专题01 二次根式（中等类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

专题01二次根式思维导图 【类型覆盖】 类型一、同类二次根式 【解惑】下列二次根式，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知最简二次根式与是同类二次根式，则的值是（　　） A．7 B．5 C．4 D．3 2．二次根式与最简二次根式可以加减合并，则 ． 3．要使（a，b为整数且），则a的最小值为 ，此时 ． 类型二、最简二次根式 【解惑】下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知一个三角形工件尺寸（单位：）如图，高l的长为（    ） A． B． C． D． 2．若与最简二次根式能合并，则m的值为 3．我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是 型无理数． 类型三、二次根式中求参 【解惑】若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【融会贯通】 1．如果，则的平方根是（    ） A．-7 B．1 C．7 D．±1 2．计算：如果，那么 ； ． 3．＝2，则a＝ ． 类型四、积的算术平方根 【解惑】计算的结果是(    ) A． B． C． D． 【融会贯通】 1．化简的结果是(    ) A． B． C． D． 2．观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，…，那么第个数据是 ． 3．观察下列各式及其验证过程． . 验证： 同理可得：，， … 通过上述探究你能猜测出： ______()，并验证你的结论． 类型五、二次根式的数轴化简 【解惑】实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C．b D． 【融会贯通】 1．在数轴上表示实数a的位置如图所示，化简的结果为（    ） A．2 B．4 C． D．2a 2．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ． 3．如图，实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简 ．    类型六、二次根式的移根化简 【解惑】把根号外的因式移进根号内，结果等于(    )． A． B． C． D． 【融会贯通】 1．若m＜0，n＞0，把代数式中的m移进根号内的结果是(　　)． A． B． C． D． 2．若，，把代数式中的移进根号内结果是 . 3．阅读材料，学解问题：小聪在学习二次根式时，通过计算，他就想化简的结果应为，即，接着他又通过计算验证得到，受到这个发现的启迪，于是他就想找到化简形如的式子的一般方法．善于思考的小聪进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数）， 则有． ∴①，②， 得， ∴， 因式分解得，， ∵a、b、m、n均为整数， ∴和均为的因数， 由此可以得到方程组验证求出m，n的值，从而化简． (1)请你根据小聪的方法探索化简： 当设（m、n均为正整数，），则①______， ______， ∴②______，______， ∴③______， ______，（经验证，其他情况均不成立，故舍去）， ∴④______； 在得到的化简的一般方法后，兴奋的小聪继续深入探究化简形如（a、b、c均为正整数，且b没有平方数因数，）的式子的一般方法，通过思考，他发现当（k为大于1的整数）时，将k移进根号内，就把问题转化为就可以化简了． (2)请你根据小聪的方法化简______． 接着他想，上面的式子之所以能通过变形化简，是因为第一层根号内的式子能变形成完全平方式，小聪又琢磨形如（a、b、d均为正整数，且b没有平方数因数，d为奇数）的式子能否化简，若能化简，其一般方法又是怎样的呢？经过深入思考，他得到如下方法：将看出分母为1的式子，然后，分子和分母都乘以2，再把分子上的2移到第一层根号内，这样，问题就变成（2）中的问题了，即，再利用（2）的化简方法就可以解决问题了． (3)他这种解决问题的策略用的是______数学思想． 类型七、二次根式的估算 【解惑】估计的值应在（　　） A．5和6之间 B．4和5之间 C．7和8之间 D．6和7之间 【融会贯通】 1．估计的值在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 2．（1）比较大小： 4；（2）估计介于 与 两个连续整数之间． 3．（n为正整数）的近似值可以这样估算：，其中m是最接近n的完全平方数．例如：，这与科学计算器计算的结果4.8989…很接近． (1)按照以上方法，估计的近似值（精确到0.1）； (2)结合图中思路，解释该方法的合理性． 类型八、二次根式与公式法结合运算 【解惑】先化简，再求值：，其中，． 【融会贯通】 1．（1）计算： （2）已知，，求的值． 2．求值： (1)已知，求的值； (2)先化简，再求值：，其中． 3．有，．求： (1)； (2)． 类型九、化简求值 【解惑】先化简再求值：当时，求的值． 【融会贯通】 1． 先化简， 再求值： ， 其中． 2．先化简，再求值： ；其中． 3．计算 (1)； (2)； (3)阅读下列材料，已知，求代数式的值． 解：∵， ∴， ∴． ∴． ∴． ∴． 按材料上提供的方法，求解下列问题： 已知，求的值． 类型十、二次根式的整数、小数部分 【解惑】已知，分别是的整数部分和小数部分． (1)分别写出，的值； (2)求的值． 【融会贯通】 1．已知，． (1)求和ab的值； (2)求的值； (3)若a的小数部分是x，b的整数部分是y，求的值． 2．阅读理解． ，即，的整数部分为，的小数部分为． 解决问题：已知是的整数部分，是的小数部分． (1)求，的值； (2)求的值． 3．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将减去其整数部分，差就是其小数部分．请解答： (1)的整数部分是_________，小数部分是_________； (2)如果的小数部分为的整数部分是，求的值； (3)已知：，其中是整数部分，是小数部分，且，求的相反数． 【一览众山小】 1．下列说法正确的是（    ） A． B．与是同类项 C．是最简二次根式 D．有意义的条件是 2．若，，则的值为（    ） A． B． C．4 D．10 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若二次根式是正整数，则整数m的最小值为 ． 5．计算： ． 6．实数a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是 ． 7．先化简，再求值：，其中． 8．若，化简，小杰的解答过程如下： 解：原式        第一步              第二步                       第三步 (1)小杰的解答从第 步出现了错误，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； (2)请你写出正确的解答过程． 9．