2024年江西省中考数学真题变式题19-23题

1．图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”，如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体和矩形碗底组成，已知，，是太阳光线，，，点M，E，F，N在同一条直线上，经测量，，，．（结果精确到） (1)求“大碗”的口径的长； (2)求“大碗”的高度的长．（参考数据：，，） 2．如图，小明家在A处，门前有一口池塘有一条公路，AB是A到的小路．现新修一条路到公路． 小明测量出，，．请你帮小明计算他家到公路的距离的长度． 3．如图，我市常璩广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB＝5m，在C点上方E处加固另一条钢缆ED，钢缆ED与地面夹角为60°，现在要在EC处放置一个广告牌，请问广告牌EC的高度为多少？（sin40°≈0.6，cos40°≈0.8，tan40°≈0.8） 4．如图，为了测量河流某一段的宽度，在河北岸选了一点，在河南岸选了相距100m的，两点．现测得，，求这段河流的宽度（结果精确到0.1m）． 5．小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2．已知，，，，．（结果精确到0.1，参考数据：，，，，，） (1)连结，求线段的长． (2)求点A，B之间的距离． 6．下图是某地下商业街的入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，它的示意图如下，经过测量，支架的立柱与地面垂直，米，点在同一水平线上，斜杆与水平线的夹角，支撑杆，垂足为，该支架的边与的夹角，又测得米．（参考数据：，，，，，） (1)求该支架的边和的长； (2)求支架的边的顶端到地面的距离．（结果精确到米） 7．如图，这是某校装潢设计小组的同学设计的宣传牌，由三块四边形和一块矩形底座组成，左侧较高的四边形中，，，，，，底座高． (1)求与地面所成锐角的度数． (2)求点D到地面的距离．（参考数据：，，，，，结果精确到） 8．实验是培养学生创新能力的重要途径之一，如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管， ，试管倾斜角为，经测得：． (1)求点到的距离； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点，，，在同一条直线上），求线段的长度．（结果精确到，参考数据： ，，） 9．如图1是一款订书机，其平面示意图如图2所示，其主体部分矩形由支撑杆垂直固定于底座上，其中，，压杆，，使用过程中矩形可以绕点E旋转． (1)订书机不使用时，如图2，，求压杆端点到底座的距离； (2)使用过程中，当点落在底座上时，如图3，测得，求压杆端点到底座的高度． （参考数据：，，结果精确到） 10．某市要新建一座红色文化雕塑，图1是效果图，图2是雕塑正面的大致示意图，在底座中，，，，雕塑主体是五边形，，，，，，． (1)求的度数． (2)求点到地面的距离．（参考数据：，，，） 11．追本溯源： 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并说明理由． 方法应用： （2）如图2，在中，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G． ①图中一定是等腰三角形的有（    ） A．3个　B．4个　C．5个　D．6个 ②已知，，求的长． 12．如图，在中，，点P在BC上，过点P分别作AC，AB的平行线，交AB，AC于M，N两点，求四边形AMPN的周长． 13．如图，四边形是平行四边形，，，平分交于点E，求的长度．    14．如图，在中，与交于点，，，，求长． 15．如图，在平行四边形中，的角平分线交于点F，的角平分线交于点G，两条角平分线在平行四边形内部交于点P，连接，．    (1)求证：点E是中点； (2)若，，则的长为 ___． 16．如图，在中，的平分线分别与线段交于点F，E，与交于点G． (1)求证：． (2)若，求的长度． 17．如图，在中，，，垂足分别为点，点，连接、． (1)试判断与的关系，并说明理由； (2)若，的面积是，则的面积为______． 18．如图，在四边形中，，，E是的中点，佳佳用无刻度直尺进行如下操作：连接；连接，交于点F；连接，交于点P；作射线，交于点H． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)求证：； (3)若，，求四边形的面积． 19．如图1，在四边形中，，，，点E是的中点，点F是内一点，连接，，，．    (1)若，求的度数； (2)探索，和之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，利用（2）中结论，已知，求的长． 20．如图，在ABCD中，AE⊥BC于点E，BE=3，AB=5，连接AC，点F以每秒1个单位长度的速度由点A向点C匀速运动，到达C点即停止运动，G，H分别是AF，EF的中点，连接GH．设点F运动的时间为t． (1)判断GH与AE的位置关系和数量关系，并求出GH的长； (2)若CE＝AB． ①求点F由点A向点C匀速运动的过程中，线段GH所扫过区域的面积； ②若△FGH是等腰三角形，求t的值． 21．近年来，我国肥胖人群的规模快速增长，目前，国际上常用身体质量指数（Body Mass Index，缩写）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是．中国人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某数学兴趣小组对本校七年级学生的胖瘦程度进行统计调查，从该校所有七年级学生中随机抽出10名男生、10名女生，测得他们的身高和体重值，并计算出相应的数值，再参照数值标准分成四组：A．；B．；C．；D．．将所得数据进行收集、整理、描述． 收集数据 七年级10名男生数据统计表 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高（） 1.56 1.50 1.66 1.58 1.50 1.70 1.51 1.42 1.59 1.72 体重（） 52.5 49.5 45.6 40.3 55.2 56.1 48.5 42.8 67.2 90.5 21.6 s 16.5 16.1 24.5 19.4 21.3 21.2 26.6 30.6 七年级10名女生数据统计表 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高（） 1.46 1.62 1.55 1.65 1.58 1.67 1.55 1.46 1.53 1.62 体重（） 46.4 49.0 61.5 56.5 52.9 75.5 50.3 47.6 52.4 46.8 21.8 18.7 25.6 20.8 21.2 27.1 20.9 22.3 22.4 17.8 整理、描述数据 七年级20名学生频数分布表 组别 男生频数 女生频数 A 3 2 B 4 6 C t 2 D 1 0 应用数据 (1)______，____________； (2)已知该校七年级有男生260人，女生240人． ①估计该校七年级男生偏胖的人数； ②估计该校七年级学生的人数 (3)根据以上统计数据，针对该校七年级学生的胖瘦程度，请你提出一条合理化建议． 22．市环保部门为了解城区某一天18：00时噪声污染情况，随机抽取了城区部分噪声测量点这一时刻的测量数据进行统计，把所抽取的测量数据分成A、B、C、D、E五组，并将统计结果绘制了两幅不完整的统计图表． 组别 噪声声级x/dB 频数 A 55≤x＜60 4 B 60≤x＜65 10 C 65≤x＜70 m D 70≤x＜75 8 E 75≤x＜80 n 请解答下列问题： （1）m＝　　，n＝　　； （2）在扇形统计图中D组对应的扇形圆心角的度数是 　　°； （3）若该市城区共有400个噪声测量点，请估计该市城区这一天18：00时噪声声级低于70dB的测量点的个数． 23．今年5月份，某校九年级学生参加了南宁市中考体育考试，为了了解该校九年级（1）班同学的中考体育情况，对全班学生的中考体育成绩进行了统计，并绘制以下不完整的频数分布表（如表）和扇形统计图（如图），根据图表中的信息解答下列问题： 分组 分数段（分） 频数 A 1 B n C 18 D m E 17 (1)全班学生人数______，______，______． (2)求扇形统计图中“B”区对应的圆心角度数； (3)如果该校九年级共有960人，那么估计分数在的有多少人？ 24．6月6日为“全国爱眼日”，某市为了解九年级学生的视力情况，在全市随机抽查了部分九年级学生2023年初的视力数据．根据检测结果，制成下面不完整的统计图表． 被抽样的学生视力情况频数表 组别 视力段 频数 A 5.1≤x≤5.3 25 B 4.8≤x≤5.0 115 C 4.4≤x≤4.7 m D 4.0≤x≤4.3 52    (1)求组别C的频数m的值； (2)求组别A的圆心角度数； (3)如果视力值4.8及以上属于“视力良好”，请估计全市九年级学生达到“视力良好”的人数在本年级全体学生中所占的百分比．