1.3 集合的基本运算（8大题型）-2024-2025学年高一数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019必修第一册）

1.3 集合的基本运算 知识点 1 并集 1、并集的概念 自然语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B” 符号语言 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 图形语言 （1）与有部分公共元素 （2）与没有公共元素 （3），则 （4），则 （5） 2、并集的运算性质 性质 定义 满足交换律 任何集合与其本身的并集等于这个集合本身 任何集合与空集的并集等于这个集合本身 多个集合的并集满足结合律 , 任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集 任何集合与它子集的并集都是它本身，反之亦然 知识点 2 交集 1、交集的概念 自然语言 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B” 符号语言 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 图形语言 （1）与有部分公共元素 （2）与没有公共元素， （3），则 （4），则 （5） 2、交集的运算性质 性质 定义 满足交换律 空集与任何集合的交集都是空集 集合与集合本身的交集仍为集合本身 多个集合的交集满足结合律 多个集合的综合运算满足分配律 若，则 交集关系与子集关系的转化 两个集合的交集是其中任一集合的子集 知识点 3 全集与补集 1、全集的概念 自然语言 一般地，如果一个集合包含所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U． 符号语言 若，则为全集． 图形语言 【注意】并不是所有的全集都是用字母U表示，也不是都是R，要看题目的。 2、补集的概念 自然语言 若集合A是全集U的一个子集，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作． 符号语言 图形语言 3、补集的运算性质 性质 定义 任何集合与其补集的并集为全集 任何集合与其补集的交集为空集 任何集合补集的补集为集合本身 全集的补集为空集，空集的补集为全集 知识点 4 德摩根定律与容斥原理 1、德摩根定律：设集合U为全集，A、B为U的子集，则有 （1） （2） 2、容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 1、解决集合交、并、补运算的技巧 （1）如果所给集合是有限集，那么先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助Venn图来求解，这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错． （2）如果所给集合是无限集，那么常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补运算．解答过程中要注意边界问题． 2、利用交、并、补求参数范围的解题思路 （1）根据并集求参数范围： 若A有参数，则需要讨论A是否为空集；若B有参数，则； （2）根据交集求参数范围： 若A有参数，则需要讨论A是否为空集； 若B有参数，则 3、运用补集思想解题的步骤 当从正面考虑情况较多、问题较复杂时，往往考虑运用补集思想，其解题步骤为： 第一步：否定已知条件，考虑反面问题； 第二步：求解反面问题对应的参数范围； 第三步：取反面问题对应的参数范围的补集． 题型一 集合的并集运算 【例1】（23-24高一下·云南保山·期中）已知集合，那么集合等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二下·广西玉林·期末）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一下·四川德阳·月考）设集合.则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高一上·浙江湖州·月考）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型二 集合的交集运算 【例2】（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高一下·河南·月考）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一下·广东深圳·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高一上·陕西西安·月考）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（23-24高一下·贵州遵义·月考）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型三 集合的补集运算 【例3】（23-24高一上·江苏徐州·期中）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一上·山西吕梁·月考）已知全集，集合A满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高三上·北京大兴·期末）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（22-23高一上·陕西咸阳·月考）已知全集，，则（    ） A． B． C．或 D．或 题型四 集合交、并、补混合运算 【例4】（23-24高一上·河北·月考）全集且，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高一上·天津滨海新·月考）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一上·辽宁·月考）（多选）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高一上·河南·月考）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型五 集合运算的参数问题 【例5】（23-24高一上·新疆·月考）设集合，，若，则（    ） A． B．3 C． D．5 【变式5-1】（23-24高一上·辽宁·月考）设全集，集合，则（    ） A．3 B． C．4 D．2 【变式5-2】（23-24高一上·四川南充·月考）已知集合或，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高一上·安徽·月考）已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】（23-24高一上·河南·月考）已知集合.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 题型六 Venn图在集合运算中的应用 【例6】（23-24高一上·辽宁·月考）集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高一上·吉林·月考）已知全集，集合和的关系如图所示，则阴影部分表示的集合的元素共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无穷多个 【变式6-2】（23-24高一上·广东汕头·月考）设全集，或，，如图，阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C．或 D． 