专题01 有理数（优质类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版2024新教材）

专题01有理数思维导图 【类型覆盖】 类型一、绝对值”1“与”-1“的化简 【解惑】如果，那么的值是（    ） A．或3 B．或3 C．1或3 D．或 【融会贯通】 1．已知，两数在数轴上的位置如图所示，则代数式的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．若，则 ． 3．数形结合是一种重要的数学方法，如在化简时，当a在数轴上位于原点的右侧时，；当a在数轴上位于原点时，；当a在数轴上位于原点的左侧时，．当a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题：    (1)当时，求 ，当时，求 ； (2)请根据a，b，c三个数在数轴上的位置，求的值． (3)若有三个均不为零的数n，m，p，求的值． 类型二、绝对值的最值 【解惑】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．比如：的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离，的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点的距离．当取得最小值时，求x的整数和是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【融会贯通】 1．的最小值是（    ） A．2 B．0 C．1 D．﹣1 2．可以表示为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，可以表示为数轴上到的距离与到的距离之和，则数轴上满足使取得最小值的负整数为 ． 3．同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索 (1)求____________； (2)同样道理表示数轴上有理数x所对点到和1005所对的两点距离相等，则______________ (3)类似的表示数轴上有理数x所对点到和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是_________________． (4)由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 类型三、绝对值方程 【解惑】若，则等于（    ） A． B． C． D．或 【融会贯通】 1．若，则的值为（    ） A．1或11 B．1或 C．或11 D．或 2．关于的方程的解是 ． 3．点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离， 例如：数轴上表示与的两点间的距离； 而，所以表示与两点间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离___________． (2)若数轴上表示点的数满足，那么___________． (3)若数轴上表示点的数满足，则___________ (4)若数轴上表示点的数满足，则___________． 类型四、循环小数化为分数 【解惑】任何一个有理数都能写成分数的形式(整数可以看作是分母为1的分数)．我们知道：可以写成可以写成，因此，有限小数是有理数．那么无限循环小数是有理数吗？下面以循环小数为例，进行探索： 设，① 两边同乘以得： ，② ②-①得： 因此，是有理数． （1）直接用分数表示循环小数 （2）试说明是一个有理数，即能用一个分数表示． 【融会贯通】 1．小明对循环小数转化成分数该过程进行了探究，以下是他以和 （1）∵， ∴， ∴， ∴． （2）∵， 又∵， ∴， ∴， ∴． 请仿照小明的推导过程，分别把和（写出具体推导过程）． 2．阅读以下材料：如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节．例如的循环节是“6”，它可以写作，像这样的循环小数称为纯循环小数，又如、的循环节分别为“3”“456”，它们可分别写作，像这样的循环小数称为混循环小数．把纯循环小数化为分数时，分数的分子是它的一个循环节的数字所组成的数，分母则由若干个9组成，9的个数为一个循环节的数字的个数．例如：；．混循环小数都可以先化为纯循环小数，然后再化为分数．例如：，根据材料回答问题： (1)是________循环小数(填“纯”或“混”)； (2)将化为分数是________； (3)将化为分数，写出过程． 3．（1）探索下列分数化为循环小数的规律： ① ； ② ； ③ ； （2）利用上面的规律，把下列循环小数化成分数： ； ； ； （3）尝试计算： 类型五、裂项求和 【解惑】观察下面的变形规律： 解答下面的问题： (1)若n为正整数，且写成上面式子的形式，请你猜想_____． (2)计算： (3)计算： 【融会贯通】 1．综合与实践：问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： ，，，． (1)独立思考：解答王老师提出的问题：第5个式子为______，第n个式子为______． (2)实践探究：在（1）中找出规律，并利用规律计算：； (3)问题拓展，求； 2．观察下列等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式： 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：　 　________． (2)用含有n的代数式表示第n个等式：　 　_________．（n为正整数） (3)求的值． 3．观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题 ；；； (1)按以上规律，第个等式为：______；第个等式为：______（用含的式子表示，为正整数）； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算：的值． 类型六、数列求和 【解惑】（1）填空： ，，，…… （2）探索（1）中式子的规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立； （3）计算 【融会贯通】 1．观察下列等式，，，，，…… (1)根据式子的规律，写出第n个等式，并说明第n个等式的成立； (2)根据上述规律计算：①； ②． 2．在数学兴趣活动中，小容为了求的值，写出下列解题过程． 解：设① 两边同乘以2得： ② 由②-①得： (1)应用结论：根据题目的结论，直接写出：______； (2)模仿计算：请模仿题目中的算法计算：； (3)拓展迁移：“数形结合”是数学中常用的思想，“以形助数”能够利用几何图形解决相关的不易求解的代数问题．小容在计算（2）的过程中发现，借助几何图形可以快速得出结果． 如图，小容将一个面积为1的正方形按一定规律分割成若干部分． ①请你根据图示说明小容是如何分割正方形的？ ②请你说明小容是如何利用分割的图形来计算？ 3．观察下面的式子，解答下列问题 ，； ，； ，； ，； …… (1)________； (2)_____； (3)利用上面的规律计算： (4)计算：___________． 类型七、数轴动点求t 【解惑】如图，若点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，且满足．    (1)求线段的长． (2)点在数轴上对应的数是，且是方程的解，在数轴上是否存在点，使得？若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由． (3)在（1）、（2）的条件下，点开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，秒钟后，若点和点之间的距离表示为，点和点之间的距离表示为，那么的值是否随着时间的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 【融会贯通】 1．如图，在数轴上点表示数a，点表示数b，点表示数c，b是最大的负整数，且a、c满足．    (1)________，________，________； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟后，点表示的数是________，点表示的数是________，点表示的数是________；（用含t的代数式表示） (3)在（2）基础上，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，若的值不随着时间的变化而改变，求的值． 2．阅读：如图，已知数轴上有、、三个点，它们表示的数分别是，，．到的距离可以用表示，计算方法：，或．根据阅读完成下列问题：    (1)填空： ， ． (2)若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，试探索：到的距离与到的距离的差（即）的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由． (3)现有动点、都从点出发，点以每秒个单位长度的速度向右移动，当点移动秒时，点才从点出发，并以每秒个单位长度的速度向右移动．设点移动的时间为秒（），直接写出、两点间的距离（用含的代数式表示）． 3．已知数轴上有、、三个点，分别表示有理数、、，动点从出发，以每秒个单位长度的速度向终点移动，设移动时间为秒．若用，，分别表示点与点、点、点的距离，试回答以下问题．    (1)当点运动秒时，______，______，______； (2)当点运动了秒时，请用含的代数式表示到点、点、点的距离：______，______，______； (3)经过几秒后，点到点、点的距离相等？此时点表示的数是多少？ (4)当点运动到点时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样速度返回，运动到终点．在点开始运动后，、两点之间的距离能否为个单位长度？如果能，请直接写出点表示的数；如果不能，请说明理由． 类型八、数轴新定义 【解惑】对于数轴上的两点P，Q给由如下定义：P，Q两点到原点的距离之差的绝对值称为P，Q两点的“绝对距离”，记为．例如，P，Q两点表示的数如图1所示，则．    (1)A，B两点表示的数如图2所示． ①求A，B两点的“绝对距离”； ②若点C为数轴上一点（不与点O重合），且，求点C表示的数； (2)点M，N为数轴上的两点．（点M在点N左侧）且，，请直接写出点M表示的数为 ___________． 【融会贯通】 1．阅读下列材料： 我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“平衡点”． 解答下列问题： 经验反馈： (1)若点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“平衡点”，则点M表示的数为 　　； (2)若点A表示的数为﹣3，点A与点B的“平衡点M”表示的数为1，则点B表示的数为 　　； 操作探究： 如图，已知在纸面上有一条数轴． 操作一： 折叠数轴，使表示1的点与表示﹣1的点重合，则表示﹣5的点与表示 　　的点重合． 操作二： 折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题： ①表示﹣2的点与表示 　　的点重合； ②若数轴上A，B两点的距离为7（A在B的左侧），且折叠后A，B两点重合，则点A表示的数为 　　 2．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与另外两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“联盟点”． 例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”． (1)若点A表示数，点B表示数3，下列各数，，0，1所对应的点分别是，其中是点A，B的“联盟点”的是___________； (2)点A表示数，点B表示数5，P为数轴上的一个动点： ①若点P在点A的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是另外两个点的“联盟点”，求此时点P表示的数． 3．阅读理解，完成下列各题 定义：已知A、B、C 为数轴上任意三点，若点C 到A 的距离是它到点B 的距离的2 倍，则称点C 是[A，B]的2 倍点．例如：如图1，点C 是[A，B]的2 倍点，点D 不是[A，B]的2 倍点，但点D 是[B，A]的2 倍点，根据这个定义解决下面问题： （1）在图1 中，点A 是　 　的2倍点，点B是　 　的2 倍点；（选用A、B、C、D 表示，不能添加其他字母）； （2）如图2，M、N 为数轴上两点，点M 表示的数是﹣2，点N 表示的数是4，若点E是[M，N]的2倍点，则点E 表示的数是　 　； （3）若P、Q 为数轴上两点，点P在点Q的左侧，且PQ=m，一动点H从点Q 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t 秒，求当t 为何值时，点H 恰好是P和Q两点的2倍点？（用含m 的代数式表示） 【一览众山小】 1．如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字重合的点是（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知有理数a，b，c满足，则的值为（    ） A． B．1 C． D．3 3．的最小值为 ． 4．已知a、b为整数，，且，则a的最小值为 ． 5．已知，那么 ． 6．阅读下面的材料： 点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为． 当两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图所示，； 当两点都不在原点时， ．如图所示，点都在原点的右边， ； ．