2024年江苏省苏州市中考数学真题变式题17-21题

1．计算：． 2． ． 3．计算：． 4．计算： 5．计算： 6．计算：． 7．计算： 8．计算：． 9．计算：． 10．计算： (1)； (2)． 11．计算 (1) (2) 12．计算： (1)． (2)． 13．计算： （1） （2） 14．解方程组：． 15．解方程组： 16．解方程组：． 17．解方程组： 18．解方程组： 19．解方程组：． 20．解方程组：． 21．解方程组：． 22．解二元一次方程组：． 23．解下列方程组 (1) (2) 24．解下列方程组: (1); (2); 25．解方程组： (1) (2) 26．用加减法解下列方程组： (1)； (2)． 27．先化简，再求值：．其中． 28．化简． 29．计算： 30．计算：． 31．先化简，后求值：，其中． 32．先化简，再求值：，其中． 33．先化简，再求值：，其中． 34．先化简，再求值：，其中． 35．先化简，再求值：，其中． 36．先化简，再求值：，其中． 37．计算： (1)； (2)先化简，再求值，其中． 38．（1）计算：； （2）先化简，再求值：，在，，，四个数中，选一个合适的数代入求值． 39．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 40．如图，中，，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接，，，与交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 41．如图，在中，与的平分线相交于点O，AO的延长线交于点D，．求证：． 42．如图中，点E、F分别在上，，，点D是的中点．求证：．    43．如图，交于点O，． 求证：． 44．两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在筝形中，，，、相交于点，求证：      (1)； (2)． 45．如图，中，，．    (1)求证：； (2)求证：． 46．（1）如图，已知与交于点，，，则与的数量关系是______； （2）如图，已知的延长线与交于点，，，探究与的数量关系，并说明理由． 47．在等腰直角三角形中，，点为的中点，以为斜边作直角三角形，连接．                           (1)当点在的内部时，如图①，求证：； (2)当点在的外部时，如图②、图③，线段之间又有怎样的数量关系？请直接写出猜想，不需要证明． (3)若则_________，_________． 48．已知在中，，且，作等腰，使得．    (1)如图1，若与互余，则___________；（用含的代数式表示） (2)如图2，若与互补，过点C作于点H，求证：； (3)若与的面积相等，请直接写出的度数．（用含的式子表示） 49．【问题背景】（1）如图1，点是线段，的中点，求证：； 【变式迁移】（2）如图2，在等腰中，是底边上的高线，为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，请判断三边数量关系并说明理由． 【拓展应用】（3）如图3，在中，，，点为中点，点在线段上（点不与点，点重合），过点作，连接，若，，求的长． 50．一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀． (1)若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为______； (2)若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 51．某校举行了某学科实验操作考试，有四个实验，规定每位学生只参加其中一个实验的考试，并由学生自己抽签决定具体的考试实验．小张、小厉都参加了本次考试．用画树状图或列表的方法求小张、小厉抽到同一个实验的概率． 52．某校为了及时了解孩子早晨上学时的身体情况，在校门口设置了三个测温通道A、B、C，甲、乙两人任意选择其中一个测温通道进入参加检测，求甲、乙两人不在同一测温通道检测的概率（用树状图或列表的方法求解） 53．在创建“文明校园”的活动中，班级决定从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两名同学担任本周的值周长，用画树状图法求抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率． 54．在一个不透明的盒子里装有4个小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，其中红球分别写有数字1，2，白球分别写有数字3，4．先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后不再放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字． (1)第一次取出恰为写有数字2的小球的概率为_______； (2)请你用列表法或树状图的方法（只选其中一种）求出两次取出小球上的数字之积为奇数的概率． 55．如图，经过某十字路口的汽车，它可能直行，也可能向左转或向右转，假设这三种可能性大小相同． (1)若有一辆小汽车经过这个十字路口，则这辆车直行的概率是_____； (2)若有两辆小汽车经过这个十字路口，求这两辆车一辆向左转，一辆向右转的概率． 56．北京将于2022年举办冬奥会和冬残奥会，中国将成为一个举办过五次各类奥林匹克运动会的国家．小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示的三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同），现将三张邮票背面朝上，洗匀放好． (1)小亮从中随机抽取一张邮票是“冬奥会会徽”的概率是 　 　； (2)小亮从中随机抽取一张邮票（不放回），再从余下的邮票中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬奥会吉祥物冰墩墩”的概率．