2024年广东省中考数学真题变式题21-23题

1. 综合与实践 【主题】滤纸与漏斗 【素材】如图1所示： ①一张直径为的圆形滤纸； ②一只漏斗口直径与母线均为的圆锥形过滤漏斗． 【实践操作】 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中． 【实践探索】 （1）滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． （2）当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留） 【答案】（1）能，见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆锥，解题的关键是： （1）利用圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长求出圆锥展开图的扇形圆心角，即可判断； （2）利用圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长，求出滤纸围成圆锥形底面圆的半径，利用勾股定理求出圆锥的高，然后利用圆锥体积公式求解即可． 【小问1详解】 解：能， 理由：设圆锥展开图的扇形圆心角为， 根据题意，得， 解得， ∴将圆形滤纸对折，将其中一层撑开，围成圆锥形，此时滤纸能紧贴此漏斗内壁； 【小问2详解】 解：设滤纸围成圆锥形底面圆的半径为，高为， 根据题意，得， 解得， ∴， ∴圆锥的体积为． 2. 圆锥的底面直径是，母线长．求它的侧面展开图的圆心角和圆锥全面积． 【答案】圆心角，圆锥全面积为 【解析】 【分析】圆锥的全面积是底面圆面积与侧面扇形的面积之和，侧面圆心角所对的弧长与所对整圆周长成比例，由此即可求解． 【详解】解：已知，， ∴， 底面圆的周长， 圆锥侧面积， 圆锥底面积， 圆锥全面积． 圆心角． 【点睛】本题主要考查圆锥的侧面的圆心角，圆锥的全面积的计算，掌握扇形圆心角的计算，圆锥全面积的计算是解题的关键． 3. 如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径，圆心角， 求此圆锥高的长度. 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥底面圆的半径为，根据圆锥侧面展开图的扇形的弧长=底面圆的周长求出底面圆的半径，再根据勾股定理即可求出结果. 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为， ∵， ∴的长， ∴，即：， 在中，， 根据勾股定理得，. 【点睛】本题考查了圆锥的相关知识，正确理解圆锥的侧面展开图的弧长与其底面圆的半径的关系是解题的关键. 4. 如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，求这个圆锥侧面展开图的圆心角． 【答案】这个圆锥侧面展开图的圆心角为 【解析】 【分析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解． 【详解】解：圆锥侧面展开图的弧长是：， 设圆心角的度数是度，则， 解得：， 这个圆锥侧面展开图的圆心角为． 【点睛】本题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 5. 如图，从半径为9cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为多少？ 【答案】cm 【解析】 【分析】设圆锥的底面圆的半径为r cm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，根据扇形的面积公式得到2πr＝，解得r＝6，然后利用勾股定理计算这个圆锥的高． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为r cm， 根据题意得2πr＝， 解得r＝6， 所以这个圆锥的高＝（cm）． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，解题关键是掌握圆锥相关知识． 6. 如图，这是圆锥侧面展开得到的扇形，此扇形半径，圆心角， （1）求的长． （2）求此圆锥高的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据弧长公式进行求解即可； （2）先求出底面半径，再用勾股定理求出圆锥的高即可． 【小问1详解】 解：的长． 【小问2详解】 设的长为r，则，解得． 在中，， 由勾股定理得． 7. 如图，已知扇形的圆心角为120°，半径为6cm． （1）求扇形的弧长；（结果保留π） （2）如图所示，若把扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，求这个纸帽的高．（结果保留根号） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据扇形的弧长公式求解即可； （2）设圆锥底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到，解得，然后根据勾股定理计算． 【小问1详解】 解：∵扇形的圆心角为120°，半径为6cm， ∴． 【小问2详解】 设圆锥底面圆的半径为r， ∴，解得， 在中，，， ∴． 【点睛】本题考查的是求解扇形的弧长，圆锥的高，掌握“圆锥的底面圆的周长对应展开图扇形的弧长”是解本题的关键． 8. 用铁皮制作圆锥形容器盖，其尺寸要求如图所示 ． （1）求圆锥的高； （2）求所需铁皮的面积（结果保留）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆锥的母线、高和底面圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理即可求解； （2）根据圆锥的底面圆周长是扇形的弧长，圆锥的母线长是扇形的半径进行计算即可． 【小问1详解】 解：如图，设为圆锥的高，为圆锥的母线，为底面圆的半径， ∴，，， ∴有中， ∴圆锥的高为． 【小问2详解】 圆锥的底面周长为：， ∵圆锥的底面周长是侧面展开得到的扇形的弧长， ∴扇形的弧长为， ∴扇形的面积为， ∴所需铁皮的面积为． 【点睛】本题考查圆锥的计算．正确理解圆锥的高、母线与底面圆的半径构成直角三角形，圆锥的侧面与它的侧面展开图扇形之间的关系是解决本题的关键，要正确理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 9. 如图，现有扇形纸片，其圆心角为，半径为．现准备把扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽． （1）若将纸帽分给班里的同学，求制作50个这样的纸帽至少需要多少面积的扇形纸片； （2）求一个纸帽的高． