， ， ， 又， ； （2）由正弦定理得， ， 由余弦定理得， △的面积为， （当且仅当时等号成立）， △面积的最大值为． 18．（2023春•汕头期末）在△中，为上一点，，，． （1）若，求△外接圆的半径； （2）设，若，求△面积． 【解答】解：（1）由余弦定理， 解得； 又， 解得； △外接圆的半径为； （2）由，所以， 所以； 由， 当为锐角时，得； 设，则，， 在△中， 由余弦定理得， 解得； 所以，； 由正弦定理， 即， 解得； 所以， 此时△的面积为 当为钝角时，得； 设，则，， 在△中，，，， 由余弦定理得， 解得； 所以，； 由正弦定理， 即， 解得； 所以， 此时△的面积为 ( 考点0 4 利用余弦定理解三角形 ) 19．（2025春•佛山期末）在△中，，，，则（　　） A．9 B．10 C．12 D．15 【解答】解：由题意在△中，，，， 则由余弦定理可得． 故选：． 20．（2024春•潮州期末）在△中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在△中，内角，，所对的边分别为，，，若，，， 则． 所以． 故选：． 21．（2024春•清远期末）在三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则　　． 【解答】解：在中，已知，，， 由余弦定理得，得， 即，解得或，而，所以． 故答案为：5． 22．（2021春•广东期末）在△中，，，，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由余弦定理可得：， 解得． 故选：． ( 考点0 5 判断三角形形状 ) 23．（2022春•中山市期末）已知△中，，，分别是角，，的对边，且满足，则该三角形的形状是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 【解答】解：已知△中，满足， 利用正弦定理整理得：， 转换为， 故，整理得，与三角形的内角相矛盾， 故， 整理得：，解得． 故△为直角三角形， 故选：． 24．（2021春•普宁市期末）在△中，已知，则该三角形的形状为（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【解答】解：， 根据正弦定理得，， ， ，且， ， 为钝角，△为钝角三角形． 故选：． 25．（2020春•禅城区期末）△中，，，，则△的形状一定为（　　） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【解答】解：△中，因为， 由正弦定理，可得， 故或， 当时，，△为直角三角形； 当时，，△为等腰三角形； 综上，△的形状一定为等腰三角形或直角三角形． 故选：． 26．（2025春•汕头校级期末）△中角、、的对边分别是、、，，则三角形是（　　） A．直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【解答】解：△中，， 由正弦定理，得， 化简得，即． 、， 或，得或． 由此可得△是等腰三角形或直角三角形． 故选：． 27．（2024秋•广东校级期末）（多选）关于△，下列说法正确的是　　 A．若，则△是等腰三角形 B． C．若△为锐角三角形，则恒成立 D．若，则△为钝角三角形 【解答】解：选项，由于，，且至多有一个大于， 因此若，则有或， 得或， 因此△为等腰三角形或直角三角形，故错误； 选项，在△中，由， 可得， 整理得，故正确； 选项，若△为锐角三角形， 则有，故， 且，， 由在上单调递增， 可得，故正确； 选项，若， 则， 解得，由，可得， 故，因此， 所以△为钝角三角形，故正确． 故选：． ( 考点0 6 正余弦定理边角互化的应用 ) 28．（2025春•龙岗区校级期末）已知，，分别为△三个内角，，的对边，且，则 　　 ． 【解答】解：利用正弦定理化简已知等式可得， 又， ， ， 又， ，可得， 又， ，即，可得． 故答案为：． 29．（2020春•珠海期末）设的内角，，的对边分别为，，，若，，则　　． 【解答】解：因为，则由正弦定理可得，所以， 又，所以， 由余弦定理可得， 又因为， 所以， 故答案为：． 30．（2024春•江门期末）△的内角，，的对边分别为，，，已知，，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为， 所以由正弦定理可得， 又， 则解得． 故选：． 31．（2023春•汕尾期末）在△中，内角，，所对的边分别为，，，，，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，，利用正弦定理得：， 再结合，可得， 由余弦定理：，所以选项正确． 故选：． 32．（2021春•揭阳期末）已知△中，内角，，的对边分别为，，，若，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：，可得：， ， ， ． 