第二章 圆锥曲线 （A考点梳理卷）-2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（北师大版2019选择性必修第一册）

第二章 圆锥曲线（A考点梳理卷） 姓名______ 班级______ 考号______ 考点一、椭圆 一、单选题 1．已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．10 【答案】C 【分析】由椭圆定义和得到，结合，由余弦定理得，进而得到正弦值，利用三角形面积公式求出答案. 【详解】由椭圆定义可得， 故， 又， 则由余弦定理得， 故， 故. 故选：C 2．已知分别为椭圆的左顶点和左焦点，直线与椭圆交于两点，若直线交线段于，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，又，由可得点的坐标，又由三点共线分类讨论斜率不存在和两种情况，建立关系即得. 【详解】 由题意得， 设，又， 所以，解得， 即， 又由三点共线可知 当斜率不存在时，由对称性可知垂直于x轴， 所以，所以， 即，整理得，即； 当时， 所以，整理得， 所以. 故选：B. 3．已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，且直线的一个方向向量为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得是直角三角形，进而可得，再根据椭圆定义建立等式计算即可. 【详解】因为，所以，即是直角三角形， 因为直线的一个方向向量为，所以，即， 因为，所以， 因为，所以. 故选：A 4．已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先得到，即可求出，再由离心率公式求出，最后再求出长轴长. 【详解】因为， 依题意可得， 所以， 则离心率，解得，则， 所以椭圆的长轴长为. 故选：B 5．椭圆的左右焦点为，，P为椭圆上第一象限内任意一点，关于P的对称点为M，关于的对称点为N，则的周长为（    ） A．10 B．14 C．18 D．20 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用椭圆定义，结合三角形中位线性质求解即得. 【详解】椭圆的长半轴轴，半焦距， 依题意，分别是的中点，即， 所以的周长为. 故选：D 二、多选题 6．设椭圆的左､右焦点分别为是上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为8 B．椭圆的离心率 C．面积的最大值等于12 D．以线段为直径的圆与圆相切 【答案】ACD 【分析】根据给定的椭圆方程，求出其长短半轴长及半焦距，再逐项计算判断得解. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，则半焦距， 对于A，的最大值为，A正确； 对于B，椭圆的离心率，B错误； 对于C，设点，则，而， 因此面积的最大值等于，C正确； 对于D，以线段为直径的圆为的圆心，半径， 圆的圆心，半径，，则圆与圆外切，D正确. 故选：ACD 7．椭圆的焦点为，，上顶点为A，直线与C的另一个交点为B，若，则（    ） A．C的焦距为2 B．C的短轴长为 C．C的离心率为 D．的周长为8 【答案】ABD 【分析】根据以及椭圆的对称性可得，进而可求解，即可根据选项逐一求解. 【详解】由于，所以, 故， 因此，故， 所以椭圆， 对于A，焦距为，故A正确， 对于B，短轴长为，B正确， 对于C，离心率为，C错误， 对于D，的周长为，D正确， 故选：ABD 8．已知分别是椭圆C：的左､右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（      ） A．的周长为10 B．面积的最大值为25 C．的最小值为1 D．椭圆C的离心率为 【答案】AD 【分析】由方程可得，结合椭圆性质逐项分析判断. 【详解】由题意可知：， 则，， 对于选项A：的周长为，故A正确； 对于选项B：当P为短轴顶点时，面积取到最大值为，故B错误； 对于选项C：的最小值为，此时P为长轴顶点， 但本题取不到长轴顶点，故没有最小值，故C错误； 对于选项D：椭圆C的离心率为，故D正确； 故选：AD. 三、填空题 9．若方程表示长轴长为10的椭圆，则实数m的值为 ． 【答案】0或9 【分析】根据方程的形式，结合长轴概念，分类讨论得出结果. 【详解】当焦点在x轴上时，有解得； 当焦点在y轴上时，有解得． 综上，实数m的值为0或9． 故答案为：0或9. 10．设P为椭圆上任意一点，其中，为它的一个焦点，则的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 【分析】代入两点间距离公式，转化为根据定义域求函数的最值. 【详解】设，， , ，函数在区间上单调递增， 当时，的最大值为，当时，的最小值是. 