2024年江苏省连云港市中考数学真题变式题17-21题

1．计算． 2．计算：． 3．计算：． 4．计算： 5．计算： 6．计算． 7．计算：． 8．计算：． 9．计算：． 10．计算：． 11．计算： (1) (2)． 12．计算： (1)； (2)． 13．解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 14．解不等式，并在数轴上表示其解集． 15．解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 16．解不等式：． 17．解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 18．解不等式，并在数轴上表示解集． 19．解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 20．解不等式，并把它的解集表示在数轴上：． 21．解不等式: ，并把它的解集在数轴上表示出来. 22．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 23．（1）解不等式，并把解在数轴上表示出来． （2）解不等式：． 24．解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上： (1) (2) 25．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)； (3)． 26．下面是某同学计算的解题过程： 解：① ② ③ 上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程． 27．化简：． 圆圆的解答如下： 圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答． 28．化简：． 方方的解答如下： 原式 方方的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程． 29．某学生化简分式出现了错误，解答过程如下： 解：原式   （第一步）   第二步） ．（第三步） (1)该学生解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ； (2)请写出此题正确的解答过程． 30．老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下： 甲同学：               第一步 第二步     第三步      乙同学： 第一步 第二步 第三步 老师发现这两位同学的解答都有错误：甲同学的解答从第_____ 步开始出现错误；乙同学的解答从第_____ 步开始出现错误；请重新写出完成此题的正确解答过程． 31．化简  圆圆的解答过程如下： 解： 圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答． 32．下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应问题．         第一步             第二步             第三步             第四步                 第五步                      第六步 (1)填空： ①以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据是 ； ②第    步开始出现错误，这一步错误的原因是            ； (2)请直接写出该分式化简后的正确结果： ． 33．阅读下列分式的计算过程，请你观察和思考，并回答所提出的问题． 计算： （第一步）， （第二步）， （第三步）． (1)该同学在计算中，第一步用的数学算理是____________； (2)上述计算过程是从第______步开始出现错误，错误的原因是____________； (3)请你直接写出该分式计算正确的结果是____________． 34．阅读下列解题过程，回答问题． 化简：． 解：原式……① ……② ……③ ……④ (1)以上计算过程从第______步开始出现错误； (2)从②步到③步应用同分母分式加减法的法则：分母______，把分子______； (3)化简后正确的结果是____________． 35．下面是小康同学进行分式化简的过程，请你认真阅读并完成相应的任务：         （第1步）         （第2步）         （第3步）         （第4步）         （第5步）         （第6步） 任务： (1)以上化简过程中，第______步是分式的通分，通分的依据是______． (2)以上化简过程中，有一处出现了错误，这一步是第______步，错误的原因是______，并直接写出正确的结果：_______． (3)除纠正上述错误外，就分式化简的过程还需要注意的一些事项，请给同学们提出一条合理化建议． 36．如图，与相交于点，，． (1)求证：； (2)用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形，使得点M在上，点N在上．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 37．如图，已知，求作：菱形，使得D在上，E在上，F在上．    要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． 38．如图，在中，平分，交于点D，请用尺规作图法在边上分别确定点E、F，连接，使得四边形是菱形．（不写作法，保留作图痕迹） 39．尺规作图：如图，已知线段，求作一个菱形，使为菱形的一条对角线（不写作法，保留作图痕迹）。 40．如图，在中，．请用尺规作图法，在外求作一点，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 41．