如图所示，点都在原点的左边， ； ．如图所示，点在原点的两边， ． 综上，数轴上两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点和之间的距离是 ，如果，那么为 ； (3)当取最小值时， ， ． 7．设有理数a，b在数轴上所对应的点为A，B，记为，，将称为点A，B的对称指标，记为，即．对于定点A，若动点B在线段MN上，将的最大值称为线段关于点A的对称指标，记为． (1)点，，，在数轴上， ①__________，__________． ②若，则__________． (2)点，，在数轴上，，， ①当时，__________． ②当线段在数轴上运动时，直接写出的最小值及此时m的值． 8．阅读下列材料并解决有关问题： 知道：现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时，可令和，分别求得，（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和，可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：（）（）（）．从而化简代数式可分以下种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式．综上所述，原式 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简代数式； (3)求方程：的整数解； 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01有理数思维导图 【类型覆盖】 类型一、绝对值”1“与”-1“的化简 【解惑】如果，那么的值是（    ） A．或3 B．或3 C．1或3 D．或 【答案】B 【分析】本题考查的绝对值的应用，以及化简求值．根据，即a、b全为正数时，或a、b为一正一负时，或a、b全负时分类讨论计算即可． 【详解】解：， 设时， ， 或时， ，或， 时， ， 综上可得：或， 故选：B． 【融会贯通】 1．已知，两数在数轴上的位置如图所示，则代数式的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了根据数轴上的点判断式子的正负、化简绝对值，由数轴可得：，从而得出，，再根据绝对值的性质化简绝对值即可，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由数轴可得：， ，， ， 故选：A． 2．若，则 ． 【答案】或0或2 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数的除法计算，讨论a、b的符号，然后化简绝对值即可得到答案． 【详解】解：当a、b同时为正时，， 当a、b同时为负时，， 当a、b一正一负时，不妨设a为负，， 综上所述，的值为或0或2． 故答案为：或0或2． 3．数形结合是一种重要的数学方法，如在化简时，当a在数轴上位于原点的右侧时，；当a在数轴上位于原点时，；当a在数轴上位于原点的左侧时，．当a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题：    (1)当时，求 ，当时，求 ； (2)请根据a，b，c三个数在数轴上的位置，求的值． (3)若有三个均不为零的数n，m，p，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】（1）当时，，当时，； （2）由数轴可知：，根据，计算求解即可； （3）若有三个均不为零的数n，m，p，则有如下四种情况：①若n，m，p都为正数；②若n，m，p有两个正数；③若n，m，p有一个正数；④若n，m，p都为负数；分别化简绝对值，计算求解即可． 【详解】（1）解：当时，，当时，， 故答案为：，； （2）解：由数轴可知：， ∴， ∴的值为； （3）解：若有三个均不为零的数n，m，p，则有如下四种情况： ①若n，m，p都为正数，即，，，则； ②若n，m，p有两个正数，不妨设，，，则； ③若n，m，p有一个正数，不妨设，，，则； ④若n，m，p都为负数，即，，，则； 综上，若有三个均不为零的数n，m，p，则的值为或． 【点睛】本题考查了化简绝对值，利用数轴比较有理数的大小．解题的关键在于分情况求解． 类型二、绝对值的最值 【解惑】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．比如：的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离，的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点的距离．当取得最小值时，求x的整数和是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据的几何意义，得出的取值范围，再将的整数值进行相加即可，本题主要考查了数轴上两点间的距离，绝对值的性质，两点之间线段最短的性质，熟记数轴上两点间的距离公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，由，可得： 当取得最小值时，且x为整数 可以等于： 故选：D． 【融会贯通】 1．的最小值是（    ） A．2 B．0 C．1 D．﹣1 【答案】A 【详解】由“绝对值的几何意义”可知：的几何意义是在数轴上表示数“x”的点到表示-1的点之间的距离，的几何意义是在数轴上表示数“x”的点到表示1的点之间的距离，而在数轴上到表示1和-1两点距离之和最小的点在1和-1之间（包括1和-1），此时x到这两个点的距离之和都为2， ∴+的最小值为2. 故选A. 2．可以表示为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，可以表示为数轴上到的距离与到的距离之和，则数轴上满足使取得最小值的负整数为 ． 【答案】和 【分析】表示所对应的点到和到所对应的点的距离之和，当在和之间时，取得最小值， 【详解】可以表示数轴上有理数x所对应的点到−2和3所对应的点的距离之和， 当在和之间时，有最小值， −2和3之间的整数有−2，−1，0，1，2，3 其中负整数x为和， 故答案为：和． 【点睛】本题是一道去绝对值和数轴相联系的综合试题，考查了去绝对值的方法，取绝对值在数轴上的运用．难度较大．去绝对的关键是确定绝对值里面的数的正负性． 3．同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索 (1)求____________； (2)同样道理表示数轴上有理数x所对点到和1005所对的两点距离相等，则______________ (3)类似的表示数轴上有理数x所对点到和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是_________________． (4)由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)7 (2) (3) (4)3 【分析】（1）化简绝对值求解； （2）有理数x所对点在和1005所对的两点之间，化简绝对值，求解； （3）该点到所对应的点的距离和到2所对应的点的距离之和为7，整数x可为； （4）当有理数x所对点在和6所对的两点之间时，有最小值，最小值为． 