你对视力保护有什么建议? 25．为组织学生参加“百校联动，百校同跳”2023年广东省第三届寒假线上跳绳挑战赛活动，落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，体育老师在学校随机抽取部分学生进行“一分钟跳绳”测试摸底，并将数据绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图，请根据统计图中提供的信息解答下列问题： 组别 A B C D E F 跳绳次数 频数（人数） 1 10 15 n 8 3 (1)随机抽取的学生共有 人，扇形统计图中 (2)扇形统计图中组对应的圆心角度数为 (3)若该校准备安排“一分钟跳绳”不低于次的学生参加“一分钟跳绳速度赛”项目，已知学校学生共有人，请估计该校符合条件的学生大约有多少人？ 26．某校为了解本校学生每天在校体育锻炼情况，随机抽查了部分学生每天在校参加体育锻炼时间，将调查结果进行统计并制作成如下统计表． 某校学生每天在校体育锻炼时间统计表 组别 时间x（分钟） 人数 A 2 B 10 C 20 D 14 E 4 (1)如图是小明根据统计表中的数据画出的扇形统计图． ①小红阅读小明画出的扇形统计图时，发现统计图中有一处标注错误，请你写出标注错误的组别，并改正数据． ②求统计图中“组别C”所在扇形的圆心角度数． (2)为增强学生体质，建议学生每天在校参加体育锻炼时间应不少于60分钟，若该校共有600名学生，请你估算该校学生每天体育锻炼时间不到60分钟的人数，并给他们提一条建议． 27．“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机调查了某市部分教师某日微信运动中的步数情况并进行统计整理，绘制了如图的统计图表（不完整），请根据信息，解答下列问题： 组别 步数(万步) 频数 第1组 8 第2组 15 第3组 12 第4组 10 第5组 3 第6组 a (1)本次共调查了 名教师， ， ； (2)补全频数分布直方图； (3)在扇形统计图中，第四组所对应的扇形圆心角的度数为 ； (4)若该市约有30000名教师，估计日行走步数不低于1.2万步的教师约有多少名？ 28．某校为了解全校1500名学生参加学校兴趣活动的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告： 学生参加学校兴趣活动的情况调查报告 主题 学生参加学校兴趣活动的情况调查 调查方式 抽样调查 调查对象 ××学校学生 数据的收集、整理与描述 第一项 你每周参与兴趣小组活动的时间是（单选） A．8小时 B．6小时 C．4小时 D．2小时 E．0小时    第二项 你每周参与兴趣小组活动的主要类型是（可多选） F．发明制作 G．劳动实践 H．音乐类 I．体育类 J．美术类    第三项 … … 调查结论 … 请根据以上调查报告的统计分析，解答下列问题： (1)参与本次抽样调查的学生有______人； (2)若将上述报告第一项的条形统计图转化为相对应的扇形统计图，求扇形统计图中选项“兴趣活动时间6小时”对应扇形的圆心角度数； (3)估计该校1500名学生中，参与劳动实践兴趣小组的人数； (4)如果你是该校学生，为鼓励同学们积极地参与兴趣小组活动，请你面向全体同学写出一条建议． 29．5月31日是“世界戒烟日”，为了更好地宣传吸烟的危害．某中学七年级一班数学兴趣小组设计了如下调查问卷，在万达广场随机调查了部分吸烟人群，并将调查结果绘制成统计图．（如图所示） 吸烟有害——你打算怎样减少吸烟的危害？（单选） A．无所谓 B．少吸烟，以减轻对身体的危害 C．不在公众场所吸烟，减少他人被动吸烟的危害 D．决定戒烟，远离烟草的危害 E．希望相关部门进一步加大控烟力度 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次接受调查的总人数是_______，并把条形统计图补充完整； (2)在扇形统计图中，C选项的人数所占百分比是______，E选项所在扇形的圆心角的度数是______． (3)若某社区约有烟民38万人，试估计对吸烟有害持“无所谓”态度的人数，你对这部分人群有何建议？ 30．2023春节档电影《满江红》票房突破40亿，成为中国影史票房榜第八名．之所以能大卖，除了出自著名导演张艺谋之外，一定还有其他亮点，为了解观众对电影的喜爱缘由，一网友在某平台邀请部分给出好评的观众填写如下调查表（要求每位观众只能选择一项），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 你喜欢电影《满江红》的主要原因是： A．题材．关涉岳飞、秦桧等历史人物，故事虽是虚构，但体现的精神无异． B．剧情．悬疑推理与喜剧相结合，极具观赏吸引力． C．配乐．河南豫剧与电子音乐相结合，分段呈现，层次感强． D．演技．全员演技在线，压抑、恐惧、愤怒完美呈现，拉动观众共情． E．其他． 观众对电影的喜爱缘由情况条形统计图      观众对电影的喜爱缘由情况扇形统计图 根据图中信息，完成下列问题： (1)共有__________位网友填写了调查表； (2)补全条形统计图； (3)计算扇形统计图中“C”所对应扇形的圆心角度数； (4)若约40亿的票房共售出电影票亿张，其中给出好评的观众约占一半，请估计因为“其他”原因而给出好评的观众有多少； (5)请你结合调查结果，对电影策划方向提出一条建议． 31．如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表： x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … (1)①______，______； ②小球的落点是A，求点A的坐标． (2)小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系． ①小球飞行的最大高度为______米； ②求v的值． 32．某幢建筑物，从米高的窗口用水管向外喷水（米），喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直），如图，如果抛物线的最高点离墙米，离地面米，求水流落地点到墙的距离． 33．抛物线形拱桥具有取材方便，造型美观的特点，被广泛应用到桥梁建筑中，如图是某公园抛物线形拱桥的截面图．以水面所在直线为轴，为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．点到点的距离（单位：），点到桥拱顶面的竖直距离（单位：）．，近似满足函数关系．通过取点，测量，得到与的几组对应值，如下表： 0 1 2 3 4 0 2 2 (1)桥拱顶面离水面的最大高度为___________； (2)根据上述数据，求出满足的函数关系和水面宽度的长． 34．一身高的篮球运动员在距篮板处跳起投篮，球在运动员头顶上方处出手．按如图所示的直角坐标系，球在空中运行的路线可以用来描述，那么： （1）球能达到的最大高度是多少？ （2）球出手时，运动员跳离地面的高度是多少？ 35．高尔夫运动员将一个小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h（m）与它的飞行时间（s）满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示： t（s） 0 0.5 1 1.5 2 … h（m） 0 8.75 15 18.75 20 … （1）求h与t之间的函数关系式（不要求写t的取值范围）； （2）求小球飞行3s时的高度． 36．2024年3月4日，跳水世界杯蒙特利尔站女子十米台，中国队选手包揽冠亚军，出色的表现，再次向世界展示了中国跳水队的卓越实力．如图，建立平面直角坐标系xOy．如果运动员从点A起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，那么从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系式． (1)在平时训练完成一次跳水动作时，运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 3 3.5 4 4.5 竖直高度 10 __________ __________ 6.25 ①求抛物线的解析式． ②补全表格． (2)信息一：运动员起跳后达到最高点B，点B到水面的高度为km，从到达最高点B开始计时，则她到水面的距离与时间之间满足． 信息二：已知运动员在到达最高点后，在落水前至少需要的时间才能完成极具难度的跳水动作． ①请通过计算说明，在（1）的这次训练中1，运动员能否顺利完成极具难度的跳水动作？ ②运动员进行第二次跳水训练，此时她们竖直高度与水平距离的关系为．若她在到达最高点后要顺利完成极具难度的跳水动作，则n的取值范围是__________． 37．甲站在球场场地边缘的O处接对手乙打过来的网球，从点O正上方1m的A处把乙打过来的网球回击过去，把球看成点，其飞行的高度y(m)与飞行的水平距离x(m)之间满足函数表达式y＝a(x－8)2＋h.已知球网与点O的水平距离为12m，高度为1.07m，球场的边界距点O的水平距离是24m. (1)当a＝－时， ①求h的值； ②网球能否越过球网？