2.4&2.5估算& 计算器开方（9大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

八年级上册数学《第2章 实数》 2.4&2.5 估算&用计算器开方 知识点一 估算 ★1、估算无理数大小的方法： （1）通过利用乘方与开方互为逆运算，采用“夹逼法”，确定其数值所在范围； （2）根据问题中误差允许的范围，在其数值的范围内取出近似值. ★2、 “精确到”与“误差小于”意义不同： 如精确到1m是四舍五入到个位，答案唯一； 误差小于1m，答案在真值左右1m都符合题意，答案不唯一. 在本章中误差小于1m就是估算到个位，误差小于10m就是估算到十位. 知识点二 用计算器开方 ★1、在求某些数的算术平方根或立方根时，有些数很大或很小，或不易求出算术平方根或立方根，为了提高计算速度，我们可以利用计算器，按照一定的按键顺序直接快速地求出这个数的算术平方根. ★2、利用计算器开方的按键顺序： ★3、算术平方根与立方根中小数点移动规律： （1）利用计算器探究发现，被开方数的小数点向左（右）移动两位，其算术平方根的小数点相应向左（右）移动一位. （2）解决此类规律题，需从两个方向进行比较，即把被开方数进行比较，把它们的结果进行比较，从中发现规律. （3）利用计算器探究发现，被开方数的小数点向左（右）移动三位，其立方根的小数点相应向左（右）移动一位. 题型一 估算无理数的范围 1．（2023秋•儋州校级期末）无理数的大小在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 2．（2024•南京模拟）m的取值范围是（　　） A．1＜m＜2 B．2＜m＜3 C．3＜m＜4 D．4＜m＜5 3．（2023秋•淅川县期中）估算的值是在（　　） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 4．（2023•南岸区校级开学）估计3的值应在（　　） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 5．（2024•绿园区校级三模）估计的值在（　　） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 6．（2023秋•雁塔区校级期末）2介于（　　） A．0和1之间 B．1和2之间 C．0和﹣1之间 D．﹣1和﹣2之间 7．（2023•庐阳区校级三模）若无理数x，则估计无理数x的范围正确的是（　　） A．1＜x＜2 B．2＜x＜3 C．3＜x＜4 D．4＜x＜5 8．（2023秋•萧山区期中）设面积为31的正方形的边长为x，则x的取值范围是（　　） A．5.0＜x＜5.2 B．5.2＜x＜5.5 C．5.5＜x＜5.7 D．5.7＜x＜6.0 9．（2024春•罗山县期末）故宫旧称紫禁城，是世界现存最大、最完整的古建筑群，被誉为世界五大宫之首．故宫太和门庭院的长宽比满足黄金分割比，所以看起来赏心悦目，请你估算的值在（　　） A．﹣1到0之间 B．0到0.5之间 C．0.5到1之间 D．1到2之间 题型二 已知估算的范围求值 1．（2024春•城厢区校级期中）若aa+1，且a为整数，则a的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024春•殷都区期末）下列无理数中，介于4和5之间的数是（　　） A． B． C． D． 3．（2023秋•衡山县期末）已知n为整数，且，则n等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（2023秋•镇平县期末）若，则整数a的值不可能为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2023秋•九龙坡区期末）若自然数n满足，则n的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（2023春•新罗区校级月考）在与之间的整数之和是 　 　． 7．（2023秋•桂平市期末）已知m，n为两个连续的整数，且mn，则（m﹣n）2023的值是（　　） A．2023 B．﹣2023 C．1 D．﹣1 8．（2023秋•通川区校级期末）已知整数x满足，则x＝　 　． 9．（2023秋•莱阳市期末）若，且a、b为两个连续的正整数，则a+b的平方根是 　． 10．（2023春•蓬江区校级月考）已知a，b为两个相连的整数，满足a11＜b，则a+b的立方根为 　 　． 11．（2024春•大田县期中）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116，若n为整数且，则n的值为（　　） A．43 B．44 C．45 D．46 12．（2023秋•海曙区期中）若整数x满足3x2，则x的值是 　 　． 题型三 估算无理数最接近的值 1．（2022秋•兴隆县期末）下列选项中的整数，与接近的是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2022春•仙居县期末）与最接近的整数是 　 　． 3．（2023春•合肥期末）下列整数中，与最接近的整数是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（2023•三门峡二模）数轴上与最接近的整数是 ． 5．（2023秋•苏州期末）下列整数中，与最接近的是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 6．（2023秋•南岸区期末）与最接近的整数是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 7．（2023秋•双牌县期末）满足x的整数共有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．（2024春•瑶海区期中）与1最接近的整数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（2022秋•宁德期末）定义[x]为不大于x的最大整数，如[2]＝2，，[4.1]＝4，则满足，则n的最大整数为 　 ． 10．（2022春•香洲区期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 题型四 利用估算比较数的大小 1．（2023•惠水县模拟）下列各数中比小的数是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C． D．0 2．（2024春•中山市期末）下列各数中，比小的最大整数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2023秋•乳山市期末）通过估算比较大小，下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2023春•铁东区校级月考）若将−，，2，四个无理数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（　　） A．− B．2 C． D． 5．（2023秋•灌云县月考）已知：，，则a、b的大小关系为：a　 　b（填“＞”、“＜”或“＝”）． 6．通过估算比较大小：　 　；　 　1；　 　．（填“＜”或“＞”） 7．通过估算，比较下面各组数的大小： （1），； （2），3.85． 8．通过估算比较大小： （1）与 （2）与． 题型五 无理数整数部分与小数部分问题 1．（2023春•鼓楼区校级期中）已知：x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，则xy＝　 　． 2．（2023秋•尤溪县期末）实数2的小数部分是 　 　． 3．（2023秋•金牛区校级期末）已知：2的整数部分为m，小数部分为n，则2m﹣n＝　 　． 4．（2023秋•商水县期末）已知a的立方根是2，b是的整数部分，c是9的平方根，则a+b+c的算术平方根是 　 　． 5．（2023•南谯区校级模拟）已知﹣2m是64的负的平方根，3n是的整数部分，则mn的立方根为 　 　． 6．（2024春•无为市月考）已知3a﹣b+3的立方根是﹣2，a+b+2的算术平方根是1． （1）求a，b的值． （2）若，且c是整数，求的平方根． 7．（2023春•玉州区期中）阅读下面文字，然后回答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，所以的小数部分我们不可能全部写出来，由于的整数部分是1，将减去它的整数部分，差就是它的小数部分，因此的小数部分可用1表示．由此我们得到一个真命题：如果x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，那么x＝1，y1． 