如图是小军在数学活动课上利用尺规作图作出的痕迹，但作图步骤缺失，根据小军回忆，已知图中．请根据作图痕迹，完成下列任务．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，且，求的长． 42．如图，在中，D，E分别是边，的中点．    (1)求作：平行四边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图形中，若，，，求证：四边形是菱形． 43．在中，      (1)若，如图1，点、分别是边、的中点，，，求的长； (2)若，如图2，点、分别是边、的中点，请仅用无刻度的直尺在图2中画一个以为边的菱形．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 44．如图，在等边中，．    (1)求作：以为一个内角的菱形，使顶点在边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)求菱形的周长． 45．如图，，E是的中点，平分，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作等腰三角形，其中． (2)在图2中作菱形． 46．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，且点、、B在同一直线上．请仅用无刻度的直尺完成以下作图．    (1)在图1中，作出一个以为边的等边三角形； (2)在图2中，作出一个菱形． 47．如图，四边形是平行四边形． (1)尺规作图，作的垂直平分线，交于点E，交于点F（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，求证：四边形是菱形； (3)若，，，求菱形的周长． 48．如图，中，，为边上中线，点E为的中点，点F在的延长线上，且，连接．    (1)依题意补全图形； (2)求证四边形是菱形； (3)若，求四边形ADCF的面积． 49．为了解七年级男生体能情况，某校随机抽取了七年级20名男生进行体能测试，并对测试成绩（单位：分）进行了统计分析： 【收集数据】 100    94    88    88    52    79    83    64    83    87 76    89    91    68    77    97    72    83    96    73 【整理数据】 该校规定：为不合格，为合格，为良好，为优秀．（成绩用表示） 等次 频数（人数） 频率 不合格 1 0.05 合格 a 0.20 良好 10 0.50 优秀 5 b 合计 20 1.00 【分析数据】 此组数据的平均数是82，众数是83，中位数是c； 【解决问题】 (1)填空：__________，__________，__________； (2)若该校七年级共有300名男生，估计体能测试能达到优秀的男生约有多少人？ (3)根据上述统计分析情况，写一条你的看法． 50．每年4月7日为世界卫生日，我校组织了七年级全体名学生进行健康知识学习并测试，现随机抽取其中名学生的测试成绩，并整理成如下频数分布表： 成绩x/分 人数 2 4 8 6 其中测试成绩在这一组的是：，，，，，，，． (1)被抽取的名学生的测试成绩的中位数是______，这一组的组中值是______； (2)若成绩在分以上（含分）的记为优秀，请用统计的知识估计七年级测试成绩优秀的学生人数． 51．课外活动，甲、乙、丙、丁四位同学进行乒乓球单循环赛，比赛分六场进行，每场采用“7局4胜制”．表是他们比赛后的成绩统计表，表中①与②表示同一场比赛的比分（①是指甲以0：4负于丁，②是指丁以4：0胜于甲），其余场次记法相同． 甲 乙 丙 丁 甲 ① 乙 丙 丁 ② (1)问这次比赛谁是冠军，说明理由； (2)求这六场比赛每场进行的总局数的中位数和众数． 52．学校组织“四大名著”知识竞赛，每班派20名同学参加，成绩分为，，，四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分．现将八年级1班和2班的成绩整理如下： (1)填写表格； 班级 平均数 众数 中位数 八年级1班 ______分 90分 ______分 八年级2班 92分 ______分 90分 (2)结合（1）中的统计量，你认为哪个班级的竞赛成绩更加优秀？请说明理由． 53．2024年3月22日是第三十二届“世界水日”，某学校组织开展主题为“节约用水，爱护资源”的社会实践活动．甲小组同学在两个小区各随机抽取30户居民，统计其3月份的用水量，分别将两个小区的居民用水量 (单位：)分为5组，并对数据进行整理、描述和分析，得到如下信息： 信息一：小区 3 月份用水量频数分布表 用水量 频数(户数) 4 10 9 4 3 信息二：两小区3月份用水量数据的平均数和中位数如下： 小区 小区 平均数 9.5 9.0 中位数 9. 2 a 信息三：小区3月份用水量频数分布直方图    信息四：小区3月份用水量在第三组的数据为： 9， 9.4， 9.7， 9.6， 10， 10.2， 10.4，9.5， 9.6， 10.6； 根据以上信息，回答问题： (1) ； (2)若小区共有 800户居民，小区共有750户居民，估计两个小区3月份用水量不低于的总户数； (3)请写出一条节约用水的建议． 54．某校从七、八年级分别随机抽取50名同学，对这些同学的体育测试成绩（单位：分）进行统计分析，统计结果如下表：抽取的七、八年级体育测试成绩统计表 等级 体育测试成绩x/分 组中值 七年级人数 八年级人数 A 95 18 20 B 85 6 7 C 75 19 8 D 65 7 15 (1)被抽取的七年级学生体育成绩的中位数落在哪一等级？ (2)选择合适统计量，说明哪个年级的学生体育测试成绩更好？ (3)该校七、八年级分别有1200名，800名学生，小明估计这两个年级体育成绩等级为A的学生总人数约为（人）．你赞同小明的估计方法吗？若赞同，请说明理由；若不赞同，请给出你的估计方法． 55．