2024年广东省中考数学真题变式题16-20题

1. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，先计算零指数幂，负整数指数幂和算术平方根，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 2. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是利用零指数幂，负指数幂和开方法则计算，再算加减法． 【详解】解： ． 3. 计算： 【答案】4 【解析】 【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，绝对值的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查实数的混合运算，掌握零指数幂，负整数指数幂的运算法则是解题的关键． 4. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是实数的混合运算，零次幂与负整数指数幂的含义，先计算算术平方根，零次幂，负整数指数幂，再合并即可． 【详解】解： 5. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先算绝对值，零指数幂和负指数幂，再算加减法． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及了绝对值，零指数幂和负指数幂，解题的关键是掌握零指数幂和负指数幂的运算法则． 6. 计算：． 【答案】7 【解析】 【分析】先计算乘方与开方，并求绝对值，再计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查实数混合运算，熟练掌握零指数幂与负整指数幂运算法则是解题的关键． 7. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用绝对值、负指数幂、零指数幂的性质、算术平方根的定义分别化简，然后从左到右依次计算，得出答案． 【详解】解： ． 【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 8. 计算： 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂和负整数指数幂的意义，先根据绝对值，算术平方根，零指数幂和负整数指数幂的意义化简，再算加减． 【详解】解： 9. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】先求出算术平方根、去绝对值、计算零次幂和负整数次幂，再进行加减运算． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根、去绝对值、零次幂、负整数次幂等知识点，属于基础题，解题的关键是熟记各项运算法则并正确计算． 10. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算顺序及方法是解题关键． （1）根据负整数指数幂，绝对值的意义进行计算再算乘法，最后算加法即可； （2）根据负整数指数幂，零次幂，绝对值的意义计算各项，再算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 11. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据负整数指数幂和零指数幂运算法则进行计算即可； （2）根据负整数指数幂、零指数幂运算法则，绝对值意义，进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 12. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了绝对值化简，零指数幂，负整数指数幂，整数指数幂，以及实数的混合运算，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则． （1）根据负整数指数幂，整数指数幂，以及实数的混合运算法则计算即可； （2）根据绝对值化简，零指数幂，负整数指数幂，整数指数幂，以及实数的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：原式， ， ； 【小问2详解】 解：原式， ， ． 13. 如图，在中，． （1）实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，长为半径作．求证：与相切． 【答案】（1）见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质定理，切线的判定等知识．熟练上述知识是解题的关键． （1）利用尺规作角平分线的方法解答即可； （2）如图2，作于，由角平分线的性质定理可得，由是半径，，可证与相切． 【小问1详解】 解：如图1，即为所作； 【小问2详解】 证明：如图2，作于， ∵是的平分线，，， ∴， ∵是半径，， ∴与相切． 14. 已知：如图，和边上一点D． 求作：，使与的两边分别相切，其中与相切于点D，且圆心O落在的内部． 【答案】画图见解析 【解析】 【分析】此题重点考查学生对三角形内切圆的画法的应用，掌握其画法是解题的关键．先作的角平分线，再过作的垂线，交角平分线于，以为圆心，为半径画圆即可； 【详解】解：如图，即为所求作的圆， 15. 如图，已知P是外一点，请只用直尺和圆规过点P作的一条切线．（保留作图的痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，切线的判定．连接，以为直径作圆交于D、，根据圆周角定理可判断为的切线． 【详解】解：如图，即为所求． 16. 如图，已知是上一点，过点作的一条切线． 要求：（1）用直尺和圆规作图； （2）保留作图痕迹． 【答案】画图见解析 【解析】 【分析】作射线，过点P作直线，根据切线的判定定理，可知是的切线． 【详解】解：如图，直线即为所求． ． 【点睛】本题考查了尺规作图，过一点作已知直线的垂线，圆的切线的判定，熟记切线的判定方法并应用于作图是解本题的关键． 17. 已知：． 求作：，使其圆心在边上，且与都相切． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图－复杂作图．根据作一个角的平分线和过直线外一点作已知直线的垂线的作法作出图形即可． 【详解】解：作的角平分线交于O，过O作于H，以O为圆心，为半径作，则即为所求． ． 18. 如图，已知是锐角三角形． （1）尺规作图：请在图中作线段的垂直平分线，直线l分别交于点，点在直线上，以点为圆心作圆，使得与边、相切（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求的半径． 【答案】（1）见解析． （2）的半径为． 【解析】 【分析】（1）如图，由角平分线性质定理、 ，可知即为所求； （2）过点作，垂足为，设，由勾股定理，，由，求得半径． 【小问1详解】 如图所示： ①先作线段的垂直平分线，分别交、于点； ②再作的平分线，其与直线的交点即为点； ③以点为圆心，长为半径画圆，即为所求． 【小问2详解】 如图，过点作，垂足为，设， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 解得，即的半径为． 【点睛】本题考查角平分线的性质，切线的判定，勾股定理，组合图形求面积；掌握相关定理是解题的关键． 19. 如图，内接于，BC是的直径，D是AC延长线上一点． （1）请用尺规完成基本作图：作出的角平分线交于点P．