2024年江苏省连云港市中考数学真题变式题22-27题

1．数学文化节猜谜游戏中，有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片，分别记作字谜A、字谜B、字谜C、字谜D，其中字谜A、字谜B是猜“数学名词”，字谜C、字谜D是猜“数学家人名”． (1)若小军从中随机抽取一张字谜卡片，则小军抽取的字谜是猜“数学名词”的概率是__________； (2)若小军一次从中随机抽取两张字谜卡片，请用画树状图或列表的方法求小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率． 2．如图，三张不透明的卡片，正面图案分别是神舟十三号、十四号和十五号纪念图章，依次记为A、B、C，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀．小明从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求小明两次抽到图案上纪念图章相同的概率． 3．亮亮有3张扑克牌．冬冬有2张扑克牌，扑克牌上的数字如图所示．两人用这些扑克牌做游戏，他们先分别从自己的扑克牌中随机抽取一张，然后将他们抽出这两张扑克牌上的数字比较大小，数字大的一方获胜．请用画树状图或列表的方法，求亮亮获胜的概率． 4．有四张大小、质地都相同的不透明卡片，上面分别标有数字1，2，3，4（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下，洗匀后从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后再从中任意抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上的数字和等于5的概率． 5．有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着4，4，5，5，6． (1)随机抽取一张卡片，则抽取的卡片上的数字是4的概率是______． (2)从5张卡片中随机抽取2张，请利用列表或画树状图的方法，求所抽取的两张卡片上的数字不同的概率． 6．在一个不透明的盒子中放有4张分别写有数学1、2、2、3的卡片，卡片除写有的数字不相同外其他完全相同． (1)从盒子中随机抽取1张卡片，该卡片写有的数字为2的概率是______． (2)从盒子中随机抽取2张卡片，卡片上呈现的数字中，较大的数作为十位数，较小的数作为个位数，请利用画树状图或列表法求这个两位数大于21的概率． 7．在一个不透明的口袋中装有四个大小质地相同的小球，上面分别标有数字1、2、3、4每次摸球前将袋子搅拌均匀． (1)若从这四个小球中随机抽取一个小球，小球上的数字是“4”的概率是___________； (2)若从这四个小球中随机抽取两个小球，用画树状图或列表的方法求取出的两个小球上的数字之积为奇数的概率是多少? 8．中国在数学领域有着悠久的历史和丰富的成就，其中广为流传的数学著作有《九章算术》，《周髀算经》．而代表古希腊数学最高成就的著作当属《几何原本》．学校图书馆现有《九章算术》现代印刷版2本，《周髀算经》，《几何原本》现代印刷版各1本．爱好数学的小颖、小华一起来到图书馆，想从这4本数学著作中先后各自随机选取一本进行阅读． (1)小颖恰好选取《周髀算经》的概率为 ； (2)将2本《九章算术》，1本《周髀算经》，1本《几何原本》分别用、、B、C表示，请用列表或树状图的方法，求小颖、小华都选取到中国数学著作的概率． 9．从华夏文明的发源地到丝绸之路的起点，这里承载着中华民族几千年的璀璨基因：从险峻的秦岭山脉到苍茫的黄土高原，这里展现着中华大地的壮美景象，这里，就是陕西，小明和小强准备假期去陕西旅游，想去的景点有：A．秦始皇兵马俑，B．革命圣地延安，C．西岳华山，D．宝鸡青铜器博物馆．由于时间有限，这些景点不能都去．他们就用抽卡片的方式来决定要去参观的景点，事先准备了4张不透明且无差别的卡片，在卡片正面分别写上以上4个景点，然后背面朝上，洗匀放好． (1)小明从这4张卡片中任意抽取一张，恰好抽中“D．宝鸡青铜器博物馆”的概率是__________； (2)若小明从这4张卡片中随机抽取一张，记下景点名称后放回，洗匀，再由小强从中随机抽取一张，请利用列表或画树状图的方法，求小明和小强抽中同一景点的概率． 10．小军与小玲共同发明了一种“字母棋”游戏来比胜负．他们把分别标有A，B，C，D字母的5枚相同的棋子装入一个不透明的袋子中，其中棋子A、C、D各1枚，棋子B有2枚．“字母棋”的游戏规则如下：①游戏时，两人各摸一枚棋子进行比赛称为一轮比赛，先摸者摸出的棋子不放回；②棋子A胜棋子B、C，棋子B胜棋子C、D，棋子C胜棋子D，棋子D胜棋子A；③相同棋子不分胜负． (1)若小玲先摸，则小玲摸到棋子C的概率是________； (2)若小玲先摸，小军后摸，画树状图或列表，求小玲摸到棋子B，且小玲胜小军的概率． 11．我市将5月21日设立为连云港市“人才日”，以最大诚意礼遇人才，让人才与城市“双向奔赴”．活动主办方分两次共邮购了200把绘有西游文化的折扇作为当天一项活动的纪念品．折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如下表所示： 邮购数量 100以上（含100） 邮寄费用 总价的 免费邮寄 折扇价格 不优惠 打九折 若两次邮购折扇共花费1504元，求两次邮购的折扇各多少把？ 12．加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成80件，第二道工序每人每天可完成60件．现有7位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一．第二道工序所完成的件数相等？ 13．（列方程或方程组解应用题）一果农将枇杷装箱，若每箱装千克，则余千克装不下；若每箱装千克，则恰好余个空箱，则这次装枇杷的果箱个数为多少？ 14．为引导广大青少年树立正确的世界观、人生观、价值观，传承红色基因，某校组织学生去红色革命圣地﹣延安开展研学旅行，若单独租用座客车若干辆，则恰好坐满：若单独租用座客车，则可少租一辆．且余个座位，求参加此次研学旅行的总人数． 15．利用方程解决实际问题：小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元．已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多3元，求该文具店中这种大笔记本的单价． 16．某校举行元旦汇演，某班需购买一部分贺卡，已知贺卡的原价3元/张，商家优惠情况如下： 购买贺卡数 不超过40张 40张以上 每张价格 原价 八折 班长第一次购买了一部分贺卡后发现不够用，接着第二次又买了一部分，两次共购买贺卡70张，共付费180元，问班长第一次、第二次分别购买贺卡多少张？ 17．七年级某班开展劳动教育实践活动，植树节当日第一小组分配到的是植树任务，以下是该小组两位同学的对话，请根据对话内容就第一小组有多少人或第一小组准备种多少棵树，选择一个问题用一元一次方程进行解答． 18．我县某校七年级研学活动中，某班男生小明与班上同学一起到国防教育基地参观，图（一）是小明与妈妈的对话，请根据对话内容，求小明班上男生与女生的人数各是多少？ 19．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口． 温水的温度为30℃，流速为；开水的温度为100℃，流速为． 某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为60℃的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度． 20．某班将举行“我的中国梦”演讲比赛，班长安排小明购买奖品，下面两幅图（如图）是小明买回奖品时与班长的对话情境： 请根据上面的信息，试求两种笔记本各买了多少本． 21．小王看到两个超市的促销信息如图所示． 甲超市促销信息栏 乙超市促销信息栏 全场8.8折 不超过200元，不给予优惠 超过200元而不大于500元，打9折 超过500元，500元的部分优惠10%，超过500元的部分打8折 80元的部分优惠 (1)当一次性购物标价总额是元时，甲、乙超市实付款分别是多少？ (2)当标价总额是多少时，甲、乙超市实付款一样？ (3)小王两次到乙超市分别购物付款金额为元和元，若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省多少元？ 22．依法纳税是公民应尽的义务．根据新税法，2008年3月开始将执行新的起征点，个人所得税起征点自2008年3月1日起由1600元提高到2000元，即公民全月工资薪金所得不超过2000元不必纳税，超过2000元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表累加计算： 级数 全月应纳税所得额 税率 1 不超过500元的部分 5 2 超过500元至2000元的部分 10 3 超过2000元至5000元的部分 15 4 超过5000元至20000元的部分 20 (1)根据上表，填空： 公民 工资薪金（元） 应纳税金（元） 甲 2000 ___________ 乙 2500 ___________ 丙 ___________ 165 (2)2009年4月王娟的工资薪金比李丽的工资薪金多100元，她们该月的纳税总金额是25元，求该月王娟和李丽的工资薪金各是多少元？ 23．黑马铃薯又名“黑金刚”，它富含碘、硒等多种微量元素，特别是含有花青素、花青原素，素有“地下苹果”之称．老李今年种植了5亩A品种黑马铃薯，10亩B品种黑马铃薯，其中A品种的平均亩产量比B品种的平均亩产量低20%，共收获两个品种黑马铃薯28000千克 (1)求老李收获A，B两个品种黑马铃薯各多少千克？（列一元一次方程解答） (2)某蔬菜商人分两次向老李收购完这些黑马铃薯．收购方式如下：A、B两个品种各自独立装箱，A品种每箱50千克，B品种每箱100千克，每箱A的收购价200元，每箱B的收购价300元，老李给出如下优惠： 收购A或B的数量（单位：箱） 不超过30箱 超过30箱 优惠方式 收购总价打九五折 收购总价打八折 第一次收购了两个品种共60箱，且收购的B品种箱数比A品种箱数多；受某些因素影响，蔬菜商人第二次收购时做出了价格调整：每箱A的收购价不变，每箱B的收购价比第一次的收购价降低，优惠方式不变．两次收购完所有的黑马铃薯后，蔬菜商人发现第二次支付给老李的费用比第一次支付给老李费用多41000元，求蔬菜商人第一次收购A品种黑马铃薯多少箱？ 24．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与轴交于点C，点A的横坐标为2． (1)求的值； (2)利用图像直接写出时的取值范围； (3)如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点D，与轴交于点E，再将函数的图像沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积． 25．在平面直角坐标系中，一次函数经过点，，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)①当双曲线经过点时，求的值； ②当时，对于的每一个值，永远有成立，直接写出的取值范围． 26．已知一次函数的图像经过点，且与正比例函数的图像相交于点， (1)求点的坐标； (2)求一次函数解析式． 27．一次函数和反比例函数的图象的相交于，与x轴交于点C，连接．    (1)求反比例函数的表达式． (2)求的面积． 28．已知一次函数，当时，y的值为，当时，y的值为． (1)求一次函数的解析式； (2)将一次函数的图象向上平移2个单位长度，求所得到新的函数图象与x轴、y轴的交点坐标． 29．如图，一次函数和反比例函数的图象交于、两点．    (1)求m的值； (2)当时，x的取值范围是______； (3)将直线向下平移n个单位长度，使平移后的直线经过点，求n的值． 30．如图，已知直线与双曲线交于，两点．    (1)求直线的解析式； (2)将直线向下平移4个单位后与双曲线交于两点，与y轴交于点，求的面积． 31．