专题02 子集、全集、补集重难点题型专训（8大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年高一年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版2019必修第一册）

专题02 子集、全集、补集重难点题型专训（8大题型+20道拓展培优） 题型一 判断集合的子集（真子集）的个数 题型二 求集合的子集（真子集） 题型三 判断两个集合的包含关系 题型四 根据集合的包含关系求参数 题型五 判断两个集合是否相等 题型六 根据两个集合相等求参数 题型七 空集的概念以及判断 题型八 空集的性质及应用 知识点01：图（韦恩图） 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。 对图的理解 (1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线. (2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显. 知识点02：子集 1子集： 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 知识点03：集合相等 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.  （1）的图表示 （2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关 知识点04：真子集的含义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 知识点05：空集的含义 我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作： 规定：空集是任何集合的子集，即; 性质：①空集只有一个子集，即它的本身， (2)，则 和 和 和 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 表示集合； 是实数 不含任何元素 含有一个元素 不含任何元素 含有一个元素，该元素为： 关系 或者 【经典例题一 判断集合的子集（真子集）的个数】 【例1】（2024·黑龙江·三模）已知集合，则满足的集合C的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 1．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）若集合，则集合的子集共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25高一上·上海·单元测试）满足的集合共有 个. 3．（23-24高一上·全国·课后作业）若集合至多有一个真子集，求a的取值范围． 【经典例题二 求集合的子集（真子集）】 【例2】（23-24高三上·四川·期末）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·四川成都·期中）集合的一个子集是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）集合的所有真子集为 ． 3．（2022高一上·全国·专题练习）设，写出集合的子集，并指出其中哪些是它的真子集． 【经典例题三 判断两个集合的包含关系】 【例3】（23-24高二下·河北保定·期末）已知集合，，则（         ） A． B．AB C．BA D． 1．（2024·陕西商洛·模拟预测）在下列选项中，能正确表示集合和的关系的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）下列说法中，正确的是 ．（填序号） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)为正整数}，，为正整数}． 【经典例题四 根据集合的包含关系求参数】 【例4】（2024·黑龙江·模拟预测）若集合，若，则（    ） A．1 B． C．或1 D． 1．（2024·重庆·三模）已知集合，集合，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合，，且，则 ． 3．（2024高一·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求m的取值范围． (2)若，求m的取值范围． 【经典例题五 判断两个集合是否相等】 【例5】（23-24高一下·山东淄博·期中）已知集合，，（    ） A． B． C． D． 1．（16-17高一上·宁夏石嘴山·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（   ） A．整数，整数集 B．， C．， D．， 2．（23-24高一上·江苏·课前预习）如果两个集合的元素完全相同，那么就称这两个集合 . 3．（21-22高一上·全国·课后作业）已知集合，，判断这两个集合之间的关系并判断它们的特征性质之间的关系. 【经典例题六 根据两个集合相等求参数】 【例6】（23-24高一下·江苏连云港·期末）设为实数，，若，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 1．（23-24高二上·云南大理·期末）设集合，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2012高一·全国·竞赛）已知集合，其中，若，则 ． 