某校为加强对防溺水安全知识的宣传，组织全校学生进行“防溺水安全知识”测试，测试结束后，随机抽取50名学生的成绩，整理如下：成绩的频数分布表： 成绩分 频数 3 4 a 7 20 在这一组的成绩（单位：分）分别为． 根据以上信息回答下列问题： (1)求的值； (2)若本校700名学生同时参加本次测试，请估计成绩不低于80分的人数． (3)小南同学在这次测试中的成绩是82分，结合上面的数据信息，他认为自己的成绩应该属于中等偏上水平，你认为他的判断是否正确？并说明理由． 56．为了了解学生对党的二十大精神的学习领会情况，某校团委从七，八年级各随机抽取20名学生进行测试，获得了他们的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．八年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分为4组：）．   b．八年级学生成绩在这一组的是： 81  83  84  84  84  86  89 c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七 83.1 88 89 八 83.5 m 84 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m的值； (2)七年级学生小亮和八年级学生小宇的成绩都是86分，这两名学生在本年级成绩排名更靠前的是________（填“小亮”或“小宇”），理由是________； (3)成绩不低于85分的学生可获得优秀奖，假设该校八年级300名学生都参加测试，估计八年级获得优秀奖的学生人数． 57．某市民用水拟实行阶梯水价，每人每月用水量中不超过w吨的部分按4元/吨收费，超出w吨的部分按10元/吨收费，该市随机调查居民，获得了他们3月份的每人用水量数据，绘制出如图不完整的两张统计图表：请根据以下图表提供的信息，解答下列问题： 表1 组别 月用水量x吨/人 频数 频率 第一组 100 0.1 第二组 n 第三组 200 0.2 第四组 m 0.25 第五组 150 0.15 第六组 50 0.05 第七组 50 0.05 第八组 50 0.05 合计 1 (1)观察表1可知这次抽样调查的中位数落在第_______组，表1中m的值为_________，n的值为_______；表2扇形统计图中“用水量”部分的的圆心角为___________． (2)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在3月份的每人用水价格为4元/吨，w至少定为多少吨？ (3)利用（2）的结论和表1中的数据，假设表1中同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，估计该市居民3月份的人均水费． 58．某校组织学生参加“防疫卫生知识竞赛”（满分为100分）．竞赛结束后，随机抽取甲、乙两班各40名学生的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． 信息1：甲、乙两班40名学生数学成绩的频数分布统计表     成绩班级 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100 甲 4 11 13 10 2 乙 6 5 15 12 2 （说明：80分及以上为优秀，70～79分为良好，60～69分为合格，60分以下为不合格） 信息2：在70≤x＜80这一组的甲班学生数学成绩是： 70  70  70  71  74  75  75  75  76  76  76  76  78 信息3：甲、乙两班成绩的平均分、中位数、众数统计表 班级 平均分 中位数 众数 甲 74.2 n 85 乙 73.5 73 84 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中n的值等于 ； (2)在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属班级排在前20名，由表中数据可知该学生是 班的学生（填“甲”或“乙”），请给出确定该学生所在班级的理由； (3)若该校1200名学生都参加此次竞赛，请估计成绩优秀的学生人数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1． 【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂，先进行去绝对值，零指数幂和开方运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 2．1 【分析】先根据零指数幂的运算法则计算出的值，再算乘法，最后算加法即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查的是零指数幂及有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 3． 【分析】本题主要考查有理数的加法及绝对值的化简，解题的关键是熟练掌握法则及绝对值的性质． 利用有理数的加法法则及绝对值的性质化简，再进行计算即可． 【详解】解：原式 故答案为：9． 4． 【分析】先求绝对值和算术平方根，再加减． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根，正确进行绝对值和算术平方根的计算是求解本题的关键． 5． 【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项化为最简二次根式，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 【点睛】此题考查了零指数幂，二次根式的化简，绝对值的化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 6． 【分析】先根据绝对值、零次幂、算术平方根进行化简，然后再计算即可． 【详解】解：， ， ． 【点睛】本题主要考查了实数的运用，掌握绝对值、零次幂、算术平方根是解答本题的关键． 