请解答下列问题： （1）如果a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，求a，b的值； （2）如果c+d，其中c是整数，且0＜d＜1，求c，d的值； （3）已知3m+n，其中m是整数，且0＜n＜1，求|m﹣n|的值． 8．（2023春•乐昌市校级期中）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用1来表示的小数部分．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如，即23， ∴的整数部分为2，小数部分为2； 请解答： （1）的整数部分是 　 　，小数部分是 　 　； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求|a﹣b||的值； （3）已知：9x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数． 9．（2023秋•嵩县期末）阅读理解 ∵，即23． ∴的整数部分为2，小数部分为2 ∴11＜2 ∴1的整数部分为1． ∴1的小数部分为2 解决问题：已知：a是3的整数部分，b是3的小数部分， 求：（1）a，b的值； （2）（﹣a）3+（b+4）2的平方根． 10．（2024春•大冶市校级月考）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分是2，小数部分为． （1）的整数部分是 　 　，小数部分是 　 ； （2）若m，n分别是的整数部分和小数部分，求3m2﹣n的值． 题型六 算术平方根中的小数点移动规律 1．（2023春•渝中区校级月考）若7.149，22.608，则的值约为（　　） A．71.49 B．226.08 C．714.9 D．2260.8 2．（2023春•甘井子区期末）已知1.414，4.472，那么（　　） A．44.72 B．14.14 C．141.4 D．447.2 3．（2023春•开福区校级月考）若2.201，6.989，则　 　． 4．（2023秋•衡阳县期中）已知2.0736，6.5574，下列运算正确的是（　　） A．0.65574 B．65.574 C．20.736 D．2073.6 5．（2023秋•斗门区期末）已知8.622＝74.3044，若x2＝0.743044，则x的值（　　） A．86.2 B．0.862 C．±0.862 D．±86.2 6．（2023春•潍坊期中）（1）观察各式：0.1732，1.732，17.32… 发现规律：被开方数的小数点每向右移动 　 　位，其算术平方根的小数点向 　 　移动 　 　位； （2）应用：已知2.236，则　 　，　 　； （3）拓展：已知2.449，7.746，计算和的值． 7．（2024春•潮阳区校级月考）根据下表回答下列问题： x 17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 18 x2 289 292.41 295.84 299.29 302.76 306.25 309.76 313.29 316.84 320.41 324 （1）295.84的算术平方根是 　 　，316.84的平方根是 　 　； （2） 　 　；（保留一位小数） （3）　 　，　 ； （4）若介于17.6与17.7之间，则满足条件的整数n有 　 　个； （5）若这个数的整数部分为m，求的值． 题型七 开立方运算中的小数点移动规律 1．已知1.147，2.472，0.5325，则的值是（　　） A．24.72 B．53.25 C．11.47 D．114.7 2．（2023秋•射洪市期末）如果1.333，2.872，那么约等于（　　） A．28.72 B．287.2 C．13.33 D．133.3 3．（2023春•开州区期中）已知0.6993，1.507，则　 　． 4．（2023春•梁子湖区期中）已知1.2639，2.7629，则　 　． 5．（2023秋•南岗区校级期中）若x，y，则x与y的关系是 　 　． 6．（2023春•惠城区校级期中）观察：观察，，，；填空： ①则　 　． ②若，则x＝　 　． 7．（2023春•曲阜市期中）探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题： a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （1）表格中x＝　　 ；y＝　 　； （2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知3.16，则　 　； ②已知1.8，若180，则a＝　 　； （3）拓展：已知，若，则z＝　 　． 8．（2022春•汝南县月考）观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： （1）1.414，14.14，141.4… 0.1732，1.732，17.32… 由此可见，被开方数的小数点每向右移动 　 位，其算术平方根的小数点向 　 　移动 　 　位； （2）已知2.236，7.071，则　 　，　 　； （3）1，10，100… 小数点变化的规律是：　 　； （4）已知2.154，4.642，则　 　，　 　． 9．（2024春•中山区校级期末）根据下表回答问题： x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 x2 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 x3 4096 4173.281 4251.528 4330.747 4410.944 4492.125 4574.296 4657.463 4741.632 （1）272.25的平方根是 　 　；4251.528的立方根是 　 　； （2）　 ；　 ；　 　； （3）设的整数部分为a，求﹣4a的立方根． 题型八 用计算器开方 1．（2023秋•牟平区期末）利用计算器求的值，正确的按键顺序为（　　） A． B． C． D． 2．（2023•汇川区三模）某同学在用计算器估算6的算术平方根时，需要用到以下哪个键（　　） A． B． C． D． 3．（2023•烟台一模）若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，依次按键，对应的计算是（　　） A．23 B．32 C． D． 4．（2024•广饶县一模）利用教材中的计算器依次按键如下：，则计算器面板显示的结果为（　　） A．﹣3 B．3 C．±3 D．4 5．（2023秋•稷山县期中）在计算器上按键显示的结果是（　　） A．﹣3 B．3 C．17 D．33 6．（2024春•潍城区期中）用我们数学课本上选用的科学计算器计算下列算式的值，其按键顺序正确的是（　　） A．计算，按键： B．计算，按键： C．计算，按键： D．计算，按键： 7．（2024春•斗门区期末）有一个计算器，计算时屏幕显示的结果为1.7320508，从左往右数只有九位（包括小数点），现在想知道第十位的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个式子的值（　　） A． B． C． D． 题型九 用计算器开方探究规律 1．（2023•开远市二模）如图1，某计算器中、、三个按键，以下是这三个按键的功能． ①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根； ②：将荧幕显示的数变成它的倒数； ③：将荧幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，按照如图2步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键．若一开始输入的数据为5，那么第2020步之后，显示的结果是（　　） A．5 B． C． D．25 2．（2023秋•蓬莱市期末）如图，某计算器中三个按键，以下是这三个按键的功能： ：将荧幕显示的数变成它的算术平方根； ：将荧幕显示的数变成它的倒数； ：将荧幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，按照如图步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键． 若一开始输入的数据为10，则第2019步后，显示的结果是（　　） A． B．10 C． D． 2．（2024春•铜梁区期末）某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能．