2024年江西省中考数学真题变式题7-12题

1．计算： ． 2． ． 3． ． 4．计算： ． 5．计算： ． 6．计算： ． 7．计算： ． 8．结果是 ． 9．计算： ． 10．计算：＝ ． 11．计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 12．计算： ； ； ． 13．因式分解： ． 14．因式分解： ． 15．把多项式分解因式为 ． 16．分解因式： ． 17．分解因式： ． 18．因式分解： ． 19．因式分解： ． 20．因式分解： ． 21．因式分解： ． 22．已知，，则 ． 23．若，，则 ． 24．已知，，则 ． 25．已知实数，满足，则的值为 ． 26．在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为 ． 27．已知点A的坐标为，将点A向下平移2个单位长度得到点，则点的坐标为 ． 28．平面直角坐标系内，将点向右平移1个单位得到点，则点的坐标是 ． 29．在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度后，那么平移后对应的点的坐标是 ． 30．将点向右平移个单位长度得到的点的坐标为 ． 31．在平面直角坐标系中，点向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的点的坐标是 ． 32．直角坐标系中，将点先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得点的坐标是 ． 33．在平面直角坐标系中，将点先向右平移5格，再向下平移1格得到点，则点的坐标是 ． 34．点先向右平移4个单位，再向下平移1个单位后的坐标为 35．在平面直角坐标系中，把点向左平移2单位，再向下平移5个单位得到点，则点的坐标为 . 36．将点沿轴向右平移3个单位长度，再沿轴向上平移1个单位长度后得到的点的坐标为 ． 37．在平面直角坐标系中，把点向下平移个单位得到点，则代数式的值为 ． 38．已知线段的中点为，若经过平移到达，则点的对应点为 ． 39．观察a，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为 ． 40．观察下列关于a的单项式，探究其规律：a，3a，5a，7a，9a…按照上述规律，第2020个单项式是 ． 41．一组按规律排列的式子：…第n个式 ．（n为正整数） 42．一列关于a的单项式：，，，，……，按上述规律，第n个单项式为 ． 43．已知单项式a、、、，…按一定的规律排列，试写出第n个单项式 ． 44．按规律排列的单项式：，，，，，…则第16个单项式是 ． 45．观察下列单项式：0，…按此规律，则第n个单项式为 ． 46．按一定规律排列的单项式：，…，则第2022个单项式是 ． 47．按规律排列的单项式：，，，，，…，则第个单项式是 ． 48．观察下面一列式子，按规律在横线上填写适当的式子，则第n个式子为 ． 49．观察下列单项式：，，，，，…根据你发现的规律写出第n个单项式为 ． 50．有一组单项式依次为，根据它们的规律，请写出第8个单项式 ． 51．观察下列单项式：，，，，，…，按此规律，这列单项式中的第9个为 ． 52．将图所示的七巧板，拼成图所示的四边形，连接，则 ． 53．正方形对角线长为8，则正方形的边长为 ． 54．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市萧红中学校考开学考试） 14．在中，，，，则的值为 ． 55．如图，在Rt△ABC中，，BC＝3，AB＝5，则tanA＝ ． 56．如图，由4个全等的直角三角形拼成一个大正方形，内部形成一个小正方形．如果正方形的面积是正方形面积的一半，那么．的正切值是 ． 57．正方形中，点为直线上一点，若，则 ． 58．如图，正方形ABCD的边长为2，过点A作AE⊥AC,AE=1，连接BE，则tanE= . 59．如图，正方形的边长为4，是的中点，将四边形沿翻折得到四边形，连接，则的值等于 ． 60．如图，在正方形中，，点E是边的中点，的平分线交于点F，连接，则的值为 ． 61．如图，点是正方形边上一点，是线段上一点，过点A作的垂线交延长线于点，且，连接，．    （1）的度数为 °； （2）若，，则的值为 ． 62．如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为 ． 63．如图，是的直径，将弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心．若，则的半径长是 ． 64．如图,是的直径,是的弦,,将沿着折叠后恰好经过点,则的长为 ．    65．如图，将半径为的圆形纸片沿一条弦折叠，折叠后弧的中点与圆心重叠，则弦的长度为 ． 66．小淇从中剪下一个图形（图1）．对折后（图2），若，则半径为 ． 67．如图，已知的直径，弦垂直平分，点是上一个动点（不与点A重合），连接，于点F，连接，则线段的最小值为 ．    68．如图，是半径为2的的弦，将沿着弦折叠，正好经过圆心O，点C是折叠后的上一动点，连接并延长交于点D，点E是的中点，连接，．则的最小值为 ． 69．如图示，半圆的直径，弦，将半圆沿着过点A的直线折叠，折叠后使得弦恰好落在直径上，则折痕的长为 ． 70．在中，是直径，是弦，，将圆沿着翻折，使弧与直径相交于点E和F，且，的长为 ． 71．如图，在半径为5的⊙O中；弦AC＝8，B为上一动点，将△ABC沿弦AC翻折至△ADC，延长CD交⊙O于点E，F为DE中点，连接AE，OF．