故选：． ( 考点0 7 三角形的面积问题 ) 33．（2024春•肇庆期末）△的内角，，的对边分别为，，，若，，则△的面积为（　　） A． B．1 C． D．2 【解答】解：由题意，，， 则由余弦定理可得：， 解得， 故． 故选：． 34．（2024春•海珠区校级期末）记△的内角，，的对边分别为，，，若，则△的面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为， 所以由余弦定理可得， 所以， 则△的面积． 故选：． 35．（2021春•东莞市校级期末）在△中，若，且满足，则该三角形的面积为（　　） A．1 B．2 C． D． 【解答】解：， ， ， ， ． 故选：． 36．（2021春•东莞市校级期末）设△的内角，，的对边分别为，，，若，，，则△的面积为（　　） A． B． C．4 D． 【解答】解：由，可得：，即， 所以，即， 又，， 所以， 即，解得，或（舍去）， 所以， 又， 所以△的面积为． 故选：． 37．（2025秋•梅州期末）在△中，内角，，所对的边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）若，△的面积为，求的值． 【解答】解：（1）由， 由余弦定理可得， 可得， 在△中，， 故； （2）由， 解得， 又，可得， 故， 故． 38．（2025秋•榕城区校级期末）在△中，角，，所对的边分别是，，，且． （1）求； （2）若是边的中点，，，求△的面积； 【解答】解：（1）在△中，角，，所对的边分别是，，， 因为， 所以根据正弦定理， 可得， 又， 则有， 即， 又，故， 则，即， 又，则； （2）由是的中点， 则根据中点向量可得， 则， 即，则， 解得或（负值，舍去）， 根据三角形面积公式可得． 39．（2025秋•汕头校级期末）在△中，内角，，的对边分别为，，，已知． （1）证明：． （2）若，，求△的面积． 【解答】解：（1）证明：，由正弦定理化简得， ，， ，即，，，，， 或，或（舍去），，得证； （2）由正弦定理可得，， ，， ，， ． 40．（2025春•深圳期末）在△中，，，分别是角，，的对边，向量，，且，且角是锐角． （1）求角的值； （2）若，求△的面积的最大值． 【解答】解：（1），，， ， ， ， ，， ，，， ，； （2）在△中，由余弦定理可得， 又，，， ，当且仅当时取等号， 由正弦定理得，， △ 的面积的最大值为． 41．（2024春•廉江市校级期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，满足． （1）求角的大小； （2）若的外接圆半径为1，求边长的值； （3）若，求的面积的最大值． 【解答】解：（1）因为，由余弦定理可得， 可得，而， 可得； （2）因为的外接圆半径，由正弦定理可得， 可得， 即边长的值为； （3），； 由余弦定理可得，当且仅当时取等号， 所以， 所以． 即该三角形的面积的最大值为． 42．（2024春•揭阳期末）记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若为边的中点，且，求面积的最大值． 【解答】解：（1）由正弦定理及，得， 整理得，即， 由余弦定理得，， 因为，所以． （2）因为是边的中点，即， 所以， 在中，， 由余弦定理得，， 所以， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 故面积的最大值为． ( 考点0 8 三角形的周长问题 ) 43．（2024秋•揭阳期末）已知△内角，，的对边分别为，，，． （1）求的值； （2）若△的面积为，且，求△的周长． 【解答】解：（1）因为，即， 因为，所以， 因为， 即， 所以； （2）因为，所以， 因为， 即， 因为，，， 所以，解得， 所以， 所以△的周长为． 44．（2025春•清远期末）在△中，角，，的对边分别为，，，若． （1）求； （2）若，△的面积为，求△的周长． 【解答】解：（1）在△中，由，得， 则， 即，则， 所以． （2）由题意得，解得， 由余弦定理得： ，即， 解得， 所以△的周长为． 45．（2024秋•潮州期末）△的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，△的面积为，求△的周长． 【解答】解：（1）由， 可得， 即， 又，所以， 又，所以； （2）由题意，，所以， 又，由余弦定理， 可得，即， 又，则， 故三角形周长为． 46．（2025春•深圳期末）在中，、、分别是角、、的对边，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积和周长． 【解答】解：（1）由已知得：， ， ， ， ， ； （2），，， 由，可得， 可得：． 的周长，． 47．（2025春•广州期末）已知△是钝角三角形，内角，，的对边分别为，，，且，，则△的周长的取值范围为 　 ． 