如图，已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与y轴交于点E．    (1)求与的函数表达式； (2)观察图像，当时，x的取值范围是______； (3)将直线向上平移个单位长度，与反比例函数的图像交于点C、D，与y轴交于点F，连接．若的面积为10，求t的值． 32．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B． (1)求k的值； (2)把一次函数向下平移个单位长度后，与y轴交于点C，与x轴交于点D． ①若，求的面积； ②若四边形为平行四边形，求m的值． 33．已知直线与反比例函数（，）的图象分别交于点，，与轴交于点，与轴交于点． (1)如图①，已知点的坐标为． ①求直线的表达式； ②若点是反比例函数在第一象限直线上方一点，当面积为时，求点的坐标． (2)如图②将直线向右平移个单位长度得到直线，将双曲线位于下方部分沿直线翻折，若翻折后的图象（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，求的值． 34．已知一次函数和反比例函数（，）．   　　   (1)如图1，若，且函数，的图象都经过点． ①求m，k的值； ②直接写出当时，x的范围； (2)如图2，过点作y轴的平行线l与函数的图象相交于点B，与反比例函数（）的图象相交于点C． ①若，直线l与函数的图象相交点D．当点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等时，求的值； ②过点B作x轴的平行线与函数的图象相交于点E．当的值取不大于1的任意实数时，点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值．求此时k的值及定值d． 35．图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，C处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上． (1)__________，__________； (2)求点到道路的距离； (3)若该小组成员小李出南门O后沿道路向东行走，求她离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到，参考数据：，，，，） 36．如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的岛，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的东南方向上的岛，求、两岛之间的距离．（结果保留整数）【参考数据：，，】 37．如图，、相交于点P，连接、，且，，，，求的长． 38．江老师有一天为了测量一棵高不可攀的银杏树高度,他利用了反射定律,利用一面镜子和皮尺,设计如图所示的测量方案:把镜子放在离银杏树的点处,然后观测者沿着直线后退到点,这时恰好在镜子里看到树梢顶点,再用皮尺量得,观测者目高,则树高约是多少? 39．如图，，，，求的值． 40．我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长． (1)如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示） (2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度 41．某校数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，活动记录如下： 活动任务：测量旗杆的高度 【步骤一】设计测量方案 小组成员讨论后，画出两种测量方案的图形，如图1，图2． 　　　　 【步骤二】准备测盘工具 筷子，皮尺和测倾器，如图3．皮尺的功能是直接测此任意可达到的两点间的距离；测倾器（由度盘，铅锤和支杆组成）的功能是测量目标物的仰角或俯角 【步骤三】实地测量并记录数据 方案一：利用镜子的反射（测量时，所使用的平面镜的大小和厚度均忽略不计，根据光的反射定律，反射角等于入射角，法线，），如图1，小明利用镜子和皮尺测出了旗杆的高度，其测量和求解过程如下： 测量过程： 小明将镜子放在距离旗杆底部的点C处，然后看若镜子沿直线来回移动，直至看到旗杆顶端B在镜子中的像与点C重合，此时小明站在点D处，测得，小明的眼睛离地面的高度． 求解过程： 由测量知，，，． 法线，， ①______， ． ，即． ②______（）．故旗杆的高度为③______． 方案二：如图2，小亮在测点D处安置测倾器，测得旗杆顶端B的仰角．量出测点D到旗杆的距离，量出测倾器的高度． (1)补全小明求解过程中①②③所缺的内容； (2)请你根据方案二求出旗杆的高度（结果精确到）．（参考数据：，，） 42．在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到来自故障船C的求救信号，已知A、B相距海里，C在A的北偏东60°方向上，C在B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得C正好在观测点D的南偏东75°方向上． (1)求AC和AD（运算结果若有根号，保留根号）； (2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触礁的危险？（参考数据：，） 43．如图，在东西方向的海岸线1上有一长为1千米的码头MN，在距码头西端M的正西方向58千米处有一观测站O，现测得位于观测站O的北偏西37°方向，且与观测站O相距60千米的小岛A处有艘轮船开始航行驶向港口MN．经过一段时间后又测得该轮船位于观测站O的正北方向，且与观测站O相距30千米的B处． (1)求AB两地的距离：（结果保留根号） (2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否行至码头MN靠岸？请说明理由（参考数据：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37＝0.75） 44．图1是屏幕投影仪投屏情景图，图2是其侧面示意图，投影光线、投影仪在同一直线上，且与三角支架中的在同一平面上，点位于屏幕的正中心，，，垂直于水平地面，支架点与水平地面的距离为30cm，若投影仪的尾端与支架点所在直线恰好平行于水平地面，测得，．    (1)求三角支架中的与地面的夹角． (2)求投影点与水平地面的距离． (3)若投影仪后移1m，要正常投影，（投影光线射向点）则投影仪的仰角须减小了多度？ （参考数据：，，，，） 45．如图，在东西方向的海岸线上有一长为的码头，在码头西端M的正西处有一观察站A，某时刻测得A处的西偏北且与A相距的B处，有一艘匀速直线航行的轮船，轮船沿南偏东的方向航行，经过2小时，又测得该轮船位于A处的东偏北的C处.（参考数据：，，，） (1)填空：_________°，__________°； (2)求轮船航行的速度；（精确0.1） (3)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好至码头MN靠岸?请说明理由. 46．在平面直角坐标系中，已知抛物线（a、b为常数，）．    (1)若抛物线与轴交于、两点，求抛物线对应的函数表达式； (2)如图，当时，过点、分别作轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接．求证：平分； (3)当，时，过直线上一点作轴的平行线，交抛物线于点．若的最大值为4，求的值． 47．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． （1）求二次函数的表达式； （2）求二次函数图象的对称轴． 48．已知二次函数的图像经过，两点． (1)求和的值； (2)试判断点是否在此函数图像上？ 49．已知二次函数 (1)求开口方向、对称轴及顶点坐标; (2)当x为何值时，y随x增大而减小，当x为何值时，y随x增大而增大． 50．在平面直角坐标系中，点在抛物线上． (1)求该抛物线的对称轴； (2)已知，当，y的取值范围是，求a，m的值． 51．如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，P为第四象限内抛物线上一个动点，过点P作轴于点M，连接，，与y轴交于点D．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)求四边形面积的最大值； (3)当时，求直线的函数表达式及点P的坐标． 52．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称，点A的坐标为． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，点P是y轴上一点，，求点P的坐标； (3)当时，二次函数的最小值为2a，求a的值． 53．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，D为线段AB上一点． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)过点D作x轴的垂线与抛物线交于点E，与直线BC相交于点F，求出点E到直线BC距离d的最大值； (3)连接CD，作点B关于CD的对称点，连接，．在点D的运动过程中，能否等于45°？若能，请直接写出此时点的坐标，若不存在请说明理由． 54．抛物线y1=x2+（3-m）x+c与直线l：y2=kx+b分别交于点A（-2，0）和点B（m，n），当-2≤x≤4时，y1≤y2． (1)求c和n的值（用含m的式子表示）； (2)过点P（1，0）作x轴的垂线，分别交抛物线和直线l于M，N两点，则△BMN的面积是否存在最大值或者最小值，若存在，请求出这个值；若不存在，请说明理由； (3)直线x=m+1交抛物线于点C，过点C作x轴的平行线交直线l于点D，交抛物线另一点于E，连接BE，求∠DBE的度数． 55．已知函数，记该函数图象为． (1)当时， ①已知在该函数图象上，求的值； ②当时，求函数的最大值． (2)当时，作直线与轴交于点，与函数交于点，若时，求的值； (3)当时，设图象与轴交于点，与轴交于点，过点作交直线于点，设点的横坐标为点的纵坐标为，若，求的值． 56．已知函数y＝（n为常数）． (1)当n＝5时， ①点P（4，b）在此函数图象上，求b的值． ②求此函数的最大值． (2)当n＜0时，作直线x＝n与x轴交于点P，与该函数图象交于点Q，若∠POQ＝45°，求n的值． (3)若此函数图象上有3个点到直线y＝2n的距离等于2，求n的取值范围． 57．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为．    (1)请直接写出、、三点坐标． (2)如图，点是第四象限内抛物线上的一点，过点作轴的垂线，交直线于点，求线段长度的最大值； (3)如图，若点在抛物线上且满足，求点的坐标； 58．【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【操作实践】 （2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系； 【探究应用】 （3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求AD的长； （4）如图6，在中，，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若，，求的最小值． 59．如图（1），点O是线段的中点，点A、点C分别是在线段、上的点，且，使线段绕点O顺时针旋转，以O为圆心，分别以、为半径作大小两个半圆，连结，如图（2）． (1)和有什么特殊位置关系？请说明理由； (2)设小半圆与相交于点E，． ①当取得最大值时，求其最大值以及的长； ②当恰好与小半圆相切时，求阴影部分的面积． 60．如图1，正五边形内接于，阅读以下作图过程，并回答下列问题： 作法如图2． 1．作直径． 2．以F为圆心，为半径作圆弧，与交于点M，N． 3．连接，，． (1)求的度数． (2)是等边三角形吗？