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据扇形的面积公式求解即可； （2）先求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴制作50个： 答：制作50个这样的纸帽至少需要的扇形纸片． 【小问2详解】 解：如图，连接点H和底面边缘A点， ∵， ∴该圆锥底面周长为， ∴， ∵， 根据勾股定理可得：． 【点睛】本题主要考查了求扇形的面积和圆锥的高，解题的关键是熟练掌握扇形的面积公式和弧长公式，构造直角三角形求高． 10. 综合与实践 问题情境：如图1，将一个底面半径为的圆锥侧面展开，可得到一个半径为，圆心角为的扇形.工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料. （1）探索尝试：图1中，圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长________；（填“相等”或“不相等”）若，，则________. （2）解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求的值，请用含，的式子表示； （3）拓展延伸：图2是一种纸质圆锥形生日帽，，，是中点，现要从点到点再到点之间拉一装饰彩带，求彩带长度的最小值. 【答案】（1）相等， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等，得出之间的关系，进而即可求解； （2）根据，即可求解； （3）根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等； ∵，，， ∴， 故答案为：相等，． 【小问2详解】 由圆锥的底面周长等于扇形的弧长 得： ∴ 【小问3详解】 ∵，， ∴， ∴圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为 ∴ ∵ ∴ ∴在中，， ∴彩带长度的最小值为 【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键． 11. 如图，的圆心O与正三角形的中心重合，已知的半径和扇形的半径都是． （1）若将扇形围成一个圆锥的侧面，设该圆锥的高为h． ①求扇形的弧长； ②则h的值为___________； （2）上任意一点到正三角形上任意一点距离的最小值为___________． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①本题考查求扇形弧长，根据等边三角形得到，结合即可得到答案；②本题考查圆锥展开图，根据底面圆周长等于扇形弧长求解即可得到答案； （2）本题考查等边三角形的性质及勾股定理，连接并延长交于点D，作即可得到为最小值求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：①∵三角形是正三角形， ∴， ∴； ②由①得， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接并延长交于点D，作于， ∵O是正三角形的中心，， ∴，，， ∴，是点到三角形边上最长的线段， ∴， 解得：， ∴， 故答案为： ． 12. 【知识技能】 （1）如图1，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到．当点E的对应点与点A重合时，求证：． 【数学理解】 （2）如图2，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到，连接，，作的中线．求证：． 【拓展探索】 （3）如图3，在中，，点D在上，．过点D作，垂足为E，，．在四边形内是否存在点G，使得？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据中位线的性质、旋转的性质即可证明； （2）利用旋转的性质、外角定理、中位线的性质证明后即可证明； （3）通过解直角三角形得到，，过点C作于点M，易证，得到，即可求得，进而，从而点M是的中点，过点D作，交于点P，连接，，，根据三线合一得，证明，即可求的，过点P作于点N，则四边形是矩形，得到，因此点N是的中点，进而，再证，得到，根据，即可推出，因此当点G与点P重合时，满足． 【详解】证明：（1）是的中位线， 且． 又绕点D按逆时针方向旋转得到 ． （2）由题意可知：，，． 作，则且， 又， ． 根据外角定理 ， ， ． 又，是的中位线， ， ， ， ， ， ． （3）存在点使得． ∵， ∴， ∴在中，， 过点C作于点M， ∴， ∵， ∴ ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点M是的中点， ∴是的垂直平分线， 过点D作，交于点P，连接，， ∴， ∴根据三线合一得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 过点P作于点N，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴点N是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴ 即， ∴， ∴当点G与点P重合时，满足． 【点睛】本题考查了旋转的性质、中位线的性质、外角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形，熟练掌握知识点以及灵活运用是解题的关键． 13. 综合实践 问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究，如图1，在中，，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，． （1）探究发现：旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． （2）性质应用：如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长． 【答案】（1），证明见解析； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应角相等，对应边相等；相似三角形对应角相等，对应边成比例，以及解直角三角形的方法和步骤． （1）根据中点的定义得出，进而得出，易得，通过证明，即可得出结论； （2）根据题意推出当所在直线经过点B时，，根据勾股定理可得，根据（1）可得，即可求解； 【小问1详解】 解：猜想，证明如下： 在中，，，，的中点分别为D，E， ∴，， ，则， ，， ， ， ， 将绕点A逆时针旋转，连接，， 根据旋转的性质可得： ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：，分别取，的中点D，E， ，， ， ， ∴当所在直线经过点B时，， ， 在中， 根据勾股定理可得：， 由（1）可得：， ， 解得：； 14. 