【解答】解：因为△是钝角三角形，且知不为钝角，但无法判断，哪个为钝角， 所以需要分为钝角和为钝角两种情况解三角形． （1）当角为钝角时，由余弦定理得：，解得， 由三角形的三边关系可知，所以，所以； （2）当角为钝角时，由余弦定理得：，解得， 由三角形的三边关系可知，所以，所以， 综上所述，周长的取值范围是． 故答案为：． 48．（2025秋•广州期末）已知△中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，求△周长的最大值． 【解答】解：（1）因为， 由余弦定理代入，整理得， 由余弦定理可得， 可得，而， 可得； （2），， 法由余弦定理可得，当且仅当时取等号， 可得，所以三角形的周长的最大值为． 法由正弦定理， 周长， 由得， 故，当时取等号，即三角形的周长的最大值为6． 49．（2024秋•广东校级期末）在△中，、、分别为角、、所对的边，且． （1）求角． （2）若，求△周长的最大值． 【解答】解：（1）由，可得， 在△中，由余弦定理得，结合，可得； （2）由（1）得，整理得， 因为，所以， 整理得，即，当且仅当时取等号． 综上所述，当时，取得最大值，此时△周长的最大值为． ( 考点0 9 几何图形中的计算 ) 50．（2024春•广州期末）△中，角，，的对边分别为，，，点在边上，且直线平分． （1）求证：； （2）若，． ①求△面积的最大值； ②若△和△的内切圆半径分别是和，求的取值范围． 【解答】解：（1）证明：设边上的高为， 则，， 因为平分，可得， 所以， 所以； （2）①设，因为，，所以由（1）可得， 在△中，由余弦定理可得， 所以，即， 所以 ， 令，则， 当且仅当，即时，取得等号，所以的最大值为3； ②在△中，因为，， 所以， 所以， 即， 在△中，由余弦定理可得， 所以， 因为， ， 所以，， 所以 ， 因为，且，所以，所以，则， 所以，所以， 所以， 即有，即． 51．（2025春•广州期末）如图，在平面四边形中，点与点分别在直线的两侧，． （1）已知，且， 当时，求△的面积； 若，求． （2）已知，且，求的最大值． 【解答】解：（1）设，在△中，由余弦定理得，解得， 在△中，，则底边上的高， 所以△的面积． 设，依题意，， 则，，即，而， 所以． （2）连接，△中，，， 由余弦定理得， 则，，设，在△中，， 于是，在△中，， 由余弦定理得：， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，， 所以的最大值是． 52．（2025秋•深圳期末）如图，在平面四边形中，已知，，． （1）求△的面积； （2）若，且，求的长． 【解答】解：（1）在△中，根据余弦定理知， 即， 解得， 根据三角形的面积公式可知，； （2）在△中，根据正弦定理知，解得， 又在△中，， 所以， 因为， 所以， ， 所以在△中，， 所以， 在△中，根据正弦定理得， 解得． 53．（2025秋•深圳期末）如图，在△中，，点、分别在、延长线上，满足，，． （1）证明：； （2）若，求的长． 【解答】（1）证明：设，，， 因为，可得， 在△中，由余弦定理：， 在△中，由余弦定理：， 又，所以， 又，即，可得，代入上式展开化简得：，解得， 所以， 即； （2）解：由（1）知，，，， 在上取一点，使， 因为，，，所以△△， 设，，，， 则， 因为，即， 即， 即， 整理可得， 解得或（舍， 即，可得， 在△中，由正弦定理得：，即， 可得， 又，即，解得或（舍， 在△中，由余弦定理得， 解得． 54．（2024春•潮州期末）如图，在中，，，，点在边的延长线上． （1）求的面积； （2）若，，求的长． 【解答】解：（1）在中，设， 由余弦定理可得， 即，即，解得， 则的面积为； （2）由，可得， 即有， 可得， 即有． 55．（2025春•湛江期末）在△中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求； （2）已知为边上的一点，且． （ⅰ）若，，求的长； （ⅱ）求的取值范围． 【解答】解：（1）因为， 由正弦定理得， 所以， 因为，所以， 所以． （2）（ⅰ）因为， 根据余弦定理得，所以， 因为，所以， 在△中，由正弦定理知，，即，所以， 进而，所以，故， （ⅱ）因为，所以， 在△中，由正弦定理得，所以； 又在△中，； 所以， 因为，所以，所以， 所以的取值范围是． 56．（2025春•广州期末）已知△的三个角，，的对边分别为，，，． （1）求的大小； （2）若，在△的边和上分别取点，，将△沿线段折叠到平面后，顶点恰好落在边上（设为点．设，，回答以下问题： （ⅰ）当时，求的长度； （ⅱ）当取最小值时，求△的面积． 【解答】解：（1）， 则， 化简得． 所以． 化简得：． 因为，所以，所以． 所以， 所以． 又因为，所以，则，即． （2）（ⅰ）因为，由（1）知，，所以△是等边三角形． 由折叠可知：，． 在△中，根据余弦定理：． 已知，，则 解得． 故时，． （ⅱ）在△中，根据余弦定理：， 即， 则 令，则． 