请说明理由． (3)从点A开始，以长为边长，在上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值． 61．如图，正六边形为的内接正六边形，过点D作的切线，交的延长线于点P，连接的半径为6． (1)求的度数； (2)求线段的长； (3)若点M为上一点（不与点F，D重合），连接，直接写出与的面积之和． 62．阅读下面材料： 小岩遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA＝1，，PC＝2，求∠APB的度数； 小岩是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决． (1)请你回答：图1中∠APB的度数等于____；（直接写答案） 参考小岩同学思考问题的方法，解决下列问题： (2)如图3，在正方形ABCD内有一点P，且，，．求∠APB的度数； (3)如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，若∠APB＝，直接写出PA，PB和PF的数量关系． 63．如图1，将的顶点C放在上，边与相切于点C，边与交于点D．已知，，，的直径为8．    (1)如图1，过点O作于点M，求的长度； (2)从图1的位置开始，将绕点C顺时针旋转，设旋转角为（）． ①如图2，当时，边与的另一交点为E，求的长度； ②如图3，当经过圆心O时，试判断与之间的位置关系，并说明理由； ③在旋转过程中，直接写出点O到边的距离h的取值范围． 64．【观察发现】 （1）如图1，在正方形中，点O为对角线的交点，点为正方形外一动点，且满足，连接．若正方形边长为4，则的最大值为______； （2）如图2，已知和都是等边三角形，连接，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3，某地有一个半径为的半圆形（半圆O）人工湖，其中是半圆的直径，在半圆上（不与重合），现计划在的左侧，规划出一个三角形区域，开发成垂钓中心，要求为入口，并沿修建一笔直的观光桥，根据规划要求观光桥的长度尽可能的长，问的长度是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 65．如图1，ABCD是边长为4的正方形，以B为圆心的⊙B与BC，BA分别交于点E，F，还接EF，且EF＝4． (1)求BE的长； (2)在平面内将图1中△BEF绕点B顺时针旋转360°，在旋转的过程中， ①求∠CDE的取值范围； ②如图2，取DE的中点G，连接CG并延长交直线DF于点H，点P为正方形内一动点，试求PH+PA+PB的最小值． 66．苏科版教材八年级下册第94页第19题，小明在学过圆之后，对该题进行重新探究，请你和他一起完成问题探究． 【问题提出】如图1，点分别在方形中的边上，且，连接交于点，求证：．请你先帮小明加以证明． 【问题探究】小明把原问题转化为动点问题，如图1，在边长为的正方形中，点E从点A出发，沿边向点D运动，同时，点F从点B出发，沿边向点A运动，它们的运动速度都是，当点E运动到点D时，两点同时停止运动，连接交于点M，设点运动时间为t秒． （1）如图1，在点的运动过程中，点M也随之运动，请直接写出点M的运动路径长 　　． （2）如图2，连接，在点的运动过程中． ①试说明点D在的外接圆上； ②若①中的与正方形的各边共有6个交点，请直接写出t的取值范围． 67．（1）如图，在中， ，边上的垂直平分线分别交，于点，．若的周长是11， 则直线上任意一点到点，距离的和最小值为 ； （2）如图．在锐角中，，，的平分线交于点，，分别是线段和上的动点，求的最小值． （3） 如图．某市中心广场有一直角三角形中，为直角，为进一步提升市中心广场环境品质，保障市民休闲需求， 城市管理人员决定在水池中修建一座音乐喷泉并安装喷泉灯，施工人员需在水池内铺设水管和电线，根据设计规划，施工人员在水池中任取一点P，铺设水管，，点在边上，线段之间需铺设电线管道，并规划在处修建一盏高杆灯，是直角边的中点，也是电线的接入口，之间需要铺设电线管道用来安装彩色底灯，且要保证水管管道和的夹角为．若，的长度为， 求和这两段电线管道长度和的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式解答即可． （2）利用画树状图法解答即可． 本题考查了简单的概率公式，树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 【详解】（1）小军抽取的字谜是猜“数学名词”的概率是， 故答案为：． （2）根据题意，画树状图如下：    由图可知，共有12种等可能的结果，其中小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的有2种， ∴小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率是． 2． 【分析】利用列表法求出概率即可． 【详解】解：列表如下： A B C A （A，A） （B，A） （C，A） B （A，B） （B，B） （C，B） C （A，C） （B，C） （C，C） 共有9种等可能的情况，其中小明两次抽到图案上纪念图章相同的情况有3种， ∴P（小明两次抽到图案上纪念图章相同）． 【点睛】本题考查树状图或列表法求概率．熟练掌握树状图和列表法，是解题的关键． 3． 【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合题意的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果．亮亮获胜的情况有3种， ∴P（亮亮获胜）==． 【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比． 4． 【分析】根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出两次数字和为5的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意画图如下： 共有16种的可能的情况数，其中两次数字和为5的有4种， 则两次数字和为5的概率实数． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 5．(1) (2) 【分析】（1）直接利用概率公式求解； （2）根据列表法求概率即可求解． 【详解】（1）有张看上去无差别的卡片，有个，随机抽取一张卡片，则抽取的卡片上的数字是的概率是， 故答案为：． （2）解：列表如下， 共有20种等可能结果，其中符合题意的有16种， 所抽取的两张卡片上的数字不同的概率为． 【点睛】此题考查的是用画树状图法或列表法求概率，解题时要注意问题是放回实验还是不放回实验，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 6．(1) (2) 【分析】（1）由在4张卡片中共有两张卡片写有数字2，利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果，数出大于21的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】（1）解：在4张卡片中共有两张卡片写有数字2， 从中任意抽取一张卡片，卡片上写有数字2的概率是， 故答案为：； （2）解：组成的所有两位数列表得： 1 2 2 3 1 21 21 31 2 21 22 32 2 21 22 32 3 31 32 32 共有12种等可能的结果，这个两位数大于21的有8种情况 这个两位数大于21的概率为：． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比． 7．(1) (2) 【分析】（1）先找出写有1、2、3、4小球上的数字是“4”的个数，再根据概率公式解答即可； （2）画出树形图或列表，然后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解： 写有1、2、3、4小球上的数字是“4”的个数为1， 从这四个小球中随机抽取一个小球，小球上的数字是“4”的概率是， 故答案为； （2）解：画树状图如下： 共有12个等可能的结果，取得两球的数字积为奇数的有2个， ∴取得两球的数字积为奇数的概率为． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率，掌握概率计算公式是解题的关键． 8．(1) (2) 【分析】本题主要考查列表法或树状图求概率，以及概率公式的应用， 根据题意共有4中可能得结果，满足题意得只有1种，利用概率公式求解即可； 利用列表法将所有可能得结果列出，找到满足题意得9中结果，结合概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中小颖恰好选取《周髀算经》的结果有1种，则．小颖恰好选取《周髀算经》的概率为， 故答案为∶； （2）列表如下： B C B C 共有12种等可能的结果，其中小颖、小华都选取到中国数学著作的结果有6种，则小颖、小华都选取到中国数学著作的概率为． 9．(1) (2)图见解析， 【分析】本题主要考查树状图法（或列表法）求概率，掌握概率公式是解题的关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）根据题意画出对应树状图，应用树状图法（或列表法）求解概率即可． 【详解】（1）解：由题知，小华从4张卡片中随机抽取一张，恰好抽中“D．宝鸡青铜器博物馆”的概率为， 故答案为：． （2）解：由题可画树状图如下： 由图知，所有情况数为种，其中小明和小强抽中同一景点情况数为种， 小明和小强抽中同一景点的概率为． 10．(1) (2) 【分析】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）由概率公式即可得出答案； （2）画出树状图，根据树状图即可得出结论； 【详解】（1）∵共有5个等可能的结果，摸到C棋的结果有1个， ∴若小玲先摸，则小玲摸到棋子C的概率是． 故答案为：； （2）如图， 共有20种等可能的结果，小玲摸到棋子B，且小玲胜小军的有4种， 所以小玲摸到棋子B，且小玲胜小军的概率为：． 11．两次邮购的折扇分别是40把和160把 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，首先判断出两次购买数量的范围，再设设一次邮购折扇把，则另一次邮䝧折扇把，根据“两次邮购折扇共花费1504元”列出一元一次方程，求解即可 【详解】解：若每次购买都是100把，则． 一次购买少于100把，另一次购买多于100把． 设一次邮购折扇把，则另一次邮购折扇把． 由题意得：， 解得． ． 答：两次邮购的折扇分别是40把和160把． 12．每天安排人做第一道工序，安排人做第二道工序． 【分析】设安排人做第一道工序，则有人做第二道工序，再列一元一次方程可得答案． 【详解】解：设安排人做第一道工序，则有人做第二道工序， 答：每天安排人做第一道工序，安排人做第二道工序，能使每天第一．第二道工序所完成的件数相等 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，掌握列一元一次方程解决应用题的方法是解题的关键． 13．个 【分析】设这次装枇杷的果箱个数为个，若每箱装千克，则余千克装不下时，枇杷总重量为，若每箱装千克，则恰好余个空箱时，枇杷总重量为，根据总重量相等，列出方程求解即可． 【详解】解：设这次装枇杷的果箱个数为个， 由题意可得：， 整理得：， 解得：， 答：这次装枇杷的果箱个数为128个． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解． 14．参加此次研学旅行的总人数为人． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设租用座客车辆，根据总人数不变即可建立方程求解． 【详解】解：设租用座客车辆，则： ， 解得：， ∴（人）， 答：参加此次研学旅行的总人数为人． 15．该文具店中这种大笔记本的单价为8元． 【分析】本题考查一元一次方程的应用．设该文具店中这种大笔记本的单价是x元，则小笔记本的单价是元，根据买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了元，列方程求解． 