7． 【分析】本题考查实数的混合运算，先进行乘方，零指数幂，开方运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 8．1 【分析】先计算绝对值、算术平方根、零指数幂，再进行加减混合运算即可． 【详解】解： 【点睛】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 9． 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算零指数幂，开方和乘方运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 10． 【分析】先化简绝对值，零指数幂，有理数的乘方，再进行计算即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握化简绝对值，零指数幂，有理数的乘方是解题的关键． 11．(1)0 (2) 【分析】（1）先计算立方根和平方根，再计算加法； （2）先计算平方根和绝对值，再计算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了运用平方根、立方根和绝对值的混合运算能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 12．(1)1 (2) 【分析】本题主要考查实数的混合运算： （1）原式分别化简，，，然后再进行加减运算即可得到答案； （2）原式分别化简，，，然后再进行加减运算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．，图见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，根据去分母，去括号，移项，合并同类项可得不等式的解集，然后再在数轴上表示出它的解集即可. 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 解得． 这个不等式的解集在数轴上表示如下：    14．，数轴表示见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，先根据去括号、移项、合并后系数化为1后即可得出不等式的解集，然后在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解：， 去括号得，， 移项得，， 合并得，， 系数化为1，得：， 在数轴上表示如下： 15．，数轴表示见详解 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 本题中先移项，合并同类项，把x的系数化为1，再把不等式的解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解： ， 解得：， ∴原不等式的解集为：， 在数轴表示为： ． 16． 【分析】本题考查解一元一次不等式，题目比较简单，注意最后的系数化1，不等式的两边同时除以一个负数，要改变不等号的方向．先去括号、再移项，然后合并同类项，最后系数化1求得不等式的解集． 【详解】解： ． 17．，数轴见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示解集．根据解一元一次不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行求解，最后把解集在数轴上表示． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 这个不等式的解集在数轴上表示为： 18．，数轴见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力及在数轴上表示不等式的解集．根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项，系数化为1解出解集，再在数轴上表示即可． 【详解】解：， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 在数轴上表示： ． 19．，数轴见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．不等式的解集在数轴上表示时，空心圈表示不包含该点，实心点表示包含该点．先求出不等式的解集，再画数轴表示即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图， 20．，作图见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式的知识；先去分母、去括号，再移项、合并同类项，系数化为1即可求出不等式的解集，再在数轴上表示出此解集即可得到答案． 【详解】去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化1，得：； 数轴表示解集如图： ． 21．，数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把的系数化为1，再把不等式的解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 22．(1)． (2)． 【详解】（1）去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示． （2）去分母，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示． 23．（1）；（2） 【详解】本题考查求不等式的解集，并用数轴表示出解集： （1）去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，进而在数轴上表示出解集即可； （2）去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，进而在数轴上表示出解集即可； 【解答】解：（1）， ∴， ∴， ∴， ∴； 将不等式的解集表示在数轴上如下： （2）， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．