数学（山东专用）-2024年新高二开学摸底考试卷

新高二开学摸底考试卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 范围：集合与常用逻辑用语、不等式，函数、导数，三角函数、解三角形，平面向量 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．若曲线在处的切线也是曲线的切线，则（    ） A． B．1 C． D． 5．已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．若，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，若存在最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，，若存在3个零点，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（    ） A．当时，的图象关于对称 B．当时，在上的最大值为 C．当为的一个零点时，的最小值为1 D．当在上单调递减时，的最大值为1 10．若定义在上的偶函数，对任意两个不相等的实数，都有，则称为“函数”，下列函数为“函数”的是（    ） A． B． C． D． 11．定义：是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为.则下列选项正确的有（    ） A． B．的值是 C．函数有一个零点 D．过可以作三条直线与图象相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知平面向量，，，若，，则 . 13．一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的 方向用方向角作答 14．若，且，则的最小值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知平行四边形中，，点是线段的中点. (1)求的值； (2)若，且，求的值. 16．（15分） 已知函数. (1)若，求在区间上的最大值和最小值； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 17．（15分） 已知在中，的面积为． (1)求角的度数； (2)若是上的动点，且始终等于，记．当取到最小值时，求的值． 18．（17分） 已知，其中，. (1)若，函数的最小正周期T为，求函数的单调减区间； (2)设函数的部分图象如图所示，其中，，求函数的最小正周期T，并求的解析式. 19．（17分） 已知函数，其中实数. (1)求在处的切线方程； (2)若在上的最大值是0，求的取值范围； (3)当时，证明：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新高二开学摸底考试卷 数学•全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 范围：集合与常用逻辑用语、不等式，函数、导数，三角函数、解三角形，平面向量 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得集合，可求得. 【详解】依题得，则． 故选：C. 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由可得，解得， 所以由推得出，故充分性成立； 由推不出，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3．如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量共线的推论直接计算即可. 【详解】由题意可知，，所以， 又，即. 因为三点共线，所以，解得. 故选：D. 4．若曲线在处的切线也是曲线的切线，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】求出的导数，求得切线的斜率为1，可得切线方程，再设与曲线相切的切点为，求得函数的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得的值，进而得到的值. 【详解】由曲线，得， 在处的切线斜率为，当时，， 曲线在处的，即， 曲线，导数为， 设切点为，则，解得，切点在切线上， 即有，得. 故选：A. 5．已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合一次、二次函数单调性求解即得. 【详解】由是上的增函数，得，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：B 6．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先对进行化简整理，得到，求得结果. 【详解】 ， 所以. 故选：A. 7．已知函数，若存在最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的解析式，判断每段的单调性，继而列出满足题意的不等式，结合函数单调性，即可求得答案. 【详解】由题意知时，，在上单调递增，最小值为， 时，，单调递减，在上无最小值． 则由已知需满足，即， 设，易知该函数为R上的增函数，且，从而． 故选：A． 8．已知函数，，若存在3个零点，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，将函数零点问题转化为函数图像交点问题，然后结合函数图像，代入计算，即可求解. 【详解】 令，即， 则函数的零点个数即为函数与函数交点的个数， 做出函数与函数的图像，如图所示， 当直线与曲线相切时， 又当时，，则，则，则，即且点为，此时， 因为存在3个零点，即函数与函数的图像有3个交点， 所以，解得， 所以a的取值范围是. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（    ） A．当时，的图象关于对称 B．当时，在上的最大值为 C．当为的一个零点时，的最小值为1 D．当在上单调递减时，的最大值为1 【答案】ACD 【分析】根据三角函数性质分别判断余弦函数的对称轴，余弦函数的值域与最值，余弦函数的单调性，余弦函数的零点对选项逐一判定即可． 【详解】时，，因为， 所以关于对称，故A正确； 时，由可得， 根据余弦函数的单调性可知的最大值为，故B错误； 若，则，，所以，，且， 所以的最小值为1，故C正确； 因为在上单调递减，且， 根据余弦函数的单调性可知的单调递减区间为： ，，，， 所以，，所以，故D正确． 故选：ACD． 10．若定义在上的偶函数，对任意两个不相等的实数，都有，则称为“函数”，下列函数为“函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】通过分析可得“函数”满足两个条件，即是定义域为的偶函数，且在上为增函数，然后再对各选项进行判断. 【详解】根据题意，对任意两个不相等的实数，都有， 变形可得，即． 若，则，可得， 即在上为增函数． 又为偶函数，在上为减函数． 对于选项，易知在上单调递减，在上单调递增，不符合题意． 对于选项，函数的定义域为，且为偶函数． ，当时，在上为增函数，符合题意． 对于选项，函数的定义域为，不符合题意． 对于选项D，易知的定义域为，且为偶函数． 易知当时，单调递增，符合题意． 故选：BD. 11．定义：是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为.则下列选项正确的有（    ） A． B．的值是 C．函数有一个零点 D．过可以作三条直线与图象相切 【答案】BD 【分析】求出函数的一阶导数，二阶导数，令，依题意可得且，即可求出、的值，从而判断A，根据对称性得到，利用倒序相加法判断B，利用导数说明函数的单调性，求出函数的极值，结合零点存在性定理判断C，设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，判断关于的方程的根的个数即可判断D. 【详解】由，所以，， 令，得，由函数的对称中心为， 所以且，解得，故A错误； 因为的对称中心为， 即， 令, 则， 所以，所以，故B正确； 因为，则， 所以当时，，当或时，， 所以函数在，上单调递减，在上单调递增， 因此函数的极大值为，极小值为； 又，即，， 所以在和上存在零点，所以函数有三个零点， 故C错误； 设切点为，则切线方程为， 又切线过，则， 化简得，令 ， 则， 当或时，，单调递增，当时，， 单调递减，而，，，，所以有3个零点，即方程有3个不等实根，所以过可以作三条直线与图象相切，故D正确. 故选：BD 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知平面向量，，，若，，则 . 【答案】 【分析】根据向量平行和垂直的坐标表示得出参数计算即可. 【详解】因为，所以, 因为，所以, 所以. 