【详解】解：设该文具店中这种大笔记本的单价是x元，则小笔记本的单价是元， 由题意可得， 解得：； 答：该文具店中这种大笔记本的单价为8元． 16．第一次、第二次分别购买贺卡20张，50张或50张，20张 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程求解．设第一次购买张，第二次购买张，共付费180元，分两种情况列方程求解即可． 【详解】解：设第一次购买张，第二次购买张， ， 至少有一次购买超过40张，分两种情况： 当第一次购买不超过40张，第二次购买超过40张时， 列方程为：， 解得：，则； 当第一次购买超过40张，第二次购买不超过40张时， 列方程为：， 解得：，则， 答：班长第一次、第二次分别购买贺卡20张，50张或50张，20张． 17．问题1：第一小组有8人；问题2：第一小组准备种104棵树 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找出数量关系是解题关键．根据题意和问题，正确设未知数并列式求解即可． 【详解】解：问题1：第一小组有多少人？ 设：第一小组有人， 由题意得：， 解得：， 答：第一小组有8人； 问题2：第一小组准备种多少棵树？ 设：第一小组准备种棵树， 由题意得：， 解得：， 答：第一小组准备种104棵树． 18．女生的人数为20人，男生人数为35人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设女生的人数为x人，则男生有人，根据题意，列出关于x的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设女生的人数为x人， 小明看到的男生人数是女生人数得倍还多4人， 加上小明，则男生人数是女生人数得倍还多5人， 则男生人数为：， 根据题意得：， 解得：，则， 故女生的人数为20人，男生人数为35人． 19．该学生接温水的时间为，接开水的时间为． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意，理清数量关系是解决问题的关键． 设该学生接温水的时间为，则接温水，开水，由物理常识的公式可得方程，解方程即可． 【详解】解：设该学生接温水的时间为， 根据题意可得：， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴该学生接温水的时间为，接开水的时间为． 20．单价为5元的笔记本买了25本，单价为8元的笔记本买了15本 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设单价为5元的笔记本买了x本，则单价为8元的笔记本买了本，根据两种笔记本总花费为元，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设单价为5元的笔记本买了x本，则单价为8元的笔记本买了本． 由题意得：， 解得：， 经检验，符合题意． 则． 答：单价为5元的笔记本买了25本，单价为8元的笔记本买了15本． 21．(1)当一次性购物标价总额是元时，甲超市付款元，乙超市付款元 (2)当标价总额是时，甲、乙超市实付款一样 (3)可以节省元或元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． （1）根据图中的信息，可以分别计算出在两家超市需要付款的金额； （2）根据题意和图中的信息，可以列出相应的方程，然后求解即可； （3）根据题意可以计算两种情况下的实际付款金额，然后作差即可． 【详解】（1）由题意可得， 当一次性购物标价总额是元时， 在甲超市需付款：（元）， 在乙超市需付款：（元）， 答：当一次性购物标价总额是元时，甲超市付款元，乙超市付款元； （2）由图中的信息可知，只有当购物标价总额超过元时，两家超市才可能付款总金额相等， 设当标价总额是元时，甲、乙超市实付款一样， 由题意可得：， 解得， 答：当标价总额是时，甲、乙超市实付款一样； （3）由题意可得， 小王两次到乙超市分别付款元和元时， 第一次购物付款元，购物标价可能是元，也可能是 (元)， 第二次购物付款元，购物标价是（元）， 两次购物标价之和是 (元)或 (元)， 若他只去一次该超市购买同样多的商品， 实付款是（元）或（元）， 可以节省 (元)或 (元)． 答：若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省元或元． 22．(1)0，25，3900 (2)该月王娟的工资薪金是2300元，李丽的工资薪金是2200元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，难度较大，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，再求解． （1）根据上表中的规定：①公民全月工资薪金所得不超过2000元不必纳税，所以公民甲的工资薪金不超过2000元，不必纳税；②公民乙的工资薪金是2500元，乙的全月应纳税所得额元，不超过500元按的税率纳税；③公民丙工薪若是2500元，应纳税为元，工薪若是4000元，应纳税为元，因此某人该月的工薪在2500元和4000元之间，可以设某人工薪收入为元，则列方程为； （2）根据题干，设该月王娟的工资薪金是元，李丽的工资薪金是元，根据王娟的工资薪金比李丽的工资薪金多100元和她们该月的纳税总金额是25元即可得出一元一次方程，解方程即可求解. 【详解】（1）解：①公民甲的工资薪金不超过2000元，不必纳税； ②公民乙的纳税金额为：（元； ③设公民丙的工薪收入为元，根据题意可得方程 ； 解这个方程可得：， 答：公民丙的工资薪金为3900元．由此可以完成表格如下： 公民 工资薪金（元 应纳税金（元 甲 2000 0 乙 2500 25 丙 3900 165 故答案为0，25，3900； （2）设该月王娟的工资薪金是元，李丽的工资薪金是元． 由题意得 解得， 则 答：该月王娟的工资薪金是2300元，李丽的工资薪金是2200元 23．(1)A品种黑马铃为8000千克，B品种黑马铃薯为20000千克 (2)20 【分析】（1）设B品种的平均亩产量为x千克，那么A品种的平均亩产量为x（1-20%）千克，列出关于x的一元一次方程，即可求解； （2）先求出A、B两个品种各自箱数，然后设蔬菜商人第一次收购A品种黑马铃薯x箱，那么第一次收购B品种黑马铃薯（60-x）箱，第二次收购A品种黑马铃薯（160-x）箱，第二次收购B品种黑马铃薯（200-60+x）箱，根据题意得到x的一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：设B品种的平均亩产量为x千克，那么A品种的平均亩产量为x（1-20%）千克，根据题意得： 10 x +5x（1-20%）=28000， 解这个方程得：x=2000 那么A品种的平均亩产量为：2000×（1-20%）=1600， A品种黑马铃为：1600×5=8000（千克）， B品种黑马铃薯为：2000×10=20000（千克）； （2）∵A品种黑马铃8000千克，A品种每箱50千克， ∴A品种共：8000÷50=160（箱） ∵B品种黑马铃20000千克，B品种每箱100千克， ∴B品种共：20000÷100=200（箱） 设蔬菜商人第一次收购A品种黑马铃薯x箱，那么第一次收购B品种黑马铃薯（60-x）箱，第二次收购A品种黑马铃薯（160-x）箱，第二次收购B品种黑马铃薯（200-60+x）箱，根据题意得： 200×0.8×（160-x）+300×（1- ）×0.8×（200-60+x）-41000=200×0.95 x+300×0.8×（60-x） 解这个方程得：x=20 ∴蔬菜商人第一次收购A品种黑马铃薯20箱． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，做题的关键是找等量关系，列出方程． 24．(1) (2)或 (3)8 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用： （1）先求出点坐标，再将点代入一次函数的解析式中求出的值即可； （2）图像法求不等式的解集即可； （3）根据平移的性质，得到阴影部分的面积即为的面积，进行求解即可． 【详解】（1）点在的图像上， 当时，． ∴， 将点代入，得． （2）由（1）知：， 联立，解得：或， ∴； 由图像可得：时的取值范围为：或． （3）∵， ∴当时，， ∴， ∵将直线沿轴向下平移4个单位， ∴，直线的解析式为：，设直线与轴交于点H ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， 如图，过点作，垂足为， ∴． 又，， ． 连接， ∵平移， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴阴影部分面积等于的面积，即． 25．(1) (2)①6；②且 【分析】（1）待定系数法求解析式； （2）①将点坐标代入解析式即可； ②解不等式，时求出的值，即可确定的取值范围． 【详解】（1）解：将点，代入一次函数解析式； 得， 解得， 一次函数解析式：； （2）解：①将点代入反比例函数解析式， 得． ②当时，， ， 满足条件的的取值范围是：且． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求解析式是解决本题的关键． 26．(1) (2) 【分析】（1）直接把点代入正比例函数的解析式可求出； （2）一次函数的图像经过点和，利用待定系数法求解析式即可． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图像上， ∴， ∴点的坐标为； （2）∵一次函数的图像经过点和， ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为． 【点睛】本题考查两条直线相交问题：若直线与直线相交，则交点坐标同时满足两个解析式；也考查了待定系数法求一次函数解析式．掌握用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 27．(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合问题，掌握待定系数法是解题关键． （1）将点代入即可求解； （2）由（1）可得，将、代入可得一次函数的表达式，进而可得的坐标；根据即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴ 解得： ∴反比例函数的表达式为： （2）解：将点代入得：， ∴ 将、代入得： ， 解得：， ∴一次函数的表达式为：， 令，则， ∴ ∴ 28．(1) (2)， 【分析】（1）根据待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）依据一次函数图象平移的规律，即可得到新的函数及其图象与x轴，y轴的交点坐标． 【详解】（1）将，;，分别代入一次函数解析式得： ， 解得：， 一次函数解析式为． （2）一次函数的图象向上平移2个单位长度，可得， 令，则；令，则， ∴与x轴，y轴的交点坐标分别为和． 【点睛】本题考查了一次函数的平移，待定系数法求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握一次函数的平移规律是解题的关键． 29．(1) (2)或 (3)4 【分析】（1）根据点在反比例函数的图象上得，即可得反比例函数的解析式为，根据在反比例函数的图象上，即可得； （2）由（1）得，，，根据函数图象即可得当或时，； （3）根据，在一次函数的图象上得，进行计算即可得一次函数的解析式为，将直线向下平移n个单位长度，使平移后的直线经过点得，即可得． 【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ； （2）解：由（1）得，，， 根据函数图象得，当或时，， 故答案为：或． （3）解：∵，在一次函数的图象上， ∴， 解得，， ∴一次函数的解析式为， ∵将直线向下平移n个单位长度，使平移后的直线经过点， ∴， ． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合题，解题的关键是掌握一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质． 30．(1) (2)8 【分析】（1）利用反比例函数的解析式求出点A、B的坐标，再用待定系数法求直线解析式即可； （2）由平移方式求出直线的解析式，与双曲线的方程联立，求出点C的坐标，设直线与y轴交于点F，利用等面变形将的面积转化成的面积来求，利用面积公式求解即可． 【详解】（1）解：将点代入得： ∴ 将点代入得： 解得： ∴ 将点，代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． （2）∵直线向下平移4个单位后与双曲线交于， ∴直线的解析式为：， ∴    将直线的解析式与双曲线方程联立得： ， 解得，或， ∴， 设直线与y轴交于点F，则，， 由， ∴点F到的距离与点A到的距离相等， ∴，(代表点C的横坐标) 即的面积是8． 【点睛】本题考查待定系数法求直线解析式，直线与反比例函数的综合问题，三角形的面积求法等知识，会通过联立方程的方法求交点坐标是解题的关键． 31．(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据图象求解即可； （3）连接，根据题意得到，然后得到，然后列方程求解即可． 【详解】（1）将代入得， 解得 ∴； 将代入，得 ∴ ∴将，代入得， ，解得， ∴； （2）∵，， 由图象可得， ∴当时，x的取值范围是或； （3）如图所示，连接    ∵直线向上平移个单位长度， ∴， ∴ ∴ ∴解得． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，函数与不等式的关系，平移的性质，三角形面积．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 32．(1) (2)①；② 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，一次函数的平移，平行四边形的性质，掌握一次函数的平移规律和中点坐标公式是解题的关键． （1）把点的坐标代入一次函数和反比例函数的解析式，求出和的值即可； （2）①一次函数的平移遵循“上加下减”，据此求出平移后的解析式，进而确定点和的坐标，用求面积；②用含的代数式表示点和的坐标，根据平行四边形的对角线互相平分，结合中点坐标公式求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ， 解得： 的值； （2）把一次函数向下平移个单位长度后，则其解析式为 则直线与y轴交于点C坐标为，与x轴交于点D坐标为 时，C坐标为，D坐标为. 连接，如图所示， ②直线与x轴交于点B坐标为 ，， 四边形为平行四边形， 对角线、互相平分. 由或由， 解得． 的值为． 33．(1)①；②或 (2) 【分析】（1）①根据点的坐标求得反比例函数的解析式，即可求得的值，代入一次函数即可求得直线的解析式；②过作，过作于；联立与反比例函数解析式，求得、的坐标，进而求得的长，根据三角形面积求得、的距离，进而求得的解析式，联立与反比例函数解析式即可求得点的坐标； （2）过点作，交于点，交于点，由题意可知直线的解析式为，则，，，，证明为的中点，得到，则直线的解析式为，若翻折后的图像（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，则点对应的点为，则，即是的中点，求出，根据两点中点坐标公式得到，由此求解即可． 【详解】（1）解：①∵ 在上， ∴， 把代入中得：， 则直线解析式为：，反比例函数解析式为：； ②由直线与反比例函数的图象分别交于点和点， 则， 解得：或， ∴， ∴， 如图，过作分别交轴、轴于点、，过作于， 设的距离为，则， 解得：， ∴、的距离为， ∴，    ∵，令，则，令，则，即，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 在中，， ∴直线是直线向右平移个单位后得到的直线， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， 点的坐标为或； （2）解：过点作于，交于点，交于点，如图，    ∴， ∵直线，将直线向右平移个单位长度得到直线， ∴直线的解析式为， ∴，，，， ∴， ∵， ∴为的中点， ∴， ∴直线的解析式为， 若翻折后的图像（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，则点对应的点为， ，即是的中点， 联立，解得：或（负值舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，（负值舍去）， ∴的值为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合、求一次函数与反比例函数解析式、等腰直角三角形的性质、解一元二次方程、一次函数的平移、轴对称的性质，正确作出辅助线、利用数形结合的思想求解是解题的关键． 34．(1)①，；② (2)①或1或2；②， 【分析】（1）①将点的坐标代入一次函数表达式即可求解，将点的坐标代入反比例函数表达式，即可求解；②由图象可以直接看出； （2）①当时，当为中点时，则，即，当为中点时，则，即，当为中点时，因为点一定在点的下方，故这种情况不存在；当与重合时，到，的距离相等，解方程即可得到结论；②当点在点左侧时，得到，的值取不大于1的任意数时，始终是一个定值，当时，此时，从而．当点在点右侧时，同理得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：①将点的坐标代入， 解得：， 将点的坐标代入反比例函数得：； ②由图象可以看出时，反比例函数图像在一次函数图像上方， ∴当时，； （2）①∵， ∴， 又， ∴，代入，得 当时，点、、的坐标分别为、、，在的下方）， 当为中点时， 则，即， 则； 当为中点时， 则，即， 故， 当为中点时，因为点一定在点的下方，故这种情况不存在； 当与重合时，到，的距离相等， 则，即， 或1或2．    ②在中，令，则， ∴点的横坐标为：， 当点在点左侧时，， ∵的值取不大于1的任意数时，始终是一个定值， 当时，此时，从而． 当点在点右侧时， 同理， 当，时，（不合题意舍去） 故，． 【点睛】本题是反比例函数综合题目，考查了一次函数解析式的求法、反比例函数解析式的求法、一次函数和反比例函数的图形与性质、函数定值的求法等知识；关键是通过确定点的坐标，求出对应线段的长度，进而求解． 35．(1)， (2)2.0千米 (3) 【分析】本题考查正多边形的外角，解直角三角形，相似三角形的判定和性质： （1）求出正八边形的一个外角的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）过点作，垂足为，解，求出，解，求出，即可； （3）连接并延长交于点，延长交于点，过点作，垂足为，解，求出，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正八边形的一个外角的度数为：， ∴，； 故答案为：； （2）过点作，垂足为． 在中，，， ． 在中，， ． 答：点到道路的距离为2.0千米． （3）连接并延长交于点，延长交于点，过点作，垂足为． 正八边形的外角均为， 在中，． ． 又，， ． ∵， ∴， ，即， ， ． 答：小李离点不超过2.4km，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响． 36．海里 【分析】过点作于点，根据锐角三角函数即可求出、两岛之间的距离． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，，， ∵，， ∴（海里），（海里）， 在中，，， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴、两岛之间的距离约为海里． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用—方位角问题，掌握方位角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 37． 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．证明，列出比例式进行求解即可．解题的关键是得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即：， ∴． 38． 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质．根据题意证出,再代入条件中具体数值继而得到本题答案． 【详解】解:由题意知,,, ∴, ∴, ∵,,, ∴,解得:, 答:树高约是． 故答案为:． 39． 【分析】先证明，可得，再证明，再证明，结合相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 同理可得：， ∴． 【点睛】考查相似三角形中“”字型的综合应用，熟记相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 40．(1)atanα+b米 (2)3.8米 【分析】（1）由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α，根据四边形CDBE为矩形，得到BE=CD=b，BD=CE=a，在Rt∆ACE中，由正切函数tanα= ，即可得到AB的高度； （2）根据AB∥ED，得到∆ABF~∆EDF，根据相似三角形的对应边成比例得到 ，又根据AB∥GC，得出∆ABH~∆GCH，根据相似三角形的对应边成比例得到 联立得到二元一次方程组解之即可得； 【详解】（1）解：如图 由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α ∠B=∠D=∠CEB=90° ∴四边形CDBE为矩形， 则BE=CD=b，BD=CE=a， 在Rt∆ACE中，tanα= ， 得AE=CE=CE×tanα=a tanα 而AB=AE+BE， 故AB= a tanα+b 答：灯杆AB的高度为atanα+b米 （2）由题意可得，AB∥GC∥ED，GC=ED=2，CH=1，DF=3，CD=1.8 由于AB∥ED， ∴∆ABF~∆EDF， 此时 即①， ∵AB∥GC ∴∆ABH~∆GCH， 此时， ② 联立①②得 ， 解得： 答：灯杆AB的高度为3.8米 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，锐角三角函数的应用，以及二元一次方程组，解题的关键是读懂题意，熟悉相似三角形的判定与性质． 41．(1)①（或）；②；③ (2)旗杆的高度约为 【分析】（1）本题考查相似三角形的性质与判定，根据题意证明，再利用相似三角形对应边成比例，建立等式求解，即可解题． （2）本题考查解直角三角形，根据题意得出、，利用，求得，再根据，即可解题． 【详解】（1）解：由测量知，，，， 法线，， ， ， ， ，即， （）， 故旗杆的高度为． 故答案为：（或）；；； （2）解：由题知，，，，， ，， ， ，即，解得（）， （）， ， 旗杆的高度约为． 42．(1)AC=200海里，AD=200(-1)海里 (2)无触礁的危险 【分析】（1）作CE⊥AB于E，设AE＝x海里，则BE＝CE=x海里．根据AB＝AE＋BE＝x＋x＝100（＋1），求得x的值后即可求得AC的长； （2）过点D作DF⊥AC于点F，设AF＝y，则DF＝CF＝y，求出DF的长，再与100比较即可得到答案． 【详解】（1）如图，作CE⊥AB于E， 由题意得：∠ABC＝45°，∠BAC＝60°， 设AE＝x海里， 在Rt△AEC中，CE＝AE•tan60°=x， 在Rt△BCE中，BE＝CE＝x， ∴AE＋BE＝x＋x＝100（+1），解得：x＝100． ∴AC＝2x＝200海里． ∵∠ACB=180°-（∠ABC+∠BAC）=75°， ∴∠ACB=∠ADC=75°， ∵∠BAC=∠CAD， ∴△ABC∽△ACD ∴， ∴， ∴AD=200(-1) （2）在△ACD中，∠DAC＝60°，∠ADC＝75°，则∠ACD＝45°，过点D作DF⊥AC于点F，设AF＝y，则DF＝CF＝y， ∴AC＝y＋y＝200，解得：y＝100（−1）， ∴DF＝y=×100（−1）≈126.8（海里）， ∵126.8＞100， ∴巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 43．