如图，在中，，，点分别是边的中点，连接．将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为． （1）如图1，当时，______； （2）如图2，当时，______，与的位置关系为______，请分别说明理由． 【答案】（1） （2）2，垂直，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）当时，点在上，点在上，由点分别是边的中点，可得，，再由，进行计算即可得出答案； （2）令与交于点，证明，得到，，再利用三角形内角和定理求出，即可得解． 【小问1详解】 解：当时，点在上，点在上， 点分别是边的中点， ，， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，令与交于点， ， 由题意得：，， ，， ， ，即， ， ，， ， ，即， ， ， 故答案为：，垂直． 15. 在中，，将绕点逆时针旋转得到，延长交的延长线于点，如图1． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）连接交于点，过点作，垂足为点，延长交于点，连接，，如图2．若，求的长． 【答案】（1）四边形为正方形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得出，证出四边形为矩形，由可得出四边形为正方形； （2）证明，由全等三角形的性质可得出，证明，从而得到，由等腰直角三角形的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：四边形为正方形， 理由如下： ， ， 将绕点逆时针旋转得到， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形； 【小问2详解】 解：将绕点逆时针旋转得到， ，， 又， 为中点， 由（1）得，四边形为正方形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在等腰中，， ， ， ， 的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、正方形的判定与性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 16. 等边中，点在线段上，连接． （1）如图，过点作于点，若，，求的长； （2）如图，点在线段的延长线上，点在线段上，连接，若，，求证：； （3）如图，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点是直线上一动点，将沿直线翻折得到，在点运动过程中，最小时，请直接写出的面积． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）． 【解析】 【分析】（）由可设，则，由勾股定理可得，求出，进而利用三角函数即可求解； （）延长，使，连接，过点作，可得为等边三角形，进而得到，，再证明，得到，证明，得到，即得，即可得到，即得，再根据即可求证； （）由题意可知，点在以点为圆心，为半径的圆上，当点三点共线时，最小，过点作于，过点作于，过点作于，则，解直角三角形求出，，得到， 由勾股定理得，再求出，得到，证明，得到，可得，最后根据三角形面积公式计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：延长，使，连接，过点作， ∵为等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴； 【小问3详解】 解：由题意可知，点在以点为圆心，为半径的圆上，当点三点共线时，最小，过点作于，过点作于，过点作于，则， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 由旋转可得，，， ∴， ∴， 由折叠可得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质，解直角三角形，旋转的性质，折叠的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 17. 如图1．四边形、都是矩形，点G在上，且，，，小李将矩形绕点C顺时针转，如图2所示： （1）① 他发现的值始终不变，请你帮他计算出的值______． ② 在旋转过程中，当点B、E、F在同一条直线上时，求出AG的长度是多少? （2）如图3，中，，，，G为的中点，点D为平面内的一个动点．且，将线段BD绕点D逆时针旋转α°，得到，则四边形的面积的最大值为______． 【答案】（1）①；②或． （2） 【解析】 【分析】（1）①解直角三角形求出，，，可得结论． ②分两种情形：如图中，当点在线段上时，如图中，当点在的延长线上时，分别求出，，可得结论． （2）如图3中，连接，，过点作于点．解直角三角形求出，证明，推出，由题意，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，当点在的延长线上时，的面积最大，最大值，由此可得结论． 【小问1详解】 ①的值不变，理由如下： 如图1中， 四边形是矩形， ，，， ， ， ，， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ． 故答案为：； ②如图中，当点在线段上时，连接，过点作于． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 如图中，当点在的延长线上时，同法可得， ， 综上所述，的长为或． 【小问2详解】 如图3中，连接，，过点作于点． ，， ， ， ，，， ， ， ， ， ，，， ，， ， ， ， ， 点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， 当点在的延长线上时，的面积最大，最大值， 的面积的最大值为， 四边形的面积的最大值． 故答案为：． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 18. 如图，矩形中，，，点E，F分别为边，上的点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段．