精品解析：湖南省邵阳市隆回县2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题

2024年上学期高一期末质量检测试题卷 数学 温馨提示： 1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分； 2．请你将自己的姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上； 3．请你在答题卡上作答，做在本试题卷上的答案无效. 一、单选题（每题5分，共8个小题，总计40分） 1. 已知，，则“n为偶数”是“”（是虚数单位）的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由的运算性质可得答案. 【详解】当n为偶数时，，则“n为偶数”是“”（是虚数单位）的充分条件； 当n为奇数时，，则时，n为偶数，则“n为偶数”是“”（是虚数单位）的必要条件. 综上，“n为偶数”是“”（是虚数单位）的充要条件. 故选：C 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求解一元一次不等式和一元二次不等式，再求两集合的并集即得. 【详解】由可得，，即， 又由可得，，即， 则. 故选：A. 3. 函数的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】，，， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最大值为， 故选：B. 4. 某校高一年级有800名学生选学物理，将某次联考的物理成绩绘制成的频率分布直方图如图所示，则高一年级这次联考的物理成绩位于区间的人数约为（ ） A. 200 B. 220 C. 240 D. 260 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率和为可构造方程求得的值，再由频率分布直方图可求得成绩落在的频率，由样本估计总体可计算得到结果. 【详解】， 成绩落在的频率为，则成绩位于区间的人数约为(人). 故选：C. 5. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算，来求出向量积，最后可求出夹角. 【详解】由可得：， 则，又因为，， 所以， 则， 因为，所以， 故选：C. 6. 已知函数，，的零点分别为a，b，c，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用数形结合思想来作图分析零点大小. 【详解】由函数零点可知：，， 利用数形结合，构造三个函数它们与的交点横坐标就是对应的三个零点. 由图可知：， 故选：D. 7. 在△ABC中，G为△ABC的重心，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用已知边长关系及重心性质结合余弦定理求解即可. 【详解】 连接，因为G是重心，所以E是中点， 连接，同理D是中点，又因为，所以， 设， 因为G是重心，所以， 在中，由余弦定理得 . 故选：A. 8. 从1，2，3，4，5，6，7，8中选取6个不同的数，其中恰有3个奇数，且第60%分位数为5，则不同的选择方法共有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 【答案】D 【解析】 【分析】先根据百分位数是5得出5的位置，在分类讨论应用加法原理计算即可. 【详解】因为，所以6个数从小到大排列第4个数为5， 所以3个数比5小，2个数比5大， 当比5大的数是6，8时，则比5小的3个数必须有两个奇数1，3，则有2种取法； 当比5大的数是6，7时，则比5小的3个数必须有1个奇数1或3，则有2种取法； 当比5大的数是7，8时，则比5小的3个数必须有1个奇数1或3，则有2种取法； 选取6个不同的数，其中恰有3个奇数，且第60%分位数为5，则不同的选择方法共有种. 故选：D. 二、多选题（每题6分，漏选得部分分，错选得0分，共3个小题，总计18分） 9. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BD 【解析】 【分析】利用不共线两个非零向量可以作为一组基底一一判断求解. 【详解】对A，因为为零向量，所以不能作为基底，A错误； 对B，因为，所以不共线，可以作为基底，B正确； 对C，因为，所以共线，不能作为基底，C错误； 对D，因为，所以不共线，可以作为基底，D正确； 故选：BD. 10. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气中的温度是℃，那么t分钟后物体的温度．其中k是一个常数．现有60℃的物体，放在12℃的空气中冷却，5分钟后物体的温度是36℃，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则℃ D. 若℃，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用题目给的解析式代入具体的数据求出参数，接着利用题目给的等式，求解选项C和选项D，其中求解.利用求解即可. 详解】根据题意：， 解得,故选项A正确，选项B错误. 若，则，则成立，故选项C正确. 若℃，则 又，则，故选项D正确. 故选：ACD. 11. 在正方体中，E，F，G分别为AD，，的中点，H为BG的中点．则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. AH，互为异面直线 D. 