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）集合是由实数2，3组成的集合，集合是由实数、组成的集合，若，求的值． 【经典例题七 空集的概念以及判断】 【例7】（2024高一上·全国·专题练习）下列四个集合中是空集的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知下面关系式：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（24-25高一上·全国·课前预习）规定:空集是任何集合的子集，也就是说，对于任意一个集合A，都有 . 3．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）集合 (1)若是空集，求的取值范围 (2)若中只有一个元素，求的值并把这个元素写出来 【经典例题八 空集的性质及应用】 【例8】（23-24高一上·新疆·阶段练习）在下列格式中错误的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列结论正确的是（　　） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 2．（23-24高一上·四川广安·期中）若集合，则实数a的值的集合为 ． 3．（21-22高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围： (1)； (2)恰有一个元素. 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·全国·期末）已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 3．（22-23高二下·河南省直辖县级单位·开学考试）集合或，，若，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·四川资阳·期中）满足的集合M共有（    ） A．16个 B．15个 C．8个 D．7个 5．（17-18高三·湖南常德·阶段练习）设集合,对的任意非空子集A，定义为集合A中的最大元素，当A取遍的所有非空子集时，对应的的和为，则 A． B． C． D． 6．（23-24高三下·浙江·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·山东·期中）已知集合，且，则实数可能的取值是（    ） A． B．0 C．-1 D． 8．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）设集合，，如果，则可能的取值是（    ） A． B． C．0 D． 9．（22-23高一上·重庆渝中·阶段练习）对于一个非空集合，如果满足以下四个条件： ①， ②， ③，若且，则， ④，若且，则， 就称集合为集合A的一个“偏序关系”，以下说法正确的是（    ） A．设，则满足是集合A的一个“偏序关系”的集合共有3个 B．设，则集合是集合A的一个“偏序关系” C．设，则含有四个元素且是集合A的“偏序关系”的集合共有6个 D．是实数集R的一个“偏序关系” 10．（23-24高一上·江苏南通·开学考试）下列四个命题中正确的是（    ） A．由所确定的实数集合为 B．同时满足的整数解的集合为 C．集合可以化简为 D．中含有三个元素 11．（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知集合.若的真子集个数是3，则实数的取值范围是 . 12．（2024·上海嘉定·二模）若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是 ． 13．（2016高一·全国·竞赛）已知集合，且，给出下列命题： ①满足的集合的个数为； ②满足⫋的集合的个数为； ③满足⫋的集合的个数为； ④满足⫋⫋的集合的个数为． 其中正确的是 ．（填上你认为正确的所有命题序号） 14．（2024高二·全国·竞赛）设非空集合满足，，则这样的的个数为 ． 15．（23-24高三上·上海浦东新·期中）是正整数集的子集，满足：，并有如下性质：若、，则，其中表示不超过实数的最大整数，则的非空子集个数为 ． 16．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合中有两个元素、，集合中的两个元素为0、，且，求实数的值． 17．（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 18．（23-24高一上·北京顺义·期中）已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． (1)若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； (3)若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 19．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 20．（23-24高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减加各数.例如的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和； (2)已知集合，根据提示解决问题.