射线与对角线交于点，连接，． （1）求的度数； （2）若，求的值； （3）连接，，若，设和的面积分别为，，当点在边上运动时，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据性质的性质可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解； （2）过点作，于点，延长至点，使得，连接，得出，证明，，进而证明，得出，连接，证明，得出，进而根据，即可求解； （3）作与点，则点为的，连接， ，过点作于，过点作分别交、于、，证明，，，四点共圆，进而证明，得出，得出，求得，设则，根据表示出，则，根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：∵将线段绕点顺时针旋转，得到线段， ∴是等边三角形， ∴， 【小问2详解】 如图所示，过点作，于点，延长至点，使得，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 又∵，， ， ， 又， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 如图，作，连接， ，过点作于，过点作分别交、于、， 由（1）可得是等边三角形， ∴点为的中点， ，， ， ， ∴四点共圆， ，， ， ， ∵ ∴ ∴，又 ∴ ∴ 又，则 ∴点在上， ∵ ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设则， ， ， ， ， ， ∴当时，取的最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，勾股定理，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 19. 在中，，，，点D是边上任意一点，点E是直线上一动点，连接，将绕点B顺时针旋转，旋转角为α，得到线段，连接． （1）如图1，，，点F在射线上，求的长； （2）如图2，，于点G，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，，点F在射线上，点P是上一点且满足，连接，直接写出当最小时，点P到的距离． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点B作于点G，根据旋转的性质，得到，利用特殊角的三角函数值，选择适当适当三角函数解答即可； （2）根据，利用平行线的性质，证明得到，过点C作，交的延长线于点H根据，利用直角三角形全等，解直角实习的相关计算解答即可． （3）作出的外接圆，得到点F一定在上，连接并延长交于点H，则，作点F关于的对称点，证明，得到；连接，在上截取，作交于点M，证明点P在以M为圆心，以为半径的圆上；根据圆的性质，得，当A，P，M三点共线时，最小，过点P作于点Q，过点M作于点N，则，证明，利用勾股定理解得即可． 【小问1详解】 过点B作于点G， ∵绕点B顺时针旋转，旋转角为α，得到线段，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，，，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 ，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点C作，交的延长线于点H， ∵， ∴ ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 作出的外接圆， ∵，，，，绕点B顺时针旋转，旋转角为α，得到线段， ∴，都是等边三角形， ∴， ∴点F一定在上， 连接并延长交于点H， 则， 作点F关于的对称点， ∴， 连接， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 连接，在上截取，作交于点M， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点P在以M为圆心，以为半径的圆上； 根据圆的性质，得，当A，P，M三点共线时，最小， 过点P作于点Q，过点M作于点N， 则， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故点P到的距离． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，圆的性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，熟练掌握三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，圆的性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算是解题的关键． 20. 已知等腰中，，中，，，． （1）当线段与线段重合，如图1所示，线段、交于点H，求此时面积； （2）将绕着点A顺时针旋转，交所在直线于点N，交所在直线于点M，如图2所示．当时，过点N作交于点G，求点G到直线的距离． （3）若点E为线段的中点，将旋转，在旋转过程中始终使过点E，过点C，如图3所示．则是否有最大值，如果有，请求出；如果没有，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点H作，解即可，，设，，则可得，即可求解面积； （2）过点N作，过点G作交延长线于点K，则，通过旋转得到等腰三角形的性质以及外角结合三角形内角和定理求得，同（1）可求，则， 因此，可证明，则，即，则； （3）过点E作，延长至点P，使得，则，故，则的最大值转化为的最大值，设，则，则，，则，可知“定弦定角”，作的外接圆，连接，则点P的轨迹为，当为直径时，最大，此时，由，得到，即可求解． 【小问1详解】 解：过点H作， ∵等腰中，， ∴， ∴， ∴， ∴，设， ∵中，， ∴， ∴， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：过点N作，过点G作交延长线于点K，则， 由题意得， ∴， 设， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴在中有：， 解得：， 同（1）可求， ∴， ∵在等腰中，， ∴， ∴， ∵，， ∴，而， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴求点G到直线的距离为； 【小问3详解】 解：过点E作，延长至点P，使得， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值转化为的最大值， 设，则，则 ∴在中，由勾股定理得：， ∴， 作的外接圆，连接，则点P的轨迹为， ∵， ∴当点O、C、P三点共线时，即为直径时，最大，如图： ∴此时， ∵E是中点， ∴， ∴中，， ∴， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，三角形三边关系，点与圆的位置关系，平行线的性质，正确添加辅助线是本题的难点，也是解决问题的关键． 