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，过点P作，垂足为E．则PE与有怎样的位置关系？请说明理由． 【答案】（1）作图见解析 （2）是的切线，理由见解析 【解析】 【分析】（1）如图1所示，以点为圆心，大于为半径画弧，交于点，交于点；分别以点为圆心，大于的长度为半径画弧，交点为，连接即为角平分线，与的交点即为点． （2）如图2所示，连接，由题意可知，，，，；在四边形中，，，求出，得出，由于是半径，故有是的切线． 【小问1详解】 解：如图1所示 【小问2详解】 解：是的切线． 如图2所示，连接 由题意可知，， ，， 在四边形中 ∵ ∴ ∴ 又∵是半径 ∴是的切线 【点睛】本题考查了角平分线的画法与性质，切线的判定，圆周角等知识点．解题的关键在于将知识综合灵活运用． 20. 如图，已知是的直径，点在上，点在外． （1）动手操作：作的角平分线，与圆交于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）综合运用，在你所作的图中．若，求证：是的切线． 【答案】（1）作图见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）如图，以点C为圆心BC为半径画弧交AC于点M；以B、M为圆心，大于为半径画弧，交点为N，连接CN交于点D即可． （2）连接AD ， ，，，，AB为直径，进而可得AE是的切线． 【小问1详解】 解：如图，以点C为圆心BC为半径画弧交AC于点M；以B、M为圆心，大于为半径画弧，交点为N，连接CN交于点D． 【小问2详解】 解：连接AD，如图 ∵为直径 ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵AB为直径 ∴AE是的切线． 【点睛】本题考查了角平分线的画法，圆周角，切线的判定等知识．解题的关键在于对知识的灵活熟练的运用． 21. 如图，在中，，．完成以下两个小题的解答： （1）用尺规作的中点，并以为半径作（不写作法，保留作图痕迹），求证：与边相切； （2）若恰好交于边的中点，求的半径长． 【答案】（1）图见解析，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作的平分线交于点D，再以为半径作，再根据等腰三角形 的性质可得，即可； （2）设边的中点为点E，的半径为r，可得，在中，根据勾股定理求出r，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，点D和即为所求； 证明：∵，为的中点， ∴， ∵为的半径， ∴与边相切； 【小问2详解】 解：设边的中点为点E，的半径为r， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即的半径为． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质，尺规作图，勾股定理，熟练掌握切线的判定，等腰三角形的性质，作已知角的平分线，灵活运用勾股定理是解题的关键． 22. 如图，已知，点是上的一个定点． （1）请运用尺规在所给的图中按下列步骤完成作图，并按要求标上相应字母： ①作的平分线和过点作的垂线，使它们交于点； ②以点为圆心，长为半径作； （2）完成（1）的作图后，求证：是的切线． 【答案】（1）图见详解 （2）证明见详解 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作图的作角平分线和过点作垂线， （1）根据角平分线的作法和过点作垂线的方法作图即可； （2）由（1）得是的半径，过点O作交于点N，根据角平分线性质即可求得则有结论成立． 【小问1详解】 解：如图， 【小问2详解】 过点O作交于点N，如图， ∵以点为圆心，长为半径作， ∴是的半径， ∵平分， ∴， 又∵， ∴是的切线． 23. 如图，是半圆的直径，点是半圆上一点（不与点，重合），连接，．点为线段延长线上一点，连接，． （1）求证：为的切线； （2）作的平分线，交于点，交于点． ①请用无刻度的直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； ②若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角和等腰三角形的性质得出即可； （2）①按照尺规作图方法画图即可；②证明，得出为等腰直角三角形即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， 是半圆的直径， ， 即， ， ， ， ， 即， ， 为的半径， 为的切线； 【小问2详解】 解：①如图，为所作； ②平分， ， ， 而， ， ， ， 为等腰直角三角形， ． 【点睛】本题考查了切线的证明，尺规作图，等腰三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用切线的判定定理进行证明，利用等腰三角形的性质得出为等腰直角三角形． 24. 如图“字形”，， （1）作的角平分线，交于点，作出线段的中点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写出作法） （2）利用三角尺过点作，垂足为，以为圆心，长为半径作圆． ①判断与直线的位置关系，并说明理由； ②连接，若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）①直线与相切，理由见解析；②的半径为 【解析】 【分析】（1）根据作一个角的平分线的基本作图方法和作一条线段垂直平分线的基本作图方法进行作图即可； （2）①根据题意作图即可；过点F作于点H，根据角平分线的性质证明，说明点H在上，即可证明结论； ②先证明，得出，根据等腰三角形的性质，为的中点，得出，根据勾股定理得出，利用等积法求出即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作的的平分线，点F即为所求作的点． 【小问2详解】 解：①直线与相切，理由如下： 如图，过点F作于点H， ∵平分，， ∴， ∵为的半径， ∴为的半径， 即点H在上， ∴直线与相切； ②如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴根据勾股定理得： ， 又∵， ∴， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题主要考查了角平分线和垂直平分线的基本作图，切线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握基本的作图方法． 25. 如图，是半圆的直径，点是半圆上一点（不与点重合），连接，．点为线段延长线上一点，连接，． （1）求证：为的切线； （2）作的角平分线，交于点，交于点． ①请用无刻度的直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； ②若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】本题考查了作图—复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了角平分线的性质、垂径定理、圆周角定理和切线的判定． （1）连接，先根据圆周角定理得到，然后证明，即可得证； （2）①利用基本作图作的平分线即可；②先利用三角形外角的性质得到，得出为等腰直角三角形，得到，即可得解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， 是半圆的直径， ，即， ， ， ， ，即， ， 为的半径， 为的切线； 【小问2详解】 解：①如图，为所作， ； ②平分， ， ，，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ． 