故答案为：； 考点二、双曲线 一、单选题 1．已知双曲线的左焦点到其渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据左焦点到渐近线的距离，结合双曲线的关系即可求出双曲线的离心率. 【详解】根据双曲线的几何性质可知，左焦点， 其到渐近线的距离为， 因为，所以. 故选：C． 2．过椭圆右焦点F的圆与圆O：外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点的坐标，结合两圆外切的性质探求出点的轨迹特征，进而求出方程. 【详解】由椭圆，得椭圆半焦距，即有，则椭圆的左焦点为， 设以FQ为直径的圆的圆心为C，如图， 由圆O与圆C外切，得，又，， 则， 因此Q的轨迹是以、F为焦点，实轴长的双曲线的右支，即，， 所以双曲线方程：． 故选：C 3．已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆P的半径为r，外切关系可得，，进而得，从而利用双曲线的定义即可求解. 【详解】由圆M：，得圆心，半径， 由圆N：，得圆心，半径． 设圆P的半径为r，则有，． 两式相减得， 所以圆心P的运动轨迹为以、为焦点的双曲线的左支， 又，所以C的方程为． 故选：B． 4．双曲线的左､右焦点分别为，离心率为，右支上一点满足，直线平分，过点作直线的垂线，垂足分别为.设为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C．10 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出，结合几何图形及双曲线定义可得的面积得解.， 【详解】由双曲线的离心率为，得，解得， 令直线交的延长线交于，直线交于，则， 由平分，且，得， 则，， 显然分别为线段的中点，而是的中点，于是， ，即，， 所以的面积. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题求出面积的关键是作出点，借助几何图形的特征，结合双曲线定义求得. 5．设双曲线的左焦点为，为坐标原点，为双曲线右支上的一点，，在上的投影向量的模为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取为的中点，为右焦点，根据得，由在上的投影向量的模为得，利用双曲线的定义可得结果. 【详解】取为的中点，为右焦点， ， ，， 在上的投影为，， ，，， ， ，. 故选：C 二、多选题 6．已知点在左､右焦点分别为的双曲线上，，则（    ） A．渐近线方程为 B．离心率为 C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得，即可判断AB，由余弦定理代入计算即可求得，再由三角形的面积公式，即可判断CD 【详解】因为，所以的渐近线方程为，离心率，故A错误，B正确. 不妨设点在的右支上，则.因为， 所以.在中，， 则， 所以的面积， 故C，D正确. 故选：BCD 7．已知为双曲线的右焦点，过的直线与圆相切于点，且与及其渐近线在第二象限的交点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．直线是的一条渐近线 C．若，则的离心率为 D．若，则的渐近线方程为 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，计算斜率判断A；由计算直线斜率判断B；求出点的坐标计算判断C，D. 【详解】对于A，根据题意，，设直线， 又因为直线与圆相切于点， 所以，A正确； 对于B，根据题意可知，可得， 所以直线是的一条渐近线，B正确； 对于C，若，根据题意，联立，解得， 同理联立，解得， 由于，故，即， 化简得，则的离心率为，C错误； 对于D，设，依题意知，则， 故，得， 故，代入，得， 所以，则， 得，则的渐近线方程为，D正确； 故选：ABD 【点睛】难点点睛：本题考查直线与双曲线位置关系问题，解答的难点在于计算，并且基本都是有关字母参数的运算，计算量大，很容易出错. 三、填空题 8．已知双曲线的中心在原点O，右焦点为，P是双曲线右支上一点，且的面积为.若点P的坐标为，求此双曲线的渐近线方程. 【答案】 【分析】根据的面积为求出，然后根据点P的坐标为和即可求解. 【详解】 设所求的双曲线的方程为， 由，所以，所以. 由点在双曲线上，所以，解得， 所以，，所以该双曲线的渐近线方程为， 故答案为：. 9．已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】由题意可得点满足双曲线的定义，且求得，的值，再由求得，则点的轨迹的方程可求． 【详解】解：由点是线段垂直平分线上的点， ， 又， 满足双曲线定义且，， ， 轨迹方程：． 故答案为：． 10．已知在双曲线上，其左、右焦点分别为、，三角形的内切圆切轴于点，则的值为 ． 