（这三张邮票依次分别用字母表示） 57．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下： 1．抽奖方案有以下两种： 方案A，从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中； 方案B，从装有2个红、1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球则获得奖金10元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中． 2．抽奖条件是： 顾客购买商品的金额每满100元，可根据方案A抽奖一次：每满足150元，可根据方案B抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案A抽奖三次或方案B抽奖两次或方案A，B各抽奖一次）． 已知某顾客在该商场购买商品的金额为250元． (1)若该顾客只选择根据方案A进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率； (2)以顾客所获得的奖金的平均值为依据，应采用哪种方式抽奖更合算？并说明理由． 58．在同升湖实验学校九年级的班级三人制篮球赛过程中，经过几轮激烈的角逐，最后由2班、5班、6班、9班进入了年级四强进行最后的名次争夺赛．现在葛老师规定先用抽签的方式决定将这4个班级分成2个小组，再由两个小组的胜出者争夺一二名，小组落败者争夺三四名． （1）直接写出9班和5班抽签到一个小组的概率； （2）若4个班级的实力完全相当，任何两个班级对决的胜率都是50%，求在年级四强的名次争夺赛中9班不与5班对决的概率． 59．如图有两个质地均匀的转盘A、B，转盘A被分成3份，分别标有数字1，2，3；转盘B被3等分，分别标有数字4，5，6．小强与小华用这两个转盘玩游戏，小强说“随机转动A、B转盘各一次，转盘停止后，将A、B转盘的指针所指的数字相乘，积为偶数我赢；积为奇数你赢．”（指针指向两个扇形的交线时，重新转动转盘）． （1）小强指定的游戏规则对双方公平吗？并说明理由； （2）小华认为只要在转盘B上修改其中一个数字，也可以使这个游戏对双方公平．你能帮助小华如何进行修改吗？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．2 【分析】本题考查了实数的运算，利用绝对值的意义，零指数幂的意义，算术平方根的定义化简计算即可． 【详解】解：原式 ． 2．4． 【分析】先求解绝对值，再计算加法运算即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查的是求解一个数的绝对值，有理数的加法运算，掌握“求解绝对值与加法运算的运算法则”是解本题的关键． 3．1 【分析】先根据零指数幂的运算法则计算出的值，再算乘法，最后算加法即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查的是零指数幂及有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 4． 【分析】先求绝对值和算术平方根，再加减． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根，正确进行绝对值和算术平方根的计算是求解本题的关键． 5．2 【分析】根据算术平方根，绝对值，零指数幂，实数的混合运算进行计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了算术平方根，绝对值，零指数幂，实数的混合运算，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 6．8 【分析】根据绝对值的意义，零指数幂，算术平方根的定义计算求值即可； 【详解】解：原式=5-1+4=8； 【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． 7． 【分析】本题考查了实数的运算．根据乘方、零次幂和算术平方根的性质化简即可求解． 【详解】解： ． 8． 【分析】本题主要考查了零指数幂，求一个数的算术平方根等知识，根据相应的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 9．4 【分析】本题考查了零指数幂，绝对值，算术平方根，算出各项，再加减，即可解答，熟知计算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ， ． 10．(1) (2) 【分析】（1）先计算绝对值，然后合并同类二次根式即可； （2）先计算乘方、开算术平方根和开立方，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键． 11．(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算； （1）根据有理数的乘方，算术平方根，立方根进行计算即可求解； （2）根据算术平方根，零指数幂，化简绝对值进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．(1)4 (2) 【分析】本题考查的是实数的混合运算，零次幂的含义，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先化简绝对值，求解算术平方根与立方根，再合并即可； （2）先求解算术平方根，零次幂，立方根，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 13．（1）2；（2）5 【分析】（1）根据零指数幂的运算法则，有理数的乘方运算法则，算术平方根的概念求解即可； （2）根据零指数幂的运算法则，算术平方根的概念以及立方根的概念求解即可． 