26. 中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定． 根据以上信息回答下列问题：（结果精确到，参考数据） （1）求的长； （2）该充电站有20个停车位，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形的实际应用： （1）先由矩形的性质得到，再解得到，接着解直角三角形得到，进而求出，据此可得答案； （2）解得到，解得到，再根据有20个停车位计算出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：在中，， 在中，， ∵该充电站有20个停车位， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 27. 某款SUV型汽车后备箱门正常开启时如图所示，该车型高，后备箱门长，当后备箱门正常开启后，．某车主的储藏室空间高度为m，问该车停入储藏室后能否正常开启后备箱门． 【答案】该车停入储藏室后能够正常开启后备箱门 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作垂线构造直角三角形是解题关键．过点C作交延长线于点D，求出即可判断． 【详解】解：过点C作交延长线于点D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∵， ∴该车停入储藏室后能够正常开启后备箱门． 28. 春运期间的一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长，拉杆最大伸长距离，点到地面的距离，旅行箱与水平面AE成角，求拉杆把手处到地面的距离（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了三角函数的基本概念，主要是正弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算． 作于点，在直角中利用三角函数即可求得的长，再加上的长度即可求解． 【详解】解：作于点． 在直角中，． ， ． 则拉杆把手处到地面的距离是：． 29. “醒狮”是岭南文化名城佛山一块闪亮的招牌，是国家非物质文化遗产之一，舞狮者用狮嘴将悬于高处、寓意着吉祥的“生菜”采摘的过程称为“采青”．舞狮者脚站立的位置与狮嘴可触摸到的位置之间的距离称为“采摘距离”，如图，舞狮者站在梅花桩上，与“生菜”放置点D的水平距离为米，．已知该舞狮者采摘距离为米，请利用所学知识判断该舞狮者能否“采青”成功，并说明理由．（参考数据：，，） 【答案】该舞狮者“采青”成功．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，再利用锐角三角函数求解，再比较即可． 【详解】解：如图，过作于， 结合题意可得：四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴该舞狮者“采青”成功． 30. 如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方处与坐垫下方处在平行于地面的水平线上，、之间的距离约为，现测得、与的夹角分别为与．若点到地面的距离为，坐垫中轴处与点间的距离为，求点到地面的距离．（结果保留一位小数参考数据：，，） 【答案】点到地面的距离约为 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用．过点作于点，过点作垂直的延长线于点，设，则，，由知，解之求得的长，再由根据点E到地面的距离为可得答案． 【详解】解：过点作于点，过点作垂直的延长线于点． 设，则，． 由知， 解得． ∵， ∴， ∴， 答：点到地面的距离约为． 31. 小明准备测量学校旗杆的高度，他发现斜坡正对着太阳时，旗杆的影子恰好落在水平地面和斜坡面上，测得旗杆在水平地面上的影长，在斜坡坡面上的影长，太阳光线与水平线所成的角为． （1）若斜坡的坡度是，求点到旗杆的距离； （2）若太阳光线与斜坡坡面的夹角为，求旗杆的高度；（精确到1m）．（参考数据：，，，，） 【答案】（1）点到旗杆的距离约为 （2）旗杆的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；含直角三角形的性质； （1）过点作交于点，过点作交于点，利用，，可求出的长度，即可确定点到旗杆的距离； （2）利用，，可得，在中利用三角函数即可求出、、的长度，在中求出的长度，即可确定旗杆的高度； 【小问1详解】 解：如图， 过点作交于点，过点作交于点， 则四边形是矩形， ∴，． ∵斜坡的坡度是， 即：， 设，， 在中，根据勾股定理得，解得， ∴， ∴点到旗杆的距离约为． 【小问2详解】 根据平行线的性质得：， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 在中， ∵， ∴． ∴． ∴旗杆的高度约为． 32. 下图是某篮球架的侧而示意图，四边形为平行四边形．其中为长度固定的支架，支架在A，D，G处与立柱连接（垂直于，垂足为H），在B，C处与篮板连接，旋转点F处的螺栓可以调节长度，使支架绕点A旋转，进而调节篮板的高度，已知． （1）如图1，当时，测得点C离地面的高度为，求的长度； （2）如图2，调节伸缩臂，将由调节为时，请判断点C离地面的高度是升高了还是降低了？并计算升（或降）的距离．（参考数据，） 【答案】（1）； （2）点离地面的高度升高了，升高了． 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形性质，矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键． （1）如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形，可得，根据四边形是平行四边形，可得，当时，则，此时，，即可求得； （2）当时，则，解直角三角形得，从而可得答案． 【小问1详解】 解：如图，延长与底面交于点，过作于，则， 四边形为矩形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 当时，则， 此时，， ∴； 【小问2详解】 解：当时，则， ∴， 而，， ∴点离地面的高度升高了，升高了． 33. 图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点A逆时针旋转，落在的位置（如图2所示）．已知，，． （1）当旋转角为时，求点E到点的距离． （2）已知箱盖可旋转的最大角度是，求此时点到BC的距离．（参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． （1）连接，，，利用旋转的性质可得出，，进而可得出是等边三角形，利用等边三角形的性质可得出，在中，利用勾股定理可求出的长度，结合可得出、两点的距离； （2）过点作于，交于，则，，由题意可知，，．解直角，利用正弦函数定义解答即可． 【小问1详解】 解：连接，，，如图所示． 由题意得：，， 是等边三角形， ． 四边形是矩形， ． 在中，厘米，厘米， 厘米， 厘米． 答：、两点的距离是厘米； 【小问2详解】 解：如图，过点作于，交于，则，， 由题意可知：，． 