求集合所有非空子集的元素和的总和； 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 子集、全集、补集重难点题型专训（8大题型+20道拓展培优） 题型一 判断集合的子集（真子集）的个数 题型二 求集合的子集（真子集） 题型三 判断两个集合的包含关系 题型四 根据集合的包含关系求参数 题型五 判断两个集合是否相等 题型六 根据两个集合相等求参数 题型七 空集的概念以及判断 题型八 空集的性质及应用 知识点01：图（韦恩图） 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。 对图的理解 (1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线. (2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显. 知识点02：子集 1子集： 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 知识点03：集合相等 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.  （1）的图表示 （2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关 知识点04：真子集的含义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 知识点05：空集的含义 我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作： 规定：空集是任何集合的子集，即; 性质：①空集只有一个子集，即它的本身， (2)，则 和 和 和 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 表示集合； 是实数 不含任何元素 含有一个元素 不含任何元素 含有一个元素，该元素为： 关系 或者 【经典例题一 判断集合的子集（真子集）的个数】 【例1】（2024·黑龙江·三模）已知集合，则满足的集合C的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用子集求解即可. 【详解】由题知 因为，所以根据子集的定义， 集合必须含有元素2，3，且可能含有元素1，4， 即集合的子集个数为个. 故选：C. 1．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）若集合，则集合的子集共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据子集的定义逐一列举求解. 【详解】因为集合，所以集合的子集有：，，，. 所以集合的子集共有4个. 故选：C. 2．（24-25高一上·上海·单元测试）满足的集合共有 个. 【答案】4 【分析】根据中可能有的元素个数可求集合的个数. 【详解】因为，故中必有元素，可能有元素， 故满足条件的集合的个数为， 故答案为：4. 3．（23-24高一上·全国·课后作业）若集合至多有一个真子集，求a的取值范围． 【答案】或. 【分析】分类讨论集合A的元素个数即可. 【详解】①当A无真子集时，即时， 则方程无实根， 所以，解之得. ②当A只有一个真子集时，即A为单元素集，这时有两种情况： 当时，方程化为，解得，符合题意； 当时，由，解得，符合题意. 综上，当集合A至多有一个真子集时，a的取值范围是或. 【经典例题二 求集合的子集（真子集）】 【例2】（23-24高三上·四川·期末）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由真子集的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】，故A错误； ，故B错误； 因为是集合的子集，但不是真子集，故D错误； 是集合的真子集，故C正确. 故选：C. 1．（23-24高一上·四川成都·期中）集合的一个子集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简集合，结合选项可得答案. 【详解】因为，所以的子集有，； 故选：D. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）集合的所有真子集为 ． 【答案】，， 【分析】根据真子集的定义写出集合的所有真子集即可． 【详解】解：集合的所有真子集为：，，， 故答案为：，，． 3．（2022高一上·全国·专题练习）设，写出集合的子集，并指出其中哪些是它的真子集． 【答案】答案见解析 【分析】解出集合，按元素个数进行分类写出其子集即可. 【详解】由，得， 解方程得或或，故集合. 由0个元素构成的子集为； 由1个元素构成的子集为； 由2个元素构成的子集为； 由3个元素构成的子集为, 因此集合A的子集为:，，，． 真子集为:，，. 【经典例题三 判断两个集合的包含关系】 【例3】（23-24高二下·河北保定·期末）已知集合，，则（         ） A． B．AB C．BA D． 【答案】C 【分析】根据子集包含关系得到答案. 【详解】，故BA. 故选：C 1．（2024·陕西商洛·模拟预测）在下列选项中，能正确表示集合和的关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合B，然后利用两个集合之间的关系进行判断即可. 【详解】由，可得，又，所以 故选：B 2．（24-25高一上·上海·课后作业）下列说法中，正确的是 ．（填序号） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． 