【详解】（1）解：； （2）解：由题知，，得 ； （3）解：式子理解为：在数轴上，某点到所对应的点的距离和到2所对应的点的距离之和为7， 所以满足条件的整数x可为； （4）解：表示数轴上有理数x所对点到和6所对的两点距离之和， 当有理数x所对点在和6所对的两点之间时，有最小值，最小值为． 【点睛】本题考查数轴上两点间距离计算；理解两点间距离公式是解题的关键． 类型三、绝对值方程 【解惑】若，则等于（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据绝对值的概念即可求解． 【详解】∵正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值为零， ∴，， ∴，则， 故选：． 【点睛】此题考查了绝对值的概念，掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值为零是解题的关键． 【融会贯通】 1．若，则的值为（    ） A．1或11 B．1或 C．或11 D．或 【答案】B 【分析】根据绝对值的性质得到或，解之即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， 故选B． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，解题的关键是注意互为相反数的两个数的绝对值相同． 2．关于的方程的解是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解绝对值方程．分，和时三种情况讨论，分别列得方程，再解方程可得． 【详解】解：当时， ，解得； 当时, ，此方程无解； 当时, ，解得； 故答案为：或． 3．点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离， 例如：数轴上表示与的两点间的距离； 而，所以表示与两点间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离___________． (2)若数轴上表示点的数满足，那么___________． (3)若数轴上表示点的数满足，则___________ (4)若数轴上表示点的数满足，则___________． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)或 【分析】（1）利用数形结合思想和题干中的结论解答即可； （2）由表示的意义为：在数轴上表示表示和的点的距离为，据此解答可得； （3）根据，可知表示：在数轴上表示的点到表示的点的距离加上到表示的点的距离之和，即到之间的距离，据此解答可得； （4）由（3）的结论可知，只有当表示的点可能在的右侧或在的左侧，才存在，据此解答即可． 【详解】（1）解：根据题意知数轴上表示和两点之间的距离． 故答案为：． （2）∵，即在数轴上表示表示和的点的距离为， ∴或． 故答案为：或． （3）∵， ∴表示的是：在数轴上表示的点到表示的点的距离加上到表示的点的距离之和，即到之间的距离：． 故答案为：． （4）∵是表示的点到表示，两点的距离之和为， 又∵， ∴表示的点可能在的右侧或在的左侧，即或， 当时， ∵， ∴， 解得：； 当时， ∵， ∴， 解得：； 当表示的点与表示的点重合时，即时，则 ； 当表示的点与表示的点重合时，即时，则 ； 综上所述，或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值的几何意义，两点间的距离公式，线段上的点到线段的两端点的距离的和等于线段的距离．运用了数形结合和分类讨论的思想．理解和掌握求数轴上两点的距离是解题的关键． 类型四、循环小数化为分数 【解惑】任何一个有理数都能写成分数的形式(整数可以看作是分母为1的分数)．我们知道：可以写成可以写成，因此，有限小数是有理数．那么无限循环小数是有理数吗？下面以循环小数为例，进行探索： 设，① 两边同乘以得： ，② ②-①得： 因此，是有理数． （1）直接用分数表示循环小数 （2）试说明是一个有理数，即能用一个分数表示． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】（1）设，两边乘10，仿照例题可解； （2）设，两边乘100，仿照例题可化简求解． 【详解】解：（1）设，① 两边乘10得：，② ②-①得：， ∴， ∴； （2）设，① 两边同乘以得：，② ②-①得： ， 因此是有理数 【点睛】本题需理解题中的例子，将一个循环小数化为分数的方法，需要学生有很好的分析理解能力． 【融会贯通】 1．小明对循环小数转化成分数该过程进行了探究，以下是他以和 （1）∵， ∴， ∴， ∴． （2）∵， 又∵， ∴， ∴， ∴． 请仿照小明的推导过程，分别把和（写出具体推导过程）． 【答案】，． 【分析】仿照小明的推导过程，进行计算即可解答． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解小明的推导过程是解题的关键． 2．阅读以下材料：如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节．例如的循环节是“6”，它可以写作，像这样的循环小数称为纯循环小数，又如、的循环节分别为“3”“456”，它们可分别写作，像这样的循环小数称为混循环小数．把纯循环小数化为分数时，分数的分子是它的一个循环节的数字所组成的数，分母则由若干个9组成，9的个数为一个循环节的数字的个数．例如：；．混循环小数都可以先化为纯循环小数，然后再化为分数．例如：，根据材料回答问题： (1)是________循环小数(填“纯”或“混”)； (2)将化为分数是________； (3)将化为分数，写出过程． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】（1）根据纯循环小数和混循环小数的概念判断即可； （2）根据纯循环小数化分数的方法运算即可； （3）根据混循环小数化分数的方法运算即可． 【详解】（1）解：由纯循环小数和混循环小数的概念可知：是纯循环小数， 故答案是：是； （2）， 故答案为：； （3）． 【点睛】本题为阅读理解题，考查了循环小数和分数的互化，有理数的四则混合运算等知识，认真读题，理解题意是解题关键． 3．（1）探索下列分数化为循环小数的规律： ① ； ② ； ③ ； （2）利用上面的规律，把下列循环小数化成分数： ； ； ； （3）尝试计算： 【答案】（1）；（2）；（3）4 【分析】（1）由前面举的例子找到规律直接写出答案即可； （2）利用上述规律得到答案； （3）将式子化为分数计算即可． 【详解】解：（1）根据题中规律可知：①，②，③； 故答案为：①；②；③； （2）根据题中规律可知：，，； 故答案为：；；； （3）原式 ． 