在中， ， （厘米）， （厘米）． 答：点到的距离约为157.3厘米． 34. 如图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角． （1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离； （2）若小明爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险请说明理由．（结果精确到，参考数据：，，， 【答案】（1）车后盖最高点到地面的距离约为 （2）没有碰头的危险．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点于，根据正弦的定义求出，进而求出车后盖最高点到地面的距离； （2）过点作于点，根据题意求出，根据余弦的定义求出，再求出点到地面的距离，比较大小证明结论． 【小问1详解】 解：如图2，过点于， 在中，，， ， ， 点到地面的距离为：， 答：车后盖最高点到地面的距离约为； 【小问2详解】 没有碰头的危险， 理由如下：如图2，过点作于点， 在中，， 则， ， ， ， ， 点到地面的距离为：， ， 没有碰头的危险． 35. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图1，便于社区居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为BC，遮阳棚长为5米，与水平面的夹角为． （1）求点A到墙面BC的距离； （2）当太阳光线AD与地面CE的夹角为时，量得影长CD为米，求遮阳篷靠墙端离地高BC的长．（结果精确到米；参考数据：，，） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）作，在中，根据三角函数，求出的长，即可求解， （2）作，依次求出，,的长，在中，根据三角函数，求出的长，即可求解， 本题考查了，解直角三角形的应用，解题的关键是：连接辅助线构造直角三角形． 【小问1详解】 解：过点A作，垂足为F， 在中，（米）， ∴（米）， ∴点A到墙面BC的距离约为米， 【小问2详解】 解：过点A作，垂足为G， 由题意得：，（米）， ∵（米）， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 在中， ∴（米）， ∴（米）， 故答案为：米． 36. 消防安全事关经济发展和社会和谐稳定，是惠及民生、确保民安的一项重要基础性工作，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧而示意图，点D，B，O在同一直线上，DO可绕着点O旋转，AB为云梯的液压杆，点O，A，C在同一水平线上，其中BD可伸缩，套管OB的长度不变， 在某种工作状态下测得液压杆，，． （1）求的长． （2）消防人员在云梯末端点D高空作业时，将BD伸长到最大长度6m，云梯DO绕着点O按顺时针方向旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了3.2m，求云梯OD大约旋转了多少度． （参考数据：，，，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解答本题的关键． （1）构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可解答； （2）求出旋转前点D的高度，进而求出旋转后点的高度，再根据锐角三角函数的定义求出的大小即可解答． 【小问1详解】 解：如图，过点B作于点E， 在中， ∴， 在中，，， ∵， ∴． 答：． 【小问2详解】 解：如图，过点D作于点F，旋转后点D的对应点为，过点作于点G，过点D作于点H， 在中，， ∴， ∴， 在中，, ∴， ∴， ∴，即云梯大约旋转了． 37. 如图1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形ABCD，其中，，此时它与出入口OM等宽，与地面的距离；当它抬起时，变为平行四边形，如图3所示，此时，与水平方向的夹角为． （1）求图3中点到地面的距离； （2）在电动门抬起的过程中，求点C所经过的路径长； （3）图4中，一辆宽，高的汽车从该入口进入时，汽车需要与BC保持的安全距离，此时，汽车能否安全通过﹖若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由． （参考数据：，，所有结果精确到） 【答案】（1）点到地面的距离约为 （2）点C所经过的路径约为 （3）汽车能安全通过，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题． （1）过点作于点，交于点，根据解直角三角形、锐角三角函数进行解答即可． （2）根据弧长公式解答即可； （3）根据解直角三角形、锐角三角函数进行解答即可． 【小问1详解】 解：如图1，过点作于点N，交AB于点E， 依题意得：，，， 在中， 答：点到地面的距离约为； 【小问2详解】 解：点是点C绕点D旋转得到的， 点C经过的路径长为． 答：点C所经过的路径约为． 【小问3详解】 汽车能安全通过． 解：在OM上取，，作于点F，交AB于点H，交于点G， 即汽车与BC保持安全距离，汽车的宽， ， 依题意得：，，四边形AOFH是矩形， ，， 在中， 汽车高度为，， 汽车能安全通过 38. 2012年广东陆丰渔政大队指挥中心（A）接到海上呼救：一艘韩国货轮在陆丰碣石湾发生船体漏水，进水速度非常迅猛，情况十分危急，18名船员需要援救．经测量货轮到海岸最近的点的距离，，指挥中心立即制定三种救援方案 （如图1）： ①派一艘冲锋舟直接从A开往B；②先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点C，然后再派冲锋舟前往B；③先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到距指挥中心的点D，然后再派冲锋舟前往B．已知冲锋舟在海上航行的速度为，汽车在海岸线上行驶的速度为．，， （1）通过计算比较，这三种方案中，哪种方案较好（汽车装卸冲锋舟的时间忽略不计）？ （2）事后，细心的小明发现，上面的三种方案都不是最佳方案，最佳方案应是：先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点P处，点P满足（冲锋舟与汽车速度的比），然后再派冲锋舟前往B（如图2）． ①利用现有数据，根据，计算出汽车行加上冲锋舟行的总时间． ②在线段上任取一点；然后用转化的思想，从几何的角度说明汽车行加上冲锋舟行的时间比车行加上冲锋舟行的时间要长． 【答案】（1）方案③较好 （2）①小时；②见详解 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，及优化方案的选择，难点在最后一问，注意判断出汽车行的时间冲锋舟行的时间是突破口，难度较大． （1）解直角三角形，可得出、的长度，然后分别求出三种方案需要的时间即可作出比较； （2）①在中求出、的长度，继而得出的长度，这样即可求出汽车行加上冲锋舟行的总时间； ②分两种情况讨论，当点在上时，当点在上时，过点作于点，表示出、，根据，可得，继而能判断出汽车行的时间冲锋舟行的时间，转换后比较即可得出结论． 【小问1详解】 解：（1）在中， ，， ，， ∵ ∴ 方案①需要用时：小时分钟， 方案②需要用时：小时分钟， 方案③需要用时：小时分钟 方案③较好； 【小问2详解】 解：①， 设，，则， 解得：， 即可得，， ， 故可得所用时间为：小时； ②延长过作于， 点为上任意一点，汽车开到点放冲锋舟下水，用时， 汽车开到放冲锋舟下水，用时， ∵ ∴， ∴， ∴ ， ∵， ， ； ∴当点在上任意一点时，过作于，同理可证：． 