【答案】 【分析】由已知点的坐标求得，根据内切圆性求得点坐标，然后由数量积的坐标运算计算． 【详解】因为在双曲线上，所以，解得， ∴，则、， 如图，设，内切圆与轴的切点是点，、与内切圆的切点分别为、， ∵由双曲线的定义可得， 由圆的切线长定理知，，，， 故，即，故， ∴，即，则，， ∴， 故答案为：． 考点三、抛物线 一、单选题 1．已知点在抛物线上，过点作圆的切线，若切线长为，则点到的准线的距离为（    ） A．5 B．6 C．7 D． 【答案】A 【分析】由圆的切线的性质可求得，结合抛物线方程计算可得点横坐标，即可得点到的准线的距离. 【详解】如图所示： 设切点为Q，则， 则， 设，则由两点间距离公式得到， 解得，因为，所以， 因为的准线方程为，所以点到的准线的距离PE为. 故选：A. 2．已知为抛物线的焦点，过上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的知识可以知道点，然后再利用切线和垂直即可求解. 【详解】由题意易得， 过上一点作圆的两条切线，切点分别为，且， 且， 将点代入抛物线方程可得，即， ，解得. 故选：D. 3．已知抛物线的准线与圆相切，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】将抛物线方程化为标准形式，即可得其准线为，结合圆的方程可得，即可得结果. 【详解】因为抛物线方程为，即，可知其准线为， 又因为圆，即，可知圆心为，半径， 由题意可得：，解得. 故选：C. 4．已知抛物线的焦点为，直线过焦点与该抛物线相交于两点，为坐标原点，则的值是（    ） A．2 B．3 C．-2 D．-3 【答案】D 【分析】设出直线方程，联立，得到两根之和，两根之积，并得到，从而得到 【详解】由题意得，当的斜率为0时，不满足要求， 设直线的方程为，联立得， 设， 则， 故， 则. 故选：D 5．已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义把问题转化为求取得最小值，数形结合求解即可. 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 设点在准线上的射影为，如图，    则根据抛物线的定义可知， 求的最小值，即求的最小值， 显然当，，三点共线时取得最小值， 此时点的横坐标为，则，解得，即. 故选：D. 二、多选题 6．过抛物线的焦点的直线与相交于两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】 由焦点的坐标即可判断AB，结合抛物线的定义，即可判断C，由平面向量的坐标运算，结合韦达定理即可判断D 【详解】由题意可得，即，所以，故A正确，B错误； 设，联立直线与抛物线方程， 消去可得，则， 所以，故C正确； 又， 则 ，故D错误； 故选：AC. 7．抛物线的焦点为、为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于、两点，点M(2，2)，下列结论正确的是（ ） A．抛物线的方程为： B．抛物线的准线方程为： C．当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切 D．以M为中点的弦的直线方程为： 【答案】BCD 【分析】根据焦半径即可求解A，根据准线方程即可求解B，求解圆心和半径即可判断C，根据点差法求解直线的斜率，即可由点斜式求解直线方程. 【详解】对于A：当运动到时，，故，即抛物线为，故A错误； 对于B：由，故抛物线的准线方程为：，故B正确； 对于C：当直线过焦点时，设为，则， 故以为直径的圆的半径为，又，故以为直径的圆的圆心坐标为， 圆心到轴的距离与该圆半径相等，即该圆与轴相切,故C正确； 对于D：设M(2，2)是的中点, ，相减可得， 由于，故,又直线经过点,故直线方程为，则D正确. 故选：BCD. 三、填空题 8．已知直线与抛物线在第一象限交于点，若点到的准线的距离为，则 . 【答案】3 【分析】先由直线方程与抛物线方程联方程组表示出点的横坐标，再根据抛物线的定义结合题意列方程可求出. 【详解】抛物线的准线方程为， 由，得，即， 解得或， 所以点的横坐标为， 因为点到的准线的距离为， 所以，解得. 故答案为：3 9．抛物线镜面有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经过抛物线上的另一点反射后，平行于入射光线射出，则 ． 【答案】 【分析】由已知可求得点，设直线的方程为，联立方程组，可求得，从而可求. 【详解】令，得，即.    由抛物线的光学性质可知直线经过焦点，设直线的方程为， 代入，消去得，则， 所以，所以. 故答案为：. 10．抛物线的焦点为，准线为，点是准线上的动点，若点在抛物线上，且，则（为坐标原点）的最小值为 . 【答案】 【分析】由题意结合抛物线的定义求出，设点关于直线对称点为，则，从而可求出的最小值. 