【详解】解：（1） （2） 【点睛】此题考查了零指数幂的运算，有理数的乘方运算以及算术平方根和立方根的概念，解题的关键是熟练掌握零指数幂的运算法则，有理数的乘方运算法则以及算术平方根和立方根的概念． 14． 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法求解．根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解： 得，，解得，． 将代入①得． 方程组的解是 15． 【分析】利用加减消元法即可求解． 【详解】解：①＋②，得，即． 把代入①中，得， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 16． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，用加减消元法求出其中一个未知数的值，将求出的未知数的值代入其中的一个方程求解，即可求解；灵活选择恰当的解法是解题的关键． 【详解】解： ①②得：， 解得：， 将代入①得 ， 解得：， 原方程组的解为． 17． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤． 先用求出，再将代入①，求出y的值，即可解答． 【详解】解： ，得， 即． 把代入①，得， 解得． ∴ 18． 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：， ①②得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 则方程组的解为． 19． 【分析】本题考查了解二元一次方程组的解法，熟练掌握加减法和代入法是解题的关键．利用加减消元法求出解即可． 【详解】解： ，得 ，得， 解得， 将代入，得， 所以原方程组的解是． 20． 【分析】题目主要考查加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题关键 【详解】解：整理原方程组，得 ，得．解得 将代入②，得． 解得． 所以原方程组的解是． 21． 【分析】本题考查解二元一次方程组．根据题意先将式子取分母变成，再利用加减消元法即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴整理得：， ∴①+②得： ，即：， 把代入②中得：，即：， ∴该方程组的解为：． 22． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 由消去，得到的一元一次方程，解出的值代入方程①，求出的值． 【详解】解： ，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴方程组的解为：． 23．(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）根据代入消元法即可得到答案； （2）根据加减消元法即可得到答案． 【详解】（1）解：， 由①，得③ 把③代入②，得．解得， 把代入③，得， 原方程组的解为； （2）解： ①②，得，解得， 把代入①，得，解得， 原方程组的解为． 24．(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组,解答此题的关键是熟知解二元一次方程组的基本思想是消元,消元的方法有代入法和加减法,（1）（2）都用加减法． （1）得到值,再将值代入得出; （2）得出值,再将值代入中得到值． 【详解】（1）解:,得, 解得, 把代入中,得, 解得, 故方程组的解为． （2）解:,得, 解得, 把代入中,得, 故方程组的解为． 25．(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 得：， 得：， 解得：， 把代入得， 故方程组的解为； （2）解：， 得：， 得：， 得：， 解得：， 把代入得:， 故方程组的解为． 26．(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，利用加减消元法消去一个未知数是解题的关键． （1）直接利用加减消元法求解即可； （2）先整理方程组，然后再利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： ， ①＋②得：，解得， 把代入方程①，得：， 所以这个方程组的解是：． （2）解：由整理得 ③＋④得，解得：， 把代入方程③，得：， 所以这个方程组的解是：． 27．， 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用因式分解和除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 28． 【分析】首先把分子分母分解因式，把除法变为乘法，然后再约分后相乘即可． 【详解】解：原式 ， ， ． 【点睛】此题主要考查了分式的乘除法，关键是掌握分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 29． 【分析】先将各分子和分母因式分解，再将除法转化为乘法，最后约分计算． 【详解】解： = = 【点睛】本题考查了分式的除法运算，解题的关键是掌握运算法则． 30． 【分析】本题考查了分式的除法运算，正确掌握其运算法则是解题的关键． 先把除法转化为乘法，然后约分即可． 【详解】解： ． 31．， 【分析】根据分式混合运算顺序和法则化简后，把代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则是解题的关键． 32．， 【分析】先将除法变成乘法，再把分子、分母进行化简，最后把得数代入即可求得结果． 【详解】解：原式． 代入，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题时要注意把分式化到最简，再把得数代入是解题的关键． 