综上可得汽车行加上冲锋舟行的时间比车行加上冲锋舟行的时间要长． 39. 端午假期，王先生计划与家人一同前往景区游玩，为了选择一个最合适的景区，王先生对A、B、C三个景区进行了调查与评估．他依据特色美食、自然风光、乡村民宿及科普基地四个方面，为每个景区评分（10分制）．三个景区的得分如下表所示： 景区 特色美食 自然风光 乡村民宿 科普基地 A 6 8 7 9 B 7 7 8 7 C 8 8 6 6 （1）若四项所占百分比如图所示，通过计算回答：王先生会选择哪个景区去游玩？ （2）如果王先生认为四项同等重要，通过计算回答：王先生将会选择哪个景区去游玩？ （3）如果你是王先生，请按你认为的各项“重要程度”设计四项得分的百分比，选择最合适的景区，并说明理由． 【答案】（1）王先生会选择B景区去游玩 （2）王先生会选择A景区去游玩 （3）最合适的景区是B景区，理由见解析（不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了求平均数和求加权平均数： （1）根据加权平均数的计算方法分别计算出三个景区的得分即可得到答案； （2）根据平均数的计算方法分别计算出三个景区的得分即可得到答案； （3）设计对应的权重，仿照（1）求解即可． 【小问1详解】 解：A景区得分为分， B景区得分为分， C景区得分为分， ∵， ∴王先生会选择B景区去游玩； 【小问2详解】 解：A景区得分分， B景区得分分， C景区得分分， ∵， ∴王先生会选择A景区去游玩； 【小问3详解】 解：最合适的景区是B景区，理由如下： 设特色美食、自然风光、乡村民宿及科普基地四个方面的占比分别为， A景区得分为分， B景区得分为分， C景区得分为分， ∵， ∴王先生会选择B景区去游玩． 40. 学校团委组织了一次“中国梦·航天情”系列活动．下面是八年级甲，乙两个班各项目的成绩（单位：分）： 项目 班次 知识竞赛 演讲比赛 版面创作 甲 85 91 88 乙 90 84 87 （1）如果根据三项成绩的平均分计算最后成绩，请通过计算说明甲、乙两班谁将获胜； （2）如果将知识竞赛、演讲比赛、版面创作按5：3：2的比例确定最后成绩，请通过计算说明甲乙两班谁将获胜． 【答案】（1）甲班将获胜 （2）乙班将获胜 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据和平均数的计算方法可以解答本题； （2）根据加权平均数的计算方法可以解答本题． 【小问1详解】 甲班的平均分为：(85 +91 + 88) ÷3= 88(分)， 乙班的平均分为：（90 +84+87) + 3= 87(分)， ∵88>87， ∴甲班将获胜； 【小问2详解】 由题意可得： 甲班的平均分为： (分)， 乙班的平均分为：=87.6(分)， ∵87.4 < 87.6， ∴乙班将获胜． 【点睛】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法． 41. 为深入学习贯彻习近平法治思想，推动青少年宪法学习宣传教育走深走实，某校开展了宪法知识在线学习、知识竞赛与演讲比赛三项活动，下表是参加冠亚军决赛的两名选手的各项测试成绩（单位：分）． 选手/项目 在线学习 知识竞赛 演讲比赛 甲 84 96 90 乙 89 99 85 （1）若将在线学习、知识竞赛与演讲比赛三项成绩的平均分作为最后成组，谁将获得冠军？ （2）若将在线学习、知识竞赛与演讲比赛的成绩按2：3：5的比例计算最后成绩，谁将获得冠军？ 【答案】（1）乙会获得冠军 （2）甲会获得冠军 【解析】 【分析】（1）分别计算甲、乙的算术平均数，然后比较即可； （2）分别计算甲、乙的加权平均数，然后比较即可． 【小问1详解】 由题意知，甲的平均分为：分； 乙的平均分为：分； ∵91＞90， ∴乙会获得冠军； 【小问2详解】 由题意知，甲的最后成绩为：； 乙的最后成绩为：； ∵90.6＞90， ∴甲会获得冠军． 【点睛】本题考查了算术平均数与加权平均数，解题的关键在于熟练掌握平均数的计算方法． 42. 为了贯彻《积极推进中小学素质教育的若干意见》的文件和党的“二十大”精神，积极实施素质教育，某校举办了艺术节活动（活动包括多个项目的比赛）．在艺术节活动中，全校共有20名学生报名参加了主持人大赛，大赛内容共有三项：自由朗读、创意写作、即兴演讲，每个项目的比赛均由5位评委打分（满分100分），5位评委的平均分作为该项目比赛的实际成绩，三项比赛完成后，将自由朗读、创意写作、即兴演讲三项比赛的实际成绩按的比例计算每个主持人比赛的总评成绩．小明、小丽的三项实际成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下． 选手 实际成绩/分 总评成绩/分 自由朗读 创意写作 即兴演讲 小明 81 70 79 __________ 小丽 86 __________ 75 __________ （1）在创意写作比赛中，5位评委给小丽打出的分数为：83，78，79，85，80．请你计算小丽的总评成绩； （2）如果总评成绩排在前12名的同学将进入决赛，试分析小明、小丽能否进入决赛，并说明理由． 【答案】（1） （2）不能判断小明是否入选，但能判断小丽可以入选，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了求算术平均数和加权平均数，用加权平均数做决策： （1）先求出小丽创意写作的实际成绩，进而根据加权平均数的定义求出小丽的总评成绩即可； （2）先求出小明的总评成绩，再根据取前12名进入决赛结合得分在80分以上有10人进行求解即可． 【小问1详解】 解：小丽创意写作的实际成绩为分， ∴小丽的总评成绩为分； 【小问2详解】 解：不能判断小明是否入选，但能判断小丽可以入选，理由如下： 小明的总评成绩为分， ∵一共有20人参数，其中成绩不高于80分的人有10人， ∴小丽一定排名前10名，即小丽一定能入选，但是小明的总评为78分，根据现有条件无法推断小明的排名， ∴不能判断小明是否入选，但能判断小丽可以入选． 43. 大学期间含金量较高的四个竞赛之一：全国大学生英语竞赛，获奖学生轻松获取保研资格．某大学为此要选拔一位学生参加全国的英语竞赛，该校对参与选拔的同学进行了笔试、口语与听力三个方面的测试（满分均为100分），最终进入选拔的两位同学是小强和小敏，他们各项得分如下表所示： 姓名 笔试 口语 听力 小强 96 86 73 小敏 92 81 83 （1）求小强的平均成绩； （2）若按笔试占，口语占，听力占，计算综合成绩（满分为100分）．应该选派谁去参加全国的英语竞赛？ 【答案】（1）85分 （2）应该选派小强同学去参加全国的英语竞赛 【解析】 【分析】本题考查求平均数和加权平均数．掌握求平均数和加权平均数的公式是解题关键． （1）根据求平均数的公式求解即可； （2）根据求加权平均数的公式分别求出小强和小敏的综合成绩，再比较即可． 【小问1详解】 解：小强的平均成绩为分， 【小问2详解】 解：小强的综合成绩为分， 小敏的综合成绩为分， ∵， ∴应该选派小强同学去参加全国的英语竞赛． 44. 某校进行广播操比赛，比赛打分包括以下几项：服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐（每项100分）．其中甲乙两个班级的各项成绩如下表： 项目 甲班的成绩（分） 乙班的成绩（分） 服装统一 95 90 进退场有序 90 85 动作规范 85 b 动作整齐 90 95 平均分 a 90 （1）表中a的值为___________；b的值为___________． （2）若服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐四项得分按 的权重比例，请分别计算两个班级的广播操比赛成绩； （3）你认为上面四项中，哪一项最重要? 