(1) (2)不能，理由见解析 【分析】（1）过点A作AC⊥OB于点C．可知△ABC为直角三角形．根据勾股定理解答． （2）延长AB交l于D，比较OD与OM、ON的大小即可得出结论． 【详解】（1）过点A作AC⊥OB于点C． 由题意，得MN=1,OM=58,，OA=60,OB=30 ∴AC=， ∴ ∴ （2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船不能行至码头MN靠岸 延长AB交l于D， ∵AC∥OD ∴ ∴ ∴，解得 ∵MN=1,OM=58 ∴ON=59 ∴ ∴如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船不能行至码头MN靠岸 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，此题结合方向角，考查了阅读理解能力、解直角三角形的能力．计算出相关特殊角和作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 44．(1) (2) (3)11度 【分析】（1）如图1，过作于，则，，，即，然后作答即可； （2）如图2，延长交于，则，四边形是矩形，则，，由题意知，，则，，证明，则，即，解得，根据，计算求解即可； （3）由题意知，，则，当投影仪后移1m，如图3，则，，证明，则，即，解得，，即，根据，计算求解投影仪的仰角减小的度数即可． 【详解】（1）解：如图1，过作于，则，，    ∴， ∴， ∴三角支架中的与地面的夹角为． （2）解：如图2，延长交于，则，四边形是矩形，则，，    由题意知，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即，解得， ∴， ∴投影点与水平地面的距离为． （3）解：由题意知，， ∴， 当投影仪后移1m，如图3，则，，    ∵，， ∴， ∴，即，解得， ∴， ∴， ∵， ∴投影仪的仰角须减小11度． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正切，正弦，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 45．(1)21.8，90 (2) (3)轮船能正好至码头MN靠岸，理由见解析 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，考查了阅读理解能力、解直角三角形的能力，结合方向角，计算出相关特殊角和作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）结合平行线的性质以及角的运算，即可作答； （2）运用（1）的结论，则中，代入数值进行计算，即可作答； （3）作线段直线于，作线段直线于，延长交直线于．运用三角函数，分别算出的值，结合相似三角形的判定与性质，列式代入数值，即可作答． 【详解】（1）解：如图： 依题意，， ∵， ∴， 则， ， 故答案为：； （2）解：如图： 在中， ∵，， ∴， 解得， 则速度为； （3）解：能，理由如下： 作线段直线于，作线段直线于，延长交直线于． ， ， 则 ∴， ， ． 又， ． ， ， ． ∵， ∴， 所以， ， ∴， 所以． 又∵，长为， ， ， 故轮船能够正好行至码头靠岸． 46．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，根据题意，求得，，进而求出，，利用勾股定理求出，求出，从而得到，结合平行线的性质即可证明结论； （3）设，则，，求出当时，，得到点在的上方，设，故，其对称轴为，分为和两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：分别将，代入， 得， 解得． 函数表达式为； （2）解：连接，   ， ． 当时，，即点，当时，，即点． ，， ，，， 在中，． ， ， ． ， ． ． 平分． （3）解：设，则，． 当时，． 令， 解得，． ， ， 点在的上方（如图1）．      设， 故， 其对称轴为，且． ①当时，即． 由图2可知：    当时，取得最大值． 解得或（舍去）． ②当时，得， 由图3可知：    当时，取得最大值． 解得（舍去）． 综上所述，的值为． 【点睛】本题考查抛物线与角度的综合问题，抛物线与x轴的交点，二次函数的解析式及最值等问题，关键是利用二次函数的性质求最值． 47．（1）；（2）直线 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）利用对称轴公式求解即可． 【详解】解：（1）∵二次函数y＝x2－2mx＋5m的图象经过点(1，－2)， ∴－2＝1－2m＋5m， 解得；     ∴二次函数的表达式为y＝x2＋2x－5． （2）二次函数图象的对称轴为直线； 故二次函数的对称轴为：直线； 【点睛】本题考查了求二次函数解析式和对称轴，解题关键是熟练运用待定系数法求解析式，熟记抛物线对称轴公式． 48．(1) (2)不在 【分析】 （1）已知了抛物线上两点的坐标，可将其代入抛物线中，通过联立方程组求得、的值； （2）将点坐标代入抛物线的解析式中，即可判断出点是否在抛物线的图象上． 【详解】（1） 解：把，两点代入二次函数得 ， 解得，； （2） 解：由（1）得， 把代入，得， 点在不在此函数图象上． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数表达式的方法，掌握待定系数法求函数解析式的方法与步骤是解决问题的关键． 49．(1)开口向下，对称轴为：直线，顶点坐标为：； (2)时，y随x增大而减小，时，y随x增大而增大． 【分析】（1）根据二次函数的性质进行解答即可； （2）根据对称轴的开口方向朝下，在对称轴的左侧，y随x增大而增大，在对称轴的右侧，y随x增大而增大减小进行解答即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴抛物线的开口向下， 对称轴为：直线，顶点坐标为：； （2）解：∵抛物线的开口向下， ∴时，y随x增大而减小，时，y随x增大而增大． 【点睛】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 50．(1)直线 (2)， 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式： （1）：把代入中得，再根据对称轴计算公式求解即可； （2）根据题意可得，再由抛物线开口向上，得到离对称轴越远函数值越大，则当时，，当时，，据此求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴， ∴抛物线对称轴为直线； （2）解：∵， ∴， ∴ ∵， ∴抛物线开口向上， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵当，y的取值范围是， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴， 解得或（舍去）． 51．(1) (2)6 (3)的解析式为， 【分析】（1）将，代入，即可求解； （2）设P点坐标为，则，，然后根据二次函数的最值求解即可． （3）由题意得到，则，设，由，求出，再由待定系数法求直线的解析式，联立方程组可求出点P的坐标 【详解】（1）解：将，代入， ， 解得：， ； （2）解：设P点坐标为，则， ， 当时，四边形面积的最大值为6；    （3）解：， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， 设直线的解析式为， ， ， ； 解方程组， 解得（舍）或， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，平行线的性质，等腰三角形的判定，求一次函数解析式，求二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，求出二次函数解析式． 52．(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）二次函数的对称轴是直线，求出，将A的坐标代入中，即可求解； （2）先求出B、C的坐标，进而推出，再分点P在点C上方时，，当点P在点C下方时，，两种情况求出点P的坐标即可； （3）分三种情况利用二次函数的性质讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的对称轴是直线， ∴， ∴， 将代入中， 解得． ∴二次函数的表达式为； （2）解：在中，令，则，令，解得或， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点P在点C上方时， ∵， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； 当点P在点C下方时，则， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； （3）解：①若，即时， 则当时，函数值最小， ∴， 解得：或（舍去）； ②若，即时， 则当时函数值最小， ∴， 解得：（不合题意）； ③若， 则当时函数值最小， ∴， 解得：或（舍去）， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线与一元二次方程的关系及抛物线与不等式的关系等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 53．(1)A（-2，0），B（3，0），C（0，3）； (2)点E到直线BC的距离d的最大值为； (3)在点D的运动过程中，∠ADB'能等于45°，此时点B′的坐标为（0，-3）或（-3，3）． 【分析】（1）分别令x=0，或y=0，求出对应的y，x值即可得出结论； （2）利用待定系数法求出直线BC的解析式，当点D在线段OB上时或当点D在线段OA上时，两种情况讨论，过点E作EG⊥BC于点G，设E（m，-m2+m+3），则F（m，-m+3），可得EF的值，利用等腰直角三角形的性质可得点E到直线BC的距离d的函数解析式，利用配方法即可求得d的最大值； （3）利用分类讨论的思想方法当∠ADB′能等于45°时，分点B′在x轴的上方和在x轴的下方解答，依据题意画出图形，利用已知条件求得相应线段的长度即可得出结论． 【详解】（1）解：令y=0，则-x2+x+3=0， 解得：x1=3，x2=-2． ∵点B在点A的右侧， ∴A（-2，0），B（3，0）． 令x=0，则y=3， ∴C（0，3）； （2）解：设直线BC的解析式为y=kx+b， ∴， 解得：． ∴直线BC的解析式为y=-x+3． 当点D在线段OB上时，过点E作EG⊥BC于点G，如图， 设E（m，-m2+m+3）， ∵ED⊥x轴， ∴F（m，-m+3）． ∴EF=（-m2+m+3）-（-m+3）=−m2+m． ∵B（3，0），C（0，3）， ∴OB=OC=3． ∴∠OCB=∠OBC=45°． ∵DE∥OC， ∴∠EFG=∠OCB=45°． ∵EG⊥BC， ∴EG=GF=EF=-m2+m=− (m−) 2+． ∵-＜0， ∴点E到直线BC的距离d的最大值为； 当点D在线段OA上时，过点E作EG⊥BC于点G，如图， 设E（m，-m2+m+3）， ∵ED⊥x轴， ∴F（m，-m+3）． ∴EF=（-m+3）-（-m2+m+3）=m2-m． ∵B（3，0），C（0，3）， ∴OB=OC=3． ∴∠OCB=∠OBC=45°． ∵DE∥OC， ∴∠EFG=∠OCB=45°． ∵EG⊥BC， ∴EG=GF=EF=m2-m=(m−) 2-． ∵>0， ∴当m<时，EG的值随m的值增加而减少， ∵A（-2，0），O（0，0），即， ∴当m=-2时，EG有最大值． ∵ ∴点E到直线BC的距离d的最大值为； （3）解：当点D运动的过程中，∠ADB′能等于45°，分以下两种情况： ①如图，当点B′在x轴下方，∠ADB′=45°，连接CD，DB′， 则∠CB′D=∠CBO=45°． ∴∠DOB′=90°． ∴点B′恰好在y轴上． ∵B（3，0），C（0，3）， ∴OB=OC=3，BC=B′C=3． ∴OB′=CB′-OC=3-3． ∴B′（0，-3+3）； ②如图，当点B′在x轴的上方，且∠ADB′=45°时， 由题意得：△B′DC与△BDC关于CD轴对称， ∴∠B′=∠CBO=45°，BC=B′C． ∵∠ADB′=45°， ∴∠B′=∠CBO=∠ADB′=45°． ∴B′C∥BD，B′D∥BC， ∴四边形B′CBD为平行四边形． ∵BC=B′C， ∴平行四边形B′CBD为菱形． ∴B′C=BC=3，B′C⊥OC． ∴B′（-3，3）． 