现给出以下结论：①AE＝AB；②∠AED=∠ADE；③∠ADC＝2∠AED；④OF的最小值为2，其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）． 72．如图，为的直径，为中长度为定值的弦，．作于E，连接，，．下列四个结论中：①O到的距离为定值；②；③当时，或；④为定值．正确的是 ．（填所有正确的序号） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．1 【分析】根据乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘方运算，熟练掌握乘方运算法则，是解题的关键． 2．8 【分析】根据乘方的定义可知是3个2乘积，计算求解． 【详解】解：， 故答案为：8． 【点睛】本题考查乘方的定义，明确表示的意义是解答此题的关键． 3． 【分析】按乘方的意义进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查有理数的乘方，解决本题的关键是要掌握乘方的概念． 4． 【分析】本题考查了平方的运算，根据运算的法则运算即可． 根据平方的运算法则进行运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 5． 【分析】直接根据有理数的乘方，计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，熟练掌握乘方的意义是解题关键． 6． 【分析】直接利用乘方的定义进行计算，即可得到答案． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查了乘方的定义，熟记乘方的运算法则是解题的关键． 7． 【分析】先化带分数为假分数，再计算平方． 此题考查了有理数乘方的运算能力，关键是能准确确定运算方法和顺序，并进行正确地计算． 【详解】解：， 故答案为：． 8． 【分析】根据有理数乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算法则是解本题的关键． 9． 【分析】根据乘方运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，解题的关键是注意符号的变化． 10． 【分析】根据乘方法则，先确定结果的符号为负，再把绝对值乘方即可． 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查了乘方的运算，注意要先确定结果的符号，避免符号出错． 11． ## ## 【分析】根据有理数的乘方运算计算即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：． （2）； 故答案为：． （3）； 故答案为：． （4）． 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，熟练掌握有理数的乘方运算法则是解题关键． 12． ## 【分析】根据乘方的含义直接计算即可． 【详解】解： 故答案为：，，． 【点睛】本题考查的是分数的乘方运算，掌握“乘方的含义，理解底数是哪个数”是解本题的关键． 13． 【详解】根据分解因式提取公因式法，将方程a2+2a提取公因式为a（a+2）．故a2+2a=a（a+2）． 故答案是a（a+2）． 14． 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式b进行分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查因式分解，直接利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 16． 【分析】本题主要考查了提公因式分解因式，提公因式a即可解答． 【详解】解： 故答案为： 17． 【分析】本题考查提公因式法因式分解，根据多项式中每一项都含有，直接提公因式即可得到答案，熟练掌握提公因式法因式分解是解决问题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 18． 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法是解题关键．提公因式，即可获得答案． 【详解】解：． 故答案为：． 19． 【分析】本题考查了因式分解的方法，解题的关键是掌握提公因式法进行因式分解．直接提公因式，即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 20． 【分析】本题考查分解因式，直接利用提公因式法求解即可．掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 21． 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．注意先提公因式，再利用公式法分解因式，注意分解要彻底，提取公因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 22． 【分析】直接将原式提取公因式，再把已知代入求出答案． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题的关键． 23．15 【分析】本题主要考查了分解因式和代数式求值综合．解决问题的关键是熟练掌握提公因式法分解因式，整体代入法求代数式的值． 先提取公因式，然后把，代入整式即可得出答案． 【详解】∵，， ∴ ． 故答案为：15． 24． 