与平面所成角的正弦值为 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，利用线线平行证线面平行易得；对于B，分别证，，由线线垂直可得线面垂直；对于C，先证明，得H为的中点即得；对于D，先由B项结论易得即与平面所成的角，借助于直角三角形易求. 【详解】 对于A，如图，因，平面，而平面，故平面，即A正确； 对于B，如图，在正方形中，因E， G分别为AD， 的中点，易得， 则，因，故，即， 又平面，平面，故， 又平面，故平面，即B正确； 对于C， 如图，连接，因F，G分别为，的中点，则， 故得，又H为BG的中点，故H也是的中点，即与交于点，故C错误； 对于D， 如图，由B项已得平面，设，则即在平面上的投影， 故即与平面所成的角，设正方体棱长为2，则， 易得故，即D错误. 故选：AB. 【点睛】思路点睛：本题主要考查与正方体有关的线面平行、线面垂直及线面所成角问题，属于较难题. 解题思路无非利用找线线平行证线面平行，由找线线垂直证线面垂直；在求线面所成角时，一般先找面的垂线得到射影即得所求角，之后还能借助于空间向量夹角公式求解. 三、填空题（每小题5分，共3个小题，总分15分） 12. 某地的中学生有40%的学生爱好篮球，有70%的学生爱好音乐，90%的学生爱好篮球或音乐，则在该地的中学生中随机调查一位学生，既爱好篮球又爱好音乐的概率为______． 【答案】02## 【解析】 【分析】根据和概率基本性质计算即可. 【详解】设学生爱好篮球为事件A，学生爱好音乐为事件B，则学生爱好篮球或音乐为事件，既爱好篮球又爱好音乐为事件, , 又因为, 所以. 故答案为：. 13. 设，若为偶函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由偶函数定义比较与系数可得答案. 【详解】因为偶函数，则. 注意到，与 相比较，得. 故答案为： 14. 已知函数在区间上有最大值，无最小值，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，求出的范围，结合正弦函数的图象，依题意得到不等式组,解之即得. 【详解】因，设，当时，， 作出在上的图象如图. 要使区间上有最大值，无最小值，需使, 解得，，即的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题主要考查正弦型函数的性质应用，属于较难题. 解题思路一般是将辐角看成整体角，求出其范围，借助于正弦函数（或余弦函数）的图象，即可求得. 四、解答题（见答题卡第15~19题） 三、解答题（第15题13分，第16-17题15分，第18-19题17分，总计77分） 15. 已知甲、乙两人独立地破译一份密码，甲破译成功的概率为，甲、乙都破译成功的概率为．求： （1）乙破译密码成功概率p； （2）恰有1人破译成功的概率； （3）密码破译成功的概率． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式即可； （2）利用相互独立事件的概率乘法公式即可； （3）利用对立事件求解思路更简洁. 【小问1详解】 记甲、乙成功破译密码分别记作事件A，B， 则，解得． 【小问2详解】 记恰有1人破译成功为事件C， 则． 【小问3详解】 记密码破译成功为事件D， 则． 16. 在复平面内，O是原点，向量对应的复数为． （1）求的值； （2）若是关于x的方程的一个根，求b，c的值； （3）已知，复数z对应的点为P，且．说明点P的集合是什么图形，并求图形的面积． 【答案】（1） （2），． （3）点P的集合是一个点，面积为0. 【解析】 【分析】（1）利用复数的四则运算化简复数，再求其模长即得； （2）由实系数一元二次方程的解的特点易得另一个根，由韦达定理即得； （3）利用复数与平面向量的一一对应关系，结合图形得到点P的集合为△OAB的外接圆圆心，判断三角形形状，易得其外接圆半径. 【小问1详解】 因为，所以． 【小问2详解】 由已知得，也是方程的一个根， 由韦达定理得，，，即，． 【小问3详解】 记所对应的点为B，， ，即点P为△OAB的外接圆圆心， 则点P的集合是一个点，面积为0. 17. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角A； （2）若，BC边上的中线，求BC边上的高． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）应用两角和差的正弦余弦公式计算即可； （2）先应用向量的数量积的运算律求出b，再结合余弦定理及面积公式计算即可. 【小问1详解】 由已知得． 又， 故． 因为，所以，即． 因为，所以． 【小问2详解】 因为，两边同时平方得， 即，解得（负值舍去）， 由余弦定理得，所以． 因为△ABC的面积， 所以． 18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，E为BC的中点，且. （1）求证：； （2）若四棱锥P-AED的体积为，直线AB与PE所成角为30°，求二面角P-AD-E的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线线垂直证明线面垂直，再证线线垂直，利用等腰三角形的三线合一证明即可； （2）利用垂直关系，易得线面角和二面角的平面角，即可计算求解. 【小问1详解】 取AD的中点O，因为四边形ABCD是正方形，. ，，EO，平面POE，平面POE. 又平面POE，， 又因为O是AD的中点，所以可得，即. 【小问2详解】 作于点Q， 平面POE，平面POE，. 又，平面，平面. 由，得. 因为，所以所成角为， 故，解得. 