专题01 有理数（中等类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版2024新教材）

专题01有理数思维导图 【类型覆盖】 类型一、数轴上两点之间的距离 【解惑】如图所示，把数轴上的点A先向左移动3个单位，再向右移动7个单位得到点B，若A与B表示的数互为相反数，则点A表示的数是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在数轴上与点的距离为的点表示的数是（    ） A． B．1 C．或2 D．或1 2．如图，在数轴上有A、B两点，点A表示的数是，点为原点，若，则点B表示的数是 ． 3．如图，已知点A，（点A在点的左边）分别表示数1，，若数轴上表示数字5的点到和的距离相等，则的值为 ．    类型二、利用数轴比较有理数的大小 【解惑】如图，数轴上点A，B表示的数分别为a，b，且，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．a、b在数轴上的位置如图所示，则a、b、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．a、b在数轴上的位置如图所示，则数a、、b、用 连接为为 ． 3．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则a、b、-a、-b 的大小关系是 （用“＜”把它们连接起来）． 类型三、绝对值化简 【解惑】有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简：（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 . 3．有理数在数轴上的位置如图所示，化简 ．    类型四、幻方幻圆问题 【解惑】同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，4，，8，，12，，16分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则的值为（　） A．或 B．或 C．2或 D．2或 【融会贯通】 1．把这个数填入的方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都等于，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”(图1)，“洛书”是世界上最早的“幻方”，图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为(　　)． A．1 B．3 C．6 D．9 2．小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 ．（写出一个符合题意的数即可） 3．把夏禹时代的“洛书”用数学符号翻译出来就是一个三阶幻方，它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等，则幻方中的值是 ． 类型五、化简多重符号 【解惑】（      ） A．2 B． C． D． 【融会贯通】 1．化简：（    ） A． B． C． D．10 2．填空： （1） ； ． （2） ； ． 3．化简下列各数： ① ； ② ； ③ ； ④ ． 类型六、有理数的分类 【解惑】把下列各数分别填在表示它所属的横线上：①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦2000；⑧．（填写序号） (1)正数：　　1　　； (2)负数：　　2　　； (3)整数：　　3　　； (4)分数　　4　　． 【融会贯通】 1．把下列各数的序号填在相应的大括号里： ①0；②；③200；④；⑤；⑥；⑦；⑧． 整数：{ ___________⋯}； 正数：{ ___________⋯}； 正分数：{ ___________⋯}； 负有理数：{ ___________⋯}． 2．将下面一组数填入相应集合的圈内： ，，，，，，，， 3．将下列各数填入相应的大括号内． ，，，，，，，，， 正数集合：______ ； 负数集合：______ ； 整数集合：______ ； 分数集合：______ ． 类型七、有理数中的规律 【解惑】先阅读下列材料，再解决问题： 学习数轴之后，有同学发现在数轴上到两点之间距离相等的点，可以用表示这两点表示的数来确定.如：(1)到表示数4和数10距离相等的点表示的数是7，有这样的关系7= (4+10)； (2)到表示数-3和数-7距离相等的点表示的数是-5，有这样的关系-5=. 解决问题：根据上述规律完成下列各题： (1)到表示数50和数150距离相等的点表示的数是_________ (2)到表示数和数距离相等的点表示的数是__________ (3)到表示数12和数26距离相等的点表示的数是_________ (4)到表示数a和数b距离相等的点表示的数是___________ 【融会贯通】 1．