21. 在中，，，D为平面内一点，连接，． （1）如图1，若点D在内部，点E为边中点，连接．若，求的度数； （2）如图2，若点D在边上方，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接交于点G，交于点H．证明：； （3）在（2）的条件下，若，在边上确定一点P，连接，当取得最小值时，将沿翻折到同一平面内得到，直接写出点M到的距离． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）等边对等角，得到，设，根据三角形的内角和求出，斜边上的中线，推出为等边三角形，即可； （2）将绕点旋转得到，连接，连接，过点作，交于点，证明，得到，证明四点共圆，得到，证明，得到，再证明，推出，根据，即可得证； （3）由（2）得到点在以为直径的圆上运动，作点关于的对称点，得到，进而得到当最小时，最小，取的中点，连接，得到当三点共线时，最小，进而确定点的位置，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 设，则：，， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∵，点E为边中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 【小问2详解】 将绕点旋转得到，连接，，过点作，交于点，如图： ∴， ∵将线段绕点B逆时针旋转得到线段， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 由（2）知：， ∴点在以为直径的圆上运动， 作点关于的对称点，则：，为的中点， ∴当最小时，最小， 取的中点，连接，则：， ∴当三点共线时，最小，如图： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 连接，交于点，交于点，过点作于L，过点作于N， ∵对称， ∴，， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即：， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，斜边上的中线，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，利用轴对称解决线段最小问题，综合性强，难度大，计算量大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，确定动点的轨迹，是解题的关键． 22. 【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点A． 【构建联系】 （1）求证：函数的图象必经过点C． （2）如图2，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为时，求k的值． 【深入探究】 （3）如图3，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接交于点P．以点O为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求k的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）设，则，用含的代数式表示出，再代入验证即可得解； （2）先由点B的坐标和k表示出，再由折叠性质得出，如图，过点D作轴，过点B作轴，证出，由比值关系可求出，最后由即可得解； （3）当过点B时，如图所示，过点D作轴交y轴于点H，求出k的值，当过点A时，根 据A，C关于直线对轴知，必过点C，如图所示，连，，过点D作轴交y轴于点H，求出k的值，进而即可求出k的取值范围． 【详解】（1）设，则， ∵轴， ∴D点的纵坐标为， ∴将代入中得：得， ∴， ∴， ∴， ∴将代入中得出， ∴函数的图象必经过点C； （2）∵点在直线上， ∴， ∴， ∴A点的横坐标为1，C点的纵坐标为2， ∵函数的图象经过点A，C， ∴，， ∴， ∴， ∵把矩形沿折叠，点C的对应点为E， ∴，， ∴， 如图，过点D作轴，过点B作轴， ∵轴， ∴H，A，D三点共线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴，， ∴， 由图知，， ∴， ∴； （3）∵把矩形沿折叠，点C的对应点为E，当点E，A重合， ∴， ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形，， ∴，，， ∵轴， ∴直线为一，三象限的夹角平分线， ∴， 当过点B时，如图所示，过点D作轴交y轴于点H， ∵轴， ∴H，A，D三点共线， ∵以点O为圆心，长为半径作，， ∴， ∴， ∴，，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当过点A时，根 据A，C关于直线对轴知，必过点C，如图所示，连，，过点D作轴交y轴于点H， ∵, ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴, ∴当与的边有交点时，k的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，一次函数的性质，反比例函数的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，轴对称的性质，圆的性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 23. 如图，在等腰三角形中，，，点在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的解析式，并证明为直角三角形； （2）在x轴上求作一点 P ，使 的值最小，写出点P 的坐标并求出最小值． 【答案】（1）；理由见解析 （2）；最小值是 【解析】 【分析】（1）过点 A 作 轴于点 E，过点 B 作轴于点D，通过证明，得到A，B两点的坐标，用待定系数法求出反比例函数解析式，通过全等得到，进而得到，从而得到结论； （2）过点 C 在 x 轴下方作射线 ，使，过点 B 作 ，垂足为 M，交 x 轴于点 P，则，根据解直角三角形求出，根据“垂线段最短”可知，此时的值最小，过点 B作轴，垂足为 F，根据解直角三角形求出P点坐标，进而求出的长度，进而得出答案． 【小问1详解】 解：如图 1，过点 A 作 轴于点 E，过点 B 作轴于点D， 则， ∵点， ，， ， ， ， ， ， ∴点B的坐标是， ∵点在反比例函数 的图象上， ，解得 ， ∴点A的坐标是，点B的坐标是， ， ∴反比例函数的解析式是 ， ， ， 又， ， ， 为直角三角形； 【小问2详解】 如图2，过点 C 在 x 轴下方作射线 ，使，过点 B 作 ，垂足为 M，交 x 轴于点 P，则， ， ， 根据“垂线段最短”可知，此时的值最小， 过点 B作轴，垂足为 F， ， ， ， ， ， ， 综上可知，点 使 的值最小，最小值是 ． 