根据基本不等式：，，当且仅当时等号成立）， 对于，有，当且仅当，即时成立． 此时取最小值，，， △的面积：， 则． 故取最小值时，△的面积为． 57．（2024秋•广东期末）如图，在平面四边形中，，，，，，点在上，且． （1）求； （2）求△的面积． 【解答】解：（1）在△中，由余弦定理， 得， 即，整理得， 解得； （2）在△中，由余弦定理， 得， 所以， ， 所以△的面积为． 58．（2024秋•天河区期末）如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的点． （1）当时，求的值； （2）当△的周长为2时， 求的大小； 设，为△的面积，求的最小值． 【解答】解：（1）因为正方形的边长为1，， 则，， 所， ， ， 则， 所以， 则． （2）设线段、的长度分别为、，，， 因为正方形的边长为1，则，， 因为△的周长为2，所以， 则由勾股定理得，即， 又因为，， 则， 因为，所以， 所以． 由知，设，， 则，，， ， 因为，所以， 则，则， 则， 所以， 所以△的面积的最小值为． 59．（2023秋•深圳期末）某景区为吸引游客，拟在景区门口的三条小路，，之间划分两片三角形区域用来种植花卉（如图中阴影部分所示），已知，，，，三点在同直线上，． （1）若，求的长度； （2）求面积的最小值． 【解答】解：（1）某景区为吸引游客，拟在景区门口的三条小路，，之间划分两片三角形区域用来种植花卉（如图中阴影部分所示）， 已知，，，，三点在同直线上，， 因为， 所以在中，由余弦定理可得， 所以，解得， 由正弦定理得，即，解得， 所以， 可得， 在中，由正弦定理得，则， 解得，所以， 则的长度为； （2）设，则， 由于，则， 在中．由正弦定理得，解得， 过点作的垂线，交于点，设的面积为， 则， 所以， 所以， 所以 ， 即面积的最小值为． ( 考点 10 角平分线、中线、高线问题 ) 60．（2025春•深圳期末）在中，的角平分线交于，则　　． 【解答】解：在中，， 即，整理得，解得（舍负）． 因为平分，，所以， 由，得， 可得，解得． 故答案为：． 61．（2025春•广州期末）在△中，是的中点，，，，则的大小为 　　 ；为的角平分线，在线段上，则的长度为 　　 ． 【解答】解：因为是的中点，所以， 所以， 即，解得， 所以，又，所以； ，由， 可得， 即，从而． 故答案为：；． 62．（2025秋•荔湾区校级期末）已知点，，为坐标原点，函数． （1）求的解析式及最小正周期． （2）三角形中，角，，所对的边分别为，，，为的角平分线，，．若，求△的面积． 【解答】解：（1）因为，， 所以， 则的最小正周期； （2）因为，所以， 因为，所以，则或， 所以或； 当时，因为，所以， 所以，所以，所以，所以， 又为的角平分线，所以，所以， 所以，， 所以； 当时，因为，所以，， 因为为的角平分线，所以， 在△中，由正弦定理得：， 因为，所以在△中，由正弦定理得：， 因为， 所以， 综上所述：△的面积为或． 63．（2025秋•广州期末）如图，在△中，，点在线段上，，且，． （1）求和的值； （2）的角平分线与相交于，求的长度． 【解答】解：（1）在△中，，点在线段上，，且，， 可得， 在△中，，① 在△中，，② 可得， 可得，，可得， 在△中，，， ； 在△中，，所以， 综上所述：，； （2）由（1）可得在△中，，，， 由余弦定理可得， 所以， 又因为的角平分线与相交于， 可得， 所以， 即， 即， 解得． 64．（2025春•福田区校级期末）已知，，分别为△三个内角，，的对边，且． （1）求； （2）若，，设为△的角平分线，求的长． （3）若，且△的面积为，求△的周长． 【解答】解：（1）因为，由正弦定理可得， 在△中，可得， 可得， 又因为， 可得； （2）因为，，，为△的角平分线， 所以， 即， 可得； （3）因为，且△的面积为， 可得，可得， 由余弦定理可得， 即， 解得， 所以△的周长． 65．（2025春•广州期末）已知△的内角，，的对边分别为，，，且满足． （1）求角； （2）已知△的外接圆的圆心为，半径． 作角的平分线交于，，求△的面积； 若，求的取值范围． 【解答】解：（1）因为，所以， 所以， 整理得到， 进而得到， 所以，提取公式得到， 因为为三角形内角所以，可以得到， 又由于，可以得到， 又因为为三角形的内角，所以； （2）因为， 所以根据正弦定理可得：， 又因为是角的角平分线，所以可以得到， 因为， 所以， 整理得到①， 再根据余弦定理得到， 进而得到②， 根据①②可得， 整理得到， 求得或（舍去）， 根据三角形的面积公式可得； 根据题意作图如下： 由题易知，，， 又因为，， 所以， 整理得到， 进而得到， 化简可得， 故可以求得， 又因为，所以得到， 所以， 所以， 即的取值范围为，． 66．（2024春•番禺区期末）在△中，角，，的对边分别是，，，且． （1）求角； （2）若，，的角平分线交于点，求． 【解答】解：（1），， 整理得，，， ，即，，， （2）由余弦定理可得，即，解得， 为的角平分线，则， ， 即，，解得． 