化简下列各式的符号，并回答问题： __________________； __________________； __________________； __________________． （1）当前面有2022个负号时，化简后的结果是多少？ （2）当前面有2023个负号时，化简后的结果是多少？ 你能总结出什么规律？ 2．探索规律题： (1)试用“＞”、“＜”或“=”填空： |(+2)+(+5)| |+2|+|+5|； |(-2)+(-5)| |-2|+|-5|； |(+2)+(-5)| |+2|+|-5|； |(-2)+(+5)| |-2|+|+5|； |0+(+5)| |0|+|+5|； (2)做完上述这组填空题，你可以得出什么结论？请你用字母表示你的结论． 3．在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉。例如：｜6＋7｜＝ 6＋7 ；｜6—7｜＝7－ 6；｜7－6｜＝7－ 6 ；｜―6―7｜＝6＋7；根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： （1）｜7－21｜＝______； （2）｜｜＝_______； （3）｜｜＝________； （4）用合理的方法计算：｜｜＋｜｜－｜｜. 类型八、数轴折叠重合问题 【解惑】动手操作：已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．    (1)若2表示的点A与表示的点B重合，则折痕经过的点P叫做的中点，则点P表示的数是______； 若表示的点C与6表示的点D重合，则折痕经过的点Q叫做的中点，则点Q表示的数是______； (2)从（1）发现，在数轴上线段两端点表示的数与线段中点表示的数存在某一等量关系，用此关系求：已知E点表示的数是，F点表示的数是，请列出式子求线段的中点R表示的数 【融会贯通】 1．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． (1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数 ___________表示的点重合； (2)若表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数 ___________表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为10（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？ 2．探究与应用 【阅读材料】表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索分析】 （1）数轴上表示5和的两点之间的距离是________． （2）若，则在数轴上有理数x对应的点与对应的点之间的距离为________，________． 【操作应用】小明在纸上画了一条数轴进行操作探究． （3）折叠纸面，若1对应的点与对应的点重合，则4对应的点与________对应的点重合． （4）折叠纸面，若4对应的点和对应的点重合，则： ①8对应的点和________对应的点重合； ②若点A表示的数为a，点B表示的数为b，点A在点B左侧，两点间的距离为且A，B两点经折叠后重合，试求a，b的值． 3．综合与探究： 数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，利用数轴可以解决很多问题，班里三个小组分别设计了三个问题，请你与他们共同解决：    (1)勤奋小组：在图所示的数轴上，把数，，4，，2.5表示出来，并用“<”将它们连接起来． (2)励志小组：折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题： ①表示的点与表示______的点重合； ②若数轴上A，B两点间的距离为7（A在B的左侧），且折叠后A，B两点重合，则点A表示的数为_____． (3)攀登小组：假如在原点处放立一挡板（厚度不计），有甲、乙两个小球（忽略球的大小，可看成一点），小球甲从表示数的点处出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，同时小球乙从表示数4的点处出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，两个小球在碰到挡板后即刻按原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为秒． ①当时，求甲、乙两个小球之间的距离； ②用含t的代数式表示甲、乙两个小球之间的距离． 【一览众山小】 1．下列语句中正确的有     个． ①不带“”号的数都是正数；②如果是正数，那么一定是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 2．在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是，3，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且，则点C表示的数是（    ） A． B． C． D．