【答案】①③ 【分析】需要理解子集，真子集，集合相等的概念，例如要理解如果，不一定能得出，也存在． 【详解】解：①若，则，正确； ②若，不一定，也存在，故错误； ③若，则，正确； ④若，不一定，也存在，故错误； 故答案为：①③． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)为正整数}，，为正整数}． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件，结合子集的定义，举例即可求解； （2）根据已知条件，结合子集的定义，理解的倍数一定是的倍数，的倍数不一定是的倍数，即可求解； （3）根据已知条件，结合子集的定义，注意奇数1即可求解． 【详解】（1）解：的唯一元素， 又， ； （2）解：，， ，， 的倍数一定是的倍数， 的倍数不一定是的倍数， 例如：， ； （3）解：为正整数}正奇数， ，为正整数}不小于3的正奇数， ． 【经典例题四 根据集合的包含关系求参数】 【例4】（2024·黑龙江·模拟预测）若集合，若，则（    ） A．1 B． C．或1 D． 【答案】C 【分析】分类讨论，计算检验，即可得到结果. 【详解】当时，，此时满足. 当时，，此时满足， 故选:C. 1．（2024·重庆·三模）已知集合，集合，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用子集的概念求解. 【详解】集合，集合， 若，又，所以，解得 故选：B 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合，，且，则 ． 【答案】 【分析】由已知，可以得出，就可以求出的值． 【详解】解：， 集合的元素都属于集合， ，必有， ． 故答案为：． 3．（2024高一·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求m的取值范围． (2)若，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据集合的包含关系列出不等式即可得解； （2）分和两种情况讨论即可得解. 【详解】（1）若，如图所示，    则，解得， 所以m的取值范围为； （2）若，有和两种情况， 当时，，解得， 当时，如图所示，    则，解得， 综上，m的取值范围为． 【经典例题五 判断两个集合是否相等】 【例5】（23-24高一下·山东淄博·期中）已知集合，，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分析集合M、N，得到，从而得解. 【详解】， ， 因为表示奇数，列举为， 同样表示奇数，所以. 故选：A 1．（16-17高一上·宁夏石嘴山·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（   ） A．整数，整数集 B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由集合的定义，依次对集合判断，从而确定集合是否相等即可. 【详解】A选项，整数中的元素是整数，整数集中的元素是整数集，故不是同一集合； B选项，中的元素是，中的元素是，故不是同一集合； C选项，与都表示直线上的所有点，故是同一集合； D选项，中的元素是数1，2，中的元素是有序数对，故不是同一集合； 故选：C. 2．（23-24高一上·江苏·课前预习）如果两个集合的元素完全相同，那么就称这两个集合 . 【答案】相等 3．（21-22高一上·全国·课后作业）已知集合，，判断这两个集合之间的关系并判断它们的特征性质之间的关系. 【答案】答案见解析 【分析】先化简集合，从而可判断这两个集合之间的关系，进而可得它们的特征性质之间的关系. 【详解】因为，，所以. 因为，，所以. 故，，所以. 所以它们的特征性质之间的关系为等价于. 【经典例题六 根据两个集合相等求参数】 【例6】（23-24高一下·江苏连云港·期末）设为实数，，若，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据集合相等得到，解得即可. 【详解】因为，若， 所以，解得. 故选：A 1．（23-24高二上·云南大理·期末）设集合，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合即可求解. 【详解】由题意知，， 因为，所以，所以B正确. 故选：B. 2．（2012高一·全国·竞赛）已知集合，其中，若，则 ． 【答案】 【分析】根据元素的互异性即可求解. 【详解】，即，又，所以， 解得，当时，，与元素的互异性矛盾，所以． 时，符合要求， 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）集合是由实数2，3组成的集合，集合是由实数、组成的集合，若，求的值． 【答案】或 【分析】根据集合相等的定义直接计算即可. 【详解】由可知，当时，或当时，，易得或. 【经典例题七 空集的概念以及判断】 【例7】（2024高一上·全国·专题练习）下列四个集合中是空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空集的定义，结合选项即可求解. 【详解】对于A,集合中有一个元素，故不是空集， 对于B,方程无实数解，∴集合为空集， 对于C，是无限集，所以不是空集， 对于D, ，不是空集. 故选：B． 1．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知下面关系式：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由元素与集合的关系和集合与集合间的包含关系可得. 