【变式6-3】（23-24高一上·江西上饶·月考）已知全集为，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】（23-24高一上·安徽淮北·月考）如图，是全集，是的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 题型七 集容斥原理在实际中的应用 【例7】（23-24高一上·河南郑州·月考）某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了音乐讲座，记 是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了音乐讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若 ，，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高一上·北京·月考）学校举办运动会，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳比赛的人数是 ，只参加田径一项比赛的人数是 . 【变式7-2】（22-23高一上·陕西咸阳·月考）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96名学生喜欢足球或游泳，60名学生喜欢足球，82名学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数为 ． 【变式7-3】（23-24高一上·河北·月考）某水果店统计了连续三天售出水果的种类情况：第一天售出15种水果，第二天售出了12种水果，第三天售出14种水果，前两天售出相同种类的水果有7种，后两天售出相同种类的水果有6种．那么该水果这三天售出的水果至少有 种． 题型八 集合运算的新定义问题 【例8】（23-24高一上·湖北·月考）设,为非空集合，定义，且，已知，，则（    ） A． B．或 C．或 D． 【变式8-1】（23-24高一上·广东惠州·月考）对于集合，，定义，，设，，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高一上·江苏苏州·月考）（多选）定义集合运算：，设，，则（    ） A． B． C．中有个元素 D．的子集有个 【变式8-3】（22-23高一上·全国·月考）（多选）对于集合，，我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，，则有，，下列解答正确的是（    ） A．已知，，则 B．已知或，，则或 C．如果，那么 D．已知全集、集合、集合关系如上图中所示，则. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 集合的基本运算 知识点 1 并集 1、并集的概念 自然语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B” 符号语言 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 图形语言 （1）与有部分公共元素 （2）与没有公共元素 （3），则 （4），则 （5） 2、并集的运算性质 性质 定义 满足交换律 任何集合与其本身的并集等于这个集合本身 任何集合与空集的并集等于这个集合本身 多个集合的并集满足结合律 , 任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集 任何集合与它子集的并集都是它本身，反之亦然 知识点 2 交集 1、交集的概念 自然语言 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B” 符号语言 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 图形语言 （1）与有部分公共元素 （2）与没有公共元素， （3），则 （4），则 （5） 2、交集的运算性质 性质 定义 满足交换律 空集与任何集合的交集都是空集 集合与集合本身的交集仍为集合本身 多个集合的交集满足结合律 多个集合的综合运算满足分配律 若，则 交集关系与子集关系的转化 两个集合的交集是其中任一集合的子集 知识点 3 全集与补集 1、全集的概念 自然语言 一般地，如果一个集合包含所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U． 符号语言 若，则为全集． 图形语言 【注意】并不是所有的全集都是用字母U表示，也不是都是R，要看题目的。 2、补集的概念 自然语言 若集合A是全集U的一个子集，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作． 符号语言 图形语言 3、补集的运算性质 性质 定义 任何集合与其补集的并集为全集 任何集合与其补集的交集为空集 任何集合补集的补集为集合本身 全集的补集为空集，空集的补集为全集 知识点 4 德摩根定律与容斥原理 1、德摩根定律：设集合U为全集，A、B为U的子集，则有 （1） （2） 2、容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 1、解决集合交、并、补运算的技巧 （1）如果所给集合是有限集，那么先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助Venn图来求解，这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错． （2）如果所给集合是无限集，那么常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补运算．解答过程中要注意边界问题． 2、利用交、并、补求参数范围的解题思路 （1）根据并集求参数范围： 若A有参数，则需要讨论A是否为空集；若B有参数，则； （2）根据交集求参数范围： 若A有参数，则需要讨论A是否为空集； 若B有参数，则 3、运用补集思想解题的步骤 当从正面考虑情况较多、问题较复杂时，往往考虑运用补集思想，其解题步骤为： 第一步：否定已知条件，考虑反面问题； 第二步：求解反面问题对应的参数范围； 第三步：取反面问题对应的参数范围的补集． 题型一 集合的并集运算 【例1】（23-24高一下·云南保山·期中）已知集合，那么集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以故选：B 【变式1-1】（23-24高二下·广西玉林·期末）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，， 而，所以.故选：C. 【变式1-2】（23-24高一下·四川德阳·月考）设集合.则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，.故选：D 【变式1-3】（23-24高一上·浙江湖州·月考）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由集合，， 根据集合并集的概念与运算，可得.故选：B. 题型二 集合的交集运算 【例2】（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，所以.故选：B 【变式2-1】（23-24高一下·河南·月考）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合， 所以， 所以．故选：B． 【变式2-2】（23-24高一下·广东深圳·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以.故选：A. 【变式2-3】（23-24高一上·陕西西安·月考）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，只有当时，集合有交集，此时. 故选：D 【变式2-4】（23-24高一下·贵州遵义·月考）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点在直线上，点不在直线上， 又，， 所以.故选：B 题型三 集合的补集运算 【例3】（23-24高一上·江苏徐州·期中）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】集合，，则.故选：D 【变式3-1】（23-24高一上·山西吕梁·月考）已知全集，集合A满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，，由，得.故选：A 【变式3-2】（23-24高三上·北京大兴·期末）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，，则.