【分析】本题考查了因式分解得应用，代数式求值，利用提公因式法可得，把，代入计算即可求解，正确利用因式分解对原式进行转化是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 25．72 【分析】本题考查了求代数式的值，将变形为，整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 26． 【分析】本题考查了坐标与图形变化－平移．利用点平移的坐标规律，把A点的横坐标加2，纵坐标加3即可得到点B的坐标． 【详解】解：∵点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B， ∴点B的坐标为，即． 故答案为：． 27． 【分析】将点向下平移后，点的横坐标不变，纵坐标减小． 【详解】解：由题意得：点的坐标为： 故答案为： 【点睛】本题考查了点的平移．熟记相关结论即可． 28． 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵平面直角坐标系内，将点向右平移1个单位得到点， ∴点的坐标是，即， 故答案为：． 29． 【分析】此题考查了点的坐标变化和平移之间的联系，根据平移时，点的坐标变化规律“左减右加”进行计算即可． 【详解】根据题意，从点A平移到点，横坐标是， 故点的坐标是 故答案为：． 30． 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是掌握点的坐标变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．据此解答即可． 【详解】解：将点向右平移个单位长度得到的点的坐标为，即． 故答案为：． 31． 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据左右平移横坐标相减加，上下平移纵坐标相加减进行求解即可． 【详解】解：由题知，将点向右平移3个单位长度， 得到的点的坐标为， 再向下平移2个单位长度， 得到的点的坐标为． 故答案为：． 32． 【分析】直接利用平移的性质得出平移后点的坐标即可． 【详解】解：∵将点先向右平移4个单位长度得到，再向上平移3个单位长度得到， ∴所得点的坐标是：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了平移变换，正确掌握平移规律是解题关键． 33． 【分析】本题考查坐标系下点的平移．根据点的平移规则：左减右加，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：点的坐标是，即； 故答案为：． 34． 【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得所求点的坐标是，进而得到答案． 【详解】解：点先向右平移4个单位，再向下平移1个单位后的坐标为， 即：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 35． 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据平移方式可知，横坐标，纵坐标，即可得到答案． 【详解】解：把点向左平移2单位，再向下平移5个单位得到点， 则点的坐标为，即， 故答案为：． 36． 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——平移．根据平移的规律，即可求解． 【详解】解：将点沿轴向右平移3个单位长度，再沿轴向上平移1个单位长度后得到的点的坐标为，即． 故答案为： 37．5 【分析】本题考查了由平移方式确定点的坐标，根据题意得，即，利用整体思想即可求解． 【详解】解：将点向下平移个单位得到点， ， ， ， 故答案为：． 38． 【分析】由点经过平移到达，可知线段的平移规律，然后确定点坐标即可． 【详解】解：由点经过平移到达， 可知线段向右平移3个单位长度，向上平移4个单位长度得的， 所以，点的对应点坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了图形的平移与坐标，弄清线段的平移规律是解题关键． 39． 【分析】此题考查了单项式规律探究．分别找出系数和次数的规律，据此判断出第n个式子是多少即可． 【详解】解：∵a，，，，…， ∴第n个单项式的系数是1； ∵第1个、第2个、第3个、第4个单项式的次数分别是1、2、3、4，…， ∴第n个式子是． ∴第100个式子是． 故答案为：． 40．4039a 【分析】根据题目中已知的单项式，可以发现单项式的系数是从1开始连续的奇数，从而可以写出第n个单项式，然后即可得到第2020个单项式． 【详解】解：∵关于a的单项式为：a，3a，5a，7a，9a…， ∴第n个单项式为（2n−1）a， ∴当n＝2020时，这个单项式是（2×2020−1）a＝4039a， 故答案为：4039a． 【点睛】本题考查了单项式规律题，解答本题的关键是明确题意，发现单项式系数的变化特点，写出相应的单项式． 41．## 【分析】根据题目中的式子，可以发现分母的数字是从1开始的连续整数，分子都是a2，从而可以写出第n个单项式． 【详解】解：∵一列式子为：… ∴第n个式子为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查数字的变化类、单项式，解答本题的关键是明确题意，发现单项式的变化特点，写出第n个单项式． 42． 【分析】不难发现各项的指数部分为2n＋1，据此进行作答即可． 