综上所述，在点D的运动过程中，∠ADB'能等于45°，此时点B′的坐标为（0，-3）或（-3，3）． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，轴对称的性质，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，配方法，二次函数的极值，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 54．(1)c=2-2m，n=2+m (2)存在，S△BMN有最小值，且最小值为 (3)90° 【分析】（1）将点A（-2，0）和点B（m，n）代入抛物线y1=x2+（3-m）x+c，进而表示c和n的值； （2）将点A（-2，0）和点B（m，n）代入y2=kx+b，进而求出k和b的值，则N为（1，3），令M（1，6-3m），MN=3m-3，表示出△BMN的面积，进而求最值； （3）当x=m+1时，抛物线y1=（m+1）2+（3-m）（m+1）+2-2m=2m+6，由抛物线y1的对称轴为x=，根据抛物线的对称性可知m+1-=-xE，得出xE =-4，进而求出点E坐标，又BK=2m+6-(m+2)=m+4，EK=m-(-4)=m+4，证出EK=BK，得出∠KEB=∠KBE=45°，易证∠EDA=∠LAO=45°，进而根据三角形内角和求出∠DBE的度数． 【详解】（1）解：由题意，得 将点A（-2，0）和点B（m，n）代入抛物线y1=x2+（3-m）x+c， 得4-2（3-m）+c=0，m2+（3-m）m+c=n， 解得c=2-2m，n=c+3m， ∴n=c+3m=2-2m+3m=2+m． （2）解：存在，理由如下： 由（1）得，抛物线y1=x2+（3-m）x+2-2m， ∵过点P（1，0）作x轴的垂线，分别交抛物线和直线l于M，N两点， ∴M和N的横坐标为1， 将点A（-2，0）和点B（m，n）代入y2=kx+b， 得解得， 由（1）得n=2+m， ∴， ∴直线l：y2=x+2， ∴点N为（1，3）， 令M为（1，6-3m）， ∴MN=3-（6-3m）=3m-3， 过点B作BC⊥MN于点C， ∴S△BMN=×（3m-3）×（m-1）=（m-1）2==m2-3m+， ∴此时对称轴为直线m=1， ∵>0， ∴当m>1时，S随m的增大而增大， ∵当-2≤x≤4时，y1≤y2， ∴m≥4， ∴当m=4时，S△BMN有最小值，且最小值为． （3）解：当x=m+1时，抛物线y1=（m+1）2+（3-m）（m+1）+2-2m=2m+6， ∵抛物线y1的对称轴为x=， ∴由抛物线的对称性可知m+1-=-xE， ∴xE =-4， ∴点E为（-4，2m+6）， 过点B作x轴的垂线，交x轴于点H，交DE于点K， ∴BK=2m+6-(m+2)=m+4， ∵EK=m-(-4)=m+4， ∴EK=BK， ∴∠KEB=∠KBE=45°， 令直线l与y轴交于点L， 当x=0时，y=2， ∴OA=OL=2， ∴∠LAO=45°， ∵DE∥x轴， ∴∠EDA=∠LAO=45°， ∴∠DBE=180°-∠EDA-∠DEB=180°-45°-45°=90°． 【点睛】本题考查了抛物线与一次函数的综合，题目难度较大，属于压轴类题目，涉及的知识点有待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，一次函数求交点坐标，等腰三角形的性质，熟练的掌握以上内容并灵活运用是解决问题的关键． 55．(1)①；②; (2)6或14 (3)． 【分析】（1）①将代入解析式，将代入对应解析式求解． ②将分为两部分确定y的最大值，当时，将配方可得最值，再将代入中，可得，对比可得函数G的最大值； （2）分两种情况：Q在x轴的上方和下方；证明是等腰直角三角形，得，列方程可得结论； （3）分两种情况： ①，如图2，过点C作轴于D，证明，得，列方程可得结论； ②，如图3，同理可得结论． 【详解】（1）解：当时， ， ①∵在该函数图象上， ∴； ②当时， ∵， ∴当时，y有最大值是， 当时，， ∵， ∴当时，函数G的最大值是， （2）分两种情况： ①如图1，当Q在x轴上方时，由题意得：，    ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ 解得：， ∵， ∴； ②当Q在x轴下方时，同理得： 解得：， ∵， ∴； 综上，m的值是6或14 （3）分两种情况： ①如图2，当时，过点C作轴于D，    当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，，即 ， ， 解得： ， ∴，且， ∵点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（此时，A，B，C三点重合，舍），， ②当时，如图3，过点C作轴于D，    同理得：， 当时，，则， 解得：（舍）， ∴， ∴， 解得：（舍去）， 综上，m的值是． 【点睛】本题考查二次函数的综合运用，主要考查了函数的性质，函数关系式的确定，解题的关键是对关键点进行分析，理解分段函数，并利用图象解答． 56．(1)①b=；②此函数的最大值为； (2)n的值是-或-； (3)或或 【分析】（1）①将P（4，b）代入y=-x2+x+，即可求得结果．②当x≥5时，当x=5时有最大值为5；当x<5时，当时有最大值为，故函数的最大值为． （2）由n＜0，可得n＞n，依据条件可知△POQ是等腰直角三角形，然后分当点Q在x轴上方和点Q在x轴下方时两种情况分别计算． （3）依据题意可知：①当n<0时，当x>n时，y＝﹣x2+nx+n=，点到直线y=2n的距离等于2，点在直线y=2n+2或直线y=2n+2上；②当n>0时，当x<n时，y＝﹣x2+x+=，点到直线y=2n的距离等于2，点在直线y=2n+2或直线y=2n+2上．结合图像分别进行求解即可． 【详解】（1）解：当n=5时， ①将点P（4，b）代入y=-x2+x+， 得：， 解得：b=． ②当x≥5时，y=-x2+5x+5=-（x）2+， ∴当x=5时，该函数有最大值，最大值为5． 当x＜5时，y=-x2+x+=-（x-）2+ ∴当x=，该函数有最大值，最大值为． ∵5＜， ∴此函数的最大值为． （2）解：∵n＜0， ∴n＞n， ①当点Q在x轴上方时， 由题意，得OP=-n． ∵∠POQ=45°，∠OPQ=90°． ∴△POQ是等腰直角三角形． ∴-n=-（n）2+n·（）+n． 解得n1=0，n2=-． ∵n＜0， ∴n=-． ②当点Q在x轴下方时，同理可得 - 解得n1=0，n2=-． ∵n＜0， ∴n=-． 综上所述，n的值是-或-． （3）解：①当n<0时，当x>n时，y＝﹣x2+nx+n=， 点到直线y=2n的距离等于2，点在直线y=2n+2或直线y=2n+2上． ∴+n=2n+2 解得=2+2（舍去），=2-2． 把x=n代入y＝﹣x2+x+， 得：y=n，令n=2n+2， 解得n=- 当2-2<n<-时，此函数图象上有3个点到直线y=2n的距离等于2． ②当n>0时，当x<n时，y＝﹣x2+x+= 点到直线y=2n的距离等于2，点在直线y=2n+2或直线y=2n+2上． Ⅰ.令=2n-2． 解得：n=6+2（舍去），n=6-2． 把x=n代入y＝﹣x2+x+， 得y=n． 令n=2n-2， 解得：n= 当<n<6-2时，此函数图象上有3个点到直线y=2n的距离等于2． Ⅱ.， 解得：n=6+2 综上所述，2-2<n<或<n<6-2或n=6+2． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查二次函数的图象及性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会正确画出函数图象，利用图象法解决问题，难度大，属于中考压轴题． 57．(1)点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 (2) (3)或 【分析】（1）由抛物线，分别令，，则可确定抛物线与坐标轴的交点坐标，根据顶点坐标可确定点的坐标； （2）设轴于点，设，确定直线的解析式为，得到，继而得到，根据二次函数的最值可得结论； （3）确定直线的解析式为，然后分两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点，与轴交于点， 当时，得，解得：或， 当时，得， ∴，，， ∵抛物线的顶点为， ∴，即， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； （2）设轴于点，设， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵过点作轴的垂线，交直线于点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，线段的长度取得最大值，此时最大值为；    （3）设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ①如图， ∵， ∴， 设直线的解析式为，过点， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， 此时点的坐标为；    ②如图，设交于点，作射线交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴垂直平分， ∴点是的中点， ∴点的坐标是，即， 设直线的解析式为，过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵直线：与直线：交于点， 联立， 解得：， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， ∴解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或．    【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的最值，待定系数法确定函数解析式，平行线的判定，二次函数与一次函数的交点，等角对等边，中点坐标，垂直平分线的判定和性质等知识点．掌握二次函数的性质、确定二次函数与一次函数交点坐标的方法是解题的关键． 58．（1）2（2）（3）（4） 【分析】（1）利用圆与正多边形的性质分别计算两个正方形的面积可得答案； （2）如图，由，证明，再结合图形变换可得答案； （3）如图，将绕点逆时针旋转，可得在以为圆心，为半径的圆上运动，可得当与相切时，最大，再进一步解答即可； （4）如图，将沿对折，的对应点为，将沿对折，的对应点为，连接，再将沿方向平移，使与重合，如图，得，由（2）可得：，当三点共线时，最短，再进一步解答即可. 【详解】解：如图， ∵正方形，及圆为正方形的内切圆，为正方形的外接正方形， ∴设，， ∴，， ∴，， ∴大正方形面积是小正方形面积的2倍． （2）如图，∵， ∴，， ，， ∴， 如图， 结合图形变换可得：； （3）如图，∵将绕点逆时针旋转， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， ∵为圆外一个定点， ∴当与相切时，最大， ∴， ∴， 由（2）可得：， ∵，， ∴ ， ∴； （4）如图，将沿对折，的对应点为，将沿对折，的对应点为，连接， ∴，， 再将沿方向平移，使与重合，如图，得， 由（2）可得：， ∴当三点共线时，最短， ∵，， ∴，， ∴； ∴的最小值为； 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，平移的性质，旋转的性质，圆与正多边形的关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 59．