0 3．两江新区正加快打造智能网联新能源汽车产业集群，集聚了长安、长安福特、赛力斯、吉利、理想等10家整车企业，200余家核心零部件企业．小虎所在的生产车间需要加工标准尺寸为的零部件，其中范围内的尺寸为合格，则下列尺寸的零部件不合格的是（　　） A． B． C． D． 4．已知，，则 ． 5．在数轴上，到原点的距离等于个单位长度的点所表示的有理数是 ． 6．如图，在数轴上有A、B、C这三个点． 回答： (1)A、B、C这三个点表示的数各是多少？ A： ；B： ；C： ． (2)A、B两点间的距离是 ，A、C两点间的距离是 ． (3)应怎样移动点B的位置，使点B到点A和点C的距离相等？ 7．（1）请把下列各数填入相应的集合中： ，，0，，，， 正分数集合：{ ．．．}； 整数集合：{ ．．．}； 负数集合：{ ．．．}； （2）在数轴上表示（1）中负数集合中的各数．    8．如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且、、满足 (1)__，__，__； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与表示数____的点重合； (3)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为则_____，______，______用含的代数式表示 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01有理数思维导图 【类型覆盖】 类型一、数轴上两点之间的距离 【解惑】如图所示，把数轴上的点A先向左移动3个单位，再向右移动7个单位得到点B，若A与B表示的数互为相反数，则点A表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的应用，注意：a的相反数是．设A表示的数是a，根据题意得出方程，求出即可． 【详解】解：设A表示的数是a，根据题意得： ， 解得：， 即A点对应的数是． 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，在数轴上与点的距离为的点表示的数是（    ） A． B．1 C．或2 D．或1 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上两点之间距离的计算，掌握数轴上两点之间距离的计算方法是解题的关键． 【详解】解：根据图示，表示的数为， ∵，， ∴与点距离为的点表示的数为或， 故选：D ． 2．如图，在数轴上有A、B两点，点A表示的数是，点为原点，若，则点B表示的数是 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，相反数的意义．根据数轴上两点间的距离，即可求解. 【详解】解：∵点A表示的数是，， ∴点A点B表示的数互为相反数， ∴点B表示的数为：， 故答案为：2024． 3．如图，已知点A，（点A在点的左边）分别表示数1，，若数轴上表示数字5的点到和的距离相等，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离的表示方法是解题的关键． 由数轴上表示数5的点到和的距离相等得到，解得或，由点在点的左边可以得到． 【详解】解：数轴上表示数5的点到和的距离相等， ， 整理得：， 或， 解得：或， 点在点的左边， ， 故答案为：． 类型二、利用数轴比较有理数的大小 【解惑】如图，数轴上点A，B表示的数分别为a，b，且，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴，有理数的比大小．观察数轴可得，再由，可得，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：， ∵， ∴． 故选：A 【融会贯通】 1．a、b在数轴上的位置如图所示，则a、b、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是数轴上有理数的大小比较，正负数，解题的关键是熟练掌握数轴上有理数的大小比较法则，根据数轴上的数，以右为正方向时，右边的数永远大于左边的数，即可解答． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 2．a、b在数轴上的位置如图所示，则数a、、b、用 连接为为 ． 【答案】 【分析】将和在数轴上表示即可比较大小． 【详解】解：将和在数轴上表示为： ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查相反数性质及有理数大小的比较，在数轴上正确表示和是求解本题的关键． 3．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则a、b、-a、-b 的大小关系是 （用“＜”把它们连接起来）． 【答案】 【分析】利用相反数的含义：互为相反数的两个数所对应的点与原点的距离相等，再在数轴上描出．从而可得答案． 