【详解】∵， ， ， ， …， ∴第n个单项式为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查规律型：数字的变化类，解答的关键是分析清楚所给的单项式中系数与指数的变化规律． 43． 【分析】本题考查数字的变化类、单项式．从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，再根据规律进行解答便可． 【详解】解：通过观察知道： 符号的规律：都是正号； 系数的绝对值的规律：第n个对应的系数的绝对值是n． 指数的规律：第n个对应的指数是n． ∴第n个单项式可表示为． 故答案为：． 44． 【分析】由题意可得第n个单项式是，当时代入即可求解． 【详解】解：∵，，，，，…， ∴第n个单项式是， ∴第16个单项式是， 故答案为：． 【点睛】本题考查数字的变化规律，根据所给的单项式的特点，探索出单项式的一般规律是解题的关键． 45． 【分析】按照单项式系数和次数的变化规律即可得到答案． 【详解】解：分析可知：第n个单项式为：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了单项式，找到单项式的系数和次数的变化规律是解题的关键． 46． 【分析】根据题意，找出规律：单项式的系数为的幂，其指数与序号相等，字母为a，据此作答即可． 【详解】解：∵，，，，，…， 由上规律可知，第n个单项式为：． ∴第2022个单项式是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了单项式的有关知识，在解题时能通过观察得出规律是本题的关键． 47． 【分析】根据题意归纳出各项系数的符号和字母指数的规律． 【详解】解：第1个单项式是， 第2个单项式是， 第3个单项式是， 第4个单项式是， 第个单项式是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了整式规律问题的解决能力，关键是能准确理解题意，并进行规律的归纳． 48． 【分析】观察各单项式的系数、对应字母的次数，即可找到一般规律求解． 【详解】解：观察可知：奇数项系数为正，偶数项系数为负，故则第n个式子的系数为： 关于的部分依次为：故则第n个式子关于的部分为： 关于的部分依次为：故则第n个式子关于的部分为： 则第n个式子为： 故答案为： 【点睛】本题考查单项式中的规律问题．旨在考查学生的抽象概括能力． 49． 【分析】分别从单项式的系数，，的指数上归纳其规律，从而可得答案． 【详解】解：∵单项式：，，，，，… ∴n为奇数时，单项式为正数，2的指数为，x的指数为n时，y的指数为； n为偶数时，单项式为负数，2的指数为，x的指数为n时，y的指数为； ∴第n个单项式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是单项式的规律探究，掌握探究的方法是解本题的规律． 50． 【分析】不难看出，单项式的系数部分是，字母的指数部分是，据此可解答． 【详解】， ， , ， 第个单项式为：， ∴第8个单项式为： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查数字的变化类规律，解答的关键是由所给的单项式总结出存在的规律． 51． 【分析】本题考查单项式规律题，分别找到单项式的系数和字母指数的变化规律求解即可． 【详解】解：观察所给前几个单项式的系数和指数，发现第n个单项式的系数为，字母指数为n， ∴这列单项式中的第9个为， 故答案为：． 52．## 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角函数，如图，设等腰直角的直角边为，利用图形的位置关系求出大正方形的边长和大等腰直角三角形的直角边长，进而根据正切的定义即可求解，掌握等腰直角三角形和正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设等腰直角的直角边为，则，小正方形的边长为， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作的延长线于点，则，， 由图（）可得，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 53． 【分析】根据正方形性质，边长相等，四个角都是直角，可以用勾股定理求出边长． 【详解】解：根据题意画出图形，四边形是正方形，对角线， 四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， 根据勾股定理， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形性质及勾股定理的应用，正确计算是解答本题的关键． 54． 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握正弦、余弦和正切的定义是答题的关键． 直接利用正切的定义求解． 【详解】解：在中，, ∴． 故答案为：． 55． 【分析】先利用勾股定理求出AC的长度，再根据锐角三角函数的正切定义进行计算即可． 【详解】解：∵∠C=90°，BC=3，AB=5， ∴AC===4， ∴tanA==， 故答案为：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切定义是解题的关键． 56．## 【分析】本题主要考查正方形的性质、勾股定理以及解直角三角形，设，，则，根据面积可列出，整理得，求得，即可解得答案． 【详解】解：设，，则， ∴，， ∵， 即 整理得：， 变形得：， 令，则， ∴原始， 解得，， ∴， ∴（舍去）， ∴． 