网球会不会出界？请说明理由． (2)若甲击球过网后，乙抓住机会及时上前，恰好在网前3m，网球高度为1.5m的B处将网球拦截成功，在此条件下能否确定a的值？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．    38．有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的直角坐标系中，抛物线可以用函数来表示.已知大棚在地面上的宽度OA为8米，距离O点2来处的棚高BC为米. (1)求该抛物线的函数关系式； (2)求蔬菜大棚离地面的最大高度是多少米? (3)若借助横梁DE建一个门，要求门的高度不低于1.5米，则横梁DE的宽度最多是多少米? 39．原地正面掷实心球是体育训练项目之一、受测者站在起掷线后，被掷出的实心球进行斜抛运动，实心球着陆点到起掷线的距离即为此项目成绩．实心球的运动轨迹可看作抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，实心球从出手到着陆的过程中，竖直高度y（m）与水平距离x（m）近似满足函数关系（）．小明使用内置传感器的智能实心球进行掷实心球训练．    (1)第一次训练时，智能实心球回传的水平距离x（m）与竖直高度y（m）的几组对应数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 7 竖直高度y/m 求出y与x近似满足的函数关系式，并求本次训练的成绩． (2)第二次训练时，y与x近似满足函数关系，则第二次训练成绩与第一次相比是否有提高？为什么？若有提高，提高了多少？ 40．跳台滑雪是北京冬奥会的比赛项目之一，下图是某跳台滑雪场地的截面示意图．平台长1米(即)，平台AB距地面18米，以地面所在直线为x轴，过点B垂直于地面的直线为y轴，取1米为单位长度，建立平面直角坐标系，已知滑道对应的函数为．运动员(看成点)在方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落过程中的某位置(忽略空气阻力)．设运动员飞出时间为t秒，运动员与点A的竖直距离为h米，运动员与点A的水平距离为l米，经实验表明：．    (1)求滑道对应的函数表达式： (2)当米每秒，秒时，通过计算判断运动员此时是否已落在滑道上； (3)在试跳中，某运动员以6米每秒的速度从A处飞出，其飞行路径近似看作抛物线的一部分，着陆时水平距离为d，直接写出飞行路径的函数解析式和d的值． 41．如图，某公园的一组同步喷泉由间隔等距的若干个一样的喷泉组成，呈抛物线形的水流从垂直于地面且高出湖面的喷头中向同一侧喷出，每个喷头喷出的水流可看作同样的抛物线．若记水柱上某一位置与喷头的水平距离为，喷出水流与湖面的垂直高度为． 下表中记录了一个喷头喷出水柱时与的几组数据： 0 1 2 3 4.5 1 (1)如图，以喷泉与湖面的交点为原点，建立如图平面直角坐标系，求此抛物线的解析式； (2)现有一个顶棚为矩形的单人皮划艇，顶棚每一处离湖面的距离为．顶棚刚好接触到水柱，求该皮划艇顶棚的宽度． (3)现公园管理方准备通过只调节喷头露出湖面的高度，使得游船能从抛物线形水柱下方通过，为避免游客被喷泉淋湿，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于，已知游船顶棚宽度为，顶棚到湖面的高度为，那么公园应将喷头（喷头忽略不计）至少向上移动多少才能符合要求？（直接写出结果） 42．综合与实践 如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 特例感知 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______； 类比迁移 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 43．如图，在中，，，将绕点按顺时针方向旋转度后，得到，点刚好落在边上，交于点． （1）的值是_______； （2）若是的中点，求证：． 44．如图，在等腰中，，．将以C为中心顺时针方向旋转，使得点B的对应点E恰好落在边上，点A的对应点为D，与相交于点F． (1)求证：． (2)求出线段的长度． 45．如图，在中，，，点在边上，（不与点，重合）将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． (1)根据题意补全图形，并证明：； (2)取的中点，连接，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 46．在△中，，，是上的动点(不与点 重合)，且，连接，将射线绕点顺时针旋转得到射线，过点作交射线于点，连接，在上取一点，使，连接． (1)依题意补全图形； (2)直接写出的大小，并证明． 47．和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点． (1)如图①，当点在线段上，且时，求证：； (2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：；并求当，时的长． 48．在中，，，．将绕点B顺时针旋转得到，直线，交于点P．    (1)如图1，当时，连接．求的面积； (2)如图2，连接，若F为中点，求证：C，E，F三点共线． 49．已知，中，点为边上一动点，交于点， (1)如图1，在等边中，将绕点顺时针旋转得到，连接，探索与的数量关系，并求的度数 (2)如图2，，，当时，探索与的数量关系 50．如图，在中，，，点分别是边的中点，连接．将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为．     (1)如图1，当时，______； (2)如图2，当时，______，与的位置关系为______，请分别说明理由． 51．综合实践 问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究，如图1，在中，，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，． (1)探究发现：旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (2)性质应用：如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长． 52．【模型呈现：材料阅读】 如图①，在四边形中，对角线，相交于点P，若，则可判定A，B，C，D四点共圆． （1）在图①中，若有，，，则 ， ； 【模型改编：问题解决】 （2）如图②，和均为等边三角形，连接，交于点F，交于点M，连接．求证：A，B，C，F四点共圆； 【模型拓广：问题延伸】 （3）如图③，在中，，将绕着点C顺时针旋转得到，连接，，直线与直线交于点F． ①若，，则的长为 ； ②若，，当时，的长为 ． 53．如图，为等腰的边所在直线上一点．    (1)如图1，过点作交延长线于点，为的中点，连接，，试判断与的关系，并说明理由； (2)点与点关于对称， ①如图2，连接，作交于点，为的中点，连接，求证：； ②如图3，将绕点顺时针旋转至，直线与直线交于点，连接，若，直接写出的最小值为______． 54．在综合实践课上，老师组织同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动．下面是同学们进行相关问题的研究．如图①，已知是等腰直角三角形，，点D是的中点．作正方形，使点A，C分别在和上，连接，．    (1)将正方形绕点D逆时针方向旋转一定角度（旋转角度大于，小于或等于），如图②，在旋转的过程中，虽然图形发生了变化，但有些线段的数量关系和位置关系始终不会发生变化． ①猜想和的关系为 ，证明你得到的结论； ②猜想 ；（填图中线段） (2)若，，（1）的旋转过程中，的取值范围为 ；当时， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)“大碗”的口径的长为； (2)“大碗”的高度的长为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）证明四边形是矩形，利用，代入数据计算即可求解； （2）延长交于点，求得，利用正切函数的定义得到，求得的长，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 答：“大碗”的口径的长为； （2）解：延长交于点，如图， ∵矩形碗底， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 答：“大碗”的高度的长为． 2．米 【分析】本题考查了利用三角形中的正切值求距离的问题，属于中档题． 在三角形ADC中，利用正切值得，在三角形中，利用正切值得，最后建立方程求解即可． 【详解】解：设米， ，， ，， 又，则，即 ∴ ∴米 3．4.66m 【分析】根据锐角三角函数的定义可求出BC与BE的长度． 【详解】解：在Rt△CDB中，tan∠BDC＝， ∴BC＝BDtan40°≈4， 在Rt△BDE中，tan∠BDE＝， ∴BE＝BDtan∠BDE＝5， ∴CE＝BE﹣BC≈4.66（m）， 答：广告牌EC的高度约为4.66m． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型． 4．63.4m 【分析】过A作AD⊥BC于D，根据∠ABC＝60°，∠ACB＝45°即可求出BD、CD与AD关系，根据BC＝100m，可以求得AD的长度． 【详解】解：过A作AD⊥BC于D， 在Rt△ADB中，∠B＝60°， ∴∠BAD＝30°， ∴BD＝AD•tan30°＝AD， 在Rt△ADC中，∠C＝45°， ∴CD＝AD，又BC＝100m， ∴BD+CD＝AD+AD＝100． 解得AD≈63.4m． 答：这段河的宽约为63.4米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是恰当构建直角三角形，利用三角函数求解． 5．(1) (2) 【分析】（1）过点C作于点F，根据等腰三角形的性质可得， ，再利用锐角三角函数，即可求解； （2）连结．设纸飞机机尾的横截面的对称轴为直线l，可得对称轴l经过点C．从而得到四边形DGCE是矩形，进而得到DE=CG，然后过点D作于点G，过点E作EH⊥AB于点H，可得，从而得到，再利用锐角三角函数，即可求解． 【详解】（1）解：如图2，过点C作于点F， ∵， ∴，平分． ∴， ∴(cm)， ∴． （2）解：如图3，连结．设纸飞机机尾的横截面的对称轴为直线l， ∵纸飞机机尾的横截面示意图是一个轴对称图形， ∴对称轴l经过点C． ∴，， ∴AB∥DE． 过点D作于点G，过点E作EH⊥AB于点H， ∵DG⊥AB，HE⊥AB， ∴∠EDG =∠DGH=∠EHG=90°， ∴四边形DGCE是矩形， ∴DE=HG， ∴DG∥l， EH∥l， ∴， ∵，BE⊥CE，   ∴， ∴(cm)， ∴． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键． 6．(1)该支架的边的长为米，的长为米； (2)支架的边的顶端到地面的距离为米． 【分析】（）解直角三角形可求出，进而得出的长，再解直角三角形即可得到的长； （）过点作于，过点作于，则四边形是矩形，得米，，进而得，即得，解直角三角形得到的长，即可求出的顶端到地面的距离； 本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：在中，，，米， ∴米， ∵米， ∴米， ∵， ∴， 在中，，，米， ∴米， ∴该支架的边的长为米，的长为米； （2）解：如图，过点作于，过点作于，则四边形是矩形， ∴米，， ∴， ∴， 在中，米， ∴米， ∴支架的边的顶端到地面的距离为米． 7．(1) (2) 【分析】本题考查平行线的性质和解直角三角形的应用． （1）过点A作的平行线，根据平行线的性质求的大小即可； （2）通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出，即可． 【详解】（1）如图，过点A作的平行线与过点D作的垂线相交于点N， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即与地面所成的角度为； （2）过点A作，交的延长线于点M， 在中， ∴， 在中，, ∴， ∴点D到地面的距离为， 答：点D到地面的距离约为. 8．(1)点到的距离 (2)线段的长度为 【分析】本题考查三角函数的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键， （1）过点作于点，利用三角函数可解得的值，即可求得的值；（2）过点作于点，再证明为等腰三角形，并解得，然后由求解即可． 【详解】（1）解：过点作于点，如图： 由题可得： 在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴． （2）解：过点作于点，如上图： ∴四边形为矩形， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长度为：． 9．(1)压杆端点到底座的距离为 (2)即压杆端点到底座的高度为 【分析】本题考查了三角函数的应用，矩形的性质，解题的关键是正确作出辅助线． （1）过点作于点，延长交于点，根据题意可得，由，四边形是矩形，，可得，进而得到，然后根据，求出，最后根据，即可求解； （2）过点作于点，过点作于点，过点作于点，根据矩形的性质可得，，可推出，然后求出，结合进而得到，，可得，推出，，根据周角求出，进而根据三角函数求出，最后根据线段的和差即可求解． 【详解】（1）解：如图2，过点作于点，延长交于点， ， ， 四边形是矩形，， ， ， ， ， ， 又，， ， ， 即压杆端点到底座的距离为； （2）如图3，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 即压杆端点到底座的高度为． 10．(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解他的关键是∶ （1）利用多边形内角和公式求解即可； （2）过P作于F，过C作于G，交于K，过D作于L，作于H，则可证，，在，，中，利用正弦、余弦定义可求出，，，即可求解， 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：过P作于F，过C作于G，交于K，过D作于L，作于H， ， 则， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴，四边形是矩形， ∴，， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即点到地面的距离为． 11．（1）是等腰三角形；理由见解析；（2）①B；②． 【分析】本题考查了平行四边形的性质和等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键； （1）利用角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，推出，再等角对等边即可证明是等腰三角形； （2）①同（1）利用等腰三角形的判定和性质可以得到四个等腰三角形； ②由①得，利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：（1）是等腰三角形；理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）①∵中， ∴，， 同（1）， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴，，， ∴，，， 即、、、是等腰三角形；共有四个， 故选：B． ②∵中，，， ∴，， 由①得， ∴． 12．20 【分析】先证明四边形AMPN是平行四边形，∠MPB=∠C，从而得到AM=PN，MP=AN，∠B=∠MPB，在MB=MP，即可推出四边形AMPN的周长= 2AB=20． 【详解】解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵， ∴四边形AMPN是平行四边形，∠MPB=∠C， ∴AM=PN，MP=AN，∠B=∠MPB， ∴MB=MP， ∴四边形AMPN的周长=AM+MP+PN+AN=2（AM+MP）=2（AM+MB）=2AB=20． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，平行线的性质，正确推出四边形AMPN的周长=2AB是解题的关键． 13．2 【分析】根据平行四边是的性质和角平分线的定义，结合平行线的性质得到，进而得到即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴ ∵平分， ∴ ∴， ∴，又， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、平行线的性质，熟练掌握平行四边形和等腰三角形的判定是解答的关键． 14． 【分析】根据已知条件得到等腰直角三角形ABC，则AB=AC=2，又根据平行四边形的对角线互相平分，得到OA=1，根据勾股定理就可求得OB的长，再根据平行四边形的对角线互相平分，就可求得BD的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠DAC=45°， ∴∠ACB=∠DAC=45°，OA=AC=1， ∵AB⊥AC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AB=AC=2， 在Rt△AOB中，根据勾股定理得OB=， ∴BD=2BO=2． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，要求学生熟练运用等腰直角三角形的性质和勾股定理；熟悉平行四边形的性质． 15．(1)见解析 (2)4 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，根据等腰三角形的性质得出，根据余角的性质得出，根据等腰三角形的判定得出，即可证明结论； （2）证明四边形为平行四边形，得出，求出，证明，，得出，，最后求出结果即可． 