【详解】解：如图，在数轴上描出对应的点的位置如下， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查的是相反数的含义，利用数轴比较有理数的大小，掌握相反数的特点是解本题的关键． 类型三、绝对值化简 【解惑】有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值和数轴，是基础题，先根据各点在数轴上的位置判断、b的符号，再去绝对值符号，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，可知：， ∴，故B正确． 故选：B． 【融会贯通】 1．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查绝对值，先把原式化为，从而可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 . 【答案】b 【分析】本题综合考查了数轴上的两个点相对应的两个数正负性，两数的和差结果正负性，去绝对值的方法等知识点，重点掌握数轴的应用，难点用字母表示数轴上两点的和差正确去掉绝对值．由数轴上的点的位置确定对应的数的正负性，两个有理数的和差的正负性，去绝对值法则求出结果即可． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：． 3．有理数在数轴上的位置如图所示，化简 ．    【答案】 【分析】本题考查化简绝对值，利用数轴判断式子的符号，根据点在数轴上的位置，确定式子的符号，再进行化简即可，解题的关键是根据点在数轴上的位置，确定式子的符号． 【详解】解：由题意可知， ， ∴，，，， ∴ ， 故答案为：． 类型四、幻方幻圆问题 【解惑】同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，4，，8，，12，，16分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则的值为（　） A．或 B．或 C．2或 D．2或 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加法， 根据所给数的特征，可知横、竖、外圈、内圈的4个数之和为4，再由已经填写的数，确定或，分类求解即可． 【详解】解：， 横、竖、外圈、内圈的4个数之和为4， ， ， ，， ，， 或， 当时，，此时， 当时，，此时， 故选∶A． 【融会贯通】 1．把这个数填入的方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都等于，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”(图1)，“洛书”是世界上最早的“幻方”，图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为(　　)． A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算；根据任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都等于，可得①，②，③表示的数，即可求出的值． 【详解】解：如图， 任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都等于， 对角线上①处数字与，的和为， ①处的数字为：， 又中间一列②处数字与，的和为， ②处上的数字为： 最正面一行数字之和为 ③处数字为 最后一列之和为， ， 故选：D． 2．小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 ．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】0 【分析】本题考查有理数的运算，根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即可得出结果． 【详解】解：由题意，填写如下： ，满足题意； 故答案为：0． 3．把夏禹时代的“洛书”用数学符号翻译出来就是一个三阶幻方，它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等，则幻方中的值是 ． 【答案】 【分析】 本题主要考查了有理数的加法，解决此题的关键利用中心数求幻和，再由幻和与已知数求得、，最后是有理数的加法． 根据三阶幻方的特点，三阶幻方的中心数，可得三阶幻方的和，根据三阶幻方的和，可得、的值，根据有理数的减法，可得答案． 【详解】 解：根据幻方的性质， 则， 所以， 而， 则， 故， 故答案为：． 类型五、化简多重符号 【解惑】（      ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查化简多重符号，熟练掌握正负数是解题的关键；因此此题可根据化简多重符号的特征可进行求解． 【详解】解：； 故选B． 【融会贯通】 1．化简：（    ） A． B． C． D．