(1)，见详解 (2)，见详解 【分析】本题主要考查解一元一次不等式以及在数轴上表示出解集. （1）先求出不等式的解集，然后根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则在数轴表示解集． （2）先求出不等式的解集，然后根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则在数轴表示解集． 【详解】（1）解： ， 数轴表示如下： （2） 数轴表示如下：    25．(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 (3)，数轴表示见解析 【详解】（1）去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示． （2）移项，得． 合并同类项，得， 系数化为1，得． 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示． （3）去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得 系数化为1，得． 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示． 26．从第②步开始出现错误，正确过程见解析 【分析】本题考查异分母分式的加减运算，先通分，然后分母不变，分子相减，最后将结果化为最简分式即可．掌握相应的计算法则，是解题的关键． 【详解】解：从第②步开始出现错误． 正确的解题过程为： 原式． 27．圆圆的解答不正确，正确解答过程见解析 【分析】本题考查异分母分式的减法，根据异分母分式的减法运算法则计算即可． 【详解】解：圆圆的解答不正确，正确解答过程如下： 原式 ． 28．方方的解答错误，正确结果为． 【分析】根据分式的基本性质和去括号法则进行分析判断，然后化简即可． 【详解】方方的解答错误，正确解答如下： 原式 ．． 【点睛】本题考查分式减法运算，理解分式的基本性质，掌握分式减法运算法则是解题关键． 29．(1)一，通分时，去分母了 (2) 【分析】此题考查了异分母分式的加减运算，解题的关键是掌握异分母分式的加减运算法则． （1）根据分式的运算法则即可求出答案； （2）根据分式的运算法则求解即可 【详解】（1）根据题意可得， 该学生解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是通分时，去分母了； （2） ． 30．见解析 【分析】甲第二步通分错误；乙第二步分母丢掉，所以错误；再根据分式的混合运算顺序和运算法则化简可得． 【详解】解：甲同学的解答从第二步开始出现错误；乙同学的解答从第二步开始出现错误； 正确解答过程： 原式 ． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 31．圆圆的解答不正确，正确的解答见解析 【分析】直接利用分式的加减运算法则计算，进而得出答案． 【详解】解：圆圆的解答不正确， 正确的解答： ． 【点睛】此题主要考查了分式的加减法，正确掌握相关运算法则是解答本题的关键． 32．(1)①三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；②五；括号前是“”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号； (2)． 【分析】（1）①根据分式的通分的定义进行判定即可得出答案；②根据去括号的法则即可得到第五步出现错误； （2）应用分式的加减运算法则进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：①根据题意，以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的性质； 故答案为：三，分式的性质； ②第五步出现错误，出现错误的原因是括号前是“”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号 故答案为：五；括号前是“”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号； （2）解： ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分式加减运算，熟练掌握分式加减运算的法则进行求解是解决本题的关键． 33．(1)分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式值不变 (2)二；丢失了分母 (3) 【分析】（1）利用分式的基本性质可得； （2）利用分式的加减法则判断即可； （3）先通分，再算减法，再化简可得结论． 【详解】（1）解：该同学在计算中，第一步用数学算理是分式的基本性质： 分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式值不变； （2）上述计算过程是从第二步开始出现错误， 错误的原因是：丢失了分母； （3） 【点睛】本题考查分式的加减，分式的基本性质等知识，解题的关键是掌握分式的基本性质，属于中考常考题型． 34．(1)③； (2)不变；相加减 (3) 【分析】本题考查异分母分式加减法，解决本题的关键是能对原分式分母、分子进行因式分解，并进行约分，将异分母分式化为同分母分式，再按照同分母分式的加法计算即可． （1）根据分式加法运算法则进行分析判断； （2）根据同分母分式加减法运算法则分析填空； （3）根据异分母分式加减法法则计算求解． 【详解】（1）解：以上计算过程从第③步开始出现错误， 故答案为：③； （2）解：从②步到③步应用同分母分式加减法的法则：分母不变，把分子相加减， 故答案为：不变；相加减； （3）解：． ． 