请你按照自己的想法设计一个评分方案．按照你的方案，哪个班的广播操比赛成绩最高? 【答案】（1）90，90 （2）甲班：89；乙班：91 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平均数和加权平均数； （1）根据求平均数的公式即可求解； （2）根据求加权平均数的公式即可求解； （3）动作规范更为重要，评分方案可拟为：四项得分依次按的比例计算成绩． 【小问1详解】 解：，，解得：； 故答案为：， 【小问2详解】 解：甲班：， 乙班： 【小问3详解】 解：动作规范更为重要，评分方案可拟为：四项得分依次按的比例计算成绩，则 甲班：， 乙班：， ∴乙班成绩更高； 45. 为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按4：4：2的比例计算出每人的总评成绩．小华、小明的三项测试成绩和总评成绩如表，这20名学生的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）如图． 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 小华 83 72 80 78 小明 86 84 ▲ ▲ （1）在摄影测试中，七位评委给小明打出的分数如下：66，72，69，69，75，69，70．则小明摄影测试成绩为______分； （2）请你计算出小明的总评成绩； （3）此次测试20名同学的总评成绩平均数是76.4分，计划选拔10名同学进入小记者站，小华认为她的总评成绩高于平均分，所以她一定能入选，你认为小华的说法正确吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）分 （3）小华的说法不正确，理由见解析 【解析】 【分析】此题考查了算术平均数和加权平均数的计算，利用中位数做决策，解题的关键是熟悉相关计算方法． （1）根据平均数计算方法求解即可； （2）计算采访、写作、摄影三项测试成绩的加权平均数即可； （3）由频数直方图可得，总评成绩不低于分的学生有名，则中位数一定大于78分，小华的总评成绩是分，进行分析即可得到结论． 【小问1详解】 解：根据题意可得，， 即小明摄影测试成绩为分， 故答案为： 【小问2详解】 根据题意可得，， ∴小明的总评成绩为分； 【小问3详解】 小华的说法不正确， 理由：由频数直方图可得，总评成绩不低于分的学生有名，则中位数一定大于78分，小华的总评成绩是分，学校要选拔10名小记者，小华的成绩一定不在前10名，因此小华一定不能入选．故小华的说法不正确 46. 自双减以来，同学们的课后延时服务活动丰富多彩，某学校在新的学期举办“篮球特色“热爱篮球选拔班”，大量球的同学踊跃报名，但由于名额有限，所以需要考，考核的最终评价成绩由篮球知识、身体素质、篮球技能三项构成，下表是对甲、乙两名同学的成绩记录． 成绩/分 篮球知识 身体素质 篮球技能 甲 93 94 89 乙 88 90 95 （1）如果根据三项成绩的平均分确定最终评价成绩，计算说明谁将获胜； （2）根据实际需要，将篮球知识、身体素质、篮球技能三项成绩按的比例确定最终评价成绩，计算说明谁将获胜； （3）如果你是“篮球特色班”的老师，请你制定一项标准来确定获胜人选，并说明制定该标准的理由． 【答案】（1）甲将获胜； （2）乙将获胜； （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查的知识点是算术平均数和加权平均数，掌握定义是解决问题的关键． （1）利用算术平均数的定义求出甲、乙两名同学的成绩，再进行比较，即可得出答案； （2）根据加权平均数的定义列出算式，求出甲、乙两名同学的成绩，再进行比较，即可得出答案； （3）按第（2）问的标准即可． 【小问1详解】 解：甲的成绩为（分）， 乙的成绩为（分）， ∵， ∴甲将获胜； 【小问2详解】 解：甲的成绩为（分）， 乙的成绩为（分）， ∵， ∴乙将获胜； 【小问3详解】 解：将篮球知识、身体素质、篮球技能三项成绩按的比例确定最终评价成绩，乙将获胜， 理由：因为是“篮球特色班”，要重点关注的是篮球技能，所以将篮球知识、身体素质、篮球技能三项成绩按的比例确定最终评价成绩． 47. 某班为了从甲、乙两人中选出一人担任班长，进行了一次测评活动，邀请了五位老师作为评委，对学生进行个人测评，全班50位同学进行民主测评，结果如图所示： 【确定规则】 ①个人测评得分算法：去掉一个最高分和一个最低分后，再算出平均分； ②民主测评得分算法：“优”票数“良”票数“中”票数； ③综合得分算法：． 【问题解决】 （1）如果只采用个人测评规则，你认为获胜者是谁； （2）分别求甲的民主测评得分和乙的民主测评得分； （3）综合得分高的学生当选为班长，通过计算，判断最终当选的是甲还是乙？ 【答案】（1）甲 （2）139分，148分 （3）乙 【解析】 【分析】本题考查了平均数和加权平均数的应用，解题的关键是正确计算平均数和加权平均数． （1）分别计算甲、乙个人测评的平均分，比较即可； （2）按照民主测评得分的算法，分别计算即可； （3）分别计算甲、乙的综合得分，比较即可． 【小问1详解】 解：甲的个人测评得分为（分）， 乙的个人测评得分为（分）， ， 获胜者是甲； 【小问2详解】 甲的民主测评得分为（分）， 乙的民主测评得分为（分）， 甲的民主测评得分为139分，乙的民主测评得分为148分； 【小问3详解】 甲的综合得分为（分）， 乙的综合得分为（分）， ， 最终当选的是乙． 48. 为推动全民阅读、建设书香社会、增强青少年的爱国情感，某校举办“阅读红色经典，讲好思政故事”主题演讲活动．本次活动共有30名学生参加比赛，七名评委从演讲内容、语言表达、形象风度、综合印象四项对参赛学生评分，去掉一个最高分和一个最低分后取平均分得到每项成绩（单位：分，满分100分），再将演讲内容、语言表达、形象风度、综合印象四项成绩按的比例计算出每名学生的最终成绩．30名学生的成绩统计如下． a．30名学生最终成绩频数分布直方图 （每组包含最小值，不包含最大值） b．选手小华和小明的四项成绩和最终成绩统计表如下． 学生 四项成绩/分 最终成绩/分 演讲内容 语言表达 形象风度 综合印象 小华 97 96 90 94 95 小明 a 88 83 85 b c．七名评委给小明的演讲内容打分分别为87，85，91，94，91，88，93． 请根据上述信息，解答下列问题： （1）七名评委给小明的演讲内容打分的这组数据中，去掉一个最高分和一个最低分，剩余数据的中位数是________分，平均数是________分． （2）请计算小明的最终成绩． （3）学校决定根据最终成绩从高到低设立一等奖、二等奖、三等奖、优秀奖，占比分别为10%，20%，30%，40%．请你判断小华和小明分别获得几等奖，并说明理由． 【答案】（1）91，90 （2）小明的最终成绩为87.5分 （3）小华获一等奖，小明获三等奖，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了中位数，平均数的定义，频数直方图； （1）根据题意去掉一个最高分和一个最低分，剩余数据为87、、91、91、93，进而根据中位数，平均数的定义进行求解即可； （2）根据加权平均数公式进行计算即可求解； （3）根据题意得出获一等奖的学生有名，根据频数直方图得出最终成绩不低于95 分且小于100分的学生有2名，进而可得小华获一等奖；同理得出小明获三等奖． 