10 【答案】A 【分析】本题考查了化简多重符号，多重符号化简方法：一个数前面有偶数个“”号，结果为正；一个数前面有奇数个“”号，结果为负；0前面无论有几个“”号，结果都为0，由此进行计算即可，熟练掌握多重符号化简方法是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 2．填空： （1） ； ． （2） ； ． 【答案】 2 2 【分析】本题考查了相反数的概念，正确理解相反数的概念是解题的关键．直接利用相反数的概念化简多重符号，即可逐步得出答案． 【详解】（1）； ； 故答案为：，2； （2）； ． 故答案为：2，． 3．化简下列各数： ① ； ② ； ③ ； ④ ． 【答案】①8；②；③；④3.8 【分析】利用化简多重符号的方法即可求解． 【详解】解：①； ②； ③； ④． 【点睛】本题考查了相反数的意义，熟练掌握化简多重符号的方法是解题的关键． 类型六、有理数的分类 【解惑】把下列各数分别填在表示它所属的横线上：①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦2000；⑧．（填写序号） (1)正数：　　1　　； (2)负数：　　2　　； (3)整数：　　3　　； (4)分数　　4　　． 【答案】(1)②⑥⑦ (2)①③⑤⑧ (3)②④⑤⑦ (4)①③⑥⑧ 【分析】本题考查有理数的分类及定义，掌握有理数的分类及相关定义是解题的关键； 根据有理数的分类及定义进行分类即可． 【详解】（1）解：正数有②⑥⑦； （2）解：负数有：①③⑤⑧； （3）解：整数有：②④⑤⑦； （4）解：分数有：①③⑥⑧． 【融会贯通】 1．把下列各数的序号填在相应的大括号里： ①0；②；③200；④；⑤；⑥；⑦；⑧． 整数：{ ___________⋯}； 正数：{ ___________⋯}； 正分数：{ ___________⋯}； 负有理数：{ ___________⋯}． 【答案】①③④⑥；②③⑥⑧；②⑧；④⑤⑦ 【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．根据有理数的分类，即可求解． 【详解】解：整数：{①③④⑥……}； 正数：{②③⑥⑧……} 正分数：{②⑧……} 负有理数：{④⑤⑦……} 故答案为：①③④⑥；②③⑥⑧；②⑧；④⑤⑦． 2．将下面一组数填入相应集合的圈内： ，，，，，，，， 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类即可求出答案，掌握有理数的分类是解题的关键． 【详解】解：把数填入相应集合的圈内如图所示： 3．将下列各数填入相应的大括号内． ，，，，，，，，， 正数集合：______ ； 负数集合：______ ； 整数集合：______ ； 分数集合：______ ． 【答案】，，，， ； ，，，；，，，，；，，，． 【分析】本题考查有理数，熟练掌握有理数的定义是解题关键． 根据有理数的定义进行分类即可． 【详解】解：正数集合有：，，，，； 负数集合有：，，，； 整数集合有：，，，，； 分数集合有：，，，； 类型七、有理数中的规律 【解惑】先阅读下列材料，再解决问题： 学习数轴之后，有同学发现在数轴上到两点之间距离相等的点，可以用表示这两点表示的数来确定.如：(1)到表示数4和数10距离相等的点表示的数是7，有这样的关系7= (4+10)； (2)到表示数-3和数-7距离相等的点表示的数是-5，有这样的关系-5=. 解决问题：根据上述规律完成下列各题： (1)到表示数50和数150距离相等的点表示的数是_________ (2)到表示数和数距离相等的点表示的数是__________ (3)到表示数12和数26距离相等的点表示的数是_________ (4)到表示数a和数b距离相等的点表示的数是___________ 【答案】（1）100；（2）  ；（3）-19；（4）（a+b）． 【分析】根据材料可得在数轴上到表示两数的点之间距离相等的点表示的数是两数和的，由此计算得出答案即可． 【详解】解：(1)到表示数50和数150距离相等的点表示的数是 (50+150)=100； (2)到表示数和数距离相等的点表示的数是=  ； (3)到表示数12和数26距离相等的点表示的数是 =-19； (4)到表示数a和数b距离相等的点表示的数是（a+b）． 故答案为（1）100；（2）  ；（3）-19；（4）（a+b）． 【点睛】本题考查数轴的知识，注意表示数轴上到两点间的距离相等的点所对应的数的公式：等于两点所对应的两数和的． 【融会贯通】 1．化简下列各式的符号，并回答问题： __________________； __________________； __________________； __________________． （1）当前面有2022个负号时，化简后的结果是多少？ （2）当前面有2023个负号时，化简后的结果是多少？ 你能总结出什么规律？ 【答案】，3.5，5，；（1）5；（2）5． 【分析】根据规律：“若在一个数的前面有偶数个负号，则化简后的结果是其本身；若在一个数的前面有奇数个负号，则化简后的结果是这个数的相反数．”求解即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 故答案为：；；5；． 