33．， 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将代入计算即可． 【详解】 ． 当时，原式 34．原式，当时，原式 【分析】本题考查分式的化简求值，先将括号内的式子进行通分进行分式加减法计算，然后再算括号外面的乘法，最后代入求值． 【详解】解： 当时，原式 35．，3 【分析】本题考查分式的化简求值，分式的加减乘除混合运算，先根据分式的加减乘除混合运算进行化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 36．，值为． 【分析】本题考查分式的化简求值，先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后将的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 37．(1)3 (2)， 【分析】（1）根据同分母分式的减法法则计算即可； （2）根据分式的加减乘除混合运算进行化简，再代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查分式的加减乘除混合运算，分式的化简求值，正确计算是解题的关键． 38．（1）；（2），当时，原式 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题关键是熟练掌握分式的通分和约分． （1）先把分式的分子和分母分解因式，再把除法写成乘法，然后进行约分即可； （2）把分式的分子和分母分解因式，再把除法写成乘法，利用乘法分配律进行计算，然后约分化简，再把不能让分式的分子和分母为0的数代入化简后的式子进行计算即可． 【详解】解：（1）， ； （2） ， 要使分式有意义，且且， 所以不能为，，，取为1， 当时，原式． 39．(1)，时，原式 (2)，时，原式 【分析】（1）、（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 40．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是： （1）直接利用证明即可； （2）利用全等三角形的性质可求出，利用三线合一性质得出，，在中，利用正弦定义求出，即可求解． 【详解】（1）证明：由作图知：． 在和中， ． （2）解：，， ． 又， ，． ， ， ． 41．见解析 【分析】先利用等腰三角形的判定证明AB=AC，再证明，即可得出结论． 【详解】证明：， ．     与的平分线相交于点O， ，．     ． ．     在和中 ．     ．         ． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 42．证明见解析 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得平分，再证，即可得出． 【详解】证明：，点D是的中点， 平分， ， ，， ，即， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质． 43．证明见解析 【分析】只需要利用证明即可证明． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键，全等三角形的判定定理有等等． 44．(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）分别利用证即可； （2）由得，利用等腰三角形的性质即可得． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴（）．      （2）证明：由（1）得， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解题关键在于掌握全等三角形的判定定理． 45．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定、等腰三角形三线合一的性质、全等三角形的判定和性质，掌握“在同一个三角形中，等角对等边”、“等腰三角形底边上的中线及高线，与顶角的角平分线三线合一”是解题的关键． （1）根据推出，结合，证明，即可得出； （2）利用证明，得出，根据等腰三角形三线合一的性质，即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； （2）在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 46．（1）；（2），证明见解析 【分析】（）利用等腰三角形的“三线合一”性质即可求证； （2）在上截取，证明，可得出，，则可得出； 本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的的判定应性质，熟练掌握以上知识的应用是解题的关键． 【详解】（）∵，， ∴， 故答案为：； （），理由如下： 在上截取， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 47．(1)见解析 (2)见解析 (3)；或 【分析】（1）如图，连接，交于点，过点作交于点，由等腰三角形性质及直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得，，由三角形内角和定理结合对顶角相等，证得，根据同角的余角相等，得，再根据全等三角形判定（角边角），证得，进而得到，，由是等腰直角三角形，得，然后根据，即可证得结论； （2）图②证明：连接，过点作，交延长线于点，得，，再利用四边形内角和结合平角计算得，根据同角的余角相等，得，再根据全等三角形判定（角边角），证得，进而得到，，勾股定理得，然后根据，即可证得结论； 图③证明：连接，过点作，交延长线于点，得，，根据余角计算得，根据等量交换得，再根据全等三角形判定（角角边），可证得，进而得，，勾股定理得，然后根据，即可证得结论； （3）根据三角形面积，计算出的长，再分析以为直角边，，符合条件的有图①和图②，图③因不符条件，然后根据“角所对的直角边等于斜边的一半”，即可得到，，由（1）、（2）得图①，图②，分别求解即可得的值． 