【点睛】本题主要考查数字规律，熟知题目的意思找到规律是解题的关键． 类型五、裂项求和 【解惑】观察下面的变形规律： 解答下面的问题： (1)若n为正整数，且写成上面式子的形式，请你猜想_____． (2)计算： (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、数字规律等知识点，熟练掌握与运用对相应的运算法则是解答的关键． （1）分析所给的等式的形式，猜想规律即可解答； （2）利用（1）所得的规律对代数式进行变形即可解答； （3）利用（1）所得的规律对代数式进行变形即可解答． 【详解】（1）解：∵；；； 猜想． 故答案为：． （2）解： ． （3）解： ． 【融会贯通】 1．综合与实践：问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： ，，，． (1)独立思考：解答王老师提出的问题：第5个式子为______，第n个式子为______． (2)实践探究：在（1）中找出规律，并利用规律计算：； (3)问题拓展，求； 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查数字规律及有理数的混合运算； （1）根据已知条件得到第一个式子的分母是，第二个式子的分母是，第三个式子的分母是，由此即可求解第五个式子和第个式子； （2）根据题意，将每个式子拆成，由此即可求解； （3）根据题意，将每个式子拆成，由此即可求解． 【详解】（1）解：第1个式子为， 第2个式子为， 第3个式子为， 第4个式子为， ∴第5个式子为， ， ∴第n个式子为， 故答案为：，； （2）解： ； （3）解： ． 2．观察下列等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式： 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：　 　________． (2)用含有n的代数式表示第n个等式：　 　_________．（n为正整数） (3)求的值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索： （1）根据题意写出第5个式子即可； （2）根据规律可得； （3）根据（2）的规律把原式每一项裂项变形，进而将提出后，括号里进行加减计算，即可求出结果． 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， ∴第4个等式：， 第5个等式：， 故答案为：；； （2）解：由（1）可得， 故答案为：；； （3）解： +…+ 。 3．观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题 ；；； (1)按以上规律，第个等式为：______；第个等式为：______（用含的式子表示，为正整数）； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算：的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】（）根据已给三个等式反映出的规律写出第个等式，第个等式即可； （）利用（）的规律分别将每个分数写出差的形式，再计算即可； （）找出三个连续奇数乘积的倒数与三个奇数的倒数间的关系，再利用这种关系对每个分数进行变形，并计算即可； 本题考查了数字变化类规律探究，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，找出三个连续奇数乘积的倒数与三个奇数的倒数间的关系． 【详解】（1）解：由规律可得，第个等式为， 第个等式为， 故答案为：，； （2）解：原式 ， ， ； （3）解：∵， ∴原式 ， ， ， ， ． 类型六、数列求和 【解惑】（1）填空： ，，，…… （2）探索（1）中式子的规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立； （3）计算 【答案】（1）见解析；（2）详见解析；（3） 【分析】此题主要考查了探寻数列规律问题．（1）根据乘方的运算法则计算即可；（2）根据式子规律可得，然后利用提公因式可以证明这个等式成立；（3）设题中的表达式为，再根据同底数幂的乘法得出的表达式，相减即可． 【详解】（1）． （2）第个等式为： 左边 右边 左边右边 ． （3）设 则 ②-①得： 故：． 【融会贯通】 1．观察下列等式，，，，，…… (1)根据式子的规律，写出第n个等式，并说明第n个等式的成立； (2)根据上述规律计算：①； ②． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；②3 【分析】本题考查了与数字运算有关的规律题，仔细观察发现规律是解题的关键． （1）利用已知等式找出规律可得，将变形为即可证明； （2）①结合（1）中结论，利用裂项相消法求解；②结合（1）中结论，利用裂项相消法求解． 【详解】（1）解：根据已知等式可得第n个等式为：， 理由如下： ； （2）解：① ； ② ． 2．在数学兴趣活动中，小容为了求的值，写出下列解题过程． 解：设① 两边同乘以2得： ② 由②-①得： (1)应用结论：根据题目的结论，直接写出：______； (2)模仿计算：请模仿题目中的算法计算：； (3)拓展迁移：“数形结合”是数学中常用的思想，“以形助数”能够利用几何图形解决相关的不易求解的代数问题．小容在计算（2）的过程中发现，借助几何图形可以快速得出结果． 如图，小容将一个面积为1的正方形按一定规律分割成若干部分． ①请你根据图示说明小容是如何分割正方形的？ ②请你说明小容是如何利用分割的图形来计算？ 【答案】(1) (2) (3)①见解析；②见解析 【分析】本题考查数字类规律探索题和图形类规律探索题，审清题意观察出式子前后的变化和规律是解题的关键． （1）将代入中即可得解； （2）模仿题目中的算法计算即可； （3）根据图示可知每次剩余部分再取一半，由此可解； 分割出的部分面积和等于1减去剩余部分的和，据此可解． 【详解】（1）解：由题干得：， 将代入得：， 故答案为：； （2）解：设 两边同乘得： 由得： ； （3）解：答：小容将面积为的正方形平均分成两部分，部分Ⅰ的面积为 ；部分Ⅱ是部分Ⅰ面积的一半， ；部分Ⅲ是部分Ⅱ面积的一半， ，，以此类推，第次分出部分， ，剩余阴影部分的面积也是 ； 可以看做各个部分的面积和，即为 ． 3．观察下面的式子，解答下列问题 ，； ，； ，； ，； …… (1)________； (2)_____； (3)利用上面的规律计算： (4)计算：___________． 【答案】(1)225 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，难度适中，注意找等式的规律时，要注意观察等式的左边和右边的规律，还要注意观察等式的左右两边之间的关系． （1）根据题意材料即可得出，进行计算即可； （2）根据题意材料即可得出，进行计算即可； （3）首先求出和的值，然后作差求解即可； （4）同（3）的方法求出的值，然后将变形为代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，； ，； ，； ，； …… ∴； （2）根据题意得， ； （3）根据题意得， ∴ ． （4）根据题意得， ∴ ， ∴ ． 