(1)，理由见解析 (2)①最大值36， ② 【分析】本题考查切线的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质及扇形面积计算，熟知相关性质定理及公式是正确解决本题的关键. （1）根据全等三角形的判定与性质可得结论； （2）①当时，取得最大值，根据三角形面积公式可得答案；②当恰好与小半圆相切时，，然后根据直角三角形的性质及扇形面积公式可得答案． 【详解】（1）解： 理由：在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：①当时，取得最大值， 最大值， 在中， ， ∴； ②当恰好与小半圆相切时，， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 60．(1) (2)是，理由见解析 (3)15 【分析】本题考查正多边形的内角，等边三角形的性质与判定，圆周角定理； （1）运用多边形的内角和公式求出正五边形的内角和，根据每个内角都相等即可解答； （2）连接，，，，由题意可得：，，从而，都是等边三角形，得到，，由圆周角定理可得，，进而，即可得证是等边三角形；    （3）连接，，由圆周角定理得到，又由正五边形的中心角为可得，从而，因此． 【详解】（1）∵正五边形的内角和为：， 且每个内角都相等， ∴． （2）是等边三角形，理由： 连接，，，， 由题意可得：，， ∴， ∴，都是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （3）连接，， ∵，， ∴， ∵在正五边形中，中心角为， 即， ∴， ∴， ∴该正n边形的中心角为，则边数， ∴n的值是15． 61．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了圆内接正六边形，圆周角定理，切线性质，求三角形面积等知识点，熟练应用基本性质和定理是解题的关键． （1）连接，根据圆内接正六边形性质求出，进而由圆周角定理得出度数； （2）由切线性质得，在中，利用三角函数即可求解； （3）分别表达，再求和即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， 正六边形为的内接正六边形， 是的直径，， ， ； （2）与相切，是的直径， ， 正六边形为的内接正六边形， ， 在中，， ； （3）正六边形为的内接正六边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 62．(1) (2) (3) 【分析】（1）把△APB绕点A逆时针旋转得到，由旋转的性质可得证出是等边三角形，由等边三角形的性质求出，再由勾股定理逆定理求出，求出，即为∠APB的度数； （2）把△APB绕点A逆时针旋转得到，由旋转的性质可得，证出是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质求出，，再利用勾股定理逆定理求出 ，然后求出，即为∠APB的度数； （3）把△APB绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质，，可得， 过点A作于M，设与AF相交于N，证明 再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：如图2，把△APB绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质， ∴是等边三角形， ∴ ∵ ∴   ∴ 故； 故答案为：． （2）如图3，把△APB绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴， ∴， 故． （3）如图4，∵正六边形的内角为， ∴把△APB绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质，， ∴， 过点A作于M，设与AF相交于N， 设 则 ∴ ∴ 由旋转的性质可得：   ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，正六边形的性质，勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出直角三角形与全等三角形是解题的关键． 63．(1) (2)①  ②与相切，理由见解析  ③ 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，进而得到，利用勾勾股定理即可求出的长； （2）①计算出的圆心角，代入弧长公式即可解题；②过点O作于点F，根据角的直角三角形的性质可以得到，即可得到结论；③由旋转可以找到距离最大和最小位置，然后计算解题即可． 【详解】（1）解：连接， ∵边与相切于点C， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，    （2）①如图，连接、， 时，， ∵， ∴， ∴， ∴的长度为；    ②与相切，理由为： 过点O作于点F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与相切；    ③如图，当点、、三点共线时，最大，这时；    如图，当点在上时，最小，这时；    ∴在旋转过程中，h的取值范围为． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，弧长公式，旋转的性质，掌握圆的相关性质是解题的关键． 64．（1）4；（2）见解析；（3）存在， 【分析】本题考查了正方形的性质，圆的基本性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握相关性质是解题的关键． （1）以为直径作，连接，点和点在上，当为直径时，最长即可求解； （2）通过等边三角形的性质，证明，即可求证； （3）过点作的垂线并截取点使，如图，以点为圆心，为半径，作半圆， 则点在半圆上运动， 当三点共线时， ，此时长度取到最大值，即可求解． 【详解】解：（1）以为直径作，连接，如图： ∵是正方形， ∴， 又∵， ∴点和点在上， 当在一条直线上时，即为直径时，最长， ∵正方形边长为4， ∴； （2）∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）过点作的垂线并截取点使，如图，以点为圆心，为半径，作半圆， 则点在半圆上运动， 理由如下： 作，交半圆于点， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即且， ∴当点在上运动时，点在上运动， 连接，当三点不共线时， ， 当三点共线时， ，此时长度取到最大值， 即∶如图中，点在位置时，， ∵，， ∴，， ∴， 即最大值为． 65．(1) (2)①15゜≤∠CDE≤75゜② 【分析】（1）由△BEF是等腰直角三角形及勾股定理得BE的长； （2）①当DE分别为⊙B的切线时，∠CDE最大或最小，由BD=2BE1即可求得∠E1DB为30度，从而解决； ②延长DC到 ，使，连接BD，，首先可以证明，则可看成是△BDF绕点B顺时针旋转90度得到的，则；再证明∠DHC=90゜，取CD中点O，连接OH，将△APB绕点A顺时针旋转60゜得到，连接，当点H、P、、 四点共线时，PA+PB+PH=，再求出的长度即可解决． 【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形 ∴∠B=90゜ ∵BE=BF ∴△BEF是等腰直角三角形 由勾股定理得： 即 ∴ （2）①如图，连接BD 当DE分别为⊙B的切线时，∠CDE最大或最小 ∵BD为正方形的对角线 ∴ 当点E移动到位置时，∠CDE最小 在中，BD=2BE1 ∴ ∴ 当点E移动到位置时，∠CDE最大 同理可计算得 ∴15゜≤∠CDE≤75゜ ②延长DC到 ，使，连接BD，，如图 则是等腰直角三角形 ∴， ∵△BEF是等腰直角三角形 ∴ BF=BE，∠FBE=90゜ ∴ ∴ ∴可看成是△BDF绕点B顺时针旋转90度得到的 ∴ ∵G、C分别为DE、的中点 ∴GC为的中位线 ∴ ∴CG⊥DF 即∠DHC=90゜ 取CD的中点O，连接OH，则 将△APB绕点A顺时针旋转60゜得到，连接， ∴，， ∴是等边三角形，故有PA= ∵ ∴ 当点H、P、、 四点共线时，PH+PA+PB取得最小值，且最小值为 ∵ ∴是等边三角形 ∴ ， 连接OA、OB，则可得OA=OB ∵ ∴ ∴ ∴ 设交AB于点M，在中， ∴ ∴ 即PH+PA+PB最小值为 【点睛】本题是一个综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，找到临界状态及旋转△APB是问题的关键与难点． 66．[问题提出] 见解析 [问题探究]（1）；（2）①见解析；② 【分析】[问题提出]根据正方形的性质以及动点的路程相等，证明，根据同角的余角相等，即可证明，即； [问题探究] （1）当时，点M与点B重合，当时，点随之停止，求得运动轨迹为圆，根据弧长公式进行计算即可； （2）①根据（2）可得的外接圆的圆心O是斜边的中点，继而判断点、在同一个圆（）上；②当与相切时，与正方形的各边共有5个交点，如图5则有6个交点，所以“当与相切时”是临界情况．如图4，当与相切（切点为），连接，并延长交于点H，在中求得半径,进而勾股定理求得，即可求得当时，与正方形的各边共有6个交点． 【详解】[问题提出]四边形是正方形， ，， 又的运动速度都是， ， ， ， ， ， ， 即． [问题探究] （1）∵． ∴点M在以为直径的圆上，如图1，当时，点M与点B重合； 如图2，当时，点M为正方形对角线的交点．点的运动路径为圆，其路径长． 故答案为：． （2）①如图3．由前面结论可知：， ∴的外接圆的圆心是斜边的中点， 则， 在中，，是的中点． ∴， ∴， ∴点在同一个圆（）上， 即点在的外接圆上；． ②． 如图4，当与相切时，与正方形的各边共有个交点， 如图5则有个交点，所以“当与相切时”是临界情况． 如图4，当与相切（切点为），连接，并延长交于点． ∵AB与相切， ∴， 又∵， ∴， ， 设的半径为．由题意得： 在中，，解得， ∴， ∴，即， ∴如图5，当时，与正方形的各边共有个交点． 【点睛】本题考查了求弧长，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，三角形的外心，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键． 67．（1）7；（2）；（3） 【分析】（1）利用垂直平分线的性质和已知的三角形的周长计算即可； （2）在上截取，利用“SAS”证明，推出，判断出当时，取得最小值，利用等腰直角三角形的性质即可求解； （3）以为边，向左侧作等边，作外接圆⊙O，连接，则点在上⊙O，作点关于的对称点，连接、OP、，交于点，此时PQ+QD取得最小值，利用等边三角形的性质以及勾股定理即可求解． 【详解】（1）∵DE是BC的中垂线， ∴BE=EC， 则AB=EB+AE=CE+EA， 又∵△ACE的周长为11， 故AB=11-4=7， ∴直线DE上任意一点到A、C距离和最小为7． 故答案为：7． （2）如图，在上截取，连接BE和ME， ∵平分线交于点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ， 当时， 取得最小值， 即取得最小值， ∵，， 此时为等腰直角三角形， ∴， 即的最小值为， ∴的最小值为； （3）如图，以为边，向左侧作等边，作外接圆⊙O，连接，则点在上⊙O， 在中， ∵，，， ∴， ∵是等边三角形，且边长为180， ∴外接圆的半径， ∴∠OBA=30， ∴∠OBA+∠ABC=90， ∴， 作点关于的对称点，连接、OP、，交于点， 则， ， ∵， ， ， ∴， ∴的最小值为， 【点睛】本题考查了轴对称－最短路线的问题，涉及到全等三角形的判定和性质、正多边形和圆、等腰直角三角形、勾股定理等有关知识，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$