57．或 【分析】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，求正切，掌握相关定理是解题的关键 【详解】解：在正方形中，设正方形的边长为， 即， 在直角中， ， 当点在点左侧时，如图所示， ， 在直角中， ； 当点在点右侧时，如图所示， ， 在直角中， ． 故答案为：或． 58． 【详解】如图，延长CA使AF=AE，连接BF，过B点作BG⊥AC，垂足为G， ∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAB=45°．∴∠BAF=135°． ∵AE⊥AC，∴∠BAE=135°．∴∠BAF=∠BAE． ∵在△BAF和△BAE中，，∴△BAF≌△BAE（SAS）． ∴∠E=∠F． ∵四边形ABCD是正方形，BG⊥AC，∴G是AC的中点．∴BG=AG=2． 在Rt△BGF中，，即tanE=． 59． 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、勾股定理、解直角三角形，延长、交于，作于，由正方形的性质得出，，推出，由折叠的性质可得：，，，推出，即可得到，设，则，结合勾股定理得出，，由等面积法得出，由勾股定理得出，得出，再由正切的定义计算即可得出答案． 【详解】解：如图，延长、交于，作于， ， ∵正方形的边长为4，是的中点， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 60．## 【分析】本题考查正方形的性质，角平分线的性质定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，求角的正切值等，作于点G，由角平分线的性质可得，再证，推出，，设，用勾股定理解和，求出x的值，再根据即可求解． 【详解】解：如图，作于点G， 正方形中，，点E是边的中点， ，， ， ， 平分，，， ， 在和中， ， ， ，， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， 即， 解得， ， ， 故答案为：． 61． 【分析】（1）根据四边形是正方形得到，，结合，得到，即可得到，结合角度关系即可得到答案； （2）过点作，交的延长线于点，易得，根据勾股定理即可求出、结合三角函数即可得到答案； 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 解：如图，过点作，交的延长线于点， ∵， ， ∴， ∴， ∵，由勾股定理可求得， ∵，由勾股定理可求得， ∵， ∴， ∴，在中，， ∴， 故答空1答案为：，故答空2答案为：；    【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理全等三角形判定与性质，解直角三角形形，解题的关键作出辅助线及根据正方形的性质的到线段角度关系． 62．或或2 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据，可得或2，利用勾股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：为直径，为弦， ， 当的长为正整数时，或2， 当时，即为直径， 将沿翻折交直线于点F，此时与点重合， 故； 当时，且在点在线段之间， 如图，连接， 此时， ， ， ， ， ； 当时，且点在线段之间，连接， 同理可得， ， 综上，可得线段的长为或或2， 故答案为：或或2． 63． 【分析】此题考查了折叠的性质、三角形中位线定理、垂径定理等知识，过点O作于点E，交于点C，则，由折叠的性质得到．则．由中位线定理求出即可． 【详解】过点O作于点E，交于点C， ∴， ∵将弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， 即的半径长是， 故答案为：． 64． 【分析】本题考查翻折变换,垂径定理,勾股定理．正确做出辅助线是解决本题的关键．作交于点H,由题意可知,再在中利用勾股定理求出的长,继而得到本题答案． 【详解】解:作交于点H,    ∵根据题意将沿着折叠后恰好经过点,可知, ∴由垂径定理可知, ∴在中,,即, ∴, ∴, ∴, 故答案为:． 65． 【分析】连接OC交AB于点D，再连接OA．根据轴对称的性质确定，OD=CD；再根据垂径定理确定AD=BD；再根据勾股定理求出AD的长度，进而即可求出AB的长度． 【详解】解：如下图所示，连接OC交AB于点D，再连接OA． ∵折叠后弧的中点与圆心重叠， ∴，OD=CD． ∴AD=BD． ∵圆形纸片的半径为10cm， ∴OA=OC=10cm． ∴OD=5cm． ∴cm． ∴BD=cm． ∴cm． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称的性质，垂径定理，勾股定理，综合应用这些知识点是解题关键． 66．5 【分析】本题考查了折叠的性质，垂径定理，勾股定理等知识．熟练掌握折叠的性质，垂径定理，勾股定理是解题的关键． 如图，设半径为，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】解：如图， 由题意知，，，， 设半径为，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， 故答案为：5． 67． 【分析】本题考查垂径定理，线段垂直平分线的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，关键是判定F的运动轨迹：F在以为直径的圆上，判定是等边三角形． 