类型七、数轴动点求t 【解惑】如图，若点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，且满足．    (1)求线段的长． (2)点在数轴上对应的数是，且是方程的解，在数轴上是否存在点，使得？若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由． (3)在（1）、（2）的条件下，点开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，秒钟后，若点和点之间的距离表示为，点和点之间的距离表示为，那么的值是否随着时间的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 【答案】(1) (2)存在，理由 (3)不随着时间的变化而变化，值为2 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及了数轴上两点间的距离公式．根据动点的起始位置、运动方向和运动速度确定动点在数轴上对应的数是解题关键． （1）根据可求出的值，再由数轴上两点间的距离即可求解； （2）根据题意可求出点在数轴上对应的数为2．分类讨论点在点的左侧，点在点之间两种情况即可求解； （3）分别表示出秒钟后在数轴上对应的数，根据数轴上两点间的距离公式表示出，即可进行判断． 【详解】（1）解：， 的长为：． （2）解：存在，理由如下： 是方程的解， ． ． 点在数轴上对应的数为2．    设点对应的数为， ，由图可知，点不可能在点的右侧． 若点在点的左侧，则 ． 若点在点之间，则 ． 在数轴上存在点，点对应的数是或 （3）解：的值不随着时间的变化而变化，理由如下： 秒钟后，点位置为：点的位置为：点的位置为：． ． ． 的值不随着时间的变化而变化，值为2． 【融会贯通】 1．如图，在数轴上点表示数a，点表示数b，点表示数c，b是最大的负整数，且a、c满足．    (1)________，________，________； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟后，点表示的数是________，点表示的数是________，点表示的数是________；（用含t的代数式表示） (3)在（2）基础上，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，若的值不随着时间的变化而改变，求的值． 【答案】(1)，，5 (2)，， (3)3 【分析】（1）根据为最大的负整数可得出的值，再根据绝对值以及偶次方的非负性即可得出的值; （2）根据运动的方向和速度结合的值，即可找出秒后点分别表示的数； （3）利用两点间的距离先表示出，，再代入中，整理式子，让即可求出最终结果． 【详解】（1）解：是最大的负整数 故答案为：． （2）解：，点以每秒1个单位长度的速度向左运动 ，点以每秒2个单位长度的速度向右运动 ，点分别以每秒3个单位长度的速度向右运动 （3）解： ，即 的值不随着时间的变化而改变时，． 【点睛】本题主要考查了数轴、两点间的距离、绝对值以及偶次方的非负性，根据点运动的方向和速度找出点运动后代表的数是解题的关键． 2．阅读：如图，已知数轴上有、、三个点，它们表示的数分别是，，．到的距离可以用表示，计算方法：，或．根据阅读完成下列问题：    (1)填空： ， ． (2)若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，试探索：到的距离与到的距离的差（即）的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由． (3)现有动点、都从点出发，点以每秒个单位长度的速度向右移动，当点移动秒时，点才从点出发，并以每秒个单位长度的速度向右移动．设点移动的时间为秒（），直接写出、两点间的距离（用含的代数式表示）． 【答案】(1)，； (2)不变，理由见解析； (3)或或． 【分析】（）根据数轴上两点间距离公式计算即可； （）根据题意求出点，，向右移动后表示的数，然后根据数轴上两点间距离公式出表示，的值，最后再进行计算即可； （）分三种情况讨论，点在点处，点在点的右边，点在点的右边； 本题考查了列代数式，数轴，熟练掌握用数轴上两点间距离表示线段长是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 【详解】（1），， 故答案为：，； （2）不变，理由： 因为：经过秒后，，，三点所对应的数分别是，，， 所以：，， ∵， ∴，， ∴，， 所以：， 所以的值不会随着时间的变化而改变； （3）经过秒后，，两点所对应的数分别是，， 当点追上点时，， 解得：， 当时，点在还点处， 所以：， 当时，点在点的右边， 所以：， 当时，点在点的右边， 所以：， 综上所述，、两点间的距离为或或． 3．已知数轴上有、、三个点，分别表示有理数、、，动点从出发，以每秒个单位长度的速度向终点移动，设移动时间为秒．若用，，分别表示点与点、点、点的距离，试回答以下问题．    (1)当点运动秒时，______，______，______； (2)当点运动了秒时，请用含的代数式表示到点、点、点的距离：______，______，______； (3)经过几秒后，点到点、点的距离相等？此时点表示的数是多少？ (4)当点运动到点时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样速度返回，运动到终点．在点开始运动后，、两点之间的距离能否为个单位长度？如果能，请直接写出点表示的数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)，，； (3)； (4)，，，． 【分析】（）根据题意求得时，点的位置，进而求得两点距离； （）先表示出点的位置表示的数，进而求得两点距离； （）根据题意，列一元一次方程，解方程求解即可； （）分点到达点之前，和点到达点之后，两种情形，根据两点距离为，建立一元一次方程解方程求解即可； 此题考查了数轴上动点问题，数轴上两点距离问题，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． 【详解】（1）∵、、三个点，分别表示有理数、、，动点从出发，以每秒个单位长度的速度向终点移动，设移动时间为秒， ∴时，点表示的数为， ∴当点运动秒时，，，， 故答案为：，，； （2）依题意，当点运动了秒时， 则，点表示的数为， ∴，， 故答案为：，，； （3）∵， ∴， 即或， 解得：， ∴点表示的数为； （4）根据题意，设经过秒后、两点之间的距离为个单位长度，点运动到点需要的时间为：（秒） 当点未到达点，    此时，，则点表示的数为，点表示的数为， 则， 即或， 解得：或， ∴点表示的数为或； 当点从点返回后，    此时，， 则点表示的数为，点表示的数为， 则， 即或， 解得或， ∴点表示的数为或， 综上所述，点表示的数为，，，． 