【详解】由，得，所以，准线为， 不妨设点在第一象限，过作于，则，得， 则，得，所以， 设点关于直线对称点为，则， 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为， 故答案为： 考点四、直线与圆锥曲线 一、单选题 1．已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出直线的斜率为，点两点的坐标，代入抛物线方程，作差，可得，又的中点为，即求出. 【详解】易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则两式相减得，整理得， 因为的中点为，则， 所以，即直线的斜率为. 故选：D. 2．已知直线与椭圆相切，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立直线与椭圆方程，由相切得到，从而得解. 【详解】依题意，联立，得， 化解得， 因为直线与椭圆相切， 所以， 化简整理得，所以. 故选：C. 3．已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，线段的中点为，射线与交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由椭圆的离心率，得，，求得直线的方程，与椭圆方程联立，求得点坐标，由解方程可得c，再由椭圆的定义，可得. 【详解】由椭圆的离心率，得，， 由，，，可得， 直线的斜率为，方程为， 椭圆方程，即， 联立直线和椭圆方程，可得，由，解得， 则，即 由，解得， . 故选：C 4．设O为坐标原点，直线过抛物线：（）的焦点且与交于两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为2 C．若，则 D．轴上存在一点，使为定值 【答案】D 【分析】对于A选项，利用过焦点的弦长最短时是通径的结论即可得到；对于B选项，利用抛物线上的点的性质进行转化，再结合图象，三点共线时，对应的线段和最小；对于C选项，得到点的坐标，直线方程，联立直线与抛物线的方程求得点的坐标进而求得；对于D选项，设出直线方程，与抛物线方程联立，得到韦达定理，代入进行化简，要使得为定值，，从而存在点. 【详解】 A选项，因为过焦点，故当且仅当为通径时，最短，即，从而，故A错误； B选项，由抛物线的定义知，所以， 由图知，当且仅当三点共线时，取得最小值，即，故B错误； C选项，由图是抛物线的准线与准线的交点，所以，在中，，所以， 所以，所以，所以， 联立得，得，从而， 所以，故C错误； D选项，设，联立得，， 设，则，设轴上存在一点， 则 ， 故当时，，即存在使得为定值，故D正确. 故选：D. 5．已知双曲线C：的左，右焦点分别是，，其中，过右焦点的直线l与双曲线的右支交与A，B两点，则下列说法中正确的是（ ） A．弦AB的最小值为 B．若，则三角形的周长 C．若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则 D．若直线AB的斜率为，则双曲线的离心率 【答案】ABC 【分析】A选项焦点弦最短为通径; B选项利用双曲线的定义即可得到三角形的周长;C选项中点弦利用点差法即可得到斜率之间的关系; D选项结合点渐近线斜率可以得到离心率的斜率. 【详解】对于A，    弦AB的最小值为通径，故A正确; 对于B，    由双曲线的定义得,, 所以,, , 则三角形的周长,故B正确; 对于C,    设,则，两式相减得 即，即得， 故C正确; 对于D,    若直线AB的斜率为,所以，所以，所以， 所以，故D错误. 故选：ABC. 二、多选题 6．已知为双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线C的右支于P，Q两点，则下列叙述正确的是（    ） A．直线与直线的斜率之积为 B．的最小值为 C．若，则的周长为 D．点P到两条渐近线的距离之积 【答案】BCD 【分析】由双曲线的定义和条件，易得结论；设，则，计算直线与直线的斜率之积，其到两条渐近线的距离之积，判断选项A、D；利用双曲线的定义和性质可判断选项B、C. 【详解】 如图，， 设，则， 又，故A错误； 由双曲线的焦点弦的性质，可得过焦点垂直于轴的弦的长度最小， 即的最小值为，故B正确； 由双曲线的定义得， 所以， 故的周长为， 故C项正确； 由双曲线的渐近线方程为， 可得点P到两条渐近线的距离之积为 ，D正确. 故选：BCD 7．已知点是椭圆上的一点，经过原点的直线与椭圆交于两点（不同于左、右顶点），且，直线与轴交于点与轴垂直，则下列说法正确的是（    ） A．记直线的斜率为，则 B． C．面积的最大值为 D．若是椭圆的左焦点，则的最小值为 【答案】ABC 【分析】对于A，解出坐标，进而解出即可判断；对于B，利用，分别求出，解出，即即可；对于C，由等面积法，解出，当且仅当，时等号成立，即可判断；对于D，由题意可得到，变形再结合基本不等式可得出当且仅当，时等号成立，又是上异于顶点的一点，所以故即可判断. 