【点睛】本题考查了求反比例函数综合，待定系数法求反比例函数解析式，全等三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，垂线段最短，正确作出辅助线构造直角三角形，是解题关键． 24. 如图，中，，反比例函数的图象经过点A． （1）求点A的坐标． （2）直线垂直平分，交于点C，交y轴于点D，交x轴于点E，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，解直角三角形： （1）根据题意，得到点的纵坐标为2，代入解析式求出点的坐标即可； （2）先求，证明出，则由正弦值相等得：即可求解． 【小问1详解】 解：， 点的横坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， ． 【小问2详解】 解： ∴，， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：． 25. 如图，矩形的顶点，分别在函数和的图象上，且，． （1）求，的值； （2）若点，分别在和的图象上，且不与点，重合，是否存在点，，使得，若存在，请直接写出点，的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）存在符合题设要求的点、，它们的坐标分别为、 【解析】 【分析】（1）利用∽，得到，，即，进而求解； （2）假设存在点、符合题设条件，则需要满足，利用≌，得到且满足，进而求解． 【小问1详解】 将点的坐标代入得：； 过点作轴于点，过点作轴于点， 四边形为矩形，则， ，， ， ， ∽， ∵， ∴和得相似比为：， ∴，， 故点， 将点的坐标代入并解得： 【小问2详解】 由（1）知，两个反比例函数的表达式分别为：、， 假设存在点、符合题设条件， 设点，点，如下图： 由（1）知， ，即， 即不合题意值已舍去； ≌， ，， 即且， 解得：且不合题意值已舍去； 则， 故存在符合题设要求的点、，它们的坐标分别为、． 【点睛】本题考查了反比例函数综合应用，涉及到矩形的性质、三角形全等、反比例函数的基本性质、解直角三角形、以及勾股定理等知识，数形结合是解答本题的关键． 26. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点B是双曲线上的一点，连接OB，点D是线段OB上的一点，作矩形ABCD，其中轴，且，矩形ABCD的面积是． （1）求k的值； （2）若OB与x轴的夹角为60°，将矩形ABCD向上平移，当点A落在双曲线时，求点C的坐标． 【答案】（1） （2）C的坐标为 【解析】 【分析】（1）延长BA交x轴于点F ，根据△ABD∽△FBO，可得，从而得到，再利用反比例函数比例系数的几何意义，即可求解； （2）先求出OB的函数解析式为 ，根据AD∥x轴，可得，然后设AD=x（其中x>0），则，可得，联立，可得点B的坐标为，从而得到C ，再根据平移的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：延长BA交x轴于点F ， ∵AD∥x轴， ∴∠BDA=∠DOF，∠BAD=∠OFB， ∴△ABD∽△FBO， ， ∵矩形ABCD的面积是，BD为矩形ABCD的对角线， ∴， ， ∵点B是双曲线上的一点， ∴， ； 【小问2详解】 解：∵OB与x轴的夹角为60°， ∴， 设点， ∴，即， ∴OB的函数解析式为 ， ∵AD∥x轴， ∴∠ADB=∠BOF=60°， ∴， 设AD=x（其中x>0），则， ∴，解得：x=2， ∴ ， 将两函数的解析式联立方程得： 得：或 ， ∴， ∴点B的坐标为， ∴点C的坐标为，即 ， 当图形向上平移，点A落在双曲线时，平移的距离为AB的长度， ∴此时点C的坐标为， 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何图形的综合题，解直角三角形，熟练掌握反比例函数的图象和性质及其比例系数的几何意义，矩形的性质是解题的关键． 27. 如图由平面直角坐标系第一象限内一点向坐标轴分别作平行线得到矩形，在矩形边上取一点，作经过点的双曲线交边于点，连接、． （1）______； （2）求证：； （3）若将点关于作对称点，且点正好落在轴上，连接并延长交轴于点，求的面积（请用只含字母的代数式表示）． 【答案】（1）2 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据，由于轴，轴得四边形为矩形，则，，即可求得的值； （2）根据已知可得点的纵坐标与点的纵坐标相同为，点的横坐标与点的横坐标相同为，由于和点接待曲线上表示出点和点的坐标，再表示出的长，的长看三角形和三角形的边对应边是否成比例，根据平行线分线段成比例即可证得； （3）如图，连接、，先证明，在解，得，，解，得，所以，；再由，得，即，又在中，由勾股定理得，即，解得：，然后代入，解得，即可由求解． 【小问1详解】 解：∵ 且四边形为矩形， ，， ； 【小问2详解】 解：由图知：，，代入，得， ，，， ； ，， ， ， ∵， ∴， ∴， ； 【小问3详解】 解：如图：连接、， 则于对称，垂直平分， ， ，； ； ，， ∴， ，， ， ； ∵， ∴ ， ， 又中，， ， 解得：， 代入， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，以及同角的余角相等，借助勾股定理边之间的关系，表示出与的关系，最终代入比例式和面积的表示式求解． 28. 在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数在第一象限内的图象与边交于点，与AB边交于点，，面积为3． （1）求反比例函数关系式； （2）点M是x轴上一点，当以点M、D、E为顶点的的周长最小时，求出M点的坐标； （3）P是线段AB边上的点．是否存在点P，以B、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）先把点，代入，求得①，再过点E用于F，轴于G，证明四边形是矩形，然后利用矩形的性质和解直角三角形，求得②，由①②解得∶ ，从而得到点D坐标，即可代入，即可求解． （2）作点E关于x轴的对称点N，连接交x轴于M，则，此时最小，则的周长最小，利用待定系数法求出直线解析式，然后求出直线与x轴的交点坐标即可； （3）分两种情况：当时，则；当时，则；分别求出点P的坐标即可． 