67．（2023秋•福田区校级期末）已知①，②，③，从上述三个条件中任选一个补充到下面问题中，并解答问题．在中，内角，，的对边分别为，，，并且满足_____． （1）求角； （2）若，为角的平分线，点在上，且，求的面积． 【解答】解：选①：因为， 所以由正弦定理得：， 因为，则， 所以， 所以； 选②：由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 因为，所以； 选③：由及正弦定理得：， 则， 即， 因为，所以，则， 解得，即， 因为，所以， 所以，所以； （2）因为为角的平分线，点在上， 所以，即， 化简得：， 由余弦定理得：，所以， 解得（舍去）或， 所以． 68．（2021春•封开县校级期末）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答． ①；②；③． 已知的内角，，的对应边分别为，，．____． （1）求； （2）设是的内角平分线，边，的长度是方程的两根，求线段的长度． 【解答】解：（1）选择条件①，， 由正弦定理可得， 即， 即， 因为， 所以，即， 因为，所以． 选择条件②，， 由正弦定理可得， 即， 即， 所以， 因为，所以， 因为，所以． 选择条件③，， 因为， 所以， 所以， 因为，所以， 因为，所以． （2）因为边，的长度是方程的两根，可得，， 因为，是的内角平分线，可得， 由等面积法可得：， 所以， 可得， 整理解得． 69．（2022春•茂名期末）已知的内角，，的对边分别为，，，． （1）求； （2）若，，在角的平分线上取点，且，则点是否在线段上？请说明理由． 【解答】解：（1）在 中，， ， 即 ， 有，即， 由正弦定理得：，即，而， 所以． （2）在中，由（1）知，，因，，由余弦定理得： ， ， 令角的平分线交于，则， 在中，， 由正弦定理得：，显然， 所以点不在线段上． 70．（2021春•端州区校级期末）在中，角，，所对的边分别是，，，已知． （1）求角的大小； （2）在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答． 若，，点是边上的一点，且______． 求线段的长． ①是的高；②是的中线；③是的角平分线． 【解答】解：（1）在中，，，分别为，，所对的边，且， 可得， 由余弦定理可得． ， ． （2）选①是的高， ，，， ， ， 的面积， ． 选②是的中线， 是的中线， ， ， ，，， ， ． 选③是的角平分线， ，，， ， ， ． 71．（2023秋•濠江区校级期末）已知中角，，所对的边分别为，，，设其面积为，． （1）求角； （2）若，点在边上，若是的平分线，且，求． 【解答】解：（1）由题意可知，，解得， 因为， 所以； （2）中，， ，① 又，，即，② 联立①②得， ．． 72．（2024秋•龙岗区期末）已知△的内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若△的面积为，中线，求． 【解答】解：（1）因为， 所以由正弦定理得：， 因为，所以，所以， 所以， 所以， 又因为，所以，因为，所以； （2）因为，所以， 由余弦定理得：，所以，① 因为为边上的中线，所以， 所以， 所以，所以，即，② 由①②得：，即，所以． 73．（2022秋•湛江期末）在△中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，． （1）求； （2）若是钝角，求边上的中线长． 【解答】解：（1）由， 则， 又，， 由正弦定理得， （2）由于是钝角， 故， 由余弦定理可得， 解得（负值舍去）， 设边上的中线为， 则， 所以， 所以， 即边上的中线长为． 74．（2022春•肇庆期末）在中，内角，，的对边分别为，，，，，若为边上的中线，，则的面积为 　　． 【解答】解：由，所以， 由余弦定理得，， 又，所以， 即， 解得， 所以的面积． 故答案为：． 75．（2025秋•深圳校级期末）已知在中，内角，，对应的边分别是，，，，． （1）求的大小； （2）已知的周长为，求边上的中线的长度． 【解答】解：（1），由正弦定理可得， ， ， ，， ，解得； （2）由（1）可得， 设的外接圆半径为，则由正弦定理可得，， 则周长，解得，则，， 由余弦定理可得边上的中线的长度为：； 76．（2021秋•佛山期末）中，内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，边上的中线，求的面积． 【解答】解：（1）中，， 由正弦定理得，， ， ， 又， ，， ， 又， ； （2），边上的中线， 可得，两边平方，可得， ，整理可得，解得，或（舍去）， 的面积为． 77．（2022春•惠州期末）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答． 问题：在中，角，，的对边分别为，，，________． （1）求； （2），，求的边上的中线的长． 