【详解】 如图： 对于A，设，则，，所以，，所以，故A正确； 对于B，设， 所以， 又，所以，又，所以， 解得，所以，故B正确； 对于C，由，又， 所以， 当且仅当，时等号成立，故C正确； 对于D，记的右焦点为，所以， 所以 ， 当且仅当，时等号成立，又是上异于顶点的一点， 故，所以取不到等号，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：等面积法，解出，当且仅当，时等号成立，等面积结合基本不等式是解决本题的关键所在. 三、填空题 8．已知双曲线C：，过点的直线l与双曲线C交于M、N两点，若P为线段的中点，则弦长 . 【答案】 【分析】设直线为，联立双曲线方程，应用韦达定理及中点坐标公式求k值，利用弦长公式求解即可. 【详解】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线为， 联立，得， 设，则， 所以，解得，经检验符合题意； 则，. 弦长. 故答案为：. 9．椭圆C：的左、右焦点分别为、，点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接、，设的平分线交椭圆C的长轴于点，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先设，分别求出直线，的方程，再由角平分线的性质，得到，结合的取值范围即可得的取值范围； 【详解】 设，则． 又，， 所以直线，的方程分别为， ． 由点到两直线的距离相等得，， 所以． 因为，， 所以，所以， 因此． 故答案为：. 10．已知直线和，过动点作两直线的平行线，分别交于两点，其中点在第一象限，点在第四象限.若平行四边形（为坐标原点）的面积为3，记动点的轨迹为曲线，若曲线与直线有且仅有两个交点，则的取值范围为 . 【答案】或 【分析】设，过点M且平行的直线方程为，与联立，求得点A的坐标和点M到的距离，再利用平行四边形（为坐标原点）的面积求得点M的轨迹为双曲线的右支，再根据直线过定点，利用数形结合法求解. 【详解】解：设，过点M且平行的直线方程为， 由，解得，则， 又点M到直线的距离为， 所以平行四边形（为坐标原点）的面积为， 由题意点在第一象限，点在第四象限可知，点在直线下方，在直线上方， 化简得，其渐近线方程为， 如图所示： 因为直线过定点，若直线与曲线有两个交点， 则的取值范围为或， 故答案为：或 考点五、综合应用 1．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求弦中点坐标. 【详解】（1）依题意得： ，即，解得 ，解得 椭圆的方程为 （2）如图所示：    设，中点为， 所以 则 又两点在椭圆上，可得， 两式相减可得，整理得 ，①. 过点斜率为的直线为. 因为在直线上，故，② 联立①②，解得 所以中点坐标为. 2．已知抛物线：的焦点为，直线与交于，两点． (1)求的值； (2)若上存在点，使的重心恰为，求的值及点的坐标． 【详解】（1）联立方程：和， 消去得得， 则． （2）设点，易知，如下图所示： 由（1）可得， 由的重心恰为可得，即； 且，可得 由点在上，满足，可得， 解得， 所以，， 即点为． 3．已知平面直角坐标系内的动点恒满足：点到定点的距离与它到定直线的距离相等． (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)过点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，证明：． 【详解】（1）设点P的坐标，由题设及抛物线的定义可知， 点P的轨迹为以焦点，准线方程为的抛物线， 故点P的轨迹C的方程为：． （2）证明：由（1）得，曲线C的方程为：． 由题设可知，直线l的斜率必不为0，故设， 由得：，， 设，，则，． 所以，，故即． 4．已知椭圆. (1)若椭圆的左右焦点分别为为的上顶点，求的周长； (2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围. 【详解】（1）由题意得， 所以， 所以的周长为； （2）显然不满足题意，设直线的方程为， 由，得， 由，得， 则， ， 因为为锐角，不共线，所以， 所以，所以， 所以 ， 解得， 因为 所以解得或， 所以实数的取值范围为 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是将为锐角转化为，则，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题. 5．已知双曲线C的标准方程为.若虚轴长为，且双曲线上的任意一点P到左右两个焦点距离之差的绝对值为2. (1)求双曲线C的标准方程; (2)若点(0，1)，求的取值范围; (3)若斜率为的直线过右焦点，且与C的右支相交于A、B两点，问:在x轴上是否存在定点M，使得无论直线绕点怎样转动，总有成立?