【详解】①，包含关系是两个集合间的一种关系， 而不是一个集合，故①错误； ②是不含任何元素的集合，，故②正确； ③是任何集合的子集，，故③正确； ④，两集合有包含关系， 且集合为数集，它只有和两个元素， 集合不是它的元素，故④错误. 故其中正确的个数为. 故选：C. 2．（24-25高一上·全国·课前预习）规定:空集是任何集合的子集，也就是说，对于任意一个集合A，都有 . 【答案】 3．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）集合 (1)若是空集，求的取值范围 (2)若中只有一个元素，求的值并把这个元素写出来 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）讨论当时和当时两种情况，当时，，从而可得答案. （2）讨论当时和当时两种情况，列出方程，即可得解； 【详解】（1）当时，原方程可化为，得，不符合题意； 当即时解集为空集， 所以的取值范围是. （2）当时，原方程可化为，得，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，由题意得，，得. 所以当或时，集合A中只有一个元素． 【经典例题八 空集的性质及应用】 【例8】（23-24高一上·新疆·阶段练习）在下列格式中错误的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系，结合空集、子集概念判断正误即可. 【详解】，，，，即， 所以①③⑤对，②④错. 故选：B 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列结论正确的是（　　） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 【答案】C 【分析】利用空集的性质以及子集，真子集的定义、元素与集合的属于关系、集合与集合的包含关系对各个问题逐个判断即可求解． 【详解】解：A．空集只有一个子集，是它本身，故错误，不符合题意； B．空集是任何非空集合的真子集，故错误，不符合题意； C．若且，则，正确，符合题意； D．若且，则不一定相等，故错误，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24高一上·四川广安·期中）若集合，则实数a的值的集合为 ． 【答案】 【分析】分与两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】当时，满足题意； 当时，应满足，解得； 综上可知，a的值的集合为． 故答案为：． 3．（21-22高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围： (1)； (2)恰有一个元素. 【答案】(1) (2) 【分析】若，则关于x的方程没有实数解，则，且，由此能求出实数m的取值范围． 若A恰有一个元素，所以关于x的方程恰有一个实数解，分类讨论能求出实数m的取值范围． 【详解】（1）若，则关于x的方程没有实数解， 则，且， 所以，实数m的取值范围是； （2）若A恰有一个元素， 所以关于x的方程恰有一个实数解， 讨论：当时，，满足题意； 当时，，所以． 综上所述，m的取值范围为． 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据子集的含义可得集合A为空集或为非空集合，进而对参数a分类讨论即可求解. 【详解】，, 故当时，易求； 当时，由得，或2. 综上得： 故选:C． 2．（23-24高一上·全国·期末）已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据题意，由集合相等列出方程，即可求得，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以，解得或 当时，不满足集合元素的互异性， 故，，. 故选：B. 3．（22-23高二下·河南省直辖县级单位·开学考试）集合或，，若，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考虑，，，确定集合，再根据集合的包含关系计算得到答案. 【详解】①当时，，，故，解得， 故； ②当时，，满足； ③当时，，，故，解得， 故； 综上所述：. 故选：A 4．（23-24高一上·四川资阳·期中）满足的集合M共有（    ） A．16个 B．15个 C．8个 D．7个 【答案】C 【分析】根据集合满足的条件，列举出所有情况即可. 【详解】集合M满足， 所以集合M可以为： 共有8个. 故选：C 5．（17-18高三·湖南常德·阶段练习）设集合,对的任意非空子集A，定义为集合A中的最大元素，当A取遍的所有非空子集时，对应的的和为，则 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，的任意非空子集A共有个，在所有非空子集中每个元素出现次，可知含有n的子集有个，不含n含有个，不含，含的有个以此类推有个子集不含n,n-1,n-2,…k-1,而含有k.利用错位相减法求出其和. 【详解】由题意，的任意非空子集A共有个，在所有非空子集中每个元素出现次，可知含有n的子集有个，不含n含有个，不含，含的有个以此类推有个子集不含n,n-1,n-2,…k-1,而含有k,因为为集合A中的最大元素 所以，错位相减可得，所以=，故选A. 【点睛】解决此类问题的关键是读懂并弄通题意，找出规律是关键，然后结合数列求和，采用错位相减法即可求出. 