总结规律：若在一个数的前面有偶数个负号，则化简后的结果是其本身；若在一个数的前面有奇数个负号，则化简后的结果是这个数的相反数． （1）当前面有2022个负号时，化简后的结果是5． （2）当前面有2023个负号时，化简后的结果是5． 【点睛】本题考查化简多重符号，总结规律从而解决后面两小问是解题的关键． 2．探索规律题： (1)试用“＞”、“＜”或“=”填空： |(+2)+(+5)| |+2|+|+5|； |(-2)+(-5)| |-2|+|-5|； |(+2)+(-5)| |+2|+|-5|； |(-2)+(+5)| |-2|+|+5|； |0+(+5)| |0|+|+5|； (2)做完上述这组填空题，你可以得出什么结论？请你用字母表示你的结论． 【答案】(1)=；=；＜；＜；=； (2)见解析 【分析】（1）先分别算出左右两边的式子的值，然后比较大小即可； （2）根据（1）所求即可得到相应的结论； 【详解】（1）解：∵，， ∴|(+2)+(+5)| =|+2|+|+5|； ∵，， ∴|(-2)+(-5)|= |-2|+|-5|； ∵，， ∴|(+2)+(-5)|＜|+2|+|-5|； ∵，， ∴|(-2)+(+5)|＜|-2|+|+5|； ∵，， ∴|0+(+5)| =|0|+|+5|； 故答案为：=；=；＜；＜；=； （2）解：由（1）可得当时，， 当时， 【点睛】本题主要考查了求一个数的绝对值，有理数比较大小，熟知相关知识是解题的关键． 3．在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉。例如：｜6＋7｜＝ 6＋7 ；｜6—7｜＝7－ 6；｜7－6｜＝7－ 6 ；｜―6―7｜＝6＋7；根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： （1）｜7－21｜＝______； （2）｜｜＝_______； （3）｜｜＝________； （4）用合理的方法计算：｜｜＋｜｜－｜｜. 【答案】（1）；（2）0.8；（3）；（4） 【分析】根据绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值是0．对（1）（2）（3）去括号即可； （4）首先根据有理数的运算法则判断式子的符号，再根据绝对值的性质正确化简． 【详解】∵ （1）∵，故答案为：； （2）∵，故答案为：＝0.8； （3）∵，故答案为：； （4）｜｜＋｜｜－｜｜ ∵， ∴｜｜＋｜｜－｜｜ 【点睛】本题主要考查了绝对值，去掉绝对值符号关键是看符号内的数的大小关系，做题时，要注意多观察各项之间的关系． 类型八、数轴折叠重合问题 【解惑】动手操作：已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．    (1)若2表示的点A与表示的点B重合，则折痕经过的点P叫做的中点，则点P表示的数是______； 若表示的点C与6表示的点D重合，则折痕经过的点Q叫做的中点，则点Q表示的数是______； (2)从（1）发现，在数轴上线段两端点表示的数与线段中点表示的数存在某一等量关系，用此关系求：已知E点表示的数是，F点表示的数是，请列出式子求线段的中点R表示的数 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据数轴上两点间线段中点的求法直接计算即可； （2）根据数轴上两点间线段中点的求法直接计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：点P表示的数是，点Q表示的数是， 故答案为：，； （2）解：由题意得，线段的中点R表示的数为：． 【点睛】本题考查了数轴上两点间线段中点的求法，如数轴上的点A、B所表示的数是a，b，则线段的中点所表示的数是． 【融会贯通】 1．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． (1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数 ___________表示的点重合； (2)若表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数 ___________表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为10（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？ 【答案】(1)5 (2)①﹣7，②A、B两点表示的数分别是 【分析】（1）根据题意可知数轴上数1表示的点与表示的点关于原点对称，由此即可得到答案； （2）①同（1）求解即可；②根据结合A、B关于对称进行求解即可． 【详解】（1）解：∵1表示的点与表示的点重合， ∴数轴上数1表示的点与表示的点关于原点对称， ∴数轴上数表示的点与数5表示的点重合； 故答案为：5； （2）解：①∵表示的点与3表示的点重合， ∴数轴上数表示的点与数3表示的点关于点对称， ∴数轴上数5表示的点与数表示的点重合， 故答案为：； ②∵， ∴点A、B到的距离均为5， 又∵A在B的左侧 ∴两点表示的数分别是． 