【小问1详解】 解：从小到大排列为：85、87、、91、91、93、94，去掉一个最高分和一个最低分，剩余数据为87、、91、91、93 中位数为，平均数是（分） 故答案为：91， 90． 【小问2详解】 【小问3详解】 小华获一等奖，小明获三等奖． 理由：获一等奖的学生有(名)，由频数直方图可知，最终成绩不低于95 分且小于100分的学生有2名， 小华最终成绩95分在这一组，因此小华获一等奖； 获一、二等奖的学生共有(名)， 获三等奖的学生有(名),由频数直方图可知，最终成绩不低于90分的学生获一等奖或二等奖，最终成绩不低于85分且小于90分的学生有9名，均获三等奖.又因为小明最终成绩为分，所以小明获三等奖. 49. 八（6）班为从甲、乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩和民主测评.其中，A、B、C、D、E五位老师作为评委，对演讲答辩情况进行评价，结果如下表；另全班50位同学参与民主测评进行投票，结果如下图： A B C D E 甲 89 91 92 94 93 乙 90 86 85 91 94 规定: 演讲得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法确定；民主测评得分=“好”票数×2分+“较好”票数×1分+“一般”票数×0分. （1）求甲、乙两位选手各自演讲答辩的平均分; （2）民主测评统计图中a= ，b= ； （3）求甲、乙两位选手的民主测评得分； （4）若按演讲答辩得分和民主测评6:4的权重比计算两位选手的综合得分,则应选取哪位选手当班长? 【答案】（1）甲：92；乙：89；（2）7，4；（3）甲：87；乙：88；（4）选取甲选手当班长 【解析】 【分析】（1）根据题意要求去掉最高分，去掉最低分，求平均数即可. （2）利用总人数为50人，即可求得. （3）根据题中所给民主测评得分计算规则计算即可. （4）利用加权平均数公式计算即可. 【详解】（1）去掉最高分94，去掉最低分89，甲演讲答辩平均分：（分） 去掉最高分94，去掉最低分85，乙演讲答辩平均分：（分） （2）40+a+3=50, ∴ a= 7 ； 42+b+4=50，∴b= 4 （3）甲民主测评得分：（分） 乙民主测评得分：（分） （4）选取甲选手当班长.理由如下： 甲综合得分：（分） 乙综合得分：（分） ∵ 90>88.6 ∴选甲 【点睛】本题考查了统计中平均数、加权平均数等知识点，难度较低，熟练掌握相关公式是解题关键. 50. 当代育种研究中，基因编辑是最重要的前沿技术之一，近年来我国农学领域基因编辑研究取得具有国际影响的成果，为了解该甜玉米种子的相关情况，用10块试验田进行试验，号为抗干旱试验田，得到各试验田每公顷的产量（单位：t） 试验田编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 每公顷产量（单位：t） 7.2 7.5 7.8 7.5 8.2 9.7 7.9 6.7 8.5 9.4 每公顷平均产量计算方案如下： 方案一：取各试验田每公顷产量的平均数，则该甜玉米种子每公顷平均产量为． 方案二：从各试验田每公顷产量中先去掉一个最高产量和一个最低产量，再取其余8块试验田每公顷产量的平均数，则该甜玉米种子每公顷平均产量为 回答下列问题： （1）小明认为“方案二”比“方案一”更合理，你 ___________小明的说法吗（填“同意”或“不同意”）？理由是 ___________； （2）小明认为该甜玉米种子既要突出抗虫害的优势又要体现抗旱性，因此设计了“方案三”：先计算1至4号试验田每公顷产量的平均产量，5至10号试验田每公顷产量的平均产量，再根据需求设置相应的权重（表示抗虫害的权重，表示抗干旱的权重，且），则该甜玉米种子每公顷平均产量为． Ⅰ．当按照“方案三”中时，求该甜玉米种子每公顷平均产量； Ⅱ．关于每公顷平均产量计算方案，下列说法正确的有 ___________． ①当时，该甜玉米种子每公顷平均产量按照“方案三“和“方案一”计算结果相同； ②当时，说明“方案三”更注重该甜玉米种子的抗虫害性； ③当时，该甜玉米种子每公顷平均产量按照“方案三”计算的结果比“方案一”和“方案二”都高． 【答案】（1）同意，去掉最高分和最低分，减少“极端值”对平均数的影响 （2）Ⅰ：7.76，Ⅱ：②③ 【解析】 【分析】（1）根据平均数的计算方法，以及“绝端值”对平均数的影响进行解答即可； （2）先求出、再根据加权平均数的计算方法进行计算即可；再根据题意逐项进行计算可得答案． 【小问1详解】 解：同意，理由：去掉最高分和最低分， 故答案为：同意，去掉最高分和最低分； 【小问2详解】 解：Ⅰ：，， ∴根据“方案三”中评分时，该甜玉米种子每公顷平均产量为， Ⅱ：①当时，该甜玉米种子每公顷平均产量按照“方案三“为， 由于， 因此①不正确； 当时，“方案三”的结果为5.5×0.4+8.4×7.6=8.04（分）， 当f时，按照“方案三”结果小于8.04分， 因此②正确， ③当时，甜玉米种子每公顷平均产量按照“方案三”计算的结果为（分）， 由于， 当时，该甜玉米种子每公顷平均产量按照“方案三”计算的结果比“方案一”和“方案二”都高； 综上所述，正确的结论为②③． 故答案为：②③． 【点睛】本题考查加权平均数，理解加权平均数的意义，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键． 51. 广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币） 【答案】当定价为4.5万元每吨时，利润最大，最大值为312.5万元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设每吨降价x万元，每天的利润为w万元，根据利润每吨的利润销售量列出w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设每吨降价x万元，每天的利润为w万元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∴， 答：当定价为万元每吨时，利润最大，最大值为万元． 52. 某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，那么每天可销售100件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件．将销售价定为多少元，才能使每天所获销售利润最大？ 【答案】销售价定为14元时，每天所获销售利润最大，且最大利润是360元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意列出二次函数，将函数化简为顶点式，便可知当时，所获得的利润最大． 【详解】解：设销售单价定为元（），每天所获利润为元． 则 ， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为360， 所以将销售定价定为14元时，每天所获销售利润最大，且最大利润是360元． 53. 某商场试销一种服装，成本为每件60元，经试销发现，每天销售量y（件）与销售单价x（元）的关系符合一次函数，当销售单价为多少元时，能使每天的利润最大？求出最大利润． 【答案】当销售单价定为105元时，可获得最大利润，最大利润是2025元． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键．先根据利润=每件的利润×销售量表示出利润，然后利用二次函数的性质求最大值即可． 【详解】解：设每天的利润为元，而， 则 ， ∵， ∴函数有最大值， ∴当销售单价定为105元时，可获得最大利润，最大利润是2025元． 54. 