连接，，，，取中点M，连接，由线段垂直平分线的性质得到，因此是等边三角形，得到，，由垂径定理得到，由线段垂直平分线的性质，圆周角定理判定是等边三角形，得到，由等边三角形的性质推出垂直平分，因此过圆心O，，由，得到F在以为直径的圆上，于是得到的最小值是与的差，即可求解． 【详解】解：∵连接，，，，取中点M，连接，    ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵M是中点， ∴垂直平分， ∴过圆心O， ∵， ∴F在以为直径的圆上， ∵以为直径的圆的圆心是M， ∴的最小值是与的差， ∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴的最小值是． 故答案为：． 68．## 【分析】首先证明是等边三角形，再证明，求出，可得结论． 【详解】解：连接，作．连接． 由题知：沿着弦折叠，正好经过圆心O， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴是等边三角形， ∵E是中点， ∴， 又∵， ∴F是中点， ∴， 即，E点在以为直径的圆上运动． 所以，当E、O、F在同一直线时，长度最小， 此时，， ∵的半径是2，即， ∴（勾股定理）， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 69． 【分析】连接、、、记交于点，利用圆周角定理和勾股定理得到，利用等腰三角形性质、对称的性质、以及平行线性质和判定得到于点，利用垂径定理得到，利用勾股定理得到，进而得到，再利用勾股定理得到，进而得到． 【详解】解：连接、、、记交于点， 是的直径， ， ，， ， ， ， 半圆沿着过点A的直线折叠，折叠后使得弦恰好落在直径上， ， ， ， ， 于点， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，圆周角定理，平行线性质和判定，轴对称性质，勾股定理，垂径定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 70． 【分析】设翻折前与对应的弦为，过圆心O作于点M，交于点N，连接、，根据垂径定理以及翻折的性质，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵是的直径，， ∴， 设翻折前与对应的弦为，过圆心O作于点M，交于点N，连接、，如图： 则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由翻折可知：， 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ∴， 即的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理、翻折性质、勾股定理、平行线的性质，熟练掌握垂径定理和翻折性质是解答的关键． 71． 【分析】根据折叠的性质得出，，结合圆周角定理可得出进而推出正确；假设，推出是等边三角形，进而推出，为定值，这与是变角相矛盾；作于M，并延长交于G，连接FM、OC、AF，先根据垂径定理求出OM的长，然后根据直角三角形斜边中线的性质求出FM长，最后根据三角形三边关系得出 ，则可解决问题． 【详解】解：折叠得到， ，， 又在 中，和所对的弦分别是AB和AE， 又 ， ， 在中， ， ， 故正确； 由可得， 假设， ， ， ∴是等边三角形， ， ，是定值， 而B是动点，A、C两点固定，则是变化的， 两者矛盾， 故错误； 如图，作于M，并延长交于G，连接FM、OC、AF， ， ， 由得，F为ED的中点， ， ， ， 当O、F、M三点共线时，OF最小， 这时OF=1， 故错误； 综上所述，正确的是 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的综合，涉及图形的翻着的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，三角形的三边关系等，熟练掌握以上性质，灵活运用是解题的关键． 72．①③##③① 【分析】对于①：过O点作，由垂径定理即可求解；对于②：举反例，当A、B、E三点共线时，即时，此时；对于③由时，为等腰直角三角形，得到，进而得到，再由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解；对于④：由已知得到，进而得到，由为定弦即可求解，对于③④两类要注意分类讨论和的位置关系即可． 【详解】解：对于①：过O点做于H点，如下图所示： 由垂径定理可知：，由于为⊙O中长度为定值的弦， ∴为定值，且圆O确定后其半径也为定值， ∴必为定值，故①正确； 对于②：当A、B、E三点共线时，即：时，此时， 故②错误； 对于③：当时，连接，， （i）如下图， ∵， ∴， ∴， ∴； （ii）如下图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，或，故③正确； 对于④：连接，，如下图所示， ∵为的直径， ∴， ∴， 又， ∴， 由同弧所对的圆周角相等可知，， ∴ ， ∵为定值， ∴为定值， ∴为定值， 当图形变为③（ii）中的情况时， 显然， ∴不一定为定值，故④错误； 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角等于圆心角的一半、垂径定理、等腰直角三角形的性质等，熟练掌握圆周角定理及其推论以及利用分类讨论的思想是解决本类题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$