①：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；②：将屏幕显示的数变成它的倒数；③：将屏幕显示的数变成它的平方．输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第1步到第3步循环按键．例如：当输入5时，第1步操作的结果是25，第2步操作的结果是，第3步操作的结果是，…．下列说法： ①若开始输入的数据为2，那么第5步操作之后，显示的结果是4； ②若开始输入的数据为a（a＞0），那么第2025步操作之后，显示的结果是； ③若开始输入一个数据a（a＞0），经过若干步操作后，得到的结果为16，则a有6种不同的值； 正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2024春•安达市校级月考）我们知道，付老师又用计算器求得：、，，则计算：（2024个3，2024个4）＝　 　． 4．（2023春•淮南期中）计算器上的三个按键x2、、的功能分别是：x2将屏幕显示的数变成它的平方；将屏幕显示的数变成它的倒数；将屏幕显示的数变成它的算术平方根．小蕊输入一个数﹣2后，依次按照如图所示的三步循环重复按键，则第2023次按键后，显示的结果是 　 ． 5．我们把左右数字排列对称的自然数叫作回文数．请你写出下列回文数是由哪个数的平方得到的（可借助计算器）： （1）121＝　 　2； （2）14641＝　 2； （3）12321＝　 2； （4）123454321＝　 　 2； （5）123456787654321＝　 　2； （6）40804＝　 　2； （7）44944＝　 　2． 6．（2023春•天河区校级期末）用计算器计算： （1） （2） （3） （4） 观察上面几题的结果，你能发现什么规律？用你发现的规律直接写出下题的结果： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级上册数学《第2章 实数》 2.4&2.5 估算&用计算器开方 知识点一 估算 ★1、估算无理数大小的方法： （1）通过利用乘方与开方互为逆运算，采用“夹逼法”，确定其数值所在范围； （2）根据问题中误差允许的范围，在其数值的范围内取出近似值. ★2、 “精确到”与“误差小于”意义不同： 如精确到1m是四舍五入到个位，答案唯一； 误差小于1m，答案在真值左右1m都符合题意，答案不唯一. 在本章中误差小于1m就是估算到个位，误差小于10m就是估算到十位. 知识点二 用计算器开方 ★1、在求某些数的算术平方根或立方根时，有些数很大或很小，或不易求出算术平方根或立方根，为了提高计算速度，我们可以利用计算器，按照一定的按键顺序直接快速地求出这个数的算术平方根. ★2、利用计算器开方的按键顺序： ★3、算术平方根与立方根中小数点移动规律： （1）利用计算器探究发现，被开方数的小数点向左（右）移动两位，其算术平方根的小数点相应向左（右）移动一位. （2）解决此类规律题，需从两个方向进行比较，即把被开方数进行比较，把它们的结果进行比较，从中发现规律. （3）利用计算器探究发现，被开方数的小数点向左（右）移动三位，其立方根的小数点相应向左（右）移动一位. 题型一 估算无理数的范围 1．（2023秋•儋州校级期末）无理数的大小在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【分析】先找离14最近的两个平方数，即9＜14＜16，即可得出的范围． 【解答】解：∵9＜14＜16， ∴34； 故选：C． 【点评】本题考查的是无理数的估值，解题关键找到离14最近的两个平方数． 2．（2024•南京模拟）m的取值范围是（　　） A．1＜m＜2 B．2＜m＜3 C．3＜m＜4 D．4＜m＜5 【分析】估算出的范围，即可得出选项． 【解答】解：∵32＝9，42＝16， ∴34， 即m在3和4之间， 故选：C． 【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键． 3．（2023秋•淅川县期中）估算的值是在（　　） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 【分析】根据根式的性质得出，求出、的值，代入即可． 【解答】解：∵， ∴45， ∴在4和5之间． 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的大小比较的应用，主要考查学生能否知道的范围． 4．（2023•南岸区校级开学）估计3的值应在（　　） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【分析】先估算，然后进一步估算3即可． 【解答】解：∵34， ∴6＜37． 故估计3的值应在6和7之间． 故选：B． 【点评】本题考查了无理数的估算，估算无理数大小要用逼近法．用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 5．（2024•绿园区校级三模）估计的值在（　　） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【分析】先估算出的范围是67，再根据不等式的性质不等式的两边都减1即可得出51＜6，即可得出选项． 【解答】解：∵， ∴67， ∴51＜6， 即1在5和6之间． 故选：B． 【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的大小是解此题的关键． 6．（2023秋•雁塔区校级期末）2介于（　　） A．0和1之间 B．1和2之间 C．0和﹣1之间 D．﹣1和﹣2之间 【分析】估算无理数的大小，可得结论． 【解答】解：∵23， ∴﹣1＜20， ∴2介于﹣1和0之间． 故选：C． 【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提． 7．（2023•庐阳区校级三模）若无理数x，则估计无理数x的范围正确的是（　　） A．1＜x＜2 B．2＜x＜3 C．3＜x＜4 D．4＜x＜5 【分析】根据算术平方根的性质（被开方数越大，其算术平方根越大）解决此题． 【解答】解：∵4＜5＜9， ∴． ∴23． ∴． ∵2， ∴4＜25． ∵x， ∴4＜x＜5． 故选：D． 【点评】本题主要考查算术平方根的性质，熟练掌握被开方数越大，其算术平方根越大是解决本题的关键． 8．（2023秋•萧山区期中）设面积为31的正方形的边长为x，则x的取值范围是（　　） A．5.0＜x＜5.2 B．5.2＜x＜5.5 C．5.5＜x＜5.7 D．5.7＜x＜6.0 【分析】利用正方形的面积＝边长×边长可得正方形边长x，再估算的范围即可． 【解答】解：正方形边长x， ∵5.52＝30.25，5.62＝31.36， ∵5.55.6． 故选：C． 【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，思维方法：用有理数逼近无理数． 9．（2024春•罗山县期末）故宫旧称紫禁城，是世界现存最大、最完整的古建筑群，被誉为世界五大宫之首．故宫太和门庭院的长宽比满足黄金分割比，所以看起来赏心悦目，请你估算的值在（　　） A．﹣1到0之间 B．0到0.5之间 C．0.5到1之间 D．1到2之间 【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小，再根据等式的性质进而得到的近似值即可． 【解答】解：∵23， ∴11＜2， ∴0.51， 故选：C． 【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义以及等式的性质是正确解答的关键． 题型二 已知估算的范围求值 1．（2024春•城厢区校级期中）若aa+1，且a为整数，则a的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【解答】解：∵， ∴34， 又∵若aa+1，且a为整数， ∴a＝3， 故选：C． 【点评】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是掌握解答的关键． 2．（2024春•殷都区期末）下列无理数中，介于4和5之间的数是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用夹逼法估算无理数的大小即可． 【解答】解：A、∵，∴，故此选项不符合题意； B、∵，∴，故此选项不符合题意； C、∵，∴，故此选项符合题意； D、∵，∴，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握利用夹逼法估算无理数的大小是解题的关键． 3．