【解答】解：（1）若选①，即，得， ，或， ，； 若选②：， 由正弦定理，得， ，，，； （2）是的边上的中线，， ， ，． 78．（2020秋•天河区期末）在中，角，，的对边分别为，，，若． （1）求角的值； （2）若，且的面积为，求边上的中线的长． 【解答】解：（1）因为， 所以由正弦定理可得，可得， 因为，可得，即， 由，可得． （2）由已知，则是等腰三角形，，设， 可得， 由已知的面积为，得，，可得， 中，由余弦定理， ， 所以． ( 考点 11 解三角形的最值问题 ) 79．（2023春•梅州期末）在锐角△中，角，，的对边分别为，，，，，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在锐角△中，，， 故，则， ，则， 由正弦定理可得． 故选：． 80．（2023春•香洲区校级期末）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 记的内角，，的对边分别为，，，已知 _____． （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分． 【解答】解：（1）选择条件①： 由余弦定理得， 整理得， 则由余弦定理得． 又，则； 选择条件②：由正弦定理得，整理得， 由余弦定理得， 又，则； 选择条件③：由正弦定理得， 整理得， 则， ，， 显然，则， 又，则； （2），， 由正弦定理得，即， ，， ， ，， ， 故的取值范围是． 81．（2023秋•阳江期末）在中，为的角平分线，且． （1）若，，求的面积； （2）若，求边的取值范围． 【解答】解：（1）因为， 所以， 得：， 解得， 所以． （2）设，，， 由得 ， 即， 所以， 又在中， 所以， 得， 因为且， 得， 则， 所以， 即边的取值范围为． 82．（2025春•湛江期末）（多选）在锐角△中，角，，对应的边分别为，，，且．则下列说法正确的是　　 A． B．角的范围是 C．若的平分线交于，，，则 D．的取值范围是 【解答】解：因为， 由正弦定理可得， 所以，又且，， 所以，故正确； 由，可得，故错误； ：设，则，， 而，且，则， 由，则，且，则， 所以，故正确； ：由， 而，且在上单调递增，则值域为，故正确． 故选：． 83．（2020春•梅州期末）在三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若且，求的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理，，即， 由余弦定理，， 又， ． （Ⅱ）因为，且，由正弦定理得， 得，， 可得， ， ， ， 84．（2024春•茂名期末）若△是锐角三角形，，，则边的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由正弦定理可知，，则， 因为，则， 因为△是锐角三角形，所以， 则，， 所以． 故选：． 85．（2024春•番禺区期末）已知，，分别是三内角，，所对的三边，且． （1）求的大小； （2）若，的面积为，求，； （3）求的取值范围． 【解答】解：（1）因为， 由正弦定理：， 因为， 所以， 即， 因为，所以， 所以， 所以， 因为，所以， 故， 解得； （2）因为， 所以， 即， 所以， 又因为， 所以； （3）因为， 所以， 设，因为， 所以， 由（1）知，由余弦定理，得， 整理可得：， 可得， 即 ， 时，取最小值； 时，取最大值， 所以的取值范围是． 即的取值范围为，． 86．（2021春•深圳校级期末）已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：已知等式利用正弦定理化简得：， ， ， 为锐角， ，即， ， ， ， ，即， 则的取值范围是，． 故选：． 87．（2023春•广州期末）（多选）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的有　　 A． B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【解答】解：因为，又由余弦定理， 即， 所以，所以，即， 由正弦定理可得， 又， ，即， ， ，，为锐角， ，即，故选项正确； ，，故选项错误； ，故选项正确； ， 又，， 令，则， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 又， ，故选项错误． 故选：． 88．（2023春•香洲区校级期末）在锐角△中，角，，的对边分别为，，，若，其中为△的面积，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在锐角△中，， ，即， ， 在△中，由余弦定理得， ， ，①， 又，则②， 联立①②得或（不合题意，舍去）， ，， 又，则，， 则，即， ，， ，，，， 又在上单调递增， ，即， ，． 故选：． 89．