因为，，所以为二面角的平面角. . 即所求二面角正切值为. 19. 若对，，则称函数为I上的-函数． （1）设，，若为I上的1-函数，求m的最大值； （2）若为R上的-函数，求的取值范围； （3）若，且，均为R上的-函数，求证：也为R上的-函数． 【答案】（1）3 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）问题等价于当时，恒成立，后结合余弦函数性质可得答案； （2）问题等价于对恒成立，后讨论的正负性，结合判别式可得答案； （3）因，后结合题意及R上的-函数定义可证明结论. 【小问1详解】 令 ， 由题意知，当时，.因恒成立．故只需让小于或等于，即大于且让余弦函数可取到的最小自变量. 即，解得．故m的最大值为3； 【小问2详解】 由题， 对恒成立． 即对恒成立． 令，则对恒成立． 当时，注意到，所以，矛盾，舍去； 当时，则对恒成立． 所以方程的判别式，解得． 综上可知，的取值范围为； 【小问3详解】 对， ． 因为，均为函数，则， 又，则. 所以， 即，所以也为R上的函数． 【点睛】关键点睛：本题考查函数新定义及恒成立问题.对于新定义问题需在读懂定义的前提下结合自身数学素养解决问题；对于恒成立问题，第一问结合余弦函数值域解决问题，第二问，分类讨论缩小参数范围，再结合判别式解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年上学期高一期末质量检测试题卷 数学 温馨提示： 1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分； 2．请你将自己的姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上； 3．请你在答题卡上作答，做在本试题卷上的答案无效. 一、单选题（每题5分，共8个小题，总计40分） 1. 已知，，则“n为偶数”是“”（是虚数单位）（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 4. 某校高一年级有800名学生选学物理，将某次联考的物理成绩绘制成的频率分布直方图如图所示，则高一年级这次联考的物理成绩位于区间的人数约为（ ） A. 200 B. 220 C. 240 D. 260 5. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，，的零点分别为a，b，c，则（ ） A. B. C. D. 7. 在△ABC中，G为△ABC的重心，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 从1，2，3，4，5，6，7，8中选取6个不同的数，其中恰有3个奇数，且第60%分位数为5，则不同的选择方法共有（ ） A 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 二、多选题（每题6分，漏选得部分分，错选得0分，共3个小题，总计18分） 9. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 10. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气中的温度是℃，那么t分钟后物体的温度．其中k是一个常数．现有60℃的物体，放在12℃的空气中冷却，5分钟后物体的温度是36℃，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则℃ D. 若℃，则 11. 在正方体中，E，F，G分别为AD，，的中点，H为BG的中点．则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. AH，互为异面直线 D. 与平面所成角的正弦值为 三、填空题（每小题5分，共3个小题，总分15分） 12. 某地的中学生有40%的学生爱好篮球，有70%的学生爱好音乐，90%的学生爱好篮球或音乐，则在该地的中学生中随机调查一位学生，既爱好篮球又爱好音乐的概率为______． 13. 设，若为偶函数，则______． 14. 已知函数在区间上有最大值，无最小值，则的取值范围为______． 四、解答题（见答题卡第15~19题） 三、解答题（第15题13分，第16-17题15分，第18-19题17分，总计77分） 15. 已知甲、乙两人独立地破译一份密码，甲破译成功的概率为，甲、乙都破译成功的概率为．求： （1）乙破译密码成功的概率p； （2）恰有1人破译成功的概率； （3）密码破译成功的概率． 16. 在复平面内，O是原点，向量对应的复数为． （1）求的值； （2）若是关于x的方程的一个根，求b，c的值； （3）已知，复数z对应的点为P，且．说明点P的集合是什么图形，并求图形的面积． 17. 在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且． （1）求角A； （2）若，BC边上的中线，求BC边上的高． 18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，E为BC的中点，且. （1）求证：； （2）若四棱锥P-AED的体积为，直线AB与PE所成角为30°，求二面角P-AD-E的正切值. 19. 若对，，则称函数为I上的-函数． （1）设，，若为I上的1-函数，求m的最大值； （2）若为R上的-函数，求的取值范围； （3）若，且，均为R上的-函数，求证：也为R上的-函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$