【详解】（1）证明：如图①，连接，交于点，过点作交于点， 是等腰直角三角形，点为的中点， ，， 又， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ． （2）解：图②，猜想：， 图③，猜想：， 图②证明：连接，过点作，交延长线于点，则，， ，， 在四边形中，， ， ， ，， ， 在和中，， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ； 图③证明：连接，过点作，交延长线于点，则，， ，， ，， ， ，， ， 在和中，， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ． （3）解：，， ， ， 图①，图②符合， ，， 由图①结论得， ， 由图②结论得， ， 故答案为：；或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理等，解题关键是合理添加辅助线：连接斜边中线，作垂线段，构造全等三角形及等腰直角三角形，得到所求线段间的关系． 48．(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据与互余得 ，根据等腰三角形两底角相等得，即可求出的度数； （2）作，根据AAS证明，则，由等腰三角形三线合一可得，因此，问题得证； （3）由与的面积相等得高相等.情况①：作于，于,根据可得，则可得；情况②:是钝角三角形，作于，作垂直于的延长线于，根据可得，则可得，由于与互补，因此与互补，即可得出结果． 【详解】（1）解：中，，且=, ，， ， ， ，          ； 故答案为：； （2）证明：如图，过A点作于E点，   中，，， ， 中，， ， ， ,=， ，         ，   ，   ， ． 在和中， ， ∴，     ∴，     ∴； （3）解：①如图，作于，于，    ∵与的面积相等， ∴， 又∵ ， ∴， ∴， 即， ， ； ②如图，作于，作垂直于的延长线于，    则， ∵，， ∴， ∵与的面积相等， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ， ， 综上，或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，同底等高的两个三角形面积相等，.熟练掌握以上知识是解题的关键． 49．（1）证明见解答过程；（2），理由见解答过程；（3） 【分析】（1）根据证明与全等即可； （2）连接，利用证明与全等，可得，从而，又，故，即得； （3）延长到，使得，连接，延长交于点，证明是等腰直角三角形，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵点是线段的中点， ， 在与中， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 连接，如图： ∵是等腰三角形，是底边上的高线， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：延长到，使得，连接，延长交于点，如图： ∵为的中点， ∴， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形综合应用，解题的关键是灵活应用等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，学会添加常用的辅助线，构建全等三角形． 50．(1) (2) 【分析】本题考查了利用画树状图或列表的方法求两次事件的概率，解题的关键是： （1）用标有“夏”书签的张数除以书签的总张数即得结果； （2）利用树状图画出所有出现的结果数，再找出1张为“春”，1张为“秋”的结果数，然后利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：∵有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节， ∴恰好抽到“夏”的概率为， 故答案为：； （2）解：用树状图列出所有等可的结果： 等可能的结果：（春，夏），（春，秋），（春，冬），（夏，春），（夏，秋），（夏，冬），（秋，春），（秋，夏），（秋，冬），（冬，春），（冬，夏），（冬，秋）． 在12个等可能的结果中，抽取的书签1张为“春”，1张为“秋”出现了2次， P（抽取的书签价好1张为“春”，1张为“秋”）． 51． 【分析】运用画树状图法求概率的计算方法即可求解． 【详解】解：画树状图如图，    由树状图知共有种可能的结果，其中小张、小厉抽到同一个实验的结果有种， 小张、小厉抽到同一个实验的概率． 【点睛】本题主要考查运用列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握以上知识是解题的关键． 52． 【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人不在同一检测点参加检测的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【详解】画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人不在同一检测点参加检测的结果有6种， ∴甲、乙两人不在同一检测点参加检测的概率为． 【点睛】本题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 53．，过程见解析 【分析】运用画树状图法将所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解． 