某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出件，应如何定价才能使利润最大？ 【答案】定价为115元利润最大 【解析】 【分析】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 本题是营销问题，基本等量关系：利润每件利润销售量，每件利润每件售价每件进价．再根据所列二次函数求最大值． 【详解】解：依题意得： 整理得：． ， 当时，二次函数有最大值7225， 定价是115元时，利润最大． 55. 某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．问销售单价定为多少时，才能在半个月内获得最大利润？ 【答案】单价定为35元时，才能在半个月内获得最大利润 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的销售盈利问题：先设销售单价为x元，销售利润为y元，每件盈利元，销售数量为件，列式化简计算，即可作答． 【详解】解：设销售单价为x元，销售利润为y元， 根据题意，得 ， 开口向下，在时，则有最大值， 当销售单价定为35元时，才能在半个月内获得最大利润． 56. 直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】每件售价定为55元时，每天的销售利润最大，最大利润是450元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，二次函数最值，设每件售价定为元，利润为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，根据每天利润每件的销售利润日销售量，列出关于的函数关系式，并化为顶点式，利用二次函数的性质解答即可，解题关键是利用二次函数的性质求最值． 【详解】解：设每件售价定为元，利润为元，且, 根据题意，得 ． ∵， 二次函数的图象开口向下， ∴时，w最大，为450元， 答：每件售价定为55元时，每天的销售利润最大，最大利润是450元． 57. 请用函数知识解决问题：某超市销售一种饮料，每瓶进价为5元，售价在6元到10元之间（含6元，10元）．经市场调查表明，当售价在该范围内浮动时，每瓶售价每增加1元，日均销售量减少50瓶；当售价为每瓶7元时，日均销售量为200瓶．问：销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润（每瓶毛利润每瓶售价每瓶进价）最大？最大日均毛利润为多少元？ 【答案】销售价格定为每瓶8元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为450元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，设总利润为元，销售价格定为每瓶元，则利润为元，即可得，再利用二次函数的性质即可作答． 【详解】设总利润为元，销售价格定为每瓶元，则利润为元， 由题意，得：， ， ， ， 当时，， 即销售价格定为每瓶8元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为450元． 58. 某商店对柑橘上市后的市场销售情况进行跟踪调查，当柑橘的销售单价为每件25元时，每天的销售量为50件，销售单价每提高1元，每天的销售量就减少2件． （1）用适当的函数表示该柑橘的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系，其中； （2）已知柑橘的进货价格为每件20元，当柑橘的销售单价定为多少时，该商店销售柑橘每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）柑橘的销售单价定为35元时，该商店销售柑橘每天获得的利润最大，最大利润为450元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用： （1）根据销售单价为每件25元时，每天的销售量为50件，销售单价每提高1元，每天的销售量就减少2件列出对应的函数关系式即可； （2）设当柑橘的销售单价为x元时，该商店销售柑橘每天获得的利润为w元，根据利润（售价进价）销售量列出w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， 【小问2详解】 解：设当柑橘的销售单价为x元时，该商店销售柑橘每天获得的利润为w元， 由题意得，， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为450， ∴柑橘的销售单价定为35元时，该商店销售柑橘每天获得的利润最大，最大利润为450元． 59. 万达广场以每件元购进一种商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不得高于元/件，试销中发现每天的销售量（件）与每件的销售价（元）满足一次函数，且销售价与销售量的关系如下表： 销售价（元） 销售量（件） 求商场每天的销售利润（元）与每件的销售价（元）的函数关系式，如果商场要想获得最大利润，每件商品的销售价定为多少为最合适？最大销售利润为多少？ 【答案】每件销售价为20元时最合适，每天的销售利润最大，最大销售利润是200元． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，根据题意列出函数关系式，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．设与之间的函数关系式为，把代入求出k和b的值即可得出函数关系式，根据“总利润＝每件的利润×销售量”可得函数解析式，利用二次函数的性质进一步求解可得． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 把代入得： ， 解得：， ∴与之间的函数关系式为， ∵销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件， ∴； 根据题意可得： ∵， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w取最大值，此时， ∴每件销售价为20元时最合适，每天的销售利润最大，最大销售利润是200元． 60. 习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某公司为配合国家垃圾分类入户的倡议，设计了一款成本为元/个的多用途垃圾桶投放市场，经试销发现，销售量（个）与销售单价（元）符合一次函数关系：当时，；当时，． （1）若该公司获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的函数解析式； （2）若物价部门限定该产品的销售单价不得超过30元/个，那么定价为多少元时才可获得最大利润？ 【答案】（1） （2）当销售单价定为元时，商场可获最大利润，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据利润=销售量×（销售单价-成本）得到与之间的函数关系式， （2）利用二次函数的性质结合已知条件求解即可． 【小问1详解】 解：设销售量y（个）与销售单价x（元）一次函数关系为， 当时，；当时，． ，解得 ， ∴ ， 【小问2详解】 解：， ，抛物线开口向下，在的左侧，随的增大而增大， 时，有最大值，最大值为元． 答：当销售单价定为元时，商场可获最大利润，最大利润是元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$