如果存在，求出定点M的坐标;如果不存在，请说明理由. 【详解】（1）由题意得，解得，则双曲线． （2）设，，则. 所以的取值范围为; （3）存在． 双曲线的右焦点， 当直线l的斜率存在时，设直线l方程为，与双曲线方程联立消y得， 所以，得，且． 设， 假设存在实数m，使得，则对任意恒成立． 所以，解得． 当直线l的斜率不存在时，由及知结论也成立． 综上，存在，使． (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)过点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，证明：． 4．已知椭圆. (1)若椭圆的左右焦点分别为为的上顶点，求的周长； (2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围. 5．已知双曲线C的标准方程为.若虚轴长为，且双曲线上的任意一点P到左右两个焦点距离之差的绝对值为2. (1)求双曲线C的标准方程; (2)若点(0，1)，求的取值范围; (3)若斜率为的直线过右焦点，且与C的右支相交于A、B两点，问:在x轴上是否存在定点M，使得无论直线绕点怎样转动，总有成立?如果存在，求出定点M的坐标;如果不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 圆锥曲线（A考点梳理卷） 姓名______ 班级______ 考号______ 考点一、椭圆 一、单选题 1．已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．10 2．已知分别为椭圆的左顶点和左焦点，直线与椭圆交于两点，若直线交线段于，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，且直线的一个方向向量为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 5．椭圆的左右焦点为，，P为椭圆上第一象限内任意一点，关于P的对称点为M，关于的对称点为N，则的周长为（    ） A．10 B．14 C．18 D．20 二、多选题 6．设椭圆的左､右焦点分别为是上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为8 B．椭圆的离心率 C．面积的最大值等于12 D．以线段为直径的圆与圆相切 7．椭圆的焦点为，，上顶点为A，直线与C的另一个交点为B，若，则（    ） A．C的焦距为2 B．C的短轴长为 C．C的离心率为 D．的周长为8 8．已知分别是椭圆C：的左､右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（      ） A．的周长为10 B．面积的最大值为25 C．的最小值为1 D．椭圆C的离心率为 三、填空题 9．若方程表示长轴长为10的椭圆，则实数m的值为 ． 10．设P为椭圆上任意一点，其中，为它的一个焦点，则的最大值为 ，最小值为 ． 考点二、双曲线 一、单选题 1．已知双曲线的左焦点到其渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 2．过椭圆右焦点F的圆与圆O：外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 4．双曲线的左､右焦点分别为，离心率为，右支上一点满足，直线平分，过点作直线的垂线，垂足分别为.设为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C．10 D． 5．设双曲线的左焦点为，为坐标原点，为双曲线右支上的一点，，在上的投影向量的模为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．已知点在左､右焦点分别为的双曲线上，，则（    ） A．渐近线方程为 B．离心率为 C． D． 7．已知为双曲线的右焦点，过的直线与圆相切于点，且与及其渐近线在第二象限的交点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．直线是的一条渐近线 C．若，则的离心率为 D．若，则的渐近线方程为 三、填空题 8．已知双曲线的中心在原点O，右焦点为，P是双曲线右支上一点，且的面积为.若点P的坐标为，求此双曲线的渐近线方程. 9．已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为 ． 10．已知在双曲线上，其左、右焦点分别为、，三角形的内切圆切轴于点，则的值为 ． 考点三、抛物线 一、单选题 1．已知点在抛物线上，过点作圆的切线，若切线长为，则点到的准线的距离为（    ） A．5 B．6 C．7 D． 2．已知为抛物线的焦点，过上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 3．