故选：C. 【变式3-3】（22-23高一上·陕西咸阳·月考）已知全集，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】全集，， 则或.故选：C 题型四 集合交、并、补混合运算 【例4】（23-24高一上·河北·月考）全集且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知：， 又因为，所以.故选：B. 【变式4-1】（23-24高一上·天津滨海新·月考）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为全集， 集合，所以， 又因为集合，所以，故选：D. 【变式4-2】（23-24高一上·辽宁·月考）（多选）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】全集，集合，， 则或， 对于A，，A不是； 对于B，，，B是； 对于C，，C不是； 对于D，，D是.故选：BD 【变式4-3】（23-24高一上·河南·月考）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，， 所以是的真子集，故， 所以，故A错误， B正确； 则，故D错误； 因为，所以，故C错误.故选：B. 题型五 集合运算的参数问题 【例5】（23-24高一上·新疆·月考）设集合，，若，则（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【解析】因为，所以，则，即．故选：C 【变式5-1】（23-24高一上·辽宁·月考）设全集，集合，则（    ） A．3 B． C．4 D．2 【答案】D 【解析】已知，由补集概念知，， 由集合中元素的互异性知，， 又全集，因为，且 所以， 则解得．故选：D. 【变式5-2】（23-24高一上·四川南充·月考）已知集合或，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合或，，所以.   故选：B. 【变式5-3】（23-24高一上·安徽·月考）已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，， 因为，所以，所以，故选：A. 【变式5-4】（23-24高一上·河南·月考）已知集合.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解析】由，得到 分两种情况考虑： ①当，即时，，符合题意； ②当，即时，需，解得：， 综上得：，则实数的取值范围为.故选：A 题型六 Venn图在集合运算中的应用 【例6】（23-24高一上·辽宁·月考）集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设，阴影部分元素属于集合或，但不属于， 又，， 所以阴影部分的集合为.故选：D 【变式6-1】（23-24高一上·吉林·月考）已知全集，集合和的关系如图所示，则阴影部分表示的集合的元素共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无穷多个 【答案】A 【解析】由题设，， 由韦恩图知：阴影部分为，共有2个元素.故选：A 【变式6-2】（23-24高一上·广东汕头·月考）设全集，或，，如图，阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解析】由或， 可得或，所以，故选：A 【变式6-3】（23-24高一上·江西上饶·月考）已知全集为，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，结合韦恩图，知；； 不是的子集；．故选：B． 【变式6-4】（23-24高一上·安徽淮北·月考）如图，是全集，是的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为题图中的阴影部分是的子集，且不属于集合，属于集合的补集，即是的子集， 则阴影部分所表示的集合是，故选：C. 题型七 集容斥原理在实际中的应用 【例7】（23-24高一上·河南郑州·月考）某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了音乐讲座，记 是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了音乐讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若 ，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将已知条件用Venn图表示出来如下图， 对A：，故A错误； 对B：，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，故D错误；故选：B. 【变式7-1】（23-24高一上·北京·月考）学校举办运动会，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳比赛的人数是 ，只参加田径一项比赛的人数是 . 【答案】 9 2 【解析】如图所示： 设U={参加比赛的学生}，A={参加游泳比赛的学生}， B={参加田径比赛的学生}，C={参加球类比赛的学生}， 依题意，，， 于是，解得， 所以只参加游泳比赛的人数为， 只参加田径比赛的人数. 故答案为：9，2 【变式7-2】（22-23高一上·陕西咸阳·月考）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96名学生喜欢足球或游泳，60名学生喜欢足球，82名学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数为 ． 【答案】46 【解析】设喜欢足球的学生、喜欢游泳的学生形成的集合分别为，， 由题意可知，，， 则， 即该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数为46， 故答案为：46 【变式7-3】（23-24高一上·河北·月考）某水果店统计了连续三天售出水果的种类情况：第一天售出15种水果，第二天售出了12种水果，第三天售出14种水果，前两天售出相同种类的水果有7种，后两天售出相同种类的水果有6种．那么该水果这三天售出的水果至少有 种． 【答案】20 【解析】设这三天售出相同种类的水果有种， 第一天售出、第二天未售出、且第三天售出的水果相同种类有种， 则这三天售出水果的种类关系如图所示． 由图可知，该水果店这三天售出水果有种， 由，得，所以． 故该水果店这三天售出的水果至少有20种． 故答案为：20 题型八 集合运算的新定义问题 【例8】（23-24高一上·湖北·月考）设,为非空集合，定义，且，已知，，则（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【解析】由于，， 所以， 所以或，故选：C． 【变式8-1】（23-24高一上·广东惠州·月考）对于集合，，定义，，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】集合，， 则，， 由定义可得：且， 且， 所以， 选项ABD错误，选项C正确．故选：C 【变式8-2】（23-24高一上·江苏苏州·月考）（多选）定义集合运算：，设，，则（    ） A． B． C．中有个元素 D．的子集有个 【答案】AD 【解析】由题设，故，且共有3个元素，故子集有8个，A、D对，C错； ，则，而， 显然，B错；故选：AD 【变式8-3】（22-23高一上·全国·月考）（多选）对于集合，，我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，，则有，，下列解答正确的是（　　） A．已知，，则 B．已知或，，则或 C．如果，那么 D．已知全集、集合、集合关系如上图中所示，则. 【答案】BCD 【解析】对于A：因为，，所以，故A错误； 对于B：因为或，， 所以或，故B正确； 对于C：若，则中的元素都是中的元素，所以，故C正确； 对于D：即为由的补集与集合的交集，即，故D正确；故选：BCD 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$