类型八、数轴新定义 【解惑】对于数轴上的两点P，Q给由如下定义：P，Q两点到原点的距离之差的绝对值称为P，Q两点的“绝对距离”，记为．例如，P，Q两点表示的数如图1所示，则．    (1)A，B两点表示的数如图2所示． ①求A，B两点的“绝对距离”； ②若点C为数轴上一点（不与点O重合），且，求点C表示的数； (2)点M，N为数轴上的两点．（点M在点N左侧）且，，请直接写出点M表示的数为 ___________． 【答案】(1)①2；②或2 (2)或 【分析】（1）①根据绝对距离的定义即可解题；②由题意可求出，再根据绝对距离的定义即可解题； （2）由题意可知，即得出或．再分类讨论：①当M，N都在原点的左侧时，②当M，N都在原点的右侧时和③当M点在原点的左侧，N点在原点的右侧时，结合，即可求解； 【详解】（1）①， 即A，B两点的友好距离为2． 故答案为：2； ②∵， ∴， 又∵点A所表示的数是1，即， ∴，即， ∴或， 又∵点C不与点O重合， ∴， ∴点C表示的数为或2； （2）由题可知， ∴或． ∵点M在点N左侧，故可分类讨论： ①当M，N都在原点的左侧时， ∴． ∵， ∴， ∴此情况不存在； ②当M，N都在原点的右侧时， ∵， ∴， ∴此情况不存在； ③当M点在原点的左侧，N点在原点的右侧时， ∵， ∴． ∵或， ∴或， ∴点M表示的数为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查绝对值的实际应用，数轴上两点之间的距离．读懂题意，理解绝对距离的概念是解题关键． 【融会贯通】 1．阅读下列材料： 我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“平衡点”． 解答下列问题： 经验反馈： (1)若点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“平衡点”，则点M表示的数为 　　； (2)若点A表示的数为﹣3，点A与点B的“平衡点M”表示的数为1，则点B表示的数为 　　； 操作探究： 如图，已知在纸面上有一条数轴． 操作一： 折叠数轴，使表示1的点与表示﹣1的点重合，则表示﹣5的点与表示 　　的点重合． 操作二： 折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题： ①表示﹣2的点与表示 　　的点重合； ②若数轴上A，B两点的距离为7（A在B的左侧），且折叠后A，B两点重合，则点A表示的数为 　　 【答案】(1)-1 (2)5；5；①6；②-1.5 【分析】（1）根据平衡点的定义进行解答即可； （2）根据平衡点的定义进行解答即可；操作一、二：根据两个点对折重合，可求出对折点所表示的数，再根据数轴上两点之间的距离的计算方法，求出该点所对应的数． 【详解】（1）点M表示的数＝＝﹣1； 故答案为：﹣1； （2）点B表示的数＝1×2﹣（﹣3）＝5； 故答案为：5； 操作一：表示1的点与表示﹣1的点重合，即对折点所表示的数为＝0， 设这个数为a，则有0﹣（﹣5）＝a﹣0，解得，a＝5， 故答案为：5； 操作二：表示1的点与表示3的点重合，即对折点所表示的数为＝2， ①设b与﹣2表示的点重合，则有＝2，解得，b＝6， 故答案为：6； ②设A点、B点所表示的数为x、y， 由A点、B点的距离为7，可得：，即有， ∵A点、B点两点对折后重合，已求得对折点的数为2， ∴有， 即， 解得，x＝﹣1.5，即y＝5.5， 故答案为：﹣1.5． 【点睛】本题考查数轴表示数的意义，求出对折点所表示的数以及掌握数轴上两点之间距离的计算方法是解决问题的关键． 2．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与另外两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“联盟点”． 例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”． (1)若点A表示数，点B表示数3，下列各数，，0，1所对应的点分别是，其中是点A，B的“联盟点”的是___________； (2)点A表示数，点B表示数5，P为数轴上的一个动点： ①若点P在点A的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是另外两个点的“联盟点”，求此时点P表示的数． 【答案】(1)， (2)①；②或或 【分析】（1）根据“联盟点”的定义列出绝对值方程即可求解； （2）根据数轴上两点的距离公式以及新定义，分类讨论，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设点表示的数为，且点是点的“联盟点”， ∴根据，0，1三个数在数A、B之间，可得或， ∴或， 当时，解得或（舍）， 当时，解得或（舍）， ∴是点的“联盟点”， 故答案为：，； （2）①设点表示的数是，点P在点A的左侧， ∴，，， ∵点是点的“联盟点”， ∴， ∴， 解得， 即点表示的数是； ②设点表示的数是，点在点的右侧， 当是点的“联盟点”时，， ∴， 解得； 当A是点，的“联盟点”时，， ∴， 解得； 当是点，的“联盟点”时，或， ∴或， 解得或； 综上所述：点表示的数为或或． 【点睛】本题考查了几何新定义，数轴上两点的距离，绝对值的意义，数形结合是解题的关键． 3．阅读理解，完成下列各题 定义：已知A、B、C 为数轴上任意三点，若点C 到A 的距离是它到点B 的距离的2 倍，则称点C 是[A，B]的2 倍点．例如：如图1，点C 是[A，B]的2 倍点，点D 不是[A，B]的2 倍点，但点D 是[B，A]的2 倍点，根据这个定义解决下面问题： （1）在图1 中，点A 是　 　的2倍点，点B是　 　的2 倍点；（选用A、B、C、D 表示，不能添加其他字母）； （2）如图2，M、N 为数轴上两点，点M 表示的数是﹣2，点N 表示的数是4，若点E是[M，N]的2倍点，则点E 表示的数是　 　； （3）若P、Q 为数轴上两点，点P在点Q的左侧，且PQ=m，一动点H从点Q 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t 秒，求当t 为何值时，点H 恰好是P和Q两点的2倍点？（用含m 的代数式表示） 【答案】（1）[C，D]，[D，C]；（2）2；（3）当t=m或t=m时点H 恰好是P和Q两点的2倍点． 【分析】（1）根据图形可直接解得； （2）由NM=6以及点E是[M，N]的2倍点，得到EM=4或EM=12，即可得到结论； （3）点H 恰好是P和Q 两点的2倍点，可分为俩种情况而定，解得t有三个值． 【详解】（1）∵CA=2，DA=1，CA=2DA， ∴点A 是[C，D]的2倍点． ∵BD=2，BC=1，BD=2BC， ∴点B是[D，C]的2倍点． 故答案为[C，D]，[D，C]． （2）∵NM=4﹣（﹣2）=6．又∵点E是[M，N]的2倍点， ∴EM=MN=4， ∴点E 表示的数是2，10． 故答案为2． （3 ）∵PQ=4，PH=2t，∴HQ=m﹣2t． 