已知抛物线的准线与圆相切，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 4．已知抛物线的焦点为，直线过焦点与该抛物线相交于两点，为坐标原点，则的值是（    ） A．2 B．3 C．-2 D．-3 5．已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．过抛物线的焦点的直线与相交于两点，则（   ） A． B． C． D． 7．抛物线的焦点为、为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于、两点，点M(2，2)，下列结论正确的是（ ） A．抛物线的方程为： B．抛物线的准线方程为： C．当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切 D．以M为中点的弦的直线方程为： 三、填空题 8．已知直线与抛物线在第一象限交于点，若点到的准线的距离为，则 . 9．抛物线镜面有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经过抛物线上的另一点反射后，平行于入射光线射出，则 ． 10．抛物线的焦点为，准线为，点是准线上的动点，若点在抛物线上，且，则（为坐标原点）的最小值为 . 考点四、直线与圆锥曲线 一、单选题 1．已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线与椭圆相切，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，线段的中点为，射线与交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 4．设O为坐标原点，直线过抛物线：（）的焦点且与交于两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为2 C．若，则 D．轴上存在一点，使为定值 5．已知双曲线C：的左，右焦点分别是，，其中，过右焦点的直线l与双曲线的右支交与A，B两点，则下列说法中正确的是（ ） A．弦AB的最小值为 B．若，则三角形的周长 C．若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则 D．若直线AB的斜率为，则双曲线的离心率 二、多选题 6．已知为双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线C的右支于P，Q两点，则下列叙述正确的是（    ） A．直线与直线的斜率之积为 B．的最小值为 C．若，则的周长为 D．点P到两条渐近线的距离之积 7．已知点是椭圆上的一点，经过原点的直线与椭圆交于两点（不同于左、右顶点），且，直线与轴交于点与轴垂直，则下列说法正确的是（    ） A．记直线的斜率为，则 B． C．面积的最大值为 D．若是椭圆的左焦点，则的最小值为 三、填空题 8．已知双曲线C：，过点的直线l与双曲线C交于M、N两点，若P为线段的中点，则弦长 . 9．椭圆C：的左、右焦点分别为、，点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接、，设的平分线交椭圆C的长轴于点，则m的取值范围为 ． 10．已知直线和，过动点作两直线的平行线，分别交于两点，其中点在第一象限，点在第四象限.若平行四边形（为坐标原点）的面积为3，记动点的轨迹为曲线，若曲线与直线有且仅有两个交点，则的取值范围为 . 考点五、综合应用 1．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求弦中点坐标. 2．已知抛物线：的焦点为，直线与交于，两点． (1)求的值； (2)若上存在点，使的重心恰为，求的值及点的坐标． 3．已知平面直角坐标系内的动点恒满足：点到定点的距离与它到定直线的距离相等． (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)过点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，证明：． 4．已知椭圆. (1)若椭圆的左右焦点分别为为的上顶点，求的周长； (2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围. 5．已知双曲线C的标准方程为.若虚轴长为，且双曲线上的任意一点P到左右两个焦点距离之差的绝对值为2. (1)求双曲线C的标准方程; (2)若点(0，1)，求的取值范围; (3)若斜率为的直线过右焦点，且与C的右支相交于A、B两点，问:在x轴上是否存在定点M，使得无论直线绕点怎样转动，总有成立?如果存在，求出定点M的坐标;如果不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$