（2023秋•衡山县期末）已知n为整数，且，则n等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】先估算出与的值的范围，即可解答． 【解答】解：∵36＜40＜49， ∴67， ∵49＜50＜64， ∴78， ∵n为整数，且， ∴n＝7， 故选：C． 【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键． 4．（2023秋•镇平县期末）若，则整数a的值不可能为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】由6，23，，可求出符合条件a的整数． 【解答】解：∵6，a， ∴a＜6， ∵23， ∴整数a的值可为3或4或5， ∴整数a的值不可能为2． 故选：A． 【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握根式的运算是解本题的关键，综合性较强，难度适中． 5．（2023秋•九龙坡区期末）若自然数n满足，则n的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】根据算术平方根的定义估算无理数2的大小，再由不等式的性质得出22的大小即可． 【解答】解：2， ∵，即78， ∴52＜6， 即5＜22＜6， ∵n＜22＜n+1，而n是自然数， ∴n＝5， 故选：B． 【点评】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确估算的前提． 6．（2023春•新罗区校级月考）在与之间的整数之和是 　 　． 【分析】根据估算和的近似值，可得和之间的所有的整数，再求和即可． 【解答】解：∵22＞3＞12，32＜10＜42， ∴，， ∴与之间的所有的整数为﹣1、0、1、2，3；﹣1+0+1+2+3＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了无理数的近似值，正确估计出无理数的近似值是解题关键． 7．（2023秋•桂平市期末）已知m，n为两个连续的整数，且mn，则（m﹣n）2023的值是（　　） A．2023 B．﹣2023 C．1 D．﹣1 【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小，确定m、n的值，再代入计算即可． 【解答】解：∵34，而mn，其中m，n为两个连续的整数， ∴m＝3，n＝4， ∴（m﹣n）2023＝（3﹣4）2023＝﹣1， 故选：D． 【点评】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提． 8．（2023秋•通川区校级期末）已知整数x满足，则x＝　 　． 【分析】先估算出与的值的范围，从而估算出2与1的值的范围，即可解答． 【解答】解：∵4＜5＜9， ∴23， ∴02＜1， ∵4＜7＜9， ∴23， ∴11＜2， ∵整数x满足， ∴x＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键． 9．（2023秋•莱阳市期末）若，且a、b为两个连续的正整数，则a+b的平方根是 　． 【分析】根据解答． 【解答】解：∵， ∴45， ∴a＝4，b＝5， ∴a+b＝4+5＝9， ∴a+b的平方根是±3． 【点评】本题考查了平方根，求出a、b的值是解题的关键． 10．（2023春•蓬江区校级月考）已知a，b为两个相连的整数，满足a11＜b，则a+b的立方根为 　 　． 【分析】先估算出的值的范围，从而估算出11的值的范围，然后求出a，b的值，最后代入式子中，进行计算即可解答． 【解答】解：∵4＜6＜9， ∴23， ∴1311＜14， ∵a，b为两个相连的整数，满足a11＜b， ∴a＝13，b＝14， ∴a+b＝27， ∴a+b的立方根为3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键． 11．（2024春•大田县期中）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116，若n为整数且，则n的值为（　　） A．43 B．44 C．45 D．46 【分析】根据题意可知：442＝1936，452＝2025，n为整数且，即，因此44，即可得出结果． 【解答】解：∵442＝1936，452＝2025，n为整数且， ∴， ∴44， ∴n﹣1＝44，n＝45， 故选：C． 【点评】本题考查的是估算无理数的大小，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键． 12．（2023秋•海曙区期中）若整数x满足3x2，则x的值是 　 　． 【分析】根据算术平方根、立方根的定义估算无理数和的大小，进而得出3和2的大小即可． 【解答】解：∵43＝64，，53＝125，而64＜65＜125， ∴45， ∴7＜38， 又：∵82＝64，，92＝81，而64＜65＜81， ∴89， ∴102＜11， 又∵整数x满足3x2， ∴x＝8或x＝9或x＝10， 故答案为：8或9或10． 【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根、立方根的定义是正确估算的前提． 题型三 估算无理数最接近的值 1．（2022秋•兴隆县期末）下列选项中的整数，与接近的是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】直接利用已知得出接近的有理数即可． 【解答】解：∵， ∴与接近的是6． 故选：B． 【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出最接近的有理数是解题关键． 2．（2022春•仙居县期末）与最接近的整数是 　 　． 【分析】用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案． 【解答】解：∵4＜5＜6.25， ∴22.5， ∴与最接近的整数是2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键． 3．（2023春•合肥期末）下列整数中，与最接近的整数是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】先计算位于哪两个相邻的整数之间，再确定51距离哪个整数的平方接近即可确定答案． 【解答】解：∵49＜51＜64， ∴， 即78， ∵7.52＝56.25，51＜56.25， ∴与最接近的整数是7． 故选：C． 【点评】本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题． 4．（2023•三门峡二模）数轴上与最接近的整数是 ． 【分析】大约等于1.7，由此可得出本题的答案． 【解答】解：≈﹣1.7， ∴最接近的整数为-2． 故答案为：-2． 【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题． 5．（2023秋•苏州期末）下列整数中，与最接近的是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【分析】由π﹣4＜0，结合二次根式的性质即可得出，从而可确定最接近的是1． 【解答】解：∵π﹣4＜0， ∴． ∵4﹣π最接近1， ∴与最接近的是1． 故选：C． 【点评】本题考查二次根式的性质．掌握是解题关键． 6．（2023秋•南岸区期末）与最接近的整数是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】根据完全平方数，进行计算即可解答． 【解答】解：∵9＜10＜16， ∴34， ∵3.52＝12.25， ∴33.5， ∴5＜25.5， ∴与最接近的整数是5， 故选：A． 【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键． 7．（2023秋•双牌县期末）满足x的整数共有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】先估算出和的范围，再求出即可． 【解答】解：∵12， ∴﹣21， ∵12， ∴满足x的整数有﹣1，0，1，共3个， 故选：B． 【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出和的范围是解此题的关键． 8．（2024春•瑶海区期中）与1最接近的整数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】估算无理数的大小，进而确定1最接近的整数即可． 【解答】解：∵，即45， ∴5＜16， ∴1最接近整数5， 故选：C． 