6．（23-24高三下·浙江·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据条件得到，从而得到选项A正确，再由元素与集合，集合与集合间的关系，对B，C和D逐一分析判断，即可得出结果. 【详解】易知方程无解，所以，所以选项A正确， 因为，所以选项B错误， 因为集合是以为元素的集合，由元素与集合间的关系，知选项C正确， 又空集是任何集合的子集，所以选项D正确， 故选：ACD. 7．（23-24高一上·山东·期中）已知集合，且，则实数可能的取值是（    ） A． B．0 C．-1 D． 【答案】ABC 【分析】首先求出集合A，然后结合的条件，对集合B中的参数a分类讨论即可得答案. 【详解】解：，且，则： ①当时，或，解得或，A适合题意； ②若，则，解得， ③若，则，此时无解， ④若，则，此时无解，不合题意； 综上：的值为0和. 故选：ABC. 8．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）设集合，，如果，则可能的取值是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】AB 【分析】根据题意，由条件可得，然后分类讨论，代入计算，即可得到结果. 【详解】∵，∴， ∵，∴， ①当，即时，得，，无解. ②当，即， ③当，即，，无解， ④当，即，. 所以的取值范围为. 故选：AB 9．（22-23高一上·重庆渝中·阶段练习）对于一个非空集合，如果满足以下四个条件： ①， ②， ③，若且，则， ④，若且，则， 就称集合为集合A的一个“偏序关系”，以下说法正确的是（    ） A．设，则满足是集合A的一个“偏序关系”的集合共有3个 B．设，则集合是集合A的一个“偏序关系” C．设，则含有四个元素且是集合A的“偏序关系”的集合共有6个 D．是实数集R的一个“偏序关系” 【答案】ACD 【分析】A选项，分析出，分析③可知，和只能二选一，或两者均不能在中，从而得到足是集合A的一个“偏序关系”的集合共有3个；B选项，且，但，B错误；C选项，分析出，再添加一个元素即可，从而得到答案；D选项，通过分析均满足四个条件，D正确. 【详解】A选项，，则， 通过分析②可知，，分析③可知，和只能二选一，或两者均不能在中， 取，或，或， 故满足是集合A的一个“偏序关系”的集合共有3个，A正确； B选项，集合，且，但，故②不成立，故B错误； C选项，，通过分析②可知，， 结合③和④，可再添加一个元素，即中任选一个， 即取，或， 或，或， 或，或， 共6个，C正确； D选项，是R的子集，满足①， 且当时，，满足②， 当时，满足③， ，若且，则，所以， 则，满足④， 故是实数集R的一个“偏序关系，D正确. 故选：ACD 10．（23-24高一上·江苏南通·开学考试）下列四个命题中正确的是（    ） A．由所确定的实数集合为 B．同时满足的整数解的集合为 C．集合可以化简为 D．中含有三个元素 【答案】ABC 【分析】对于A选项:对的符号分类讨论即可；对于B选项：解不等式组并结合整数解的概念即可；对于C选项：对讨论验证相应的是否是自然是即可；对于D选项：结合的因数并对讨论即可. 【详解】对于A选项: 讨论的符号并列出以下表格： 由上表可知，的所有可能的值组成集合，故A选项正确. 对于B选项:由，，所以解不等式组得， 其整数解所组成的集合为,故B选项正确. 对于C选项：若 满足且，所以，所有只需讨论时的情形，由此列出以下表格： 0 1 2 3 4 5 8 由表可知集合可以化简为，故C选项正确. 对于D选项：若满足，则是6的正因数，又6的正因数有1，2，3，6，由此可列出以下表格： 1 2 3 6 2 1 0 因此满足上述条件的的可能取值的个数为4个，即中含有4个元素，故D选项错误. 故选：ABC. 11．（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知集合.若的真子集个数是3，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】的真子集个数是3，所以共有2个元素，分和两种情况即可解出答案. 【详解】的真子集个数是3， 共有个元素，所以，. 若，则有，； 若，则有，无解. 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 12．（2024·上海嘉定·二模）若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是 ． 【答案】 【分析】正确理解的含义，时，即要先求出满足的，即的第211个子集应含有的元素，计算出，再要求满足的，即的第211个子集应含有的元素，如此类推即得. 【详解】因，则的第211个子集必包含7，此时； 又因则的第211个子集必包含6，此时； 又则的第211个子集必包含4，此时； 又则的第211个子集必包含1；而. 综上所述，的第211个子集是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于仔细阅读题目所提供的信息，正确理解集合的新定义的含义，将文字语言转化为数学语言. 13．（2016高一·全国·竞赛）已知集合，且，给出下列命题： ①满足的集合的个数为； ②满足⫋的集合的个数为； ③满足⫋的集合的个数为； ④满足⫋⫋的集合的个数为． 其中正确的是 ．（填上你认为正确的所有命题序号） 【答案】①③ 【分析】由包含和真包含的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】①满足的集合的个数为的子集的个数，即； ②满足⫋的集合的个数为的非空子集的个数，即； ③满足⫋的集合的个数为的真子集的个数，即； ④满足⫋⫋的集合的个数为的非空真子集的个数，即． 