【详解】解：两名男生表示为男，男，两名女生表示为女，女，抽取过程如图所示，    共有种等可能结果，其中抽到一男一女的结果有种， ∴抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是． 【点睛】本题主要考查运用画树状图法求随机事件的概率，掌握其运用是解题的关键． 54．(1)； (2)． 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）根据题意列出表格，然后用符合题意的情况数除以所有等可能发生的情况数即可． 【详解】（1）∵4个球中有1个球写有数字2， ∴第一次取出恰为写有数字2的小球的概率为． 故答案为：； （2）用表格列出所有可能的结果： 第二次摸球 第一次摸球 1 2 3 4 1 　 （2，1） （3，1） （4，1） 2 （1，2） 　 （3，2） （4，2） 3 （1，3） （2，3） 　 （4，3） 4 （1，4） （2，4） （3，4） 　 由表格可知，共有12种等可能的结果，并且它们的出现是等可能的．“两次取出小球上的数字之积为奇数”记为事件A，它的发生有（1，3）和（3，1）这2种可能， 所以事件A发生的概率 55．(1)； (2)． 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中这辆车直行的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及这两辆车一辆向左转，一辆向右转的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中这辆车直行的结果有1种， 这辆车直行的概率是． 故答案为：． （2）列表如下： 直行 向左转 向右转 直行 （直行，直行） （直行，向左转） （直行，向右转） 向左转 （向左转，直行） （向左转，向左转） （向左转，向右转） 向右转 （向右转，直行） （向右转，向左转） （向右转，向右转） 共有9种等可能的结果，其中这两辆车一辆向左转，一辆向右转的结果有：（向左转，向右转），（向右转，向左转），共2种， 这两辆车一辆向左转，一辆向右转的概率为． 56．(1) (2) 【分析】（1）根据一步概率问题求解方法，直接由概率公式求解即可得到答案； （2）根据画树状图法得到所有可能的结果，根据题意，找到符合条件的结果，利用概率公式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：小亮从中随机抽取一张邮票是“冬奥会会徽”的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬奥会吉祥物冰墩墩”的结果有2种， ∴抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬奥会吉祥物冰墩墩”的概率为． 【点睛】本题考查概率问题，熟练掌握概率公式及求解一步概率及二步概率问题的方法步骤是解决问题的关键． 57．(1)； (2)选择方案A、方案B各抽1次的方案，更为合算．理由见解析 【分析】（1）利用列表法表示获得奖金15元所有可能出现结果情况，进而求出相应的概率即可； （2）由种抽奖方案，即：2次都选择方案A，1次方案A1次方案B，1次方案B，分别求出各种情况下获得奖金的平均值即可． 【详解】（1）解：由于某顾客在该商场购买商品的金额为250元，只选择方案进行抽奖，因此可以抽2次，由抽奖规则可知，两次抽出的结果为一红一白的可获得奖金15元， 从1个红球，2个白球中有放回抽2次，所有可能出现的结果情况如下： 共有9种等可能出现的结果，其中一红一白，即可获奖金15元的有4种， 所以该顾客只选择根据方案A进行抽奖，获奖金为15元的概率为； （2）解：①由（1）可得，只选择方案A，抽奖2次，获得15元的概率为，获得30元（2次都是红球）的概率为，两次都不获奖的概率为， 所以只选择方案A获得奖金的平均值为：15×+30×=10（元）， ②只选择方案B，则只能摸奖1次，摸到红球的概率为，因此获得奖金的平均值为：10×≈6.7（元）， ③选择方案A1次，方案B1次，所获奖金的平均值为：15×+10×≈11.7（元）， 因此选择方案A、方案B各抽1次的方案，更为合算． 【点睛】本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确解答的前提． 58．（1）；（2） 【分析】（1）利用列举法求解即可； （2）分类讨论，利用列举法即可求解． 【详解】（1）分组：(2，5)和(6，9)；(2，6)和(5，9)；(2，9)和(5，6)共3种， 9班和5班抽签到一个小组只有一种情况， 故概率为：； （2）①分组为(2，5)和(6，9)， 1、2名争夺 3、4名争夺 情况1 (2，6) (5，9) 情况2 (2，9) (5，6) 情况3 (5，6) (2，9) 情况4 (5，9) (2，6) 故概率为：； ②分组为(2，9)和(5，6)， 1、2名争夺 3、4名争夺 情况1 (2，5) (6，9) 情况2 (2，6) (5，9) 情况3 (5，9) (2，6) 情况4 (6，9) (2，5) 故概率为：； 综上，在年级四强的名次争夺赛中9班不与5班对决的概率为． 【点睛】本题考查了利用列举法求概率，通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 59．（1）不公平，理由见解析；（2）只要把转盘B上的两个偶数中的一个改为奇数即可 【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方取胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等． 【详解】解：（1）不公平；因为按照游戏规则，根据树状图分析可得： 一共有9种等可能结果，其中偶数情况有7种，奇数情况有2种 P（小强胜）＝，P（小华胜）＝； （2）只要把转盘B上的两个偶数中的一个改为奇数即可． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$