【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提． 9．（2022秋•宁德期末）定义[x]为不大于x的最大整数，如[2]＝2，，[4.1]＝4，则满足，则n的最大整数为 　 ． 【分析】由题意得：56，然后利用平方运算，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： ∵56， ∴25≤n＜36， ∴n的最大整数为35． 故答案为：35． 【点评】本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法，用有理数夹逼无理数是关键． 10．（2022春•香洲区期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案． 【解答】解：∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积为：9+9=18， 则大正方形的边长为：， ∵＜＜， ∴4＜＜4.5， ∴大正方形的边长最接近的整数是4． 故选：A． 【点评】此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题的关键． 题型四 利用估算比较数的大小 1．（2023•惠水县模拟）下列各数中比小的数是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C． D．0 【分析】根据实数比较大小的方法分析得出答案． 【解答】解：A、∵|﹣2|＝2，||， 由2， ∴﹣2，故此选项正确； B、∵|﹣1|＝1，||， 由1， ∴﹣1，故此选项错误； C、∵||，||， 由， ∴，故此选项错误； D、0，故此选项错误； 故选：A． 【点评】此题主要考查了实数比较大小，正确掌握比较方法是解题关键． 2．（2024春•中山市期末）下列各数中，比小的最大整数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【解答】解：∵23， ∴比小的最大整数是2， 故选：C． 【点评】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的关键． 3．（2023秋•乳山市期末）通过估算比较大小，下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据算术平方根的定义和立方根的定义估算各根式的大小，然后再比较大小即可． 【解答】解：A、因为64＜69，所以4，由4，可知，故A正确，与要求不符； B、3，3，故，故B错误，与要求相符； C、3，故此，1，故此，则C正确，与要求不符； D、2，，故D正确，与要求不符． 故选：B． 【点评】本题主要考查的是实数大小比较，掌握无理数的大小的方法是解题的关键． 4．（2023春•铁东区校级月考）若将−，，2，四个无理数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（　　） A．− B．2 C． D． 【分析】先估算出各数，再根据实数与数轴的关系即可得出结论． 【解答】解：是负数，在原点的左侧，不符合题意； 23，在墨迹覆盖处的右边，不符合题意； ，即23，符合题意；， ，即3，在墨迹覆盖处的右边，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查无理数的大小比较；熟练掌握数轴上点的特点，能够准确判断无理数的范围是解题的关键． 5．（2023秋•灌云县月考）已知：，，则a、b的大小关系为：a　 　b（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【分析】先判断a、b的正负，再比较它们的大小． 【解答】解：∵12， ∴a1＞0， ∵23， ∴b＝20， ∴a＞b， 故答案为：＞． 【点评】本题考查实数大小比较，解答本题的关键是明确实数的意义，会比较实数的大小． 6．通过估算比较大小：　 　；　 　1；　 　．（填“＜”或“＞”） 【分析】先估算出各个数的范围，再比较大小． 【解答】解：∵23， ∴02＜1， ∴； ∵12， ∴21＜3， ∴1； ∵34， ∴21＜3， ∴1， ∵1， ∴， 故答案为：＜，＞，＞． 【点评】本题考查了实数大小比较的方法，估算出无理数的大小是解决本题的关键． 7．通过估算，比较下面各组数的大小： （1），； （2），3.85． 【分析】（1）首先得出的近似值，进而得出答案； （2）首先求出3.852，进而比较即可． 【解答】解：（1）∵1.73， ∴1＜1， ∴； （2）∵3.852≈14.8， ∴3.85． 【点评】此题主要考查了估算无理数大小，正确估算的近似值是解题关键． 8．通过估算比较大小： （1）与 （2）与． 【分析】（1）先把看作得出，再比较与的大小，即可得出与的大小， （2）把看作可得 ，即． 【解答】解：（1），即， ∵，， ∴， ∴， （2）， ∴． 【点评】此题主要考查了的是实数的大小比较，解题的关键是选择合适的被开方数． 题型五 无理数整数部分与小数部分问题 1．（2023春•鼓楼区校级期中）已知：x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，则xy＝　 　． 【分析】先估算无理数的大小，确定出x的值，再根据已知条件得出y的值，然后代入要求的式子进行计算即可． 【解答】解：∵12，x是整数， ∴x＝1， ∵x+y， y1， ∴xy1． 故答案为：1． 【点评】本题考查估算无理数的大小，估算出的大小是解题的关键． 2．（2023秋•尤溪县期末）实数2的小数部分是 　 　． 【分析】先判断出在那两个整数之间，再判断出2的整数，再用2减去它的整数部分，即可求出小数部分． 【解答】解：∵23， ∴42＜5， ∴2的整数部分是4， ∴2的小数部分是2﹣42； 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，掌握估算的能力是解题的关键，经常用逼近法确定无理数的整数部分． 3．（2023秋•金牛区校级期末）已知：2的整数部分为m，小数部分为n，则2m﹣n＝　 　． 【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而估算出2的大小，确定m、n的值，再代入计算即可． 【解答】解：∵12， ∴3＜24， ∴2的整数部分m＝3，小数部分n＝231， ∴2m﹣n＝61＝7， 故答案为：7． 【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提，确定m、n的值是正确计算的关键． 4．（2023秋•商水县期末）已知a的立方根是2，b是的整数部分，c是9的平方根，则a+b+c的算术平方根是 　 　． 【分析】根据平方根、立方根、估算无理数的大小确定a、b、c的值，再代入计算即可． 【解答】解：∵a的立方根是2，b是的整数部分，c是9的平方根， ∴a＝8，b＝3，c＝±3， 当a＝8，b＝3，c＝3时，a+b+c＝14， ∴a+b+c的算术平方根是 ； 当a＝8，b＝3，c＝﹣3，a+b+c＝8， ∴a+b+c的算术平方根是 2， 故答案为：或2． 【点评】本题考查平方根、立方根、估算无理数的大小，理解平方根、立方根的定义、掌握估算无理数的大小的方法是正确解答的前提． 5．（2023•南谯区校级模拟）已知﹣2m是64的负的平方根，3n是的整数部分，则mn的立方根为 　 　． 【分析】根据平方根的意义可得﹣2m＝﹣8，从而可得：m＝4，然后估算出的值的范围，从而可得3n＝6，进而求出n的值，然后代入式子中进行计算即可解答． 【解答】解：∵﹣2m是64的负的平方根， ∴﹣2m＝﹣8， 解得：m＝4， ∵36＜37＜49， ∴67， ∴的整数部分是6， ∴3n＝6， 解得：n＝2， ∴mn＝4×2＝8， ∴mn的立方根为2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了估算无理数的大小，平方根，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键． 6．（2024春•无为市月考）已知3a﹣b+3的立方根是﹣2，a+b+2的算术平方根是1． （1）求a，b的值． （2）若，且c是整数，求的平方根． 【分析】（1）根据题意列出方程，即可求出a，b的值； （2）根据无理数的估算求出c的值，再代入求值即可． 【解答】解：（1）由题意得， 解得：； （2）∵， ∴c＝4， 由（1）得a＝﹣3，b＝2， ∴． ∵4的平方根是±2， ∴的平方根是±2． 【点评】本题考查了平方根、算术平方根、立方根及估算无理数的大小，熟练掌握基本知识是解题的关键． 7．