故答案为：①③. 14．（2024高二·全国·竞赛）设非空集合满足，，则这样的的个数为 ． 【答案】 【分析】利用非空集合子集的个数计算公式可求满足条件的的个数. 【详解】由题设可得， 这5组中的每一组中的元素必定同时出现在集合中， 故这样的非空集合的个数为， 故答案为： 15．（23-24高三上·上海浦东新·期中）是正整数集的子集，满足：，并有如下性质：若、，则，其中表示不超过实数的最大整数，则的非空子集个数为 ． 【答案】 【分析】根据题意，先判断中相邻两数不可能大于等于2，可得2，3，，，从而求出，再根据子集的个数与集合元素个数之间的关系即可得答案． 【详解】由题意可知：若，，则，，，均属于， 而事实上，若，中， 所以， 故，中有正整数， 从而中相邻两数不可能大于等于2， 故2，3，，， 若，，则有，与矛盾， 当时，， 当时，则， 所以，， 所以，2，，， 所以非空子集有个． 故答案为：． 【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 16．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合中有两个元素、，集合中的两个元素为0、，且，求实数的值． 【答案】 【分析】由集合相等条件求解即可. 【详解】由，，可知，，解得：． 17．（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 【答案】(1)或，或 (2) 【分析】（1）考虑和且两种情况. （2）至少有两个子集，则方程由一个或两个根，考虑第一问的结果和且两种情况. 【详解】（1）时，解得符合题意； 时令解得， 此时， 解得符合题意， 故或，或 （2）若至少有两个子集，则至少有一个元素. 由（1）知或时符合题意. 由题意可知时若也符合题意. 即解得且. 综上. 18．（23-24高一上·北京顺义·期中）已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． (1)若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； (3)若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 【答案】(1)，集合A是的恰当子集； (2)，或，. (3)10 【分析】（1）由定义求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，则有，列方程求a，b的值并检验； （3）证明时，存在A是的恰当子集；当时，不存在A是的恰当子集， 【详解】（1）若，有，由，则， 满足，集合A是的恰当子集； （2）是的恰当子集，则， ，由则或， 时，，此时，，满足题意； 时，，此时，，满足题意； ，或，. （3）若存在A是的恰当子集，并且， 当时，，有，满足， 所以是的恰当子集， 当时，若存在A是的恰当子集，并且，则需满足，由，则有且；由，则有或， 时，设，经检验没有这样的满足； 当时，设，经检验没有这样的满足；， 因此不存在A是的恰当子集，并且， 所以存在A是的恰当子集，并且，n的最大值为10. 19．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 【答案】(1)0或 (2) (3) 【分析】（1）分和两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （2）分A中有一个元素或两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （3）分类讨论A是否为空集以及是否为0，结合二次方程的判别式和韦达定理分析求解. 【详解】（1）若时，，符合题意； 当时，可知方程为一元二次方程，则，解得； 综上所述：或. （2）若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或， 若A中有一个，由（1）可知：或； 若，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. （3）因为，则有： 若，由（2）可知：； 若，则有： 若时，由（1）可知，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. 20．（23-24高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减加各数.例如的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和； (2)已知集合，根据提示解决问题.求集合所有非空子集的元素和的总和； 【答案】(1)12； (2)672. 【分析】（1）先求出集合的所有非空子集，根据“交替和”的定义分别求和后可得所有的“交替和”的和； （2）根据提示可计算每个元素出现的次数求所有非空子集的元素和的总和. 【详解】（1）集合的非空子集为，，，，，，， 集合，，的交替和分别为1，2，3， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 所以集合的所有非空子集的交替和的总和为； （2）在集合所有非空子集中，数字1与中的元素构成子集， 故数字1在集合所有非空子集中共出现次， 同理2，3，4，5，6各出现次， 所以集合所有非空子集的元素和的总和为. 【点睛】关键点睛：本题的关键是在第（2）问中求集合的所有非空子集. 学科网（北京）股份有限公司 $$