故答案为：. 13．一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的 方向用方向角作答 【答案】南偏西 【分析】由正弦定理得到，由余弦定理得，从而由正弦定理得到，结合，得到，得到答案. 【详解】如图，在中，，    由正弦定理得 ，解得， 在 中，由余弦定理得 ， 因为 ，所以解得， 由正弦定理得 ，解得， 故 或， 因为，故为锐角，所以， 此时灯塔位于游轮的南偏西方向． 故答案为：南偏西 14．若，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】由题意可借助、表示出，从而消去，再计算化简后结合基本不等式计算即可得. 【详解】由，则， 即 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 15．已知平行四边形中，，点是线段的中点. (1)求的值； (2)若，且，求的值. 【详解】（1） （2）， ， ， ， 即，解得：. 16．已知函数. (1)若，求在区间上的最大值和最小值； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 【详解】（1）若，，， 令，因为，所以， 令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以，， 所以，； （2）因为在上恒成立， 即在上恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即的取值范围是. 17．已知在中，的面积为． (1)求角的度数； (2)若是上的动点，且始终等于，记．当取到最小值时，求的值． 【详解】（1）设，则，又，因此， 由为的内角，所以. （2）由（1）知，，又，则，因此， 在中，由正弦定理得，即， 在中，由正弦定理得， ， 显然，则有，因此当时，取到最小值， 此时，即， 所以的值. 18．已知，其中，. (1)若，函数的最小正周期T为，求函数的单调减区间； (2)设函数的部分图象如图所示，其中，，求函数的最小正周期T，并求的解析式. 【详解】（1）由题，，解得，故. 令， 所以的单调减区间为. （2）由题，可得，， 因此，，又，得. 由，得. 再将代入，即. 由，解得. 因此的解析式为. 19．已知函数，其中实数. (1)求在处的切线方程； (2)若在上的最大值是0，求的取值范围； (3)当时，证明：. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以函数图象在处的切线方程为. （2）当时，，， 当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递增，无最大值； 当时，由，得，函数在上单调递增， ，，则0不可能是在上的最大值； 当时，恒成立，当且仅当时取等号，因此函数在上单调递减， ，，即0是在上的最大值， 所以的取值范围. （3）当时，，不等式， 令函数，求导得， 显然函数在上单调递增，而， 则存在，使得，即， 当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 因此， 所以恒成立，即成立. 【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新高二开学摸底考试卷 数学·答案及评分标准 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 C A D A B A A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD BD BD 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 13.南偏西 14. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）---------------------4分 （2）， ， ，---------------------8分 ， 即，解得：.---------------------13分 16．（15分） 【详解】（1）若，，，---------------------2分 令，因为，所以， 令，，---------------------6分 则在上单调递减，在上单调递增，---------------------8分 又，，， 所以，， 所以，；---------------------10分 （2）因为在上恒成立， 即在上恒成立，---------------------12分 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即的取值范围是.---------------------15分 17．（15分） 【详解】（1）设，则，又，因此， 由为的内角，所以.---------------------4分 （2）由（1）知，，又，则，因此， 在中，由正弦定理得，即，---------------------6分 在中，由正弦定理得， ，---------------------13分 显然，则有，因此当时，取到最小值， 此时，即， 所以的值.---------------------15分 18．（17分） 【详解】（1）由题，，解得，故.---------------------4分 令， 所以的单调减区间为. ---------------------8分 （2）由题，可得，， 因此，，又，得. 由，得.---------------------14分 再将代入，即. 由，解得. 因此的解析式为.---------------------17分 19．（17分） 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以函数图象在处的切线方程为.---------------------4分 （2）当时，，， 当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递增，无最大值； 当时，由，得，函数在上单调递增，---------------------6分 ，，则0不可能是在上的最大值； 当时，恒成立，当且仅当时取等号，因此函数在上单调递减， ，，即0是在上的最大值， 所以的取值范围.---------------------10分 （3）当时，，不等式， 令函数，求导得， 显然函数在上单调递增，而， 则存在，使得，即， 当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增，---------------------15分 因此， 所以恒成立，即成立.---------------------17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( 学校 __________________ 班级 __________________ 姓名 __________________ 准考证号 __________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 高二开学摸底考试卷 数 学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题， 不 得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、 单项 选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、多项选择题 （ 每小题 6 分，共 1 8 分 ） 9 [A] [B] [C] [D] 1 0 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三 、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 1 2 ． ____________________ 1 3 ． ____________________ 14 ． ____________________ 四 、解答题（共 7 7 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 1 5 ．（ 1 3 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 6 ．（ 1 5 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17 ．（ 1 5 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ．（ 1 7 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19 ．（ 1 7 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$