【详解】（1）证：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵、分别平分和， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 为的中点； （2）解：根据解析（1）可知：，， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：4．    【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 16．(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据平行线的性质得到，再由角平分线的定义证明，得到，即可证明；再根据平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，同理可得，则； （2）过点C作交于K，交于点I，证明四边形是平行四边形，，得到，再证明，得到，则，同理证明，得到，求出，则． 【详解】（1）证明：在平行四边形中，， ∴． ∵分别是的平分线， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴； （2）解：过点C作交于K，交于点I， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵D， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的定义等等，正确作出辅助线是解题的关键． 17．(1)，，理由见解析； (2)． 【分析】（1）求出，由，可得，，证明，即可得到； （2）证明四边形为平行四边形，和是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得，，求出和的面积是，进而可得答案． 【详解】（1）解：，， 理由：∵在中，，， ∴， ∵，， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， （2）解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴和是等腰三角形， ∵，， ∴，， ∵的面积是， ∴和的面积是， ∴的面积是， ∴的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，灵活运用各性质进行推理计算是解题的关键． 18．(1)四边形是平行四边形，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行四边形的判定，等腰三角形三线合一，三角形面积的计算，关键是看出三角形的重心和平行四边形对角线分成的四个三角形面积相等． （1）先证明再根据即可得出结论； （2）利用三角形中线交于一点和等腰三角形三线合一； （3）将四边形分割成、、，分别求出面积． 【详解】（1） 解：四边形是平行四边形，理由如下： ，E为的中点， ． ， 四边形是平行四边形； （2） 证明：由（1）知四边形是平行四边形， F为中点， 是的中线， 是的中线， 是的中线， ， ； （3） 解：E是的中点，F为中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，． 19．(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得，然后证明，进而可求出的度数； （2）连接，过点 E作交于点G，证明，可得，，则是等腰直角三角形，求出即可得出答案； （3）证明四边形是平行四边形，利用勾股定理求出，，然后可得的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）； 理由：如图，连接，过点 E作交于点G，    ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴，即， 由（1）可知， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ， ； （3）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余，角的和差计算，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键． 20．(1)GH∥AE，GH=2； (2)①5；②t的值为秒或4秒或秒． 【分析】（1）利用三角形中位线定理即可求解； （2）①取EC的中点M，AC的中点N，AE的中点O，先确定线段GH所扫过区域是▱AOMN，根据平行四边形的面积公式计算可得结论； ②分FH=FG、GH=FG、GH=HF三种情况讨论，即可求得t的值； 【详解】（1）解：∵AE⊥BC于点E，BE=3，AB=5， ∴AE=4， ∵G，H分别是AF，EF的中点， ∴GH∥AE，GH=AE=2； （2）解：①∵CE=AB=5， ∴AC=， 取EC的中点M，AC的中点N，AE的中点O，线段GH所扫过区域是▱AOMN， EM=CE=， ∴线段GH所扫过区域的面积=MN•EM=GH•EM=2×=5； ； ②当FH=FG时，△FGH是等腰三角形， 此时FE=FA， ∴∠FEA=∠FAE， ∵∠FEA+∠FEC=90°，∠FAE+∠FCE=90°， ∴∠FEC=∠FCE， ∴FE=FC， ∴FE=FA=FC， ∴AF=AC=， ∴t的值为（秒）； 当GH=FG时，△FGH是等腰三角形， 此时AE=FA=4， ∴t的值为4（秒）； 当GH=HF时，△FGH是等腰三角形， 此时AE=EF=4，连接EG， ∵G是AF的中点， ∴EG⊥AC， ∵S△AEC=AE•EC=AC•EG， ∴EG=， ∴AG=， ∴AF= 2AG， ∴t的值为（秒）； 综上，t的值为秒或4秒或秒． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 21．(1)22；2；； (2)①人；②人 (3)见解析 【分析】题目主要考查统计调查表及扇形统计图，结合图形，熟练掌握用样本估计总体是解题关键． （1）根据题中公式直接计算即可得s；结合统计表确定t；结合扇形统计图用360度乘以男女生所占比例即可； （2）①用男生总人数乘以相应比例即可；②分别用男女生总人数乘以各自所占比例即可； （3）合理即可． 【详解】（1）解：根据题意：， 由统计表得：内，； ∴， 故答案为：22；2；； （2）①男生偏胖的人数为：（人）； ②七年级学生的人数为：（人）； （3）对学校学生进行合理、健康的饮食习惯的培养，加强体育锻炼． 22．（1）12、6；（2）72；（3）260个 【分析】（1）先由B组频数及其对应的百分比求出样本容量，再用样本容量乘以C这组对应的百分比求出m的值，继而根据5组的频数之和等于样本容量可得n的值； （2）用360°乘以D组频数所占比例即可； （3）用总个数乘以样本中噪声声级低于70dB的测量点的个数所占比例即可． 【详解】解：（1）∵样本容量为10÷25%＝40， ∴m＝40×30%＝12， ∴n＝40﹣（4＋10＋12＋8）＝6， 故答案为：12、6； （2）在扇形统计图中D组对应的扇形圆心角的度数是360°×＝72°， 故答案为：72； （3）估计该市城区这一天18：00时噪声声级低于70dB的测量点的个数为（个）． 该市城区共有400个噪声测量点，估计该市城区这一天18：00时噪声声级低于70dB的测量点的个数为260个． 【点睛】本题主要考查扇形统计图、用样本估计总体、频数（率）分布表，解题的关键是结合频数分布表和扇形统计图得出样本容量及样本估计总体． 23．(1)60；21；3 (2) (3)272 【分析】（1）用C组的频数和所占的百分数计算全班学生人数，用全班学生人数乘以D组所占的百分比可得D组的频数，全班学生人数减去A、C、D、E组频数可得B组的频数； （2）用B组的频数占总人数的百分比乘以即可求出答案； （3）用分数在的人数所占的比例乘以九年级总人数即可求出答案． 【详解】（1）解：观察所给图形可知：C组的频数是18，占全班学生人数的， 所以全班学生人数=（人）， ， ， 故答案为：60；21；3． （2）解：由（1）知B组的频数是3，全班学生人数是60， 所以扇形统计图中“B”区对应的圆心角度数． （3）解：分数在的人数为：（人）． 【点睛】本题考查统计有关知识，涉及扇形统计图、频数分布表、用样本估计总体等，解题关键是找到扇形统计图和频数分布表的对应关系． 24．(1)m的值是308 (2)组别A的圆心角度数是 (3)估计九年级学生达到“视力良好”的人数在本年级全体学生中所占的百分比是28%，建议是：同学们应少玩电子产品，注意保护眼睛 【分析】（1）根据B组频数和所占百分比可求出抽查学生的总数，即可求解； （2）根据组别A的频数和总人数即可求解； （3）根据样本估计总体即可求解． 【详解】（1）本次抽查的人数为：，即m的值是308． （2）组别A的圆心角度数是：，即组别A的圆心角度数是． （3）． 答：估计九年级学生达到“视力良好”的人数在本年级全体学生中所占的百分比是28%，建议是：同学们应少玩电子产品，注意保护眼睛．（答案不唯一，提出合理化建议，只要是保护眼睛的即可） 【点睛】本题考查频数分布表和扇形统计图信息关联．掌握各统计数据的求解方法是解题关键． 25．(1) (2) (3)该校符合条件的学生大约有人 【分析】本题主要考查调查与统计的相关计算，掌握频数分布表，扇形图，根据样本百分比计算总量，圆心角的计算的方法是解题的关键． （1）根据C组的人生和百分比可算出抽取的人数，根据样本百分比的计算方法即可求解； （2）根据圆心角的计算方法样本百分比即可求解； （3）运用样本百分比估算总体数量的方法即可求解． 【详解】（1）解：C组有15人，C组的百分比为， ∴（人）， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：， ∴D组的圆心角的度数为：， 故答案为：； （3）解：（人）， ∴该校符合条件的学生大约有人． 26．(1)①标注错误的组别是D组；正确数据为28% ；② (2)人；建议见解析． 【分析】（1）①通过计算得出D组所占的百分比为28%，②依照题意计算出“组别C”所在扇形的圆心角度数； （2）用600乘以样本中A、B两组的百分比之和即可． 【详解】（1）①A组所占的百分比为：， B组所占的百分比为：， C组所占的百分比为：， D组所占的百分比为：， E组所占的百分比为：， 标注错误的组别是D组；正确数据为28%． ②“组别C”所在扇形的圆心角度数为 （2）该校学生每天体育锻炼时间不到60分钟的人数为：人． 建议：这部分学生每天应增加体育锻炼的时间直到不少于60分钟． 【点睛】本题考查了扇形统计图和频数分布表，读图时要全面细致，同时，解题方法要灵活多样，切忌死记硬背，要充分运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题． 27．(1)50，2，16 (2)见解析 (3) (4)9000名 【分析】考查频数分布表、频数分布直方图的意义和制作方法，掌握频数、频率、总数之间的关系是正确计算的前提． （1）总共调查人数为人， ，第1组的占比为； （2）根据求得的的值画图即可． （3）根据题意求出第四组所对应的扇形圆心角的度数即可； （3）需要先计算不低于1.2万步的占比，再计算人数． 【详解】（1）本次共调查了（人）， ， 第1组的占比为，因此． 故答案为：50，2，16； （2）画图如下： （3）第四组所在扇形的圆心角的度数为； （4）根据题意：日行走步数不低于1.2万步的教师约有：（人． 28．(1)200； (2)选项“兴趣活动时间6小时”对应扇形的圆心角度数为144°； (3)估计该校1500名学生中，参与劳动实践兴趣小组的人数为840人； (4)建议如下：合理安排学习时间，多参加兴趣小组活动．答案合理即可． 【分析】本题考查了条形统计图，样本估计总体，求扇形统计图的圆心角度数． （1）把第一项的条形统计图中各组数据相加得到调查的总人数； （2）用乘B组人数的占比即可求解； （3）用1500乘以参与劳动实践人数的占比即可； （4）根据两项调查的情况，建议如下：合理安排学习时间，多参加兴趣小组活动．答案合理即可． 【详解】（1）解：参加调查的总人数为：（人） 故答案为：200； （2）解：， 故选项“兴趣活动时间6小时”对应扇形的圆心角度数为； （3）解：（人） 即估计该校1500名学生中，参与劳动实践兴趣小组的人数为840人； （4）解：建议如下：合理安排学习时间，多参加兴趣小组活动．答案合理即可． 29．(1)，补图见解析 (2)， (3)万人，建议见解析 【分析】本题考查了条形统计图及扇形统计图的知识，解题的关键是仔细观察统计图并从中整理出进一步解题的有关信息． （1）调查的总人数用B选项的人数除以其所占的百分比即可，然后计算选项的人数补图即可； （2）用C小组的频数除以总人数即可求得其所占的百分比；用E选项的百分比即可； （3）用总人数乘以无所谓态度所占的百分比即可并提出合理的建议即可． 【详解】（1）从两个统计图中可知,选项有人，占总数的,所以调查人数为(人), “选项”人数为(人), 补全统计图如图： 故答案为：； （2）选项所占调查人数的百分比为， 选项所在扇形的圆心角的度数为， 故答案为：，； （3）选项的百分比为： ，对吸烟有害持“无所谓”态度的人数为 (万人)， 建议：加强吸烟有害健康的宣传，号召广大市民戒烟.(建议合理即可) 30．(1)300； (2)补全条形图见解析 (3) (4)亿人 (5)见解析 【分析】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，利用样本估计总体，理解信息关联是解本题的关键． （1）由D的人数除以其百分比即可得到总人数； （2）先求解B的人数，再补全条形图即可； （3）由乘以C的百分比即可； （4）由亿乘以E的百分比，再除以2即可． （5）建议合理即可． 【详解】（1）解：填写了调查表的人数为：（人）； 故答案为：300； （2）根据题意可知： “B”的人数为：（人）； 补全条形图如下； ． （3）根据题意可知： “C”所对应扇形的圆心角度数：； （4）因为“其他”原因而给出好评的观众有：（亿人） （5）建议：可以在创作上更富有创意，同时加大影片放映前的宣传． 31．(1)①3，6；②； (2)①8，② 【分析】本题主要考查二次函数的应用以及从图象和表格中获取数据， （1）①由抛物线的顶点坐标为可建立过于a，b的二元一次方程组，求出a，b的值即可；②联立两函数解析式求解，可求出交点A的坐标； （2）①根据第一问可知最大高度为8米； ②将小球飞行高度与飞行时间的函数关系式化简为顶点式即可求得v值． 【详解】（1）解：①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知：抛物线顶点坐标为， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为， 当时，， 解得：或（舍去）， ∴， 当时，， 故答案为：3，6． ②联立得：， 解得：或 ， ∴点A的坐标是， （2）①由题干可知小球飞行最大高度为8米， 故答案为：8； ②， 则， 解得（负值舍去）． 32．水流落地点到墙的距离为米 【分析】本题主要考查二次函数的实际运用，理解题意，确定二次函数的顶点坐标，设抛物线的函数解析式为，运用待定系数法即可求解，掌握运用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设抛物线的函数解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数解析式为， 令，得，， ∴， ∴水流落地点B到墙的距离OB为5米． 33．(1) (2)米 【分析】（1）把，分别代入，待定系数法求解析式，然后化为顶点式即可求解； （2）令，解方程即可求解． 【详解】（1）解：把，分别代入得 解得： 即抛物线的解析式为： 即 ∴桥拱顶面离水面的最大高度为米， 故答案为： （2）由（1）得 令，即 解得： ∴（米）． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意求得二次函数解析式是解题的关键． 34．（1）；（2）． 【分析】（1）根据解析式求得最大值； （2）求得当时，的值，进而根据题意求得运动员所在的横坐标，即可求得篮球出手时的高度，进而求得运动员跳离地面的高度． 【详解】（1）由， 当时，取得最大值，最大值为， 球能达到的最大高度是， （2）令，即， 解得（舍）， 运动员所在的横坐标为：， 当时，， （m）， 答：球出手时，运动员跳离地面的高度是． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，求得球出手时，运动员的的横坐标是解题的关键． 35．（1）h与t之间的函数关系式为h=﹣5t2+20t；（2）小球飞行3s时的高度为15米． 【分析】（1）设h与t之间的函数关系式为h=at2+bt（a≠0），然后再根据表格代入t=1时，h=15；t=2时，h=20可得关于a、b的方程组，再解即可得到a、b的值，进而可得函数解析式； （2）根据函数解析式，代入t=3可得h的值； 【详解】（1）∵t=0时，h=0， ∴设h与t之间的函数关系式为h=at2+bt（a≠0）， ∵t=1时，h=15；t=2时，h=20， ∴ 解得 ∴h与t之间的函数关系式为h=﹣5t2+20t； （2）小球飞行3秒时，t=3（s），此时h=﹣5×32+20×3=15（m）． 答：小球飞行3s时的高度为15米． 【点睛】考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键. 36．(1)①抛物线的解析式为；②11.25，10 (2)①运动员不能顺利完成极具难度的跳水动作；② 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟知二次函数的相关性质，熟练解析相关抛物线是解题的关键． （1）①设二次函数的关系为设函数解析式为，代入点，，即可得到函数表达式； ②把分别代入，即可求出结果； （2）①由题意，得最高点B的坐标为，可得解析式，再将代入，对比即可解答； ②通过得到最高点，可得的解析式，再通过解不等式，即可解答． 【详解】（1）解：①设函数解析式为， 抛物线经过点，， 把点，代入， 得解得 抛物线的解析式为． ②把代入可得，； 把代入可得，； 故答案为：11.25；10． （2）（2）①由题意，得最高点B的坐标为， 她到水面的距离与时间之间满足． 当时，． ， 运动员不能顺利完成极具难度的跳水动作． ②解：， 最高点的坐标为， 运动员第二次跳水到水面的距离与时间之间满足． 当时，； 当时，运动员能够完成此动作， ， 解得， 当，运动员能顺利完成极具难度的跳水动作． 37．(1)①h＝4.2；②网球能越过球网．理由见解析；(2)能确定a的值，理由见解析． 【分析】（1）①利用待定系数法求出h值即可； ②由①知函数表达式为y＝ (x－8)2＋4.2，分别求出x=12和x=24时的函数值，分别与1.07、0比较即可做出判断； （2）由题意，将（0,1）和(15,1.5)代入函数表达式里求出a、h即可． 【详解】解：(1)①当a＝时，y＝ (x－8)2＋h， 把(0，1)代入，得1＝×(0－8)2＋h，解得h＝4.2. ②网球能越过球网．理由：由①，得函数表达式为y＝ (x－8)2＋4.2， 当x＝12时，y＝×(12－8)2＋4.2＝3.4. 因为3.4>1.07， 所以甲回击的网球能越过网． 甲回击的网球不会出界． 理由：当x＝24时，y＝× (24－8)2＋4.2＝－8.6， 因为－8.6<0，所以甲回击的网球不会出界． (2)能确定a的值，理由： 根据题意，将（0,1）和（15,1.5）代入y＝a(x－8)2＋h中， 得：， 解得，   所以． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，涉及待定系数法求二次函数的表达式、已知自变量求函数值等知识，解答的关键是认真审题，寻找相关信息，利用数形结合思想确定解题思路，进而推理、计算． 38．(1) (2)3米 (3)横梁DE的宽度最多是米 【分析】（1）先求出A、C的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求解析式求解即可； （3）求出当y=1.5时x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得点A的坐标为（8，0），点C的坐标为（2，）， ∴， ∴， ∴该抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为（4，3）， ∵，即抛物线开口向下， ∴抛物线的函数值有最大值3， ∴蔬菜大棚离地面的最大高度是3米； （3）解：当时，即， ∴， 解得，， ∴， ∴横梁DE的宽度最多是米． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，正确求出二次函数解析式是解题的关键． 39．(1)y与x的函数关系式为；本次训练的成绩为； (2)第二次训练成绩与第一次相比有提高，提高了． 【分析】（1）利用待定系数法即可求得y与x的函数关系式，令即可求得本次训练的成绩； （2）令即可求得第二次训练的成绩，与第一次比较即可求解． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， 把，，代入得，， 解得， ∴y与x的函数关系式为； 当时，，即， 解得或(负值不符合题意，舍去)， ∴本次训练的成绩为； （2）解：解方程， 整理得，即， 解得或(负值不符合题意，舍去)， ∴本次训练的成绩为； ，且， 答：第二次训练成绩与第一次相比有提高，提高了． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 40．(1) (2)运动员没有落在滑道上 (3)飞行路径的函数解析式为， 【分析】（1）将代入，求出c，进而得出函数的解析式； （2）可求得M的坐标，代入验证是否符合函数的解析式，进一步得出结果； （3）根据可设解析式为，由可得，即可表示代入即可求出解析式，和联立即可求出d的值． 【详解】（1）解：由题意得：， 将代入得， ， ， ； （2）解：当时， ， ，即， 当时， ， ∴运动员没有落在滑道上； （3）解：由题意可知：， ， ， 由题意得：且为抛物线的顶点， 设飞行路径的函数解析式为：， 代入得， ， 解得：， 飞行路径的函数解析式为：， 即， 令， 解得， ， 飞行路径的函数解析式为：，． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解决问题的关键是掌握二次函数的图象和性质，求出二次函数解析式． 41．(1) (2) (3)公园应将水管高度至少向上调节米才能符合要求． 【分析】本题主要考查了运用待定函数求函数解析式、二次函数图像的平移、二次函数的应用等知识点，将实际问题转化成二次函数问题是解题的关键． （1）在表格中取三组数据，然后运用待定系数法解答即可； （2）令，求得对应x的值，然后确定两个x之间的距离即可解答； （3）设出二次函数图像平移后的解析式，根据题意列出不等式求解即． 【详解】（1）解：由表格可知：函数图像经过点， 设函数解析式为：， 则有：，解得：， 所以函数解析式为：． （2）解：令，则有，解得：， 所以该皮划艇顶棚的宽度为． （3）解：设公园应将喷头（喷头忽略不计）至少向上移动才能符合要求，则调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为：， 由题意可知，当横坐标为时，纵坐标的值不小于， ∴，解得：， ∴水管高度至少向上调节米， ∴公园应将水管高度至少向上调节米才能符合要求． 42．（1），（2）与之间的位置关系是，数量关系是；（3）①y与x的函数表达式，当时，的最小值为；②当时，为或. 【分析】（1）先证明，，，可得；再结合全等三角形的性质可得结论； （2）先证明，，结合，可得；再结合相似三角形的性质可得结论； （3）①先证明四边形为正方形，如图，过作于，可得，，再分情况结合勾股定理可得函数解析式，结合函数性质可得最小值；②如图，连接，，，证明，可得在上，且为直径，则，过作于，过作于，求解正方形面积为,结合，再解方程可得答案. 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴； ∴，， ∴， ∴， ∴与之间的位置关系是，数量关系是； （2）与之间的位置关系是，数量关系是；理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴； ∴，， ∴， ∴， ∴与之间的位置关系是，数量关系是； （3）由（1）得：，，， ∴，都为等腰直角三角形； ∵点F与点C关于对称， ∴为等腰直角三角形；， ∴四边形为正方形， 如图，过作于， ∵，， ∴，， 当时， ∴， ∴， 如图，当时， 此时， 同理可得：， ∴y与x的函数表达式为， 当时，的最小值为； ②如图，∵，正方形，记正方形的中心为， ∴， 连接，，， ∴， ∴在上，且为直径， ∴， 过作于，过作于， ∴，， ∴， ∴， ∴正方形面积为, ∴， 解得：，，经检验都符合题意， 如图， 综上：当时，为或. 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，二次函数的性质，圆的确定及圆周角定理的应用，本题难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 43．（1）60；（2）见解析． 【分析】（1）利用互余计算出，再根据旋转的性质得到，则可判断为等边三角形，继而得到的值； （2）根据旋转的性质得，继而证明为等边三角形，最后根据相似三角形的判断方法解题． 【详解】解：（1） 绕点按顺时针方向旋转度后，得到，点刚好落在边上， 为等边三角形 即的值是60， 故答案为: 60； （2）证明：由可得， ∵绕点旋转后得， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵是的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴. 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键. 44．(1)证明见解析 (2)线段的长度为 【分析】（1）利用等腰三角形的性质和旋转的性质得到角的关系和边的关系，即可求证； （2）利用得到对应边的比相等即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由旋转可知，， ∴，， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长度为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的判定、相似三角形的判定与性质，解题关键是理解相关概念并能灵活应用． 45．(1)图见解析，证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及旋转的性质， 根据题意作旋转所得直线并连接，再利用同角的余角相等即可证明； 根据等腰直角三角形的性质得直角边和斜边成比例，结合夹角相等证明相似，利用相似的性质即可求证． 【详解】（1）证明：图形如图所示； ， ，， ； （2）结论：． 理由：连接． ，， ， ∵，且点的中点， ∴， ， ， ， ， ， ． 46．(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查作图旋转变换，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． （1）根据要求作出图形； （2）证明，可得． 【详解】（1）解：依题意补全图形，如图． ； （2）解：结论：． 理由：过点作于点，设，交于点． ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 47．(1)见解析； (2)证明见解析，． 【分析】（1）由是等腰直角三角形，易得，，又由，是的中点，利用，可证得：； （2）由和是两个全等的等腰直角三角形，易得，然后利用三角形的外角的性质，即可得，则可证得：；根据相似三角形的对应边成比例，即可求得的长，即可得的长， 【详解】（1）证明：是等腰直角三角形， ，， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ； （2）解：和是两个全等的等腰直角三角形， ， ， 即， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、三角形的外角性质，掌握相似三角形的性质与判定，是解题的关键． 48．(1)10 (2)见解析 【分析】（1）过点P作于H，证明四边形是矩形，得出，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出即可； （2）连接， ，交于点O，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理去证明， 证明，得出，证明 ，得出， 证明，即可证明结论． 【详解】（1）解：过点P作于H，    ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， 由旋转的性质可知，， ∴． （2）解：如图2中，连接， ，交于点O，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵是由旋转得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴C、E、F三点共线． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，三角形面积的计算，旋转的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定和性质，证明，． 49．(1) (2) 【分析】本题是相似形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，证明是本题的关键． （1）由题意可证是等边三角形，，可得，由旋转性质可得，由全等三角形的判定可证，可得，，即可得出结果； （2）通过相似三角形的判定和性质证明，可得，通过证明，可得，即可求的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵将绕点D顺时针旋转得到， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴， 故答案为； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ， ∵， ∴， ， ． 50．(1) (2)2，垂直，理由见解析 【分析】本题主要考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）当时，点在上，点在上，由点分别是边的中点，可得，，再由，进行计算即可得出答案； （2）令与交于点，证明，得到，，再利用三角形内角和定理求出，即可得解． 【详解】（1）解：当时，点在上，点在上， 点分别是边的中点， ，， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，令与交于点， ， 由题意得：，， ，， ， ，即， ， ，， ， ，即， ， ， 故答案为：，垂直． 51．(1)，证明见解析； (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应角相等，对应边相等；相似三角形对应角相等，对应边成比例，以及解直角三角形的方法和步骤． （1）根据中点的定义得出，进而得出，易得，通过证明，即可得出结论； （2）根据题意推出当所在直线经过点B时，，根据勾股定理可得，根据（1）可得，即可求解； 【详解】（1）解：猜想，证明如下： 在中，，，，的中点分别为D，E， ∴，， ，则， ，， ， ， ， 将绕点A逆时针旋转，连接，， 根据旋转的性质可得： ， ， ， ， ； （2）解：，分别取，的中点D，E， ，， ， ， ∴当所在直线经过点B时，， ， 在中， 根据勾股定理可得：， 由（1）可得：， ， 解得：； 52．（1），；（2）见解析；（3）①6；② 【分析】（1）根据，可证，得，进而可知，，，四点共圆，再由圆的内接四边形可知，，即可求解； （2）由等边三角形的性质可证，得，即：，即可证明结论； （3）①由旋转的性质可知，，，，，进而可证，得，可得，易证，，，四点共圆，可知，得，再利用相似三角形的性质可得，即可求解； ②结合题意可知为等腰直角三角形，由①可知，，，，四点共圆，得，由旋转可知，，则，过点作，可证得，得，解得，根据，求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，，，四点共圆， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：，； （2）证明：∵和均为等边三角形， ∴，，， 则， ∴， ∴， ∴，即：， ∴，，，四点共圆； （3）①由旋转的性质可知，，，，， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，，四点共圆， ∵，则是直径， ∴，即：， ∴， ∵，， ∴， ∴，则， 故答案为：6； ②∵，由旋转可知，， ∴为等腰直角三角形， 由①可知，，，，四点共圆， ∴， 由旋转可知，，则， 过点作， ∴，， ∴， ∴，即：，解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题属于几何综合，考查旋转的性质，圆周角定理，相似三角形的判定及性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 53．(1)与的数量关系：，位置关系： (2)①证明见解析；② 【分析】（1）运用斜边上的中线等于斜边的一半可得；利用三角形外角的性质和等边对等角分别证明，，在结合，可得，从而证明，再总结结论即可； （2）①连接，可证，在中，，有，在中，，有，有，再根据为公共角，可证∽，则有，则； ②先证明点G在以O为圆心，为直径的圆上，从而得到当点D、G、O三点共线，且点G在D、O之间时，有最小值，分别求出和，从而得解． 【详解】（1）解：（1）与的数量关系：，位置关系：，理由如下： 依题意得：，即， 在中，为的中点， ∴， ∴，， 在中，为的中点，， ∴ ， ∴，， 在等腰中，， ∴， ∴，即， 综上所述：与的数量关系：，位置关系：； ∴； （2）解：①连接，    ∵点与点关于对称， ∴， ∴，， ∵，为的中点， ∴， 又∵， ∴也是等腰直角三角形，， ∴， 在和中， ， ∴∽， ∴， ∴． ②依题意可知：，，， ∴， ∴， ∴， 取的中点为O，则， ∴点G在以O为圆心，AC为直径的圆上，作圆如下图所示， ∴当点D、G、O三点共线，且点G在D、O之间时，有最小值，如下图点所示：    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，隐圆问题等知识，添加合适的辅助线是求解的关键． 54．(1)①，，证明见解析；② (2)，或 【分析】（1）①如图②，连接，延长交于，交于．证明，再进一步可得结论；②证明，可得； （2）如图，由，在以为圆心，为半径的圆上运动，当在线段上时，最小，最小值为，如图，当在线段的延长线上时，最大，最大值为，从而可得答案；如图，当在的左边，作于，作交其延长线于，设，则，求解，可得，证明，可得，，进一步利用勾股定理可得答案；如图，当在的右边，同理可得答案； 【详解】（1）解：①，，理由如下： 如图②，连接，延长交于，交于．        在中，为斜边中点， ，， ． 四边形为正方形， ，且， ， ． 在和中， ， ， ，， ， ， ． ②∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）如图，∵， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动，    ∵，为中点，， ∴， 当在线段上时，最小，最小值为， 如图，当在线段的延长线上时，最大，最大值为，    ∴的取值范围为； 如图，当在的左边，作于，作交其延长线于，    ∵，，， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：，即， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，当在的右边，    同理可得：，， ∴， ∴， 综上：当时，或 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，圆的基本性质，作出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$