（2023春•玉州区期中）阅读下面文字，然后回答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，所以的小数部分我们不可能全部写出来，由于的整数部分是1，将减去它的整数部分，差就是它的小数部分，因此的小数部分可用1表示．由此我们得到一个真命题：如果x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，那么x＝1，y1． 请解答下列问题： （1）如果a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，求a，b的值； （2）如果c+d，其中c是整数，且0＜d＜1，求c，d的值； （3）已知3m+n，其中m是整数，且0＜n＜1，求|m﹣n|的值． 【分析】（1）估算出23，依此即可确定出a，b的值； （2）估算出23，可得﹣32，依此即可确定出c，d的值； （3）根据题意确定出m与n的值，代入求出|m﹣n|即可． 【解答】解：（1）∵a+b，其中a是整数，且0＜b＜1， 23， ∴a＝2，b2； （2）∵c+d，其中c是整数，且0＜d＜1， 23， ﹣32， ∴c＝﹣3，d＝3； （3）∵2m+n，其中m是整数，且0＜n＜1， ∴m＝4，n2， 则|m﹣n|＝|42|＝6． 【点评】此题考查了估算无理数的大小，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题． 8．（2023春•乐昌市校级期中）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用1来表示的小数部分．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如，即23， ∴的整数部分为2，小数部分为2； 请解答： （1）的整数部分是 　 　，小数部分是 　 　； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求|a﹣b||的值； （3）已知：9x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数． 【分析】（1）估算出的范围，即可得出答案； （2）分别确定出a与b的值，代入原式计算即可求出值； （3）根据题意确定出等式左边的整数部分得到y的值，进而求出y的值，即可求出所求． 【解答】解：（1）∵， ∴的整数部分是7，小数部分是7． 故答案为：7，7． （2）∵， ∴， ∵， ∴b＝2， ∴|a﹣b| ＝5． （3）∵， ∴11＜912， ∵9x+y，其中x是整数，且0＜y＜1， ∴x＝11，y， ∴x﹣y， ∴x﹣y的相反数是：． 【点评】此题考查了估算无理数的大小，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 9．（2023秋•嵩县期末）阅读理解 ∵，即23． ∴的整数部分为2，小数部分为2 ∴11＜2 ∴1的整数部分为1． ∴1的小数部分为2 解决问题：已知：a是3的整数部分，b是3的小数部分， 求：（1）a，b的值； （2）（﹣a）3+（b+4）2的平方根． 【分析】（1）首先得出接近的整数，进而得出a，b的值； （2）根据平方根即可解答． 【解答】解：（1）∵， ∴45， ∴13＜2， ∴a＝1，b4， （2）（﹣a）3+（b+4）2 ＝（﹣1）3+（4+4）2 ＝﹣1+17 ＝16， 故（﹣a）3+（b+4）2的平方根是：±4． 【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出a，b的值是解题关键． 10．（2024春•大冶市校级月考）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分是2，小数部分为． （1）的整数部分是 　 　，小数部分是 　 ； （2）若m，n分别是的整数部分和小数部分，求3m2﹣n的值． 【分析】（1）先估算的大小，求出整数部分和小数部分即可； （2）先估算的大小，然后根据不等式的性质求出的大小，求出整数部分m和小数部分n，然后代入所求代数式进行计算即可． 【解答】解：（1）∵，即， ∴的整数部分是4，小数部分是， 故答案为：4，； （2）∵，即， ∴， ， ， ∴的整数部分是3，小数部分是， ∴m＝3，， ∴3m2﹣n ＝3×32﹣（3） ． 【点评】本题主要考查了估算无理数的大小，解题关键是熟练掌握估算无理数大小． 题型六 算术平方根中的小数点移动规律 1．（2023春•渝中区校级月考）若7.149，22.608，则的值约为（　　） A．71.49 B．226.08 C．714.9 D．2260.8 【分析】将转化为，进而得出100即可． 【解答】解：100≈7.149×100＝714.9， 故选：C． 【点评】本题考查算术平方根，理解“一个数扩大（或缩小）100倍，10000倍，其算术平方根就随着扩大（或缩小）10倍，100倍”是解决问题的关键． 2．（2023春•甘井子区期末）已知1.414，4.472，那么（　　） A．44.72 B．14.14 C．141.4 D．447.2 【分析】根据题意，利用算术平方根性质判断即可确定出结果． 【解答】解：∵4.472， ∴44.72． 故选：A． 【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根性质是解本题的关键． 3．（2023春•开福区校级月考）若2.201，6.989，则　 　． 【分析】将变形为即可求解． 【解答】解：∵， ∴． 故答案为：22.01． 【点评】本题考查了求一个数的算术平方根，掌握算术平方根的定义是关键． 4．（2023秋•衡阳县期中）已知2.0736，6.5574，下列运算正确的是（　　） A．0.65574 B．65.574 C．20.736 D．2073.6 【分析】根据题目意思，找出题中规律即可求解． 【解答】解：∵2.0736，6.5574， A．0.65574，选项A符合题意； B．2.0736×10≈20.736，选项B不符合题意； C．6.5574×10≈65.574，选项C不符合题意； D．2.0736×100≈207.36，选项D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根的性质是解题的关键． 5．（2023秋•斗门区期末）已知8.622＝74.3044，若x2＝0.743044，则x的值（　　） A．86.2 B．0.862 C．±0.862 D．±86.2 【分析】根据两式结果相差2位小数点，利用乘方的意义即可求出x的值． 【解答】解：∵8.622＝74.3044，x2＝0.743044， ∴x2＝0.8622， 则x＝±0.862． 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解题的关键． 6．（2023春•潍坊期中）（1）观察各式：0.1732，1.732，17.32… 发现规律：被开方数的小数点每向右移动 　 　位，其算术平方根的小数点向 　 　移动 　 　位； （2）应用：已知2.236，则　 　，　 　； （3）拓展：已知2.449，7.746，计算和的值． 【分析】（1）观察规律即可得出答案； （2）根据（1）中的规律进行计算即可得出答案； （3）由代入计算即可得出答案，由根据（1）中的规律代入计算即可得答案． 【解答】解：（1）观察各式：0.1732，1.732，17.32… 发现规律：被开方数的小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位； 故答案为：2，右，1； （2）应用：已知2.236，则0.2236，22.36； 故答案为：0.2236，22.36； （3）2×7.746≈15.492， 3×0.2449≈0.7347． 【点评】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义进行求解是解决本题的关键． 7．（2024春•潮阳区校级月考）根据下表回答下列问题： x 17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 18 x2 289 292.41 295.84 299.29 302.76 306.25 309.76 313.29 316.84 320.41 324 （1）295.84的算术平方根是 　 　，316.84的平方根是 　 　； （2） 　 　；（保留一位小数） （3）　 　，　 ； （4）若介于17.6与17.7之间，则满足条件的整数n有 　 　个； （5）若这个数的整数部分为m，求的值． 【分析】（1）利用算术平方根和平方根的意义解答即可； （2）利用表格数据和算术平方根的意义解答即可； （3）利用表格数据和算术平方根的意义解答即可； （4）利用表格数据和算术平方根的意义解答即可； （5）由表格中的数据，可估算出1819，进而确定m的值，再代入计算即可． 