1.4.1 充分条件与必要条件-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦“充分条件与必要条件”核心知识点，前承命题的真假判断与结构形式，后续逻辑关系的实际应用，通过物理电路图情境引入、自主评测（教材挖掘与判断是非）、例题解析（命题真假及充分必要条件判断与应用）、类题通法总结及分层课后练习构建完整学习支架。 资料特色在于情境化与逻辑推理融合，以电路图问题引导学生用数学眼光抽象现实条件关系，提升数学抽象素养，通过命题推理、集合关系分析培养逻辑推理能力，课中助力教师突破重难点，课后分层练习（含创新探索题）帮助学生巩固知识、查漏补缺。

1．4　充分条件与必要条件 1．4.1　充分条件与必要条件 ► 对应学生用书P14 学习目标　1.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件、必要条件的意义，提升数学抽象素养．(重点)　2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系，提升逻辑推理素养．(难点)　3.能通过充分性、必要性解决简单的问题，提升逻辑推理素养．(重点、难点) 物理中的逻辑——如图，这是一幅电路图，其中A，C为开关，B为一盏灯． 问题1　A开关闭合时，B灯一定亮吗？ 提示：B一定亮． 问题2　B灯亮时，A开关一定闭合吗？ 提示：A不一定闭合． 问题3　A开关闭合是B灯亮的什么条件？ 提示：充分条件． 【自主评测】 1．教材挖掘：(1)请认真阅读教材P17～19，分析思考：充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系． 提示：判定定理给出了数学结论的一个充分条件，性质定理给出了数学结论的一个必要条件． (2)请认真阅读教材P17～19，分析思考：若p是q的充分条件，这样的条件p是唯一的吗？请举例说明． 提示：不唯一．如“对角线相等的平行四边形”“有一个角是直角的平行四边形”“有三个角是直角的四边形”都是“四边形是矩形”的充分条件． 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)若“p⇒q”，则p的充分条件是q.(　　 ) (2)若q是p的必要条件，则q是唯一的．(　　 ) (3)“若q，则p”是真命题，则p是q的必要条件．(　　 ) (4)“若p，则q”为假命题，则p不是q的充分条件，但q可以是p的必要条件．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 　命题 　　　阅读下列语句： ①若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点； ②同位角相等； ③两个面积相等的三角形全等； ④同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行． 问题4　上述语句的表述形式有什么特点？ 提示：两个特点：(1)均是陈述句，(2)都能够判断真假． 问题5　你能判断这些语句的真假吗？ 提示：①④为真，②③为假． 1．定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． 2．分类：判断为真的语句是真命题；判断为假的语句是假命题． 3．结构形式：“若p，则q”“如果p，那么q”等形式的命题中，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论． 例1　(链接教材：人教A版P17思考)判断下列命题的真假： (1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d； (2)若x∈N，则x3>x2成立； (3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根； (4)存在一个三角形没有外接圆． 解：(1)假命题．反例：1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2. (2)假命题．反例：当x＝0时，x3>x2不成立． (3)真命题．∵m>1⇒Δ＝4－4m<0，∴方程x2－2x＋m＝0无实数根． (4)假命题．因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆． 类题通法 (1)判断一个命题是真命题,需要经过严格的推理论证.在判断时要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断. (2)判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可. 【迁移运用】 1.(多选)下列命题是真命题的是(　　 ) A．0∈N* B．若a，b都是无理数，则a＋b是无理数 C．若集合A⊆B，则A∩B＝A D．5≥3 解析：选CD. 对于选项A，0∉N*，故A不符合题意； 对于选项B，设a＝，b＝－，则a，b都为无理数，而a＋b＝0不是无理数，故B不符合题意； 对于选项C，若A⊆B，即A是B的子集，故A∩B＝A，故C符合题意； 选项D符合题意． 　充分条件与必要条件 　　　给出下列命题： ①若整数a是6的倍数，则整数a是2和3的倍数． ②若ab＝0，则a＝0. 问题6　你能判断这两个命题的真假吗？ 提示：①是真命题；②是假命题． 问题7　命题①中的条件和结论有什么关系？命题②中的呢？ 提示：命题①中只要满足条件“整数a是6的倍数”，必有结论“整数a是2和3的倍数”； 命题②中满足条件“ab＝0”，不一定有结论“a＝0”，还可能“b＝0”． 充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件； q是p的必要条件 p不是q的充分条件； q不是p的必要条件 温馨提示 对充分、必要条件的理解 (1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后. (2)“p是q的充分条件”“q是p的必要条件”“q的一个充分条件是p”“p的一个必要条件是q”，这四种表述形式等价. 角度一　充分条件与必要条件的判断 例2　(链接教材：人教A版P18例1)(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的是(　　 ) A．