（2023春•香洲区校级期末）在中，内角，，所对的边，，满足，则　　，三角形为锐角三角形，则的取值范围是 　　． 【解答】解：因为， 所以由余弦定理可得， 则， 所以由正弦定理可得 ， 因为为锐角三角形，则，， 所以， 又因为函数在，内单调递增， 所以，可得， 所以， 由于为锐角三角形， 则， 所以， 解得， 则 ， 因为， 所以， 则， 所以，． 故答案为：2，，． 90．（2023秋•香洲区校级期末）中，角，，的对边分别为，，，满足，． （1）证明：； （2）求的取值范围． 【解答】解：（1）证明：因为， 则由正弦定理可得：， 再由余弦定理可得：， 化简可得，则或， 又，则，所以不成立，则，即； （2）由余弦定理可得：， 又且，解得， 令，则函数在，上单调递增，所以， 所以， 故的取值范围为，． 91．（2025春•广州期末）在锐角△中，内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由得， 即， 即， 又，故， 故， 因为，所以， 故，得，， 因为， 因为，， 所以， 故， 所以的范围为． 故选：． 92．（2025春•汕头校级期末）在中，角，，的对边分别为，，，，，若有最大值，则实数的取值范围是 　　． 【解答】解：由正弦定理得：， 所以， 当，即时，，没有最大值， 所以，则，其中， 要使有最大值，则，可得， 由于，所以， 所以，即，解得，所以的取值范围是，． 故答案为：，． 93．（2024春•越秀区校级期末）已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且． （1）求角的值； （2）若，求的取值范围． 【解答】解：（1）因为，，且， 所以， 可得，而，所以， 又因为，所以，结合为锐角三角形，可得． （2）由正弦定理得，， 由为锐角三角形，可得，且，解得， 因此，， 因为，可得，所以，可得的取值范围为． 94．（2024秋•深圳期末）在△中，角、、的对边分别为、、，已知． （1）求的大小； （2）若，且，求的取值范围． 【解答】解：（1）由余弦定理及， 得，显然，， ，； （2）， ， ，，， 的取值范围是． 95．（2023秋•东莞市期末）在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，且为外接圆劣弧上一点，求的取值范围． 【解答】解：（1）因为， 由正弦定理可得：， 在三角形中，， 所以，而， 所以，， 可得； （2）由（1）知，，四边形对角互补，则， 当在处时，； 当在处时，； 当不在弧的端点处时，设，则， 由正弦定理得：， 所以，， 所以， 因为，所以，所以， 所以， 综上，的取值范围为，． 96．（2023春•清远期末）（多选）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，则　　 A． B． C．的取值范围是 D．的取值范围是， 【解答】解：因为，， 所以， 由正弦定理得， 由二倍角公式得， 可得， 由和差化积公式可得， 即， 因为为锐角三角形， 所以，， 所以， 所以或（舍去），即，故正确，错误； 因为， 由正弦定理可得，即， 由题意得，解得， 又，解得，， 又，可得，， 所以，，，， 即的取值范围是，，故错误，正确． 故选：． 97．（2025春•惠州期末）在△中，已知，，分别是△的内角，，所对的边，记，，且． （1）求角； （2）若，求的取值范围． 【解答】解：（1）因为， 所以， 利用正弦定理得：， 因为，所以， 所以，因为，所以． 又因为，所以． （2）因为，， 所以由正弦定理，得， 同理． 所以． 因为，所以，所以． 所以的取值范围为． 98．（2024春•顺德区校级期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是 　　． 【解答】解：由题意可得，故， 即， 因为，所以， 因为，所以或， 即或，即或， 若，则，则无意义，故， 又，所以，即， 因为，所以，，， 所以，解得，故， 由正弦定理可得 ， 令，则， 设， 由对勾函数的性质可得在上单调递增， 所以，即． 故答案为：． 99．（2024春•广东期末）已知的内角，，的对边分别为，，，，且． （1）求的大小； （2）若的平分线交于点，且，求的取值范围， 【解答】解：（1）由，可得， 由正弦定理得， ， ，即， 由于，又，，，， 或，或（舍去）， ； （2），平分，， 则点分别到，的距离， 由，则， 即，整理得， ， 当且仅当，即时取等号， 故的取值范围为，． 100．（2024春•云浮期末）记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）若，，求角； （2）若为锐角三角形，设，求的取值范围． 