又∵点H 恰好是P和Q两点的2倍点， ∴点H是[P，Q]的2倍点或点H是[Q，P]的2倍点， ∴PH=2HQ 或HQ=2PH， 即：2t=2（m﹣2t）或 2×2t=m﹣2t或2t=2m 解得：t=m或t=m或t=m 所以，当t=m或t=m或 t=m时点H 恰好是P和Q两点的2倍点． 【点睛】本题主要考查了对2倍点的理解和认识，解答本题的关键是分清2倍点的两种不同的情况． 【一览众山小】 1．如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字重合的点是（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上的数字在圆上的循环规律，由图可知，每个数为一个循环组，依次循环，由此即可得出答案，发现循环规律，并正确计算循环后处于第几组的第几个数，是解此题的关键． 【详解】解：由图可知，每个数为一个循环组，依次循环， ， 数轴上表示的点与圆周上第个循环组的第二个点重合，该点表示的数字为， 故数轴上表示的点与圆周上表示数字重合的点是， 故选：D． 2．已知有理数a，b，c满足，则的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】根据推出，则，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了绝对值的化简，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 3．的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的意义，结合图形解答即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：式子表示对应的点分别与到对应的点的距离和，可知当在和的中点时，即，距离和最小，最小值为， 故答案为：． 4．已知a、b为整数，，且，则a的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，以及表示出数轴上两个有理数数的中点，根据，可知a到的距离和b到2的距离相等．即b和a分别是位于和2这两个点中点的两侧相邻的整数．先求出和2的中点，再利用即可得出a的值． 【详解】解：∵ ∴ 和2的中点 又∵，a、b为整数， ∴b为，a的最小值为． 故答案为：． 5．已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义和代数式求值，根据绝对值的意义进行讨论得出，得值，代入即可求解，解题的关键是正确理解绝对值的意义． 【详解】解：由， ∵，， ∴，即， 要使成立， 则，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 6．阅读下面的材料： 点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为． 当两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图所示，； 当两点都不在原点时， ．如图所示，点都在原点的右边， ； ．如图所示，点都在原点的左边， ； ．如图所示，点在原点的两边， ． 综上，数轴上两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点和之间的距离是 ，如果，那么为 ； (3)当取最小值时， ， ． 【答案】(1)，，； (2)，或； (3)，． 【分析】（）根据两点间距离公式计算即可； （）根据两点间距离公式可得点和之间的距离是，进而由可得，解方程即可求解； （）由绝对值的性质可得当，时，取最小值，据此即可求解； 本题考查了数轴上两点间的距离公式，绝对值的性质，掌握数轴上两点间的距离计算方法及绝对值的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，数轴上表示和的两点之间的距离是， 数轴上表示和的两点之间的距离是， 数轴上表示和的两点之间的距离是， 故答案为：，，； （2）解：数轴上表示和的两点和之间的距离是， 当时，， ∴或， ∴或， 故答案为：，或； （3）解：∵，， ∴当，时，取最小值， ∴，， 故答案为：，． 7．设有理数a，b在数轴上所对应的点为A，B，记为，，将称为点A，B的对称指标，记为，即．对于定点A，若动点B在线段MN上，将的最大值称为线段关于点A的对称指标，记为． (1)点，，，在数轴上， ①__________，__________． ②若，则__________． (2)点，，在数轴上，，， ①当时，__________． ②当线段在数轴上运动时，直接写出的最小值及此时m的值． 【答案】(1)①0,2；②或 (2)①4；②的最小值为0，此时或． ． 【分析】本题主要考查了列式计算、取绝对值等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）①根据对称指标的定义即可解答；②根据对称指标的定义列绝对值方程求解即可； （2）①先根据已知条件确定n的值，再根据线段关于点A的对称指标的定求解即可；②先用m表示出n，然后根据线段关于点A的对称指标的定求解即可． 【详解】（1）解：①， 故答案为：0，2； ②∵， ∴，即， ∴，解得：或， ∴或， 故答案为：或； （2）解：①∵，，， ∴，解得：， 设B为上一点，记为， ∴， ∴， ∴当时，即时，有最大值4， ∴， ②∵，， ∴，解得：， 设B为上一点，记为 ∴， ∴， 当，即或时，， 则当时，，即的最大值为，即，即的最小值为0，此时； 当时，，即的最大值为，即，即的最小值为0，此时； 当，即时，， 当，，即的最大值为，即，即的最小值为0，此时（不符合题意，舍去）； 当，，即的最大值为，即，即的最小值为0，此时， 综上， 的最小值为0，此时或． 8．阅读下列材料并解决有关问题： 知道：现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时，可令和，分别求得，（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和，可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：（）（）（）．从而化简代数式可分以下种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式．综上所述，原式 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简代数式； (3)求方程：的整数解； 【答案】(1)和 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了绝对值的化简，解题关键是“分类讨论思想”． （1）由即可求解． （2）分三种情况讨论当时，当时，当时化简即可． （3）根据（2）中化简结果即可求解． 【详解】（1）解∶ 和 和． （2）当时，； 当时，； 当时，． （3）， ， 整数解为∶． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$