【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，熟知数轴的相关知识是解题的关键． 2．探究与应用 【阅读材料】表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索分析】 （1）数轴上表示5和的两点之间的距离是________． （2）若，则在数轴上有理数x对应的点与对应的点之间的距离为________，________． 【操作应用】小明在纸上画了一条数轴进行操作探究． （3）折叠纸面，若1对应的点与对应的点重合，则4对应的点与________对应的点重合． （4）折叠纸面，若4对应的点和对应的点重合，则： ①8对应的点和________对应的点重合； ②若点A表示的数为a，点B表示的数为b，点A在点B左侧，两点间的距离为且A，B两点经折叠后重合，试求a，b的值． 【答案】（1）6；（2）1；或；（3）；（4）①；②a，b的值为， 【分析】本题考查了绝对值的意义，数轴上两点之间的距离，在数轴上表示有理数．熟练掌握绝对值的意义，数轴上两点之间的距离，在数轴上表示有理数是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）根据绝对值的意义进行求解作答即可； （3）由题意知，对称点为，进而可得4对应的点与对应的点重合； （4）①由题意知，对称点为，根据8对应的点和对应的点重合，计算求解即可；②由题意知，点A、点B到对称点的距离相等，且为，然后根据点A表示的数为，点B表示的数为，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，数轴上表示5和的两点之间的距离是， 故答案为：6． （2）解：∵， ∴在数轴上有理数x对应的点与对应的点之间的距离为1， ∴或， 故答案为：1；或． （3）解：∵折叠纸面，若1对应的点与对应的点重合， ∴对称点为， ∴4对应的点与对应的点重合， 故答案为：； （4）①解：∵折叠纸面，4对应的点和对应的点重合， ∴对称点为， ∴8对应的点和对应的点重合， 故答案为：； ②解：∵两点间的距离为，且A，B两点经折叠后重合， ∴点A、点B到对称点的距离相等，且为， ∴点A表示的数为，点B表示的数为， ∴a，b的值为，． 3．综合与探究： 数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，利用数轴可以解决很多问题，班里三个小组分别设计了三个问题，请你与他们共同解决：    (1)勤奋小组：在图所示的数轴上，把数，，4，，2.5表示出来，并用“<”将它们连接起来． (2)励志小组：折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题： ①表示的点与表示______的点重合； ②若数轴上A，B两点间的距离为7（A在B的左侧），且折叠后A，B两点重合，则点A表示的数为_____． (3)攀登小组：假如在原点处放立一挡板（厚度不计），有甲、乙两个小球（忽略球的大小，可看成一点），小球甲从表示数的点处出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，同时小球乙从表示数4的点处出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，两个小球在碰到挡板后即刻按原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为秒． ①当时，求甲、乙两个小球之间的距离； ②用含t的代数式表示甲、乙两个小球之间的距离． 【答案】(1)在数轴上把数表示见解析，用“＜”将它们连接起来为 (2)①6；② (3)①甲、乙两个小球之间的距离为3；②甲、乙两个小球之间的距离为 【分析】（1）根据数轴的点的表示解答即可； （2）①根据题意找出对称轴即可；②根据题意列出方程即可； （3）①当时，小球甲在的位置表示的数为，小球乙在的位置表示的数为2，据此回答即可；②设运动的时间为t，根据题意列出代数式即可． 【详解】（1）如图所示．      用“＜”将它们连接起来为． （2）由题意得：折叠点与数轴的交点表示的数为， ， 所以表示的点与表示6的点重合， 故答案为：6， 设点A表示的数为x，则点B表示的数为， 可得， 解得： 故答案为：； （3）①当时，小球甲在的位置表示的数为，小球乙在的位置表示的数为2， 所以甲、乙两个小球之间的距离为． ②运动前，甲、乙两个小球之间的距离为． 当时，甲、乙两个小球之间的距离为； 当时，甲、乙两个小球之间的距离为． 所以甲、乙两个小球之间的距离为． 【点睛】本题考查数轴表示数的意义，一元一次方程的应用，利用数轴比较有理数的大小，明确对折点所表示的数以及数轴上两点之间距离的计算方法是解决问题的关键． 【一览众山小】 1．下列语句中正确的有     个． ①不带“”号的数都是正数；②如果是正数，那么一定是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查正数与负数．根据正数与负数的性质及意义可求解． 