35．(1)3；分式的基本性质 (2)6；去括号时，括号里的第二项没有乘3； (3)分式化简的结果要化成最简分式或整式等 【分析】此题考查的是分式的运算法则，正确的按照化简和运算法则进行运算是解决此题关键． （1）根据分式通分的步骤进行判断即可； （2）根据去括号法则解答，按照分式的化简步骤重新计,即可； （3）分式化简的结果要化成最简分式或整式等． 【详解】（1）解：以上化简过程中，第3步是分式的通分，通分的依据是分式的基本性质， 故答案为：3，分式的基本性质； （2）解：以上化简过程中，有一处出现了错误，这一步是第6步，错误的原因是去括号时，括号里的第二项没有乘3， 正确的解答过程如下： ； （3）解：答案不唯一，如：分式化简的结果要化成最简分式或整式等． 36．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的性质得到，结合，利用即可证明； （2）作的垂直平分线，分别交于点，连接即可． 【详解】（1）证明：， ，． 在和中，， ； （2）解：是的垂直平分线， ， 由（1）的结论可知，, 又∵, 则, ∴ ， 是的垂直平分线， ， ， 四边形是菱形， 如图所示，菱形为所求． 【点睛】本题考查了垂直平分线的作法，平行线的性质，三角形全等的判定，菱形的判定，熟练掌握垂直平分线的作法及三角形全等的判定定理是解题的关键． 37．见解析 【分析】作的平分线，再作的垂直平分线得到，则，，由于平分，，所以，则可判断四边形为菱形． 【详解】解：如图，四边形为所作；   ． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定． 38．见解析 【分析】本题考查线段垂直平分线尺规作图，菱形的判定方法，作线段的垂直平分线交边分别于点E、F，即可得到菱形，熟练掌握菱形判定方法是关键． 【详解】解：作线段的垂直平分线交边分别于点E、F，连接，则四边形是菱形， 故四边形即为所求， 理由如下： 由已知得：， 在中，平分， ， ， ， ， ， 四边形是菱形． 39．见解析 【分析】作AC的垂直平分线，垂足为O，然后截取OB=OD即可； 【详解】解：如图所示，四边形即为所求作的菱形； 【点睛】本题考查菱形的判定，尺规作图，解题关键是利用垂直平分线的性质去解题. 40．作图见详解 【分析】分别以为圆心，为半径画弧，两弧相交于点，则，所以四边形是菱形． 【详解】解：如图所示， ∵分别以为圆心，为半径画弧，两弧相交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，即点是所求作的点． 【点睛】本题主要考查菱形的判定、等腰三角形的判定，掌握菱形的判定条件“四条边都相等的四边形是菱形”是解题的关键． 41．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由作图方法可知，是线段的垂直平分线，，则，，进而得到 ，再由平行线的性质推出，可得，由此即可证明四边形是菱形； （2）由菱形的性质可得，，进而证明是等边三角形，得到，求出，则，即可利用勾股定理得到． 【详解】（1）证明：由作图方法可知，是线段的垂直平分线，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 42．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）以点为圆心、长为半径画弧，交延长线于点，再连接即可得； （2）先根据三角形中位线定理可得，再根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，根据平行线的性质可得，然后根据菱形的判定即可得证． 【详解】（1）解：如图，平行四边形即为所求．    （2）证明：∵在中，分别是边，的中点，且， ， ，， ， 是直角三角形，且， 又， ， ， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、三角形中位线定理、勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握平行四边形和菱形的判定是解题关键． 43．(1) (2)见解析 【分析】（1）连接，过点作于点，则是等腰直角三角形，由勾股定理可得，从而得到，再由勾股定理可得，最后由三角形中位线定理即可得到答案； （2）连接相交于点，则，连接，延长交于，连接，延长交于，连接即可． 【详解】（1）解：连接，过点作于点，   ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， 在中， ， 点、分别是边、的中点， 是的中位线， ； （2）解：如图2中，四边形即为所求，    ． 【点睛】本题主要考查了作图—无刻度直尺作图，等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、矩形的性质、菱形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质、三角形中位线定理、矩形的性质、菱形的性质，是解题的关键． 44．(1)见解析 (2)24 【分析】（1）作的角平分线交于点，作线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，即可； （2）利用三角形中位线定理解决问题即可． 【详解】（1）解：（1）如图，作的角平分线交于点，作线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，， 垂直平分， ， 平分，是等边三角形， ， ， 又, ， ， ， 四边形为菱形， 四边形即为所求；    （2）解：由作图可知，， ， ， 是等边三角形， ， 是的中位线， ， 菱形的周长为24． 【点睛】本题考查作图复杂作图，等边三角形的性质，菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 45．