【解答】解：（1）∵（±17.2）2＝295.84，（±17.8）2＝316.84， ∴295.84的算术平方根是17.2；316.84的平方根是±17.8； 故答案为：17.2；±17.8； （2）∵17.32≈299.3， ∴17.3； 故答案为：17.3； （3）∵1712＝29241，1.772≈3.1329， ∴171；1.77； 故答案为：171；1.77； （4）∵17.6，17.7， 又∵介于17.6与17.7之间， ∴n的可能值为310，311，312，313， ∴满足条件的整数n有4个． 故答案为：4； （5）∵1819， ∴的整数部分为m＝18， ∴（m﹣16）3 （18﹣16）3 23 ＝7﹣8 ＝﹣1． 【点评】本题主要考查了估算无理数的大小，算术平方根，正确利用平方根和算术平方根的意义计算是解题的关键． 题型七 开立方运算中的小数点移动规律 1．已知1.147，2.472，0.5325，则的值是（　　） A．24.72 B．53.25 C．11.47 D．114.7 【分析】根据被开方数小数点移动3位，立方根的小数点移动1位解答． 【解答】解：1.147×10＝11.47． 故选：C． 【点评】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律． 2．（2023秋•射洪市期末）如果1.333，2.872，那么约等于（　　） A．28.72 B．287.2 C．13.33 D．133.3 【分析】根据立方根的定义，所求数的被开方数的小数点是的被开方数的小数点向右移动了三位得到的，所以所求数的值是的10倍． 【解答】解：∵2.872， ∴约等于28.72． 故选：A． 【点评】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义． 3．（2023春•开州区期中）已知0.6993，1.507，则　 　． 【分析】根据当被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，立方根的小数点就向左（或向右）移动一位得出即可． 【解答】解：∵0.6993， ∴0.06993， 故答案为：0.06993． 【点评】本题考查了立方根的定义和符号移动规律，能熟记立方根的符号移动规律的内容是解此题的关键． 4．（2023春•梁子湖区期中）已知1.2639，2.7629，则　 　． 【分析】直接利用立方根的性质结合已知数据得出答案． 【解答】解：∵1.2639， ∴ ≈﹣0.12639． 故答案为：﹣0.12639． 【点评】此题主要考查了立方根，正确掌握相关定义是解题关键． 5．（2023秋•南岗区校级期中）若x，y，则x与y的关系是 　 　． 【分析】根据立方根的性质即可求解． 【解答】解：x ＝10， ∴y， ∴x＝10y， 故答案为：x＝10y． 【点评】本题主要考查了立方根，掌握立方根的性质是解题的关键． 6．（2023春•惠城区校级期中）观察：观察，，，；填空： ①则　 　． ②若，则x＝　 　． 【分析】根据根号内的小数点移动规律即可求解． 【解答】解：∵， ∴， ∵，， ∴x＝﹣0.006137． 故答案为：0.7071；﹣0.006137． 【点评】本题考查了算术平方根与立方根的应用，解题的关键是掌握小数点的移动规律，算术平方根的规律为：根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位；立方根的规律为：根号内的小数点移动3位，其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致． 7．（2023春•曲阜市期中）探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题： a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （1）表格中x＝　　 ；y＝　 　； （2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知3.16，则　 　； ②已知1.8，若180，则a＝　 　； （3）拓展：已知，若，则z＝　 　． 【分析】根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案． 【解答】解：（1）x＝0.1，y＝10，故答案为：0.1，10； （2）①31.6，a＝32400，故答案为：31.6，32400； （4）z＝0.012，故答案为：0.012． 【点评】本题考查了算术平方根，注意被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍． 8．（2022春•汝南县月考）观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： （1）1.414，14.14，141.4… 0.1732，1.732，17.32… 由此可见，被开方数的小数点每向右移动 　 位，其算术平方根的小数点向 　 　移动 　 　位； （2）已知2.236，7.071，则　 　，　 　； （3）1，10，100… 小数点变化的规律是：　 　； （4）已知2.154，4.642，则　 　，　 　． 【分析】（1）根据被开方数的小数点、其算术平方根的小数点的移动规律得出答案； （2）根据（1）的规律得出答案； （3）类推出一个数的小数点与其立方根的小数点的移动规律得出结论； （4）应用（3）的结论进行计算即可． 【解答】解：（1）由被开方数的小数点、其算术平方根的小数点的移动规律可知， 被开方数的小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位， 故答案为：2，右，1； （2）由（1）的规律可得，0.7071，23.26， 故答案为：0.7071，23.26； （3）由（1）的结论类推可得，一个数的小数点向右移动3位，其立方根的小数点向右移动1位， 故答案为：一个数的小数点向右移动3位，其立方根的小数点向右移动1位； （4）由（3）的结论得， 10＝21.54， 0.4642， 故答案为：21.54，﹣0.4642． 【点评】本题考查算术平方根、立方根，掌握一个数的小数点向右（或左）移动的位数与其算术平方根、立方根的小数点向右（或左）移动的位数的变化规律是正确解答的关键． 9．（2024春•中山区校级期末）根据下表回答问题： x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 x2 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 x3 4096 4173.281 4251.528 4330.747 4410.944 4492.125 4574.296 4657.463 4741.632 （1）272.25的平方根是 　 　；4251.528的立方根是 　 　； （2）　 ；　 ；　 　； （3）设的整数部分为a，求﹣4a的立方根． 【分析】（1）根据表格中的数据可求出结果； （2）根据图表，结合算术平方根和立方根的移位规律即可得出答案； （3）根据题意先求出a的值，再求出﹣4a的值，然后根据立方根的定义即可得出答案． 【解答】解：（1）272.25的平方根是：±16.5；4251.528的立方根是：16.2； 故答案为：±16.5，16.2； （2）∵16.7， ∴167， ∵16.2， ∴1.62， ∵16.8， ∴168， 故答案为：167，1.62，168； （3）∵， ∴1617， ∴a＝16，﹣4a＝﹣64， ∴﹣4a的立方根为﹣4． 【点评】此题考查了算术平方根和立方根，观察表格发现规律是解题的关键． 题型八 用计算器开方 1．（2023秋•牟平区期末）利用计算器求的值，正确的按键顺序为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据用计算器算算术平方根的方法：先按键“”，再输入被开方数，按键“＝”即可得到结果． 【解答】解：采用的科学计算器计算，按键顺序正确的是：． 故选：D． 【点评】本题考查的是利用计算器求算术平方根，正确使用计算器是解题的关键． 2．（2023•汇川区三模）某同学在用计算器估算6的算术平方根时，需要用到以下哪个键（　　） A． B． C． D． 【分析】首先了解各个符号的含义，解决计算器各个按键的功能，就可以选出正确的结果． 【解答】解：根据计算器的相关知识，可知答案为A． 故选：A． 【点评】本题考查计算器—数的开方，解题的关键是知道算术平方根的对应按键． 3．（2023•烟台一模）若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，依次按键，对应的计算是（　　） A．