【详解】解：①0不带“”号但不是正数，故原说法错误； ②如果是正数，那么一定是负数，故正确； ③0既不是正数，也不是负数的数，故原说法错误； ④表示温度为0度，故原说法错误． 故正确的有1个． 故选：． 2．在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是，3，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且，则点C表示的数是（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查的是数轴和数轴上两点间的距离，解题的关键是求出的长度．根据图1算出的长度13，图2中的，用就是的长度，用两点之间的距离公式得出点表示的数． 【详解】解：图1：， 图， ， 点表示的数是：， 故选：B 3．两江新区正加快打造智能网联新能源汽车产业集群，集聚了长安、长安福特、赛力斯、吉利、理想等10家整车企业，200余家核心零部件企业．小虎所在的生产车间需要加工标准尺寸为的零部件，其中范围内的尺寸为合格，则下列尺寸的零部件不合格的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正数和负数，根据正数和负数的实际意义求得合格尺寸的范围，然后进行判断即可，结合已知条件求得合格尺寸的范围是解题的关键． 【详解】解：由题意可得合格尺寸的范围为，不在尺寸范围内， 故选：D． 4．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查相反数和绝对值，先计算得到，然后计算解题即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 5．在数轴上，到原点的距离等于个单位长度的点所表示的有理数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上两点距离的意义，还可以根据相反数的特点解答，即在数轴上到原点的距离相等的点有两个，这两个点表示的数互为相反数．根据数轴上两点间的距离的意义解答即可． 【详解】解：在数轴上，到原点的距离等于个单位长度的点所表示的有理数是， 故答案为：． 6．如图，在数轴上有A、B、C这三个点． 回答： (1)A、B、C这三个点表示的数各是多少？ A： ；B： ；C： ． (2)A、B两点间的距离是 ，A、C两点间的距离是 ． (3)应怎样移动点B的位置，使点B到点A和点C的距离相等？ 【答案】(1)、1、4 (2)7；10 (3)点B向左移动2个单位 【分析】本题考查了是数轴，运用数轴上点的移动和数的大小变化规律是左减右加是解答此题的关键． （1）本题可直接根据数轴观察出A、B、C三点所对应的数； （2）根据数轴的几何意义，根据图示直接回答； （3）由于，则点B到点A和点C的距离都是5，此时将点B向左移动2个单位即可． 【详解】（1）解：根据图示可知：A、B、C这三个点表示的数各是、1、4， 故答案为：；1；4． （2）解：根据图示知：的距离是；的距离是， 故答案为：7；10； （3）解：∵A、C的距离是10， ∴点B到点A和点C的距离都是5， ∴应将点B向左移动2个单位，使点B表示的数为，． 7．（1）请把下列各数填入相应的集合中： ，，0，，，， 正分数集合：{ ．．．}； 整数集合：{ ．．．}； 负数集合：{ ．．．}； （2）在数轴上表示（1）中负数集合中的各数．    【答案】（1），；，0，；，，；（2）见解析 【分析】本题主要考查了有理数的分类，用数轴表示有理数： （1）根据有理数的分类方法进行求解即可； （2）根据（1）所求，在数轴上表示出对应的负数即可． 【详解】解：（1）， 正分数集合：{，．．．}； 整数集合：{，0，．．．}； 负数集合：{，，．．．}； （2）如图所示，即为所求．    8．如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且、、满足 (1)__，__，__； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与表示数____的点重合； (3)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为则_____，______，______用含的代数式表示 【答案】(1)，， (2) (3)，， 【分析】本题主要考查了数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离． （1）根据非负数的性质即可得到结论； （2）先求出对称点，即可得出结果； （3）利用题意结合数轴表示出A、B、C三点表示的数，进而可得、、的长． 【详解】（1） ， 解得：， 是最小的正整数 ， 故答案为：，， （2）点A与点C的中点对应的数为： 点B到2的距离为1,所以与点B重合的是： 故答案为：3 （3）点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动。 秒钟过后，点A表示为，点B表示为，点C表示为， ， ， ， 故答案为：，，． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$