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质及菱形的判定， （1）延长交的延长线于点F，则即为所求； （2）延长交的延长线于点N，连接并延长交的延长线于点M，连接，则四边形即为所求菱形； 【详解】（1）解：延长交的延长线于点F，则即为所求； ， ， 平分， ， ， ； （2）延长交的延长线于点N，连接并延长交的延长线于点M，连接，则四边形即为所求菱形， ， E是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， 是菱形； 46．(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了旋转性质，等边对等角，菱形的判定，全等三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据旋转，得，结合三角形内角和，得出，即可作答． （2）先得到对角线互相垂直，再证明，得出对角线互相平分，即可证明四边形是菱形进行作答． 【详解】（1）解：是等边三角形，即为所求，理由如下： 如图，延长交于一点D，    ∵，，将绕点C顺时针旋转得到， ∴ ∴ ∴ ∴是等边三角形； （2）解：四边形是菱形，即为所求，理由如下： 过点D作平行于交的延长线于一点，即为点E，连接，如图：    由（1）知是等边三角形，且 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴四边形是菱形． 47．(1)见解析 (2)见解析 (3)8 【分析】（1）根据垂直平分线的作法作图即可； （2）证明，得到，利用平行四边形的性质得到，结合，从而证明菱形； （3）根据勾股定理的逆定理得到，，利用勾股定理求出，根据菱形的性质可得结果． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形； （3）∵，，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴菱形的周长为． 【点睛】本题考查作图-基本作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 48．(1)见解析 (2)见解析 (3)96 【分析】（1）根据题中作； （2）根据“邻边相等的平行四边形是菱形”进行证明； （3）先进行面积转化，再求解． 【详解】（1）解：如图：    （2）证明：∵为边上中线， ∴， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴为菱形； （3）解：∵为边上中线， ∴， ∵， ∴， ∵，E为的中点，    ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查了复杂作图，掌握菱形的判定定理及图形的面积转化,解题的关键是合理利用已知条件进行推理计算． 49．(1)4，0.25，83 (2)75人 (3)男生体能状况良好 【分析】本题考查频数分布表和用样本估计总体： （1）利用频数=频率×数据总数可求出a的值；利用频率=频数÷数据总数可求出b，最后根据中位数定义可求出c； （2）用样本估计总体可得结论； （3）结合分析，得出看法 【详解】（1）解：； ； 把20个数据按从小到大的顺序排列为：52，64，68，72，73，76，77，79，83，83，83，87，88，88，89，91，94，96，97，100， 最中间的两个数据为83，83， 所以，， 故答案为：4，0.25，83； （2）解：（人） 答：估计体能测试能达到优秀的男生约有75人； （3）解：从样本的平均数、中位数和众数可以看出，男生整体体能状况良好 50．(1)85，85 (2)280 【分析】（1）根据中位数是指一列数据，按大小进行排列后，排列序号是最中间的那个数字，如果数据有偶数个，那取中间两个数值的平均值，组中值是指数据分组后，小组的两个端点的数的平均数； （2）利用样本中“优秀”所占的百分比估计总体中“优秀”所占的百分比，进而求出全年级“优秀”的学生人数． 【详解】（1）解：这一组的组中值是， ∵由样本数据得中间位置的第个，第个数据分别是，， ∴中位数是， 故答案为，． （2）∵若成绩在分以上（含分）的记为优秀， ∴优秀率， ∴七年级测试成绩优秀的学生人数为人． 【点睛】本题考查频数分布表，中位数、组中值，样本估计总体， 理解组中值、中位数的意义，掌握组中值、中位数的计算方法是正确解答的前提． 51．(1)丙是冠军，理由见解析； (2)中位数是5，众数是4． 【分析】本题考查了看图分析能力和对中位数和众数的概念的理解，要求从题目所给表中得到问题所需要的信息．众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数．中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或）叫做这组数据的中位数． （1）通过对表格的分析，分别记录甲、乙、丙、丁胜利场次的数目，从得到的场次信息来确定谁胜的场次最多为冠军， （2）记录每次比赛所进行的局数得到一组数据，从这组数据中通过中位数和众数的定义求得中位数和众数． 【详解】（1）解：甲胜1场，乙胜0场，丙胜3场，丁胜2场，所以丙是冠军； （2）解：每场进行的总局数是4、6、6、4、7、4； 对局数进行从小到大的排列即4、4、4、6、6、7 由此可知：中位数是5． 众数是4． 52．(1)90，90，100； (2)2班的竞赛成绩更加优秀. 【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的计算方法分别进行计算，即可得出答案； （2）从平均数、众数、中位数方面进行分析，即可得出答案． 【详解】（1）（1）八1班的平均数为：（分） 因为共有20个数，把这些数从小到大排列，中位数是第10、11个数的平均数， 则中位数是(分)， 因为八2班A级人数所占的比例比较大，所以2班的众数是100分； 故答案为：90，90，100； （2）解：因为1班、2班的中位数相等，但从平均数和众数两方面来分析，2班比1班的成绩更加优秀， 所以2班的竞赛成绩更加优秀． 