【小问1详解】 解：点，在反比例函数的图象上， ，， ， 即①， 过点E用于F，轴于G， ∵， ， ∴，，， ∵，， ∴ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴ ∴，即 ∴， ∵，即 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴② 由①②可得 解得∶ ， ∴ 把代入，得， ∴． 【小问2详解】 解：作点E关于x轴的对称点N，连接交x轴于M，如图， 则，此时最小，则的周长最小， 把代入，得 ∴ ∵点，点N关于x轴的对称， ∴， 设直线解析式为， 把，代入，得 ，解得：， ∴直线解析式为， 令，则， ∴． 【小问3详解】 解：由（1）可得：，，，， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， 分两种情况：当时，则， ∴ ∴ ∴， 过点P作于H，如图， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴， ∴； 当时，则， ∴ ∴ ∴， 过点P作于H，如图， 同理， ∴ ∴，， ∴ ∴． 综上，存在以B、C、P为顶点的三角形与相似，此时点P的坐标为或． 【点睛】本题考查反比例函数的图象性质，待定系数法求反比例函数解析式，坐标与图形，矩形的判定与性质，利用轴对称求最短距离问题，勾股定理，相似三角形的判定与性质，题目属反比例与几何综合题目，难度较大，熟练掌握相关性质是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． 29. 如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上任意一点，点是轴正半轴上的任意一点． （1）若点是上任意一点，，试说明； （2）在（1）的条件下，已知点的横坐标为，点的坐标，求点的坐标； （3）若点的纵坐标为，点的坐标，上是否存在一点使得与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）点的坐标为； （3）或． 【解析】 【分析】（1）直接利用相似三角形的判定判断即可得证； （2）把代入得，进而得，，于是可得，再由相似三角形的性质得，解得，过作于轴，分别求出和的长即可得解； （3）分别过点、作轴、轴于点、，把代入得，解得，利用勾股定理及三角形函数得，，进而由，分和两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴； 【小问2详解】 解：点的横坐标为，点的坐标， ∴，， 把代入得， ∴， ∴，， ∴， 由（）得， ∴即， 解得， 过作于轴， ∵， ∴，， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：分别过点、作轴、轴于点、， 把代入得， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由得要使与相似，有或， 当时，， ∴， 解得， ∴，， ∴点的坐标为； 当时，，此时点、重合， ∴， 综上点的坐标为或时，与相似． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，相似三角形的判定及性质，解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定及性质以及解直角三角形是解题的关键． 30. 如图，矩形的顶点分别在轴和轴上，点的坐标为，是边上的一个动点（不与重合），反比例函数的图象经过点且与边交于点，连接． （1）如图1，若点是的中点，求点的坐标； （2）如图2，若直线与轴，轴分别交于点，连接，求证：； （3）如图3，将沿折叠，点关于的对称点为点，当点不落在矩形外部时，求的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由是的中点，求出，进而求解； （2）证明，即可求解； （3）当点在轴上时，的值最小；若点与点重合，则的值最大；若点与点重合，则，即可求解． 【小问1详解】 解：如图1，四边形是拒形， 轴，轴， ，是的中点， ， 双曲线经过点 ， ， ， 当时，， 点的坐标为． 【小问2详解】 证明：点、点都在双曲线上， ，、， 则，， 则，同理可得：， ，， ， ； 【小问3详解】 解：如图3，连接、交于点，交于点， ，， 随的增大而增大， 当点在轴上时，的值最小；若点与点重合，则的值最大， 垂直平分，， ， ，且 ， 解得：， 则点，， 则． 若点与点重合，则， 的取值范围是． 【点睛】本题考查了反比例函数综合运用，涉及到三角形相似、最值的确定等，确定的临界点是（3）中解题的关键． 31. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，B两点. （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）过A作直线的垂线l，点C为l上且在第四象限内的点，当满足时，求此时点C的坐标； （3）在（2）的基础上，点P为C右侧且在反比例函数上一点，连接，过点P作交x轴于点N，连接，M为线段上一点，且，连接，是否存在一点P，使得与相似，若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）反比例函数的表达式为：，点 （2）点 （3）存在，点的坐标为：，或， 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出函数表达式，进而求解； （2）过过点O作，过A作直线的垂线l，在直线l上取点使，过点C作直线轴交直线于点D，过点A作，则此时，则此时，，再求解即可； （3）当与相似时，或2，由，即可求解． 【小问1详解】 将点的坐标代入一次函数表达式得：，则， 则点，则， 则反比例函数的表达式为：， 联立上式和得：， 解得：（舍去）或， 即点； 【小问2详解】 如图，过点O作，过A作直线的垂线l，在直线l上取点使，过点C作直线轴交直线于点D，过点A作，则此时，， 将代入中，得，将代入中，得， 直线交轴于点，交轴于点， , 是等腰直角三角形， ， ， ， 直线与轴夹角为， 轴， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 存在，理由： 由点的坐标知，，和轴的夹角为， 当时，，则， 由点、的坐标得，， 则， 故当与相似时，或2， 过点作轴于点，过点作轴交于点， ，， ， ， ， 即， 而或2， 或， 设点， 则，， 则或， 解得：或（不合题意的值已舍去）， 则点的坐标为：，或，． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似等，分类求解是解题的关键． 32. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点，与反比例函数交于点． （1）求点和点的坐标； （2）点是轴正半轴上一点，连接交反比例函数于点，连接，若，求的面积； （3）在（2）的条件下，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．点是反比例函数的图象上一点，连接，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2）1 （3）或 【解析】 【分析】（1）在中，令，可求得点的坐标，联立方程组可求得点的坐标； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，设交轴于点，由，得，可得，求得，再求得，进而可得，运用待定系数法可得直线的解析式为，进而求得，即可求得答案； （3）过点作轴，作于，于，连接，先证得，可得，，得出，进而得出，再求得直线的解析式为，联立方程组即可求得答案． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ， 联立方程组， 解得：，（舍去）， ； 【小问2详解】 解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设交轴于点， ， ， ， ， ， 当时，， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， ， ； 【小问3详解】 过点作轴，作于，于，连接，如图， 由旋转得：，， ，， ， ， ， ，， ， 轴， ，， ， ， 设直线交轴于， ， 直线的解析式为， ， 解得：，， 点的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，利用平行线转化三角形的面积是求点坐标的关键． 33. 定义：有两个内角和为的三角形为“美好三角形”． （1）判断下列三角是否为“美好三角形”，如果是，请在对应（ ）内画“√”，如果不是，请在对应（ ）内画“×”； ①有一个角为的直角三角形；（ ） ②有一个角为的直角三角形；（ ） ③有一个角为的三角形；（ ） （2）如图①，直线：与双曲线：相交于点M，点N在x的正半轴上，若是“美好三角形”，求出此时点N的坐标； （3）如图②，二次函数：的顶点为A，与x轴交于B，C两点，D在内部，连接，当均为“美好三角形”，此时的面积为，的面积为，的面积为，当时，求和的表达式（用含m的式子表示） 【答案】（1）×，×，√ （2）点N的坐标为或 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据“美好三角形”分别得出角度求解即可； （2）联立与，求出点M坐标为；根据是“美好三角形”，分为①当时，过M作，得出， 求解即可；②当时，过N作，得出， 根据，得出，即可求出，再根据勾股定理求出，求解即可； （3）根据二次函数对称性得出，过点D作，当均为“美好三角形”时， 得出，，证出，得出相似比为，即可求出，得出与m的关系；再证明，根据相似三角形性质即可得出，即可得出与m的关系； 【小问1详解】 解：① ∵有一个角为的直角三角形，三个内角分别为， ， ∴该三角形不是 “美好三角形”． 故答案为：× ②有一个角为的直角三角形； 三个内角分别为，， ∴该三角形不是 “美好三角形”． 故答案为：× ③有一个角为的三角形；其余两个内角的和为， ∴该三角形是“美好三角形”． 故答案为：√． 【小问2详解】 联立与， 解得，将代入得， ∴点M坐标为； 若是“美好三角形”， 当时， 过M作， 则， ∴， ∴， ∴ ； 当时， 过N作， 则， ∴， ， ， ， ， ， ， 综上，点N的坐标为或； 【小问3详解】 根据二次函数与x轴交于B，C两点，顶点为A，故， 过点D作， 当均为“美好三角形”时， ，， ， ， ∴． ∴， ∴， ， ∵的面积为，的面积为，的面积为， ， ； ， ， 综上，，． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，反比例函数的图象和性质，以及二次函数的图象和性质，相似三角形的性质和判定，熟练掌握相关知识点，理解新定义，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 34. 我们定义：在内有一点，连结．在所得的中，有且只有两个三角形相似，则称点为的相似心． （1）如图1，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上．请在图中的格点中，画出的相似心． （2）如图2，在平面直角坐标系中，点与点分别为轴负半轴，轴正半轴上的两个动点，连结，设的外角平分线交于点，延长分别交轴于点，交轴于点，连结． ①的度数是__________． ②求证：点为的相似心． （3）如图3，在（2）的条件下，若点在反比例函数的图象上，，若点为的相似心，连结，直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）①；②见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用相似三角形的判定，找出格点P即可； （2）①根据角平分线的定义和三角形外角的性质得，从而得出答案；②作轴，轴，垂足分别为Q、P、N，根据角平分线的性质定理以及逆定理可得平分，从而得到，可得到，即可； （3）延长至点F，由（2）得：，，可得，再由点M在上，可得，从而得到，进而得到，，，然后分两种情况讨论：若；若，即可求解． 【小问1详解】 解：如图1， ∵，， ∴， ∴点P为的相似心； 【小问2详解】 解：①根据题意得：， ∴， ∵的外角平分线交于点， ∴， ∴， 故答案为：； ②作轴，轴，垂足分别为Q、P、N， ∵的外角平分线交于点， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴点O为的相似心； 【小问3详解】 解：如图，延长至点F， 由（2）得：，， ∴， ∴， ∵点M在上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， （Ⅰ）若， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 在中，，， 设，则， 过点G作，垂足为点D，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去），即； （Ⅱ）若， ∴，， ∵， ∴， 在中，，， 与（Ⅰ）同理可得； 综上所述：或． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了相似形的定义，相似三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是对新定义概念的理解和运用，同时渗透了分类讨论的数学思想，难度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$