23 B．32 C． D． 【分析】根据按键的顺序即可得出算式． 【解答】解：根据按键顺序可知算式为． 故选：C． 【点评】本题考查了科学计算器的使用与平方根，掌握“2ndF”与“立方根”键组合表示求一个数的立方根是关键． 4．（2024•广饶县一模）利用教材中的计算器依次按键如下：，则计算器面板显示的结果为（　　） A．﹣3 B．3 C．±3 D．4 【分析】根据算术平方根进行求解即可． 【解答】解：． 故选：B． 【点评】本题主要考查了科学计算器的使用，求一个数的算术平方根，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 5．（2023秋•稷山县期中）在计算器上按键显示的结果是（　　） A．﹣3 B．3 C．17 D．33 【分析】首先要求同学们熟悉每个键的功能，才能熟练应用计算器，这样才能使用科学计算器进行计算． 【解答】解：在计算器上按键 是在计算8，结果为﹣3． 故选：A． 【点评】本题主要考查了同学们能熟练应用计算器，会用科学计算器进行计算． 6．（2024春•潍城区期中）用我们数学课本上选用的科学计算器计算下列算式的值，其按键顺序正确的是（　　） A．计算，按键： B．计算，按键： C．计算，按键： D．计算，按键： 【分析】根据利用科学计算器求平方根和立方根的方法，对题目中给出的四个选项逐一进行判断即可得出答案． 【解答】解：求 的按键顺序是：，（，2，÷，3，），故选项A不正确，不符合题意； 求的按键顺序是：，3，+，1，故选项B正确，符合题意； 求的按键顺序是：2nd F，，﹣，2，故选项C不正确，不符合题意； 求的按键顺序是：2nd F，，1，．，2，故选项D不正确，不符合题意． 故选：B． 【点评】此题主要考查了利用计算器求平方根和立方根，熟练掌握科学计算器的使用方法是解决问题的关键． 7．（2024春•斗门区期末）有一个计算器，计算时屏幕显示的结果为1.7320508，从左往右数只有九位（包括小数点），现在想知道第十位的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个式子的值（　　） A． B． C． D． 【分析】观察屏幕显示的结果，要想显示第十位的数字，先减去个位数字1，再扩大10倍可得出． 【解答】解：根据题意得：计算时屏幕显示的结果为1.7320508， 想知道第十位的数字是什么，可以在这个计算器中计算10（1）的值． 故选：B． 【点评】此题考查了计算器﹣数的平方，熟练掌握计算器的使用方法是解本题的关键． 题型九 用计算器开方探究规律 1．（2023•开远市二模）如图1，某计算器中、、三个按键，以下是这三个按键的功能． ①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根； ②：将荧幕显示的数变成它的倒数； ③：将荧幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，按照如图2步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键．若一开始输入的数据为5，那么第2020步之后，显示的结果是（　　） A．5 B． C． D．25 【分析】根据题意分别计算出第1、2、3、4、5、6步显示结果，从而得出数字的循环规律，利用周期规律求解可得． 【解答】解：由题意知第1步结果为52＝25， 第2步结果为， 第3步结果为， 第4步结果为0.22＝0.04， 第5步结果为25， 第6步计算结果为5， 第7步计算结果为52＝25， …… ∴运算的结果以25、、、、25、5六个数为周期循环， ∵2020÷6＝336……4， ∴第2020步之后显示的结果为． 故选：C． 【点评】题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据计算结果得出数字的循环规律． 2．（2024春•铜梁区期末）某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能．①：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；②：将屏幕显示的数变成它的倒数；③：将屏幕显示的数变成它的平方．输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第1步到第3步循环按键．例如：当输入5时，第1步操作的结果是25，第2步操作的结果是，第3步操作的结果是，…．下列说法： ①若开始输入的数据为2，那么第5步操作之后，显示的结果是4； ②若开始输入的数据为a（a＞0），那么第2025步操作之后，显示的结果是； ③若开始输入一个数据a（a＞0），经过若干步操作后，得到的结果为16，则a有6种不同的值； 正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】通过计算找到数字的变化规律，分析每个说法是否正确． 【解答】解：①若开始输入的数据为2，第1步操作的结果是4，第2步操作的结果是，第3步操作的结果是，第4步操作的结果是，第5步操作的结果是4； ②若开始输入的数据为a（a＞0），按照该步骤操作，每次显示的结果依次是：a2、、、、a2、a、⋯，每6次操作的结果是一个循环；因为2025÷6＝337⋯⋯3，因此第2025步操作之后的结果与第3次相同，为； ③根据②的分析，当输入a时，经过若干步操作后，得到的结果有4种情况：a2、、、a，可计算出a有4种不同的值； 综上，正确的个数是2． 故选：C． 【点评】本题主要考查了数字的变化规律、计算器的应用等有关内容，关键在于找到数字的变化规律：当输入a时，每次显示的结果依次是：a2、、、、a2、a、⋯，每6次操作的结果是一个循环． 3．（2024春•安达市校级月考）我们知道，付老师又用计算器求得：、，，则计算：（2024个3，2024个4）＝　 　． 【分析】根据题意可得规律（n个3，n个4）的值为555…5（n个5），据此规律求解即可． 【解答】解：， ， ， ， ……， 以此类推可知，（n个3，n个4）的值为555…5（n个5）， ∴（2024个3，2024个4）的值为555…5（2024个5）， 故答案为：555…5（2024个5）． 【点评】本题主要考查了数字类的规律探索，掌握规律是解题的关键． 4．（2023春•淮南期中）计算器上的三个按键x2、、的功能分别是：x2将屏幕显示的数变成它的平方；将屏幕显示的数变成它的倒数；将屏幕显示的数变成它的算术平方根．小蕊输入一个数﹣2后，依次按照如图所示的三步循环重复按键，则第2023次按键后，显示的结果是 　 ． 【分析】根据题意分别计算出前六步显示的结果，从而得出数字的循环规律，利用周期规律求解． 【解答】解：输入一个数﹣2后， 第一步的结果为（﹣2）2＝4， 第二步的结果为， 第三步的结果为， 第四步的结果为， 第五步的结果为， 第六步的结果为， 第七步的结果为22＝4， 由此可知，运算的结果六步为一个周期， ∴2023÷6＝337⋯1， ∴第2023次按键后，显示的结果是4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了计算器，通过列举例子发现规律是解题的关键． 5．我们把左右数字排列对称的自然数叫作回文数．请你写出下列回文数是由哪个数的平方得到的（可借助计算器）： （1）121＝　 　2； （2）14641＝　 2； （3）12321＝　 2； （4）123454321＝　 　 2； （5）123456787654321＝　 　2； （6）40804＝　 　2； （7）44944＝　 　2． 【分析】利用计算器对相应的数进行开方运算即可． 【解答】解：（1）121＝112； 故答案为：11； （2）14641＝1212； 故答案为：121； （3）12321＝1112； 故答案为：111； （4）123454321＝111112； 故答案为：11111； （5）123456787654321＝111111112； 故答案为：11111111； （6）40804＝2022； 故答案为：202； （7）44944＝2122． 故答案为：212． 【点评】本题主要考查计算器的使用，解答的关键是熟练使用计算器． 6．（2023春•天河区校级期末）用计算器计算： （1） （2） （3） （4） 观察上面几题的结果，你能发现什么规律？用你发现的规律直接写出下题的结果： 【分析】利用计算器分别计算，根据计算规律，所得结果为被开方数算式相乘的因数加1． 【解答】解：（1）10， （2）100， （3）1000， （4）10000， 所以10n． 【点评】本题考查了利用计算器进行数的开方，主要是计算器的使用方法，需熟记． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$