【点睛】本题考查统计问题，涉及统计学相关公式，中位数、平均数和众数等知识，属于中等题型． 53．(1)9.2 (2)130户 (3)见解析 【分析】本题考查了中位数、由样本估计总体、频数分布表，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据中位数的定义计算即可得解； （2）用乘以小区3月份用水量不低于的户数所占百分比，加上乘以小区3月份用水量不低于的户数所占百分比即可得出答案， （3）根据每户的用水量，实行阶梯收费． 【详解】（1）解：将小区户居民月份用水量数据按照从小到大的顺序排列，排在第和个的是，， ； （2）解：样本种，小区3月份用水量不低于的户数共有户，小区3月份用水量不低于的户数共有户， （户）， 估计两个小区3月份用水量不低于的总户数为户； （3）解：根据每户的用水量，实行阶梯收费；将水进行二次利用，例如用淘米水洗菜、养鱼水浇花、洗菜水拖地，拖地水还可以用来冲洗厕所等（答案不唯一，合理即可）． 54．(1)C组 (2)A级率，八年级的成绩A级率高于七年级的成绩A级率（答案不唯一） (3)不赞同，见详解 【分析】本题考查了频数分布表、中位数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，熟练掌握知识点． （1）共计50人，则中位数为第25和26名同学的成绩平均数，将数据排列后得第25和26名同学的成绩落在C组； （2）从A级率的角度考虑，八年级的成绩A级率为，七年级的成绩A级率为，故八年级的成绩A级率高于七年级的成绩A级率； （3）据样本估计总体：（人）． 【详解】（1）解：共计50人，则中位数为第25和26名同学的成绩平均数， 将数据排列后得第25和26名同学的成绩落在C组； （2）解：A级率，八年级的成绩A级率高于七年级的成绩A级率， 八年级的成绩A级率为，七年级的成绩A级率为，故八年级的成绩A级率高于七年级的成绩A级率； （3）解：不赞同，据样本估计总体：（人）， 答：两个年级体育成绩等级为A的学生总人数约为752人． 55．(1) (2)估计成绩不低于8的有378人 (3)不正确，见解析 【分析】本题主要考查了中位数，用样本数据百分比估计总体以及频数统计表，熟练掌握用样本数据百分比估计总体以及频数统计表是解题的关键． （1）用50减去各小组成绩即可得解； （2）用700乘以成绩不低于80分人数所占比即可得解； （3）求出中位数比较即可得解； 【详解】（1）解：； （2）解： （人）． 答：估计成绩不低于8的有378人． （3）解：不正确． 理由：∵将这组数据从小到大排序后，处于中间的两个数为第25，26个，分别为83和84， ∴成绩的中位数为，中位数反映成绩的中等水平， ∵， 小南同学在这次测试中应该处于中等偏下的水平．其说法不正确． 56．(1)83.5； (2)小宇，理由见解析； (3)105人． 【分析】（1）结合题意，根据中位数的意义解答即可； （2）根据中位数的意义，比较七、八年级的中位数即可得出答案； （3）先算出样本中成绩不低于85分的比例，再乘以300即可得到答案． 【详解】（1）八年级一共有20名同学，中位数是成绩数据由小到大排列后第10，11个数据分别为83、84 故中位数； （2）小宇； 理由：小亮的成绩为86分低于七年级学生成绩的中位数88分，故小亮的成绩低于七年级一半的学生成绩；小宇的成绩为86分高于八年级学生成绩的中位数83.5分，故小宇的成绩高于八年级一半的学生成绩，所以学生小宇的成绩在本年级排名更靠前； （3）（人）， 估计八年级获得优秀奖的学生有105人 【点睛】本题考查频数分布直方图，平均数，中位数众数的意义和用样本估计总体，准确理解这些概念是解题的关键． 57．(1)四##0.15##250##72° (2)3 (3)8.8元 【分析】（1）用1减去其余七个小组的频率得到n值为0.15；用第一组的频数与频率求出这次随机抽查总人数为1000人，用总人数1000乘0.25求出m值为250人；用1000乘n值0.15得到第二组人数为150人，根据前三组人数和与前四组人数和推出中位数落在第四组； （2）前五组人数和超过80%，w值确定在第五组最高值3吨； （3）总水费等于除以总人数1000得到人均水费，总水费为4元/吨的部分总水费与10元/吨的部分总水费的和，每部分总水费等于水总吨数乘以单价，每部分水总吨数等于各组人均吨数乘以人数． 【详解】（1）n=1-(0.1+0.2+0.25+0.15+0.05+0.05+0.05)=0.15， （人）， （人） ， （人）， ∵100+150+200=450<500，100+150+200+250=700>501， ∴第500与第501个数在第四组，中位数落在第四组； 故答案为，四；0.15；250；72°； （2）∵0.1+0.15+0.2+0.25+0.15=0.85=85%>80%， ∴为使80%以上居民在3月份的每人用水价格为4元/吨，w至少定为3吨； （3）（元）． 答：估计该市居民3月份的人均水费为8.8元． 【点睛】本题考查了阶梯计费，频数与频率，中位数，熟练掌握分段阶梯计费意义，超出部分意义，频数与频率的定义中位数定义和算法，是解决此类问题的关键． 58．(1)74.5 (2)乙，理由见解析 (3)390 【分析】（1）根据中位数的定义求解即可； （2）根据这名学生的成绩为74分，分别与甲班样本数据的中位数74.5分，乙班样本数据的中位数73分比较可得； （3）理由样本估计总体的思想求解 ． 【详解】（1）解：∵4+11=15，4+11+13=28， ∴甲班学生成绩的中位数在70≤x＜80组里， ∵这组数据的中位数是第20、21个数据的平均数， ∴中位数为， 故答案为：74.5； （2）∵这名学生的成绩为74分，小于甲班样本数据的中位数74.5分，大于乙班样本数据的中位数73分， ∴这名学生是乙班的． （3）(人)． 【点睛】本题考查了频数分布表、中位数即样本估计总体，根据表格得出所需要的数据、掌握中位数的定义、样本估计总体的思想是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$