p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0 B．在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB C．p：m>－，q：方程x2－x－m＝0无实根 D．p：x>2，q：x>1 解析：选BD.选项A，因为(x－2)(x－3)＝0，所以x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0，所以p不是q的充分条件． 选项B，在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C⇒AC>AB，所以p是q的充分条件． 选项C，因为m>－，所以Δ＝12＋4m>0，方程x2－x－m＝0有实根，所以p不是q的充分条件． 选项D，设集合A＝{x|x>2}，B＝{x|x>1}，所以A⊆B，所以p是q的充分条件． 类题通法 充分、必要条件的判断方法 (1)定义法： ①分清命题的条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论． ②判断“若p，则q”及“若q，则p”的真假．,③得出结论． (2)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断． 【迁移运用】 2.下列“若p，则q”形式的命题中，q不是p的必要条件的有________(填序号). (1)若两个三角形面积相等，则两个三角形全等； (2)若x为有理数，则为有理数； (3)若x＝y，则x2＝y2. 解析：(1)因为命题“若两个三角形面积相等，则两个三角形全等”是假命题，所以q不是p的必要条件； (2)当x＝0时，x是有理数，但无意义，所以不是有理数，所以q不是p的必要条件； (3)因为x＝y，等号左右两边平方后，等式依然成立，所以p⇒q，所以q是p的必要条件． 答案：(1)(2) 角度二　充分条件与必要条件的应用 例3　已知集合P＝{x|－2<x<1}，Q＝{x|3m－2≤x≤5m＋2，m∈R}，若P的必要条件为Q，求实数m的取值范围． 解：由题意得，P是Q的子集， 则解得－≤m≤0， 所以实数m的取值范围是{m|－≤m≤0}． 变式探究　(变条件)若集合P＝{x|－2<x<4}，集合Q不变，P的充分条件为Q，求实数m的取值范围． 解：由已知P的充分条件为Q，则Q是P的子集， 当3m－2>5m＋2，即m<－2时，Q＝∅，满足题意； 当3m－2≤5m＋2，即m≥－2时，由题意得解得0<m<. 综上，实数m的取值范围是{m|m<－2，或0<m<}． 类题通法 充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． 1．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．无法判断 解析：选A.当a＝1时，|a|＝1成立，但|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立．所以“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件． 2．若A，B均为集合，则“AB”是“A∩B＝A”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.当AB时，A∩B＝A成立．当A∩B＝A时，有A⊆B成立，不能得到AB.故“AB”是“A∩B＝A”的充分不必要条件． 3．下列p是q的必要条件的是(　　) A．p：a＝1，q：|a|＝1 B．p：－1<a<1，q：a<1 C．p：a<b，q：a<b＋1 D．p：a>b，q：a>b＋1 解析：选D.要满足p是q的必要条件，即q⇒p，只有q：a>b＋1⇒p：a>b. 4．已知M＝{x|a－1<x<a＋1}，N＝{x|－3<x<8}，若N是M的必要条件，求实数a的取值范围． 解：因为N是M的必要条件，所以M⊆N.于是从而可得－2≤a≤7.故实数a的取值范围为{a|－2≤a≤7}． [课后分层练(五)]　充分条件与必要条件 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．下列是“四边形是矩形”的一个充分条件的是(　　) A．四边形是平行四边形 B．四边形是菱形 C．四边形是正方形 D．四边形的两条对角线相等 解析：选C.选项中能推出四边形是矩形的只有C. 2．下列说法正确的是(　　 ) A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”不是命题 C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 D．“x＝2时，x2－3x＋2＝0”是真命题 解析：选D.命题“直角相等”写成“若p，则q”的形式为：若两个角都是直角，则这两个角相等，所以选项A错误； 语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是陈述句，而且可以判断真假，故该语句是命题，所以选项B错误： 选项C错误，应为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”；选项D正确． 3．设计如图所示的四个电路图，p：“开关S闭合”，q：“灯泡L亮”，则p是q的充分不必要条件的电路图是(　　 ) 解析：选A.对于A，当开关S闭合时，灯泡L亮；当灯泡L亮时，可能是另一个开关闭合，故p是q的充分不必要条件，A正确； 对于B，当开关S闭合时，灯泡L亮，当灯泡L亮时，开关S闭合，B错误； 对于C，仅开关S闭合时，灯泡L不亮，C错误； 对于D，当开关S闭合时，灯泡L亮，当灯泡L亮时，开关S闭合，D错误． 4．(多选)使ab>0成立的充分条件是(　　) A．a>0，b>0 B．a＋b>0 C．a<0，b<0 D．a>1，b>1 解析：选ACD.因为a>0，b>0⇒ab>0；a<0，b<0⇒ab>0；a>1，b>1⇒ab>0，所以选项A，C，D都是使ab>0成立的充分条件，当a＝2，b＝－1时，a＋b>0，ab<0，故a＋b>0不是ab>0成立的充分条件． 5．(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是(　　 ) A．若两个三角形全等，则这两个三角形相似 B．若x>5，则x>10 C．若ac＝bc，则a＝b D．若0<x<5，则|x－1|<1 解析：选BCD.对于A，两个相似的三角形不一定全等，故A不正确； 对于B，x>10能推出x>5，故B正确； 对于C，由a＝b，能推出ac＝bc，故C正确； 对于D，若|x－1|<1，则0<x<2，能推出0<x<5，故D正确． 6．(多选)使“x∈{x|x≤0，或x>2}成立的一个充分不必要条件是(　　 ) A．x≥0 B．x<0或x>2 C．x∈{－1，3，5} D．x≤0或x>2 解析：选BC.从集合的角度出发，判断哪个选项是{x|x≤0，或x>2}的真子集，只有 B，C满足题意． 7．命题“已知n∈Z，若a＝4n，则a是偶数”中，“a是偶数”是“a＝4n”的________条件；“a＝4n”是“a是偶数”的________条件．(用“充分”“必要”填空) 解析：当a是偶数时，取a＝2，不能得到a＝4n；当a＝4n时，a是偶数． 故“a是偶数”是“a＝4n”的必要条件，“a＝4n”是“a是偶数”的充分条件． 答案：必要　充分　　 8．设a是实数，若x＝1是x>a的一个充分条件，则a的取值范围是__________． 解析：因为x＝1是x>a的一个充分条件，则⊆，所以a<1，则a的取值范围是{a|a<1}． 答案：{a|a<1} 9．(学科融合)《渔樵问对》通过渔樵对话来消解古今兴亡等厚重话题，作者是邵雍，北宋儒家五子之一，下面是节选的一段译文： 樵者问渔者：“你如何钓到鱼？” 答：“我用六种物具钓到鱼．” 问：“六物具备，就能钓到鱼吗？” 答：“六物具备而钓上鱼，是人力所为；六物具备而钓不上鱼，非人力所为．一不具，则鱼不可得．”(注：六物是指鱼竿、鱼线、鱼漂、鱼坠、鱼钩、鱼饵) 由此可知，“六物具备”是“能钓上鱼”的____________条件．(用“充分不必要”“必要不充分”填空) 解析：六物具备不一定能钓上鱼，而钓上鱼肯定要六物具备．所以“六物具备”是“能钓上鱼”的必要不充分条件． 答案：必要不充分 10．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件？哪些命题中p是q的必要条件？ (1)若x>2，则x>1； (2)若x－1＝，则x＝1； (3)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等． 解：(1)若x>2，则x>1成立，反之不成立，即p是q的充分条件． (2)由x－1＝得x＝1或x＝2，故p是q的必要条件． (3)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等不成立，反之也不成立，即p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件． 【综合运用】 11．(学科融合)王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”．《从军行》是他的代表作之一．“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关，黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还．”最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的(　　 ) A．必要条件 B．充分条件 C．既是充分条件又是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 解析：选A.返回家乡⇒攻破楼兰． 12．(多选)下列选项正确的是(　　 ) A．“x>2”是“|x|>2”的充分条件 B．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的必要条件 C．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为 0”的充分条件 D.若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为 0”的必要条件 解析：选AD.对于A，因为x>2⇒|x|>2，所以“x>2”是“|x|>2”的充分条件，选项A正确；对于B，∠A不一定为直角，故为充分条件，选项B错误；对于C，D，因为a2＋b2≠0a，b全不为0，而a，b全不为0⇒a2＋b2≠0，所以选项C错误，选项D正确． 13．设p：4x－3<1；q：x－(2a＋1)<0，若p是q的充分条件，求实数a的取值范围． 解：由4x－3<1得x<1；由x－(2a＋1)<0得x<2a＋1.记A＝{x|x<1}，B＝{x|x<2a＋1}，由题可知A⊆B，所以1≤2a＋1，所以a≥0，即实数a的取值范围是{a|a≥0}． 14．设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|2－a≤x≤1＋2a}，其中a∈R. (1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围； (2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求a的取值范围． 解：(1)由“x∈A”是“x∈B”的充分条件可得A⊆B， 则解得a≥2，故实数a的取值范围是{a|a≥2}． (2)由“x∈A”是“x∈B”的必要条件可得B⊆A， 当B＝∅时，2－a＞1＋2a，即a＜时，满足题意， 当B≠∅时，即a≥时，则解得≤a≤1. 综上a≤1，故实数a的取值范围是{a|a≤1}． 【创新探索】 15．(开放性问题)“一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根”的一个充分条件可以为__________；一个必要条件可以为________． 解析：因为一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根， 所以解得a≥2. 故一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根的一个充分条件可以为a>3； 一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根的一个必要条件可以为a>－1. 答案：a>3(答案不唯一)　a>－1(答案不唯一) 学科网（北京）股份有限公司 $