【解答】解：（1）因为，所以， 因为，所以，即， 由正弦定理得，，即①， 因为，所以②， 联立①②得，，即， 解得， 由正弦定理知，， 所以， 因为，所以． （2）由（1）得， 由正弦定理得，，即， 因为 ， 所以， 又，所以， 因为，，所以，即，所以， 由（1）得， 所以， 由余弦定理得，， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 所以， 所以，即， 故的取值范围为． ( 考点 12 解三角形的实际应用 ) 101．（2025春•湛江期末）如图，两座山峰的高度，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点，，在同一水平面上）测得点的仰角为，点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意可得，，， 在△中，， 在△中，同理可得， 在△中，， 由余弦定理可得： ． 故选：． 102．（2025春•惠州期末）位于灯塔处正西方相距30海里的处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔处北偏东方向有一与灯塔相距海里的处有一艘乙船，则乙船前往支援处甲船需要航行的最短距离是（　　） A．海里 B．海里 C．海里 D．30海里 【解答】解：由题意得，， 由余弦定理得 ． 所以． 故选：． 103．（2024秋•汕头期末）如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走到达处，在处测得山顶的仰角为，则山高 　　．（结果用、、、表示） 【解答】解：根据题意，可得山高，则△中，， 延长交于，则， 可得，，，， 在△中，根据正弦定理，得， 可得，解得． 故答案为：． 104．（2025春•汕尾期末）如图，一艘巡逻船从小岛出发，沿北偏东的方向航行海里后到达小岛，然后从小岛出发，继续沿某一方向航行海里后到达小岛．小岛与小岛相距海里．三个小岛构成△．其中，，分别为三角形在顶点，，处的内角． （1）若满足关系式：，求巡逻船从小岛直接航行到小岛时应采用的方向（以北偏东角度表示）； （2）巡逻船从小岛向小岛直线航行，恰好在行驶了一半路程时，巡逻船在点抛锚．若从小岛直接前往救援，需行驶2海里到达点．若△满足关系式：，求的最大值． 【解答】解：（1）因为， 所以， 可得， 因为，解得， 由于，可得， 故巡逻船从小岛直接航行到小岛时应采用北偏东的方向航行； （2）依题意，，由正弦定理及余弦定理，有，解得， 又因为， 化简得， 因为， 即，故，当且仅当时取等号， 所以的最大值为． 105．（2025春•福田区校级期末）如图，无人机在离地面高的处，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题知，，， 在△中，因为，， 所以，， 又因为，， 所以，， 在△中，由正弦定理得：， 即，所以， 在△中，． 故选：． 106．（2024春•广州期末）如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东、点北偏西的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里小时，则该救援船到达点最快所需时间为（　　） A．0.2小时 B．0.3小时 C．0.5小时 D．1小时 【解答】解：由题意，在△中，，，， 所以，由正弦定理可得，， 则， 又在△中，，， 由余弦定理可得， ，所以， 因此救援船到达点需要的时间为小时． 故选：． 107．（2025春•东莞市期末）如图，欲测量河对岸的塔高时，选与塔底在同一水平面内的两个观测点与，在，两观测点处测得塔顶的仰角分别为，，并测得，，则塔高为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设，则在直角三角形以及直角三角形中， 由，得， 又，，由余弦定理得， 即，解得（负值舍去）， 所以． 故选：． 108．（2025春•广州期末）空中有一气球（近似看成一个点），其在地面的射影是点，在点的正西方点测得它的仰角为，同时在点的南偏东的点，测得它的仰角为，若、两点间的距离为100米，那么测量时气球到地面的距离是（　　） A．100米 B．米 C．米 D．米 【解答】解：根据题意可知，在点的正西方点测得它的仰角为，同时在点的南偏东的点，测得它的仰角为， 则，，，平面， 因为平面，所以，在△中，由，则， 因为平面，所以，在△中，由，则， 在△中，根据余弦定理可得， 则，解得． 故选：． 109．（2025春•云浮期末）如图，某河流两边有，，，（在同一个平面内）四点，已知，两个观察点在河的南岸，二者间的距离为，为了测量在河的北．岸，两个目标点间的距离，某小组测得，，，，则，两个目标点间的距离为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在△中，由，，可得， 则， 在△中，由题意可得，， 则由正弦定理， 可得，解得， 在△中，由余弦定理， 可得， ， 解得， 所以，两个目标点间的距离为． 故选：． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $