2024年江西省中考数学真题变式题13-18题

1．（1）计算：； （2）化简：． 2．计算：． 3．计算：． 4．计算：； 5．计算：． 6．计算 7．计算：． 8．计算：（﹣1）2022﹣（﹣2）0﹣|﹣|． 9．计算： (1)； (2)． 10．计算 (1) (2) 11．如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹） (1)如图，过点作的垂线； (2)如图，点为线段的中点，过点作的平行线． 12．如图，在中，E是的中点，仅用一把无刻度的直尺画出的中点F，保留作图痕迹，并证明．    13．如图，ABCD是平行四边形，E是BC边上一点，只用一把无刻度的直尺在AD边上作点F，使得DF=BE．画出满足题意的点F，并简要说明你的画图过程． 14．如图，平行四边形ABCD中，点E为AB边上一点，请你用无刻度的直尺，在CD边上画出点 F，使四边形AECF为平行四边形，并说明理由． 15．如图，在菱形中是的中点．请仅用无刻度直尺完成下列作图， (1)在图1中，过点作的平行线，与交于点． (2)在图2中，作线段的垂直平分线，垂足为点． 16．如图，在菱形中，连接，是的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．    (1)在图1中的上找一点，连接，使得． (2)在图2中的上找一点，连接，使得． 17．如图，菱形ABCD中，∠B=60°，延长BC至E，使．取CD的中点F，连接EF，请利用无刻度的直尺按下列要求作图（保留画图痕迹）． (1)在图1中作出△CEF中CF边上的中线； (2)在图2中作出BC的中点． 18．只用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不要求写作法）．    (1)如图1，已知．点E在OB边上，其中四边形是平行四边形，请你在图中画出的平分线． (2)如图2．已知E是菱形中边上的中点，请作出边上的中点F． 19．如图，菱形的边上的一点E（不与A，B重合），请仅用无刻度的直尺画图． (1)在菱形的边上找一点F，连接，使（保留画图痕迹）； (2)在菱形的边上找点F，G，使，并作出等腰． 20．请仅用无刻度直尺作图，不写作法，保留作图痕迹．    (1)如图①，在菱形中，点E是的中点，请过E作出的平行线． (2)如图②，在中，点E，是的中点，请找出的中点． 21．如图，在菱形中，点E在边上，仅用无刻度直尺完成下列画图，保留作图痕迹，不需要写作法．      (1)如图1，在上画点F，使四边形是平行四边形； (2)如图2，在上画点K，使； (3)如图3，若点G在上，在上画点H，使四边形是菱形． 22．已知四边形是菱形，为线段上一点．仅用无刻度的直尺完成下列作图： (1)如图1，在上作点，使； (2)如图2，在上作点，使； (3)若，，，则菱形的面积为______． 23．仅用无刻度直尺完成下列画图，保留作图痕迹，不需要写作法． (1)如图（1），四边形ABCD为平行四边形，过点E作一条直线平分平行四边形ABCD的面积； (2)如图（2），已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB边上，四边形AEBF是矩形，请你在图中画出∠AOB的平分线； (3)如图（3），四边形ABCD为菱形，E为CD的中点，画出AD的中点P． 24．某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班． (1)“学生甲分到A班”的概率是______； (2)请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率． 25．随机掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次正面朝上的概率是多少？（请用树状图或列表法说明） 26．如图，三张不透明的卡片，正面图案分别是神舟十三号、十四号和十五号纪念图章，依次记为A、B、C，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀．小明从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求小明两次抽到图案上纪念图章相同的概率． 27．小明和小亮对航天知识都非常感兴趣，他们在中国载人航天网站上了解到，航天知识分为“梦圆天路”“飞天英雄”“探秘太空”“巡天飞船”等模块．他们决定先从“梦圆天路”“飞英雄”“探秘太空”三个模块中各随机选择一个进行学习，分别设这三个模块为A、B、C．请用画树状图（或列表）的方法，求小明和小亮选择相同模块的概率． 28．2023年9月23日晚，第19届亚运会开幕式在浙江杭州隆重举行．如图是小明收集的本届亚运会的四枚纪念徽章（其中会徽徽章用A表示，宸宸、琼琼、莲莲三个吉祥物徽章分别用B，C，D表示），小明从这四枚徽章中随机抽取两枚．请利用画树状图或列表的方法，求抽到的两枚徽章中有一枚是会徽徽章的概率． 29．非物质文化遗产是中华民族古老生命记忆和活态的文化基因，陕西是非物质文化遗产的重要代表地区．某学校为让学生深入了解非物质文化遗产，决定邀请A秦腔，B陕北民歌，C民间面塑，D皮影制作的相关传承人（每项一人）进校园宣讲． (1)若从以上非物质遗产中任选一个，则选中C民间面塑传承人的概率是____________． (2)若该学校决定邀请两位非遗传承人进校园宣讲，请用画树状图或列表的方法，求选中B陕北民歌和D皮影制作传承人的概率． 30．某校有名女生和名男生参加学校青少年禁毒知识演讲决赛，采用抽签的方式决定出场顺序． (1)第一个出场为男生的概率是______． (2)用列表或画树状图求前两个出场都是女生的概率． 31．早茶作为广东餐饮文化的重要组成部分，以其小吃精美、种类繁多、口味独特、价格实惠而闻名．张帆在广州旅游期间，决定在“A．虾饺，B．干蒸烧卖，C．艇仔粥，D．蜜汁叉烧包”四种茶点中选择喜欢的进行品尝．（选到每种茶点的可能性相同） (1)如果只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是______________； (2)如果选择两种茶点品尝，请用画树状图或列表的方法求张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”的概率． 32．某校开设了插花、烹饪、种植3个劳动课程，每位同学可以随机选择其中一个课程参加学习． (1)甲同学选择插花课程的概率是 ； (2)求甲、乙两名同学选择同一个课程的概率． 33．为加强“生态优先，绿色发展”的理念，某校组织学生参加植树活动，活动地点有秦岭植物园，朱雀森林公园两个，每位同学可以在这两个地点中任选一个．小明和小军是好朋友，约定去同一个地方植树，但到底去哪一个地方两个人意见不统一，于是设计了如下游戏决定植树地点．游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有4个小球，上面分别标有数字1，2，3，4，这些小球除数字以外其它均相同．小明先从袋中随机摸出一个小球，记下数字后，放回并搅匀；小军再从袋中随机摸出一个小球，记下数字．若两人摸出的小球上的数字之和是偶数，则去秦岭植物园植树，否则，去朱雀森林公园植树． (1)求小明摸出的小球上的数字是奇数的概率； (2)已知小军的理想植树地点是朱雀森林公园，请你用画树状图或列表的方法求他们去朱雀森林公园植树的概率． 34．酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中，通常情况下，酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4种溶液分别是：A盐酸（呈酸性）、B硝酸钾溶液（呈中性）、C氢氧化钠溶液（呈碱性）、D碳酸钠溶液（呈碱性）中的一种，小明和小亮从中各选1瓶溶液滴入酚酞试液进行检测． (1)小明检测的溶液变成红色的概率为 ； (2)用列表或画树状图的方法，表示出所有可能出现的结果，并求小明和小亮检测的两瓶溶液都变成红色的概率． 35．为使学生更加了解云南，热爱家乡，热爱祖国，体验“有一种叫云南的生活”．某校七年级年级组准备从博物馆、植物园两个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等；八年级年级组准备从博物馆、植物园、科技馆三个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等．记选择博物馆为，选择植物园为，选择科技馆为，记七年级年级组的选择为，八年级年级组的选择为． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的概率． 36．一张圆桌旁设有4个座位，甲先坐在如图所示的座位上，乙、丙、丁3人等可能地坐到其他三个座位上． (1)乙与甲座位不相邻的概率是 ． (2)请求出丙、丁相邻坐的概率． 37．如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点B，过点作x轴的垂线交双曲线于点C，连接． (1)点B的坐标为______； (2)求所在直线的解析式． 38．如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，AC＝2，求k的值． 39．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于点，求此反比例函数的表达式． 40．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点和点．求直线与双曲线的表达式． 41．如图，已知双曲线y＝与直线y＝kx＋b在第一象限的交点为P(2,3)，且直线穿过点A(0,2)．求两个函数的解析式． 42．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点A，B，与直线CD交于点E，点C与点B关于原点对称，点D的坐标为（－，0）． (1)求直线CD的解析式； (2)连接BD，求△BDE的面积． 43．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和点，与轴交于点，经过点的另一条直线与轴的正半轴交于点，与轴交于点．    (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)求四边形的面积． 44．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B在函数的图象上（点A的纵坐标大于点B的纵坐标），点A的坐标为（2，4），过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，连结OA，AB． (1)求k的值． (2)若CD＝2OD，求四边形OABC的面积． 45．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，B与y轴交于点C，且点B的横坐标为．    (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点D是y轴上一点，且，求点D坐标． 46．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，B两点，轴．垂足为C． (1)求双曲线的解析式，并直接写出点B的坐标． (2)求的面积． 47．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求点，的坐标． (2)求一次函数与反比例函数的表达式． 48．如图，已知：直线与双曲线交于，两点，且点的横坐标为， 若双曲线上一点的纵坐标为，连接； (1)填空： 的值为 ； 点的坐标为 ；点的坐标为 ． (2)直接写出关于的不等式的解集； (3)求三角形的面积； 49．在如图所示的平面直角坐标系中，直线过点且与直线交于点，直线与轴交于点． (1)求直线n的函数表达式； (2)若的面积为9，求点C的坐标； (3)若是等腰三角形，求直线l的函数表达式． 50．如图，是半圆O的直径，点D是弦延长线上一点，连接，． (1)求证：是半圆O的切线； (2)当时，求的长． 51．如图，是的直径，是半径，延长至点，连接，且．求证：是的切线．    52．如图，，以为半径的交于点C，且，求证：是的切线．    53．（不需作辅助线）如图，内接于，，是的直径，交于点，过点作，交的延长线于点，连接．求证：是的切线．    54．如图，以的边的长为直径作，交于点D，若，求证：是的切线． 55．如图，已知线段，以为直径作，在上取一点C，连接．延长至点D，连接，满足． (1)求证：为切线； (2)若，求的长（结果保留）． 56．如图，在中，是直径，点C是圆上一点，在的延长线上取一点D，连接，使．    (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长（结果保留）． 57．如图，内接于是的直径，平分交于点E，过点E作，交的延长线于点F． (1)求证：与相切； (2)若，过点E作于点M，交于点G，交于点N，求的长． 58．如图，在中，，以为直径的与相交于点D，E为上一点，且．    (1)求的长； (2)若，求证：为的切线． 59．如图，是的外接圆，是的直径，，E为的延长线与的交点．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 60．如图，内接于，是的直径，平分交于点E，过点E作，交的延长线于点F．    (1)求证：与相切； (2)若，，过点E作于点M，交于点G，交于点N，求的长． 61．如图，与相切于点，连接并延长交于点，是上一点，且，连接，与交于点F． (1)求证：． (2)若，求劣弧的长． (3)求证：是的切线． 62．如图，AB是以BC为直径的半圆O的切线，D为半圆上一点，AD=AB，AD，BC的延长线相交于点E． (1)求证：AD是半圆O的切线； (2)连接CD，求证：∠A=2∠CDE； (3)若∠CDE=27°，OB=2，求的长． 63．如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚． (1)数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本； (2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？ 64．笑笑今年的年龄正好是爸爸的，爸爸比笑笑大24岁，爸爸和笑笑今年分别是多少岁？（列方程解决） 65．学校新购进一批图书，按分给六、七、八三个年级，已知六年级比八年级少分得本，七年级分的图书多少本？ 66．某书法社团中女生人数占这个社团人数的一半，如果再有8名女生加入，那么女生人数就占全团人数的．求这个书法社团的人数． 67．一桶油，第一次倒出这桶油的，第二次倒出这桶油的，还剩下35千克，这桶油重多少千克？ 68．春运期间，某客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要很长时间排队等候购票．经调查发现，每天开始售票时，约有人排队购票．同时又有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票，购票时售票厅每分钟新增人，每分钟每个窗口出售票数张．（规定每人只限购一张） (1)若开放两个售票窗口，问开始售票后多少分钟售票厅内有人？ (2)若在开始售票分钟后，来购票的旅客不用排队等待，至少需要开放几个窗口？ 69．北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱，人们争相购买．现有甲、乙两种型号的“冰墩墩”，已知一个甲种型号比一个乙种型号多20元，购买甲、乙两种型号各10个共需800元． (1)求甲、乙两种型号的“冰墩墩”单价各是多少元？ (2)某团队计划用不超过1880元购买甲、乙两种型号的“冰墩墩”共50个，求最多可购买多少个甲种型号的“冰墩墩”？ 70．某古镇为发展旅游产业，吸引更多的游客前往游览，助力乡村振兴，决定在“五一”期间对团队*旅游实行门票特价优惠活动，价格如下表： 购票人数（人） 每人门票价（元） 60 50 40 *题中的团队人数均不少于10人 现有甲、乙两个团队共102人，计划利用“五一”假期到该古镇旅游，其中甲团队不足50人，乙团队多于50人． (1)如果两个团队分别购票，一共应付5580元，问甲、乙团队各有多少人？ (2)如果两个团队联合起来作为一个“大团队”购票，比两个团队各自购票节省的费用不少于1200元，问甲团队最少多少人？ 71．某学校计划组织名师生参加哈尔滨冰雪节，感受冰雪艺术的魅力，出租公司现有甲、乙两种型号的客车可供租用，且每辆乙型客车的租金比每辆甲型客车少60元，若该校租用3辆甲种客车，4辆乙种客车，则需付租金1720元． (1)该出租公司每辆甲、乙两型客车的租金各为多少元？ (2)若学校计划租用6辆客车，租车的总租金不超过1560元，那么最多租用甲型客车多少辆？ 72．某中学为了创建书香校园，去年购买了一批图书．其中科普书的单价比文学书的单价多4元，买100本科普书和100本文学书共用2000元． (1)求去年购买的文学书和科普书的单价各是多少元？ (2)若今年文学书的单价比去年提高了，科普书的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买文学和科普书共200本，且购买文学书和科普书的总费用不超过2135元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？ 73．已知在数轴上，点、、分别表示、、． (1)当点与点重合时，求的值． (2)在点、、中，任意两点互不重合，若其中一点到另外两点的距离相等，求的值． (3)若点到点的距离小于点到点的距离，直接写出的取值范围． 74．用电实施“阶梯电价”收费，具体收费标准见下表： 一户居民一个月用电量的范围 电费价格（单位：元/千瓦时） 不超过150千瓦时的部分 a 超过150千瓦时，但不超过300千瓦时的部分 超过300千瓦时的部分 实施“阶梯电价”收费以后，该市居民陈先生家积极响应号召节约用电，2022年6月用电100千瓦时，交电费50元． (1)上表中，______，若陈先生家2022年9月用电200千瓦时，应交费______元； (2)若陈先生家2022年10月用电x千瓦时，请你用含x的代数式表示应交电费； (3)试行“阶梯电价”收费以后，陈先生月用电多少千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时不超过元？ 75．某社区进行环境改造，计划用地面砖铺设楼前长方形广场的地面，长为100米，长为80米，图案设计如图所示，广场的四角为边长相同的小正方形，阴影分为四个长方形，四个长方形的宽都为小正方形的边长，阴影部分铺绿色地面砖，其余部分铺白色地面砖，广场内部的长方形的宽是长的．    (1)求广场四角小正方形的边长； (2)经过市场调查了解白色地面砖每平方米的费用为20元，绿色地面砖每平方米的费用为10元，那么改造这个长方形广场需要资金多少元？ (3)为了增加广场的绿化同时节省开支，现将广场四角的白色正方形地面砖的85％中的一部分改为种植绿色景观，另一部分铺设绿色地面砖，种植绿色景观每平方米的费用为30元．若广场四角的总费用不超过9400元，则最多可以将多少平方米的白色地面砖改为种植绿色景观？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）；（2） 【分析】题目主要考查零次幂、绝对值的化简，分式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算零次幂及绝对值化简，然后计算加减法即可； （2）直接进行分式的减法运算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 2．1 【分析】先根据零指数幂的运算法则计算出的值，再算乘法，最后算加法即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查的是零指数幂及有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 3． 【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果． 【详解】解： 【点睛】本题考查分式的运算，掌握分式运算法则是解题的关键． 4．2 【分析】本题考查了分式的加法法则，根据分式的加法法则相加，再约分即可； 【详解】解： ； 5． 【分析】先算除法，绝对值，零指数幂，最后相加减即可． 零指数幂公式：． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查有理数的除法，绝对值，零指数幂公式等知识，难度不大，掌握相关公式和法则是解题的关键． 6．c 【分析】本题主要考查了同分母分式加减运算，根据同分母分式加减运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 7． 【分析】本题考查了分式的减法运算，根据同分母分数的减法进行计算即可求解． 【详解】解： ． 8．- 【分析】先算乘方，零指数幂，去绝对值，然后再进行有理数的混合运算即可． 【详解】解：（﹣1）2022﹣（﹣2）0﹣|﹣| =1-1- =-． 【点睛】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，零指数幂，熟练掌握含乘方的有理数混合运算是解题的关键． 9．(1)； (2)． 【分析】本题考查了分式的加减，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据分式的加减运算法则进行计算即可； （2）根据分式的加减运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 10．(1) (2)1 【分析】本题考查分式的加减，解题关键是熟练掌握分式运算法则． （1）根据同分母分式加减法则计算即可； （2）先变形，然后根据同分母分式加减法则计算即可． 【详解】（1）解：   ； （2）解： ． 11．(1)作图见解析； (2)作图见解析． 【分析】（）作直线，由菱形的性质可得，即为的垂线； （）连接并延长，与的延长线相交于点，作直线，因为点为线段的中点，所以，因为，所以，，故可得，得到，所以四边形为平行四边形，即； 本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，掌握菱形的性质及平行四边形的判定方法是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 12．见解析 【分析】连接、交于点O，连接并延长交于一点，该点即为F，证明，得出，根据，得出，得出F是的中点． 【详解】解：如下图：点F即为所求；   证明：∵四边形平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴F是的中点． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定，证明． 13．见解析 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分和中心对称性作图即可． 【详解】解：如图，连接AC，BD交于点O，连接EO并延长交AD于点F， 则点F即为所求． 【点睛】本题考查的是应用与设计作图、平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分和中心对称性是解题的关键． 14．见详解. 【分析】连接AC、BD交于点O，连接EO并延长交CD于点F；由平行四边形的性质得出AB∥CD，OA=OC，证明△AEO≌△CFO，得出AE=CF，即可得出结论． 【详解】解：连接AC、BD交于点O，连接EO并延长交CD于点F； 则四边形AECF为平行四边形；理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，OA=OC， ∴∠EAO=∠FCO， 在△AEO和△CFO中， ， ∴△AEO≌△CFO（ASA）， ∴AE=CF， 又∵AE∥CF， ∴四边形AECF为平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 15．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查无刻度直尺作图，掌握菱形的的性质和等边三角形的性质是解题的关键． （1）连接和交于点O，连接并延长交于点Q，则即为所作； （2）连接和交于点O，连接交于点E，过A、E作直线交于点H，则即为所作． 【详解】（1）解：连接和交于点O，连接并延长交于点Q，则即为所作； （2）解：连接和交于点O，连接交于点E，过A、E作直线交于点H，则即为所作． 16．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，由菱形的性质得到为的中点，则是的中位线，即可得出； （2）连接、交于点，连接并延长，交于点，证明，即可推出． 【详解】（1）解：如图，即为所求作；      （2）解：如图，即为所求作；      连接、交于点，连接并延长，交于点， 四边形是菱形， ，垂直平分， ，， ， ， ， ， ， 是的中位线， 即． 【点睛】本题考查了无刻度直尺作图，菱形的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，根据相关性质正确作图是解题关键． 17．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接AC和BD交于点O，连接OE交CD于点G，EG即为所求； （2）连接AC和BD交于点O，连接FO并延长交AB于点M，连接MC交BD于点N，连接AN并延长，交BC于点H，点H即为所求. 【详解】（1）解：如图，EG即为所求； （2）解：如图，点H即为所求； 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，解题的关键是掌握菱形的性质，灵活运用所学知识解决问题. 18．(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）由等腰三角形三线合一，可知的角平分线过线段的中点，由平行四边形的性质可知，的中点即为平行四边形对角线的交点，过与的中点的射线即为所求，作图即可，如图1； （2）由菱形的性质，三角形的三条中线交于一点即重心，作的中线，，交点为重心，连接并延长交于，即为所求，如图2． 【详解】（1）解：如图1，连接、交于点，过作射线，即为所求；    （2）解：如图2，连接，，与交于点G，连接，与交于点，连接并延长交于，即为所求；    【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形、菱形的性质，角平分线，中线、重心等知识．熟练掌握等腰三角形三线合一，三角形的三条中线交于一点是解题的关键． 19．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图复杂作图，菱形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）连接交交于点，连接，延长交于点，此时；或连接交于点，连接，延长交于点F，连接，则； （2）根据解析（1）中的作图，找出点F、G，然后连接、、，则是等腰三角形． 【详解】（1）解：点F即为所求作的点，此时，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 点F即为所求作的点，此时，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． （2）解：即为所求作的三角形，如图所示： 20．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理： （1）如图所示，连接交于O，连接并延长，交于F，则直线即为所求； （2）如图所示，连接交于O，连接并延长，交于G，连接交于H，连接并延长交于F，点F即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，连接交于O，连接并延长，交于F，则直线即为所求；    由菱形的性质可得O为中点，得是中位线，则； （2）解：如图所示，连接交于O，连接并延长，交于G，连接交于H，连接并延长交于F，点F即为所求．    由菱平行四边形的性质可得O为中点，得是中位线，则，则四边形是平行四边形，则为中点，则，可证明四边形为平行四边形，则，即F为的中点． 21．(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】（1）连接，相交于点O，连接并延长交于点F，连接、，利用菱形的中心对称性得到，则四边形即为所求； （2）连接，相交于点O，连接并延长交于点F，连接交于P，连接并延长交于点K，根据菱形的轴对称性得到，由（1）得，则； （3）连接，相交于点O，连接并延长交于点M，连接并延长交于点N，连接交于点H，利用与互相垂直平分得到四边形为菱形． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求的平行四边形；   ； （2）解：如下图所示：点K即为所求，   ； （3）解：如图，四边形即为所求的菱形；  ． 【点睛】此题考查了尺规作图，菱形和平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质以及尺规作图的方法． 22．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定： （1）如图所示，连接交于F，连接并延长交于E，点E即为所求； （2）如图所示，连接交于O，连接并延长交于F，点F即为所求； （3）过点D作于H，求出，得到，则，证明是等腰直角三角形，得到，由菱形的性质得到，则． 【详解】（1）解：如图所示，连接交于F，连接并延长交于E，点E即为所求； 易证明，则，则， 易证明，则； （2）解：如图所示，连接交于O，连接并延长交于F，点F即为所求； 易证明，则， 易证明四边形是平行四边形，可得，则 （3）解：如图所示，过点D作于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 故答案为；． 23．(1)图形见详解； (2)图形见详解； (3)图形见详解． 【分析】（1）连接AC，BD交于点O，过点O，E作直线EO，交AB于F，同直线EF平分▱ABCD的面积； （2）连接AB，EF交于点M，作射线OM，则OM平分∠AOB； （3）连接AE交BD于Q，延长BA，CQ交于点A'，交AD于P，则P是AD的中点． 【详解】（1） 如图（1），直线EF即为所求； （2） 如图（2），射线OM即为所求； （3） 如图（3），点P即为所求； 【点睛】本题是仅用无刻度直尺完成的作图题，考查了平行四边形，矩形，菱形的性质，等腰三角形的三线合一的性质等知识，牢记过平行四边形的对角线交点的直线平分三角形的面积是解本题的关键． 24．(1) (2)甲、乙两位新生分到同一个班的概率为． 【分析】本题考查的是求简单事件的概率和两步操作事件的概率，用表格或树状图表示出总结果数是解答此类问题的关键． （1）根据概率公式计算可得； （2）用画树状图列出所有的等可能结果，从中确定符合事件的结果，根据概率公式计算可得． 【详解】（1）解：有A，B，C三个班级，“学生甲分到A班”有一种情况， 则“学生甲分到A班”的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图如图： 共有9个等可能的结果，甲、乙两位新生分到同一个班的有3种情况， ∴甲、乙两位新生分到同一个班的概率为． 25．至少有一次正面朝上的概率为 【分析】先求出两次掷一枚硬币落地后朝上的面的所有情况，再根据概率公式求解． 【详解】解：随机掷一枚均匀的硬币两次，所有可能出现的结果如下：        第一次 第二次 正 反 正 （正，正） （正，反） 反 （反，正） （反，反） 共有4种等可能的结果，其中至少有一次正面朝上的有3种，因此至少有一次正面朝上的概率为． 【点睛】此题考查的是概率问题,掌握列表法分析和概率公式是解决此题的关键. 26． 【分析】利用列表法求出概率即可． 【详解】解：列表如下： A B C A （A，A） （B，A） （C，A） B （A，B） （B，B） （C，B） C （A，C） （B，C） （C，C） 共有9种等可能的情况，其中小明两次抽到图案上纪念图章相同的情况有3种， ∴P（小明两次抽到图案上纪念图章相同）． 【点睛】本题考查树状图或列表法求概率．熟练掌握树状图和列表法，是解题的关键． 27．树状图见详解， 【分析】本题考查用列表法或树状图法求概率．根据题意画出树状图即可得到本题答案． 【详解】解：画树状图如下： ， 设：小明和小亮选择相同模块的事件为A， 由树状图可知，共分为种情况， 选择相同模块的情况为：，共3种情况， ∴， 故答案为：． 28．，画图见解析 【分析】本题考查用树状图或列表法求概率．根据题意用列表法将情况一一列举出，即可求得本题答案． 【详解】解：∵小明从这四枚徽章中随机抽取两枚， ∴用列表法如下图所示： ， 设：抽到的两枚徵意中有一枚是会徽徽章为事件， 根据上方列表可知，共有12种情况，其中有6种符合情况， ∴． 29．(1) (2) 【分析】本题考查树状图或列表法求概率． （1）直接利用概率公式进行求解即可； （2）列表法求概率即可． 掌握列表法，概率公式，是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意，得：选中C民间面塑传承人的概率是； 故答案为： （2）列表如下： A B C D A A，B A，C A，D B B，A B，C B，D C C，A C，B C，D D D，A D，B D，C 共有12种等可能的结果，其中选中B陕北民歌和D皮影制作传承人的情况有2种， ∴． 30．(1) (2) 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率． 直接根据概率公式解答即可； 根据题意画出树状图得出所有等情况数和前两个出场的都是男生的情况数，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】（1）解：有名女生和名男生参加学校青少年禁毒知识演讲决赛， 第一个出场为男生的概率是， 故答案为：； （2）解：根据题意画树状图如下： 共有种等情况数，其中前两个出场都是女生的概率有种， 则前两个出场都是女生的概率是． 31．(1) (2) 【分析】本题考查了概率的应用，掌握概率的计算公式以及树状图或列表法是解题关键． （1）根据题意即可求解； （2）画出树状图，确定可能出现的所有结果以及满足条件的结果数，即可求解． 【详解】（1）解：∵共有四种茶点， ∴如果只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是：， 故答案为： （2）解：画树状图如图所示： 由树状图知，共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相等，其中选到“虾饺”和“艇仔粥”的结果有2种， ∴P（张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”）. 32．(1) (2) 【分析】本题考查了列表法与树状图法求事件的概率：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率；熟练掌握其方法的一般步骤是解题关键． （1）根据题意，列举出所有可能结果，代入概率计算公式求得相应的概率； （2）根据题意，可以画出相应的树状图，代入概率计算公式从而求得相应的概率． 【详解】（1）解∵某校开设了插花、烹饪、种植3个劳动课程， ∴甲同学选择插花课程的概率是， 故答案为：； （2）把插花、烹饪、种植3个劳动课程分别记为A，B，C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选择同一个课程的结果有3种， ∴甲、乙两名同学选择同一个课程的概率为, 故答案为：． 33．(1) (2) 【分析】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：四个小球上分别标有数字1，2，3，4，其中奇数有2个， 小明摸出的小球上的数字是奇数的概率为； （2）列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 从表中可以看出所有等可能结果共有16种，其中满足题意的结果有8种， 他们去朱雀森林公园植树的概率为． 34．(1) (2)见解析， 【分析】本题考查了用列表或画树状图的方法求概率，熟记用列表或画树状图的方法及概率公式是解题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）将A盐酸（呈酸性）、B硝酸钾溶液（呈中性）、C氢氧化钠溶液（呈碱性）、D碳酸钠溶液（呈碱性）分别记作，列表得出所有可能的结果，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：4种溶液中，有2瓶呈碱性， 则检测的溶液变成红色的概率为， 故答案为：； （2）将A盐酸（呈酸性）、B硝酸钾溶液（呈中性）、C氢氧化钠溶液（呈碱性）、D碳酸钠溶液（呈碱性）分别记作，列表如下： 由表知，共有12种可能出现的结果，其中小明和小亮检测的两瓶溶液都变成红色的有，共2种结果， 小明和小亮检测的两瓶溶液都变成红色的概率为：． 35．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查利用列表法或画树状图求概率，解题的关键在于根据题意列表或画树状图． （1）根据题意列出表格（或画出树状图）即可解题； （2）根据概率所求情况数与总情况数之比．由表格（或树状图），得到共有6个等可能的结果，该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的情况有种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可列表如下： 由表格可知，所有可能出现的结果总数为以上种； （2）解：由表格可知，该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的情况有种， （七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同）． 36．(1) (2) 【分析】本题考查的是用树状图法求概率，熟悉相关性质是解题的关键． （1）根据概率计算公式求解即可； （2）首先将其他三个座位编号，然后根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与丙与丁相邻而坐的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】（1）解：如图，将其他三个座位编号分别为1，2，3， 乙坐到①、②、③三个座位上的可能性相同， ∴丙坐在与甲座位不相邻②号座位的概率是； （2）如图，将其他三个座位编号分别为1，2，3， 画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，丙与丁相邻而坐的有4种情况， 丙与丁相邻而坐的概率为． 37．(1) (2) 【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数综合问题，等腰三角形的性质，熟练掌握一次函数与反比例函数的相应性质是解题关键． （1）过点B作轴，根据等腰直角三角形的性质得出，即可确定点B的坐标； （2）根据点确定反比例函数解析式，然后即可得出，再由待定系数法确定一次函数解析式即可． 【详解】（1）解：过点B作轴于D，如图所示： ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）由（1）得，代入， 得， ∴， ∵过点作x轴的垂线交双曲线于点C， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为，将点B、C代入得： ，解得， ∴直线的解析式为． 38．k＝2 【分析】根据题意A的纵坐标为2，把y＝2代入y＝2x，求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得k的值． 【详解】解：∵AC⊥x轴，AC＝2， ∴A的纵坐标为2， ∵正比例函数y＝2x的图象经过点A， ∴2x＝2，解得x＝1， ∴A（1，2）， ∵反比例函数y＝的图象经过点A， ∴k＝1×2＝2． 【点睛】本题考查的知识点是正比例函数以及反比例函数图象上点的坐标，直接待如即可求出答案，比较基础． 39．反比例函数的表达式为 【分析】将点坐标代入一次函数的解析式中，解出，之后再把点代入反比例函数的解析式中，解出，即可求出反比例函数的解析式． 【详解】解：把点代入，得， ∴, 把点代入反比例函数，得， ∴反比例函数的表达式为． 【点睛】本题主要考查利用待定系数法求反比例函数的解析式，掌握利用待定系数法求反比例函数的解析式是解题的关键． 40．， 【分析】本题主要考查了求一次函数和反比例函数解析式，解题的关键是把A点的坐标代入 求得m的值，即可得反比例函数的解析式；再把B点的坐标代入反比例函数的求得n的值，即可得B点的坐标，再用待定系数法求得一次函数的解析式即可． 【详解】解：∵与交于A，两点， ∴即， ∴， ∴即， ∴， 再把A，B点的坐标代入，得 ∴， 解得：， ∴． 41．双曲线的解析式为y＝，直线的解析式为y＝x＋2 【分析】利用待定系数法分别求出反比例函数与一次函数解析式即可； 【详解】解：∵双曲线y＝与直线y＝kx＋b在第一象限的交点为P(2，3)，且直线穿过点A(0,2)， ∴m＝2×3＝6． ∴双曲线的解析式为y＝． 把A(0，2)，P(2，3)代入y＝kx＋b，得     解得 ∴直线的解析式为y=x＋2． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求反比例函数和一次函数解析，掌握待定系数法是解决本题的关键． 42．(1) (2)△BDE的面积为 【分析】（1）由一次函数图象上点的坐标特征求得B点坐标；根据点的对称性质求得点C的坐标；然后利用待定系数法确定函数解析式； （2）根据S△BDE=S△AOB-S△BOD-S△ADE求解即可． 【详解】（1）解：把y=0代入y=x+2中，得y=2． ∴B（0，2）． ∵点C与点B关于原点对称， ∴C（0，-2）． 设直线CD的解析式为y=kx+b， 把C（0，-2），D（-，0）分别代入y=kx+b中， 得， 解得：． ∴直线CD的解析式为y=-x-2； （2）解：根据题意，得， 解得：， ∴E（-2，1）． 当y=0时，x+2=0． 解得x=-4． ∴A（-4，0）． ∵D（-，0），B（0，2）， ∴OD=，AD=，OB=2，OA=4． ∴=-- =×4×2−××2−××1 =． 【点睛】主要考查了待定系数法求直线解析式，一次函数图象与几何变换，解本题的关键是求出直线CD的解析式． 43．(1)点C的坐标为，直线的解析式为 (2)． 【分析】（1）将点代入一次函数中求得k的值，再求得点C的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式即可； （2）利用，根据三角形面积公式代入数据即可求解． 【详解】（1）解：∵将点代入一次函数中得：， ∴， ∴， ∵将点代入函数中得：， ∴， ∴点C的坐标为 设直线的解析式为：， 将点和代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：； （2）解：∵当时，， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 【点睛】此题考查了求一次函数的解析式，求图象与坐标轴交点坐标，一次函数与几何图形的面积，熟练掌握一次函数的知识是解题的关键． 44．(1)8 (2) 【分析】（1）将点A的坐标（2，4）代入，可得结果； （2）利用反比例函数的解析式可得点B的坐标，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式可得结果． 【详解】（1）解：将点A的坐标（2，4）代入， 可得k＝xy＝2×4＝8， ∴k的值为8； （2）∵k的值为8， ∴函数的解析式为， ∵CD＝2OD，OD＝2， ∴CD＝4， ∴OC＝6， ∴点B的横坐标为6， 将x＝6代入，得， ∴点B的坐标为（6，）， ∴S四边形OABC＝S△AOD＋S梯形ABCD＝×2×4＋×(＋4)×4＝． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，运用数形结合思想是解答此题的关键． 45．(1)， (2)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点， （1）把点代入，解得，即可求得反比例函数的解析式以及B的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式; （2）根据求得，进而即可求得D的坐标． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数上， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为， ∵横坐标为的点B在反比例函数上， ∴点B的纵坐标为， ∴点B的坐标为， ∵点A，点B在一次函数的图象上， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：设点D的坐标为， ∵点C是一次函数与y轴的交点， ∴点C的坐标为， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 解得或， ∴点D的坐标为或． 46．(1)， (2)9 【分析】（1）先求出点A的坐标，把点A的坐标代入求得k的值，即可得到双曲线的解析式，再令，解得，即可得到点B的坐标； （2）先求出点C的坐标，再利用即可得到的面积． 【详解】（1）解：把点代入中得到，， ∴ 点， 把点代入得， 解得， ∴， 令， 解得， ∵点B在第三象限， ∴， 当时，， ∴点B的坐标是； （2）∵点B的坐标是，轴， ∴点C的坐标是， ∴， ∴， 即的面积为9． 【点睛】此题是反比例函数和一次函数综合题，考查了待定系数法、反比例函数和一次函数的图象交点问题、三角形的面积等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 47．(1)， (2)一次函数的表达式为．反比例函数的表达式为 【分析】（1）将，代入，可得，由此求出m的值即可； （2）将点，的坐标代入，将点A或点B的坐标代入，利用待定系数法求一次函数与反比例函数的表达式． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴， ∴， 解得， ∴，． （2）解：由（1）得，． 将点，代入，得， 解得， ∴一次函数的表达式为． 把代入中，得， ∴， ∴反比例函数的表达式为． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题关键是根据，都在上，求出m的值，进而求出点，的坐标． 48．(1)；； (2)或 (3) 【分析】（1）将点的横坐标代入可求得点的纵坐标；进而求得的值以及点、点的坐标； （2）由图像可知：当或时，函数的函数值不小于函数的函数值，据此作答即可； （3）作轴，轴；将的面积转化为梯形的面积进行计算即可. 【详解】（1）解：将代入得：， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为：； 由反比例函数的对称性可得：点、点关于原点对称， ∴， 将代入得：， ∴； （2）解：由图像可知：当或时，函数的函数值不小于函数的函数值； ∴的解集为：或； （3）解：如图，作轴，轴； ∵，， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了反比例函数图像的性质、正比例函数图像的性质、坐标与图形；熟练运用反比例函数图像的性质转化面积是解题的关键． 49．(1) (2)或 (3)或或或 【分析】（1）用待定系数法求直线n的函数解析式； （2）根据的面积为9可求得的长，确定的长，可得结论； （3）分情况进行讨论，当，，，分别求出点C的坐标，然后再利用待定系数法可得结论． 【详解】（1）解：设直线n的解析式为：， 直线n：过点、点， ， 解得：， 直线n的函数表达式为：； （2）解：∵的面积为9， ∴， ∴， ∵， ∴或， ∴或； （3）解：分四种情况： ①如图1，当时， ∵、， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线l的解析式为：， 把和代入得：， 解得：， ∴直线l的函数表达式为：； ②如图2，， ∴， 同理可得直线l的解析式为：； ③如图3，，过点B作轴于点D， ∴， ∴， 同理可得直线l的解析式为：； ④如图4，，过点B作轴于D， 设，则，， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴， 同理可得直线l的解析式为：； 综上，直线l的解析式为：或或或． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握待定系数法，注意数形结合，进行分类讨论． 50．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等边三角形的判定和性质，弧长公式，熟知相关性质和计算公式是解题的关键． （1）根据直径所对的圆周角为直角结合已知条件，可得，即可得，进而可证得结论； （2）连接，证明为等边三角形，求得，利用弧长公式即可解答． 【详解】（1）证明：是半圆O的直径， ， ， ， ， 是半圆O的切线； （2）解：如图，连接， ， 为等边三角形， ，， ， ． 51．见解析 【分析】根据圆周角定理得到，等量代换得到，所以，然后根据切线的判定方法可得结论． 【详解】证明：是的直径， ， ． ， ， 即， ． 又是的半径， 是的切线． 【点睛】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理． 52．见解析 【分析】连接，得到是等边三角形，推出，由此求出，得到，即可得到结论是的切线． 【详解】证明：连接，    ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 【点睛】此题考查了证明直线是圆的切线，等边三角形的判定和性质，正确掌握圆的切线的判定定理是解题的关键． 53．见解析 【分析】根据，得到，再根据圆周角定理，得到，即可得到，根据是的直径，得到，最后通过和角度的等量代换，即可解答． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴是的切线； 【点睛】此题考查了证明直线是圆的切线，圆周角定理，平行线的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 54．见解析 【分析】根据圆周角定理得到，根据题意得到，根据切线的判定定理证明结论． 【详解】证明：∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴是的切线． 【点睛】本题考查的是切线的判定定理、圆周角定理，熟记经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． 55．(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用圆周角定理得到，进而得到，得到，即可得证； （2）连接，圆周角定理，得到，利用弧长公式进行计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又为的半径， ∴为切线； （2）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的长． 【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理以及求弧长．熟练掌握圆周角定理，以及弧长公式是解题的关键． 56．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，得到，圆周角定理得到，得到，进而得到，即可； （2）根据，得到，进而得到，进而得到，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，求出半径的长，根据弧长公式进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接，则：，    ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，弧长公式，等边对等角，含30度角的直角三角形．熟练掌握相关知识点，灵活运用，是解题的关键． 57．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用直径所对的圆周角为直角，角平分线的定义，圆周角定理，垂直的定义，平行线的性质和圆的切线的判定定理解答即可； （2）连接，利用同圆的半径相等，等边三角形的判定与性质，圆周角定理求得的度数，再利用圆的弧长公式计算即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵是的直径， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵为的半径， ∴与相切； （2）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴的长． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，角平分线的定义，垂直的定义，平行线的性质，圆的切线的判定定理，圆的弧长公式，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 58．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）如图所示，连接，先求出，再由圆周角定理得到，进而求出，再根据弧长公式进行求解即可； （2）如图所示，连接，先由三角形内角和定理得到，则由圆周角定理可得，再由是的直径，得到，进而求出，进一步推出，由此即可证明是的切线． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵是的直径，且， ∴， ∵E为上一点，且， ∴， ∴， ∴的长；    （2）证明：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线．      【点睛】本题主要考查了切线的判定，求弧长，圆周角定理，三角形内角和定理等等，正确作出辅助线是解题的关键 ． 59．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接并延长交于点，根据是的外接圆，得到，由平行线的性质，得到，即可得证． （2）连接，等边对等角，求出的度数，圆周角定理求出度数，得到为等边三角形，求出半径和的度数，利用弧长公式进行计算即可． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点， ∵是的外接圆， ∴点是三边中垂线的交点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线；    （2）解：连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，求弧长，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 60．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由是的直径可得，进而可得，再根据圆周角定理可得，进而可证，，即可证明与相切； （2）连接，，先证是等边三角形，推出，再根据圆周角定理证明，进而可得，再根据弧长公式即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，   是的直径， ， 平分交于点E， ， ， ， ， ， 是的半径， 与相切； （2）解：如图，连接，，   ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， ，是的直径， ， ． 即的长为． 【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，弧长公式，等边三角形的判定与性质等，熟练应用圆周角定理是解题的关键． 61．(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，切线的性质，切线的判定，弧长公式，熟练掌握圆的性质，切线的性质与判断是解题的关键． (1)利用切线的性质，余角的性质，证明即可． (2)利用余角的性质，，连接，根据垂径定理，得到，利用弧长公式计算即可． (3)连接，证明即可． 【详解】（1）∵与相切于点，是的直径， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． （2）∵ ∴，， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． 62．(1)见解析 (2)见解析 (3)的长为π． 【分析】（1）连接OD，BD，根据圆周角定理得到∠ABO=90°，根据等腰三角形的性质得到∠ABD=∠ADB，∠DBO=∠BDO，根据等式的性质得到∠ADO=∠ABO=90°，根据切线的判定定理即可得到即可； （2）由AD是半圆O的切线得到∠ODE=90°，于是得到∠ODC+∠CDE=90°，根据圆周角定理得到∠ODC+∠BDO=90°，等量代换得到∠DOC=2∠BDO，∠DOC=2∠CDE即可得到结论； （3）根据已知条件得到∠DOC=2∠CDE=54°，根据平角的定义得到∠BOD=180°-54°=126°，然后由弧长的公式即可计算出结果． 【详解】（1）证明：连接OD，BD， ∵AB是以BC为直径的半圆O的切线， ∴AB⊥BC，即∠ABO=90°， ∵AB=AD， ∴∠ABD=∠ADB， ∵OB=OD， ∴∠DBO=∠BDO， ∴∠ABD+∠DBO=∠ADB+∠BDO， ∴∠ADO=∠ABO=90°， ∴AD是半圆O的切线； （2）证明：由（1）知，∠ADO=∠ABO=90°， ∴∠A=360°-∠ADO-∠ABO-∠BOD=180°-∠BOD=∠DOC， ∵AD是半圆O的切线， ∴∠ODE=90°， ∴∠ODC+∠CDE=90°， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠ODC+∠BDO=90°， ∴∠BDO=∠CDE， ∵∠BDO=∠OBD， ∴∠DOC=2∠BDO， ∴∠DOC=2∠CDE， ∴∠A=2∠CDE； （3）解：∵∠CDE=27°， ∴∠DOC=2∠CDE=54°， ∴∠BOD=180°-54°=126°， ∵OB=2， ∴的长=． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，弧长的计算，圆周角定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 63．(1)书架上有数学书60本，语文书30本． (2)数学书最多还可以摆90本 【分析】本题主要考查了一元一次方程及不等式的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程． （1）首先设这层书架上数学书有本，则语文书有本，根据题意可得等量关系：本数学书的厚度本语文书的厚度，根据等量关系列出方程求解即可； （2）设数学书还可以摆m本，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设书架上数学书有本，由题意得： ， 解得：， ． ∴书架上有数学书60本，语文书30本． （2）设数学书还可以摆m本， 根据题意得：， 解得：， ∴数学书最多还可以摆90本． 64．爸爸36岁；笑笑12岁 【分析】将爸爸的年龄设为岁，那么笑笑的年龄为岁．根据“爸爸比笑笑大24岁”这一数量关系，列方程解方程即可． 【详解】解：设爸爸今年岁． 36×＝12（岁） 答：爸爸今年36岁，笑笑今年12岁． 【点睛】本题考查了简易方程的应用，解题关键是找出数量关系，正确列方程． 65．七年级分的图书本 【分析】按照所给比例设未知数即可求解． 【详解】解：设六年级分得图书本，则七年级分得本、八年级分得本， 由题意得， 解得 （本） 答：七年级分的图书100本。 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用．按照比例设未知数是解题的关键． 66．这个书法社团有人 【分析】根据题意，设书法社团有人，列方程即可求解． 【详解】解：设书法社团有人，则该社团女生有， ∴，解得，， ∴这个书法社团有人． 【点睛】本题主要考查方程的实际运用，理解题目中的数量关系，掌握方程的运用是解题的关键． 67．56千克 【分析】设这桶油重x千克，根据题干条件列出方程，解之即可． 【详解】解：设这桶油重x千克， 根据题意得， ∴， ∴， ∴， 答：这桶油重56千克． 【点睛】此题考查列一元一次方程解应用题、解一元一次方程等知识，理解两次倒出油的重量与剩余油的重量之和等于这桶油的重量是解题的关键． 68．(1)开始售票后分钟售票厅内有人 (2)至少需同时开放个售票窗口 【分析】（1）设分钟售票厅内有人，根据题意可得方程，解方程求解即可； （2）设同时开放个窗口，由题意得，解方程求解即可． 【详解】（1）解：设开始售票后分钟售票厅内有人， 由题意得，解得， 答：开始售票后分钟售票厅内有人． （2）解：设同时开放个窗口， 由题意得，解得， 答：至少需同时开放个售票窗口． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，用方程解决实际问题的基本思路如下，首先审题找出题中的未知量和已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为，然后再用含的式子表示相关的量，熟练找出之间的相等关系，列方程、求解、作答、即设、列、解、答．是解题的关键． 69．(1)甲种型号的单价是50元，乙种型号的单价是30元 (2)19 【分析】（1）根据题意，设乙种型号的单价是x元，则甲种型号的单价是元，根据“购买甲、乙两种型号各10个共需800元”的等量关系列出一元一次方程，解出方程即可得出答案； （2）根据题意，设购买甲种型号的“冰墩墩”a个，则购买乙种型号的“冰墩墩”个，根据“计划用不超过1880元”列出不等式，即可得出答案． 【详解】（1）设乙种型号的单价是x元，则甲种型号的单价是元． 根据题意得：， 解得：， ∴， 答：甲种型号的单价是50元，乙种型号的单价是30元． （2）设购买甲种型号的“冰墩墩”a个，则购买乙种型号的“冰墩墩”个． 根据题意，得：， 解得：， ∴a最大值是19， 答：最多可购买甲种型号的“冰墩墩”19个． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找出等量关系和不等关系是本题的关键． 70．(1)甲团队有48人，乙团队有54人 (2)18 【分析】（1）设甲团队有人，则乙团队有人，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （2）设甲团队有人，则乙团队有人，依题意得，，计算求解即可． 【详解】（1）解：设甲团队有人，则乙团队有人， 依题意得，， 解得，， ∴（人）， ∴甲团队有48人，乙团队有54人； （2）解：设甲团队有人，则乙团队有人， 依题意得，， 解得，， ∴甲团队最少18人． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用．解题的关键在于根据题意正确的列等式和不等式． 71．(1)该出租公司每辆甲型客车的租金为280元，则每辆乙型客车的租金为220元 (2)最多租用甲型客车4辆 【分析】（1）设该出租公司每辆甲型客车的租金为，则每辆乙型客车的租金为元，根据题意建立方程求出其解就可以了； （2）设租用甲型客车辆，则乙型客车辆，根据题意建立不等式求出其解就可以了． 【详解】（1）解：设该出租公司每辆甲型客车的租金为，则每辆乙型客车的租金为元， 由题意得，解得： 乙型客车的租金为220元； 答：该出租公司每辆甲型客车的租金为280元，则每辆乙型客车的租金为220元； （2）解：设租用甲型客车辆，则乙型客车辆， 由题意得，解得， 最多租用甲型客车4辆． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用及解法的运用，一元一次不等式的运用，再解答时求出甲、乙客车的租金是关键． 72．(1)去年文学书单价为8元，则科普书单价为12元； (2)这所中学今年至少要购买133本文学书． 【分析】此题考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． （1）设去年文学书单价为元，则科普书单价为元，根据买100本科普书和100本文学书共用2000元，列出方程，即可得出答案； （2）设这所学校今年购买本文学书，根据购买文学书和科普书的总费用不超过2135元，列出不等式，求出不等式的解集即可得出答案． 【详解】（1） 解：设去年文学书单价为元，则科普书单价为元，根据题意得： ， 解得：， 当时， 答：去年文学书单价为8元，则科普书单价为12元． （2） 设这所学校今年购买本文学书，根据题意得． ， ， 为整数， 最小值是133， 答：这所中学今年至少要购买133本文学书． 73．(1) (2)或或 (3)或 【分析】本题考查的知识点是数轴上两点之间的距离、一元一次方程、一元一次不等式，解题关键是理解题意． （1）根据点与点重合得到关于的方程，解方程即可； （2）分三种情况讨论，当点到点、的距离相等时；当点到点、的距离相等时；当点到点、的距离相等时，根据题意分别列方程求解即可； （3）由题意得，解不等式即可． 【详解】（1）解：当点与点重合时，则， 解得． （2）解：依题得： 当点到点、的距离相等时，，解得； 当点到点、的距离相等时，，解得； 当点到点、的距离相等时，，解得． 故的值为或或． （3）解：由题意得， 当时，解得； 当时，解得． 故的取值范围为或． 74．(1)， (2) (3)电量不超过千瓦时时，其当月的平均电价每千瓦时不超过元 【分析】（1）根据所给的收费标准先求出a的值，进而求出用电量为200千瓦时的费用即可； （2）分别计算出不超过150千瓦时的部分，超过150千瓦时，但不超过300千瓦时的部分和超过300千瓦时的部分的费用，然后求和即可； （3）设陈先生月用电量为m千瓦时，先推出只有当时，才有可能使其当月的平均电价每千瓦时不超过元，然后根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， 解得， ∵， ∴若陈先生家2022年9月用电200千瓦时，应交费元， 故答案为：，； （2）解：由题意得，陈先生家2022年10月应交电费元； （3）解：设陈先生月用电量为m千瓦时， ∵，，， ∴只有当或时，才有可能使其当月的平均电价每千瓦时不超过元， 由题意得，， 解得， ∴当时，其当月的平均电价每千瓦时不超过元； ∴陈先生月用电量不超过千瓦时时，其当月的平均电价每千瓦时不超过元． 【点睛】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出对应的代数式和不等式以及方程是解题的关键． 75．(1) (2)132000元 (3) 【分析】（1）设矩形广场四角的小正方形的边长为米，根据等量关系“广场内部的长方形的宽是长的”列出一元一次方程求解即可； （2）根据绿色地面砖的面积和白色地面砖的面积分别计算需要的改造资金，然后计算总和即可； （3）根据题意设可以将的白色地面砖改为种植绿色景观，由不等关系列出不等式可得答案． 【详解】（1）解：设广场四角小正方形的边长为， ， 解得：， 答：广场四角小正方形的边长为． （2）绿色地面砖需要资金（元） 白色地面砖需要资金（元）， 改造这个长方形广场需要资金（元） 答：改造这个长方形广场需要资金132000元． （3），（元） 设将白色地面砖改为绿植， ， 答：最多白色地面砖改为绿植． 【点睛】本题考查一元一次方程和一元一次不等式解应用题，读懂题意列方程或不等式是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$