小芳解答问题“已知，求的的值”的过程如下： ∵  ∴，即，∴． ∴ 请你根据小芳的解答过程，解决下列问题： (1)，求：的值 (2)化简 10．已知，，，求， (1)_____________；_____________； (2)若为整数部分，为小数部分，求的值. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01二次根式思维导图 【类型覆盖】 类型一、同类二次根式 【解惑】下列二次根式，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同类二次根式，先根据二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义解答即可．解题的关键是掌握同类二次根式的定义：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． 【详解】解：A．，它的被开方数是，与的被开方数相同，是同类二次根式，能合并，故此选项符合题意； B．，它的被开方数是，与的被开方数不同，不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； C．，它的被开方数是，与的被开方数不同，不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； D．的被开方数是，与的被开方数不同，不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意． 故选：A． 【融会贯通】 1．已知最简二次根式与是同类二次根式，则的值是（　　） A．7 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式与最简二次根式的定义，列出方程求解即可． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得． 故选：C 2．二次根式与最简二次根式可以加减合并，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键．化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义列式求解即可． 【详解】解：∵二次根式与最简二次根式可以加减合并， ∴与是同类二次根式， ∴， ∴． 故答案为：6． 3．要使（a，b为整数且），则a的最小值为 ，此时 ． 【答案】 10 4 【分析】本题考查了二次根式的加减，同类二次根式；由及和为知，与是同类二次根式，则可求得a的最小值，从而求得b． 【详解】解：与是同类二次根式， 与是同类二次根式， 中的a最小为10， 此时， ； 故答案为：10；4． 类型二、最简二次根式 【解惑】下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，故不是最简二次根式，不符合题意； C、，故不是最简二次根式，不符合题意； D、，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选A． 【融会贯通】 1．已知一个三角形工件尺寸（单位：）如图，高l的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，过点A作于D，设，则，由勾股定理得，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于D， 设，则， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴高l的长为， 故选：B． 2．若与最简二次根式能合并，则m的值为 【答案】1 【分析】本题考查最简二次根式与同类二次根式，解题关键是理解同类二次根式的概念．根据两个根式能够合并，化简后它们的被开方数相同解答即可． 【详解】解：∵，最简二次根式能与合并， ∴， 解得， 故答案为：1． 3．我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是 型无理数． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练运用完全平方公式是解题的关键． 利用完全平方公式进行化简即可． 【详解】解： ∴是型无理数． 故答案为：． 类型三、二次根式中求参 【解惑】若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】C 【分析】本题考查解二次根式方程，涉及二次根式乘法运算、二次根式定义及解一元一次方程等知识，熟练掌握二次根式定义是解决问题的关键． 先由二次根式乘法运算化简，再由二次根式定义得到方程，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：， ， ，即，解得， 故选：C． 【融会贯通】 1．如果，则的平方根是（    ） A．-7 B．1 C．7 D．±1 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质求出x、y的值，再代入求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故，则， 故的平方根是：±1． 故选：D． 【点睛】本题考查了关于二次根式的运算问题，掌握二次根式的性质、平方根的性质是解题的关键． 2．计算：如果，那么 ； ． 【答案】 5 【分析】根据二次根式的非负性解答即可，即． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 故答案为：5，． 【点睛】本题考查了二次根式的双重非负性，熟知是解题的关键． 3．＝2，则a＝ ． 【答案】 【分析】首先根据二次根式有意义的条件得到，再根据算术平方根的定义求解即可得出结果． 【详解】解：， ，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查解方程，涉及到二次根有意义的条件和算术平方根的定义，熟练掌握二次根式的定义及性质是解决问题的关键． 类型四、积的算术平方根 【解惑】计算的结果是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质化简，即可解答． 【详解】原式=． 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是熟记二次根式的性质． 【融会贯通】 1．化简的结果是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断a的正负，再化简二次根式． 【详解】∵32a5≥0，∴a≥0，∴=． 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题的关键． 2．观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，…，那么第个数据是 ． 【答案】 【分析】通过观察可知，规律是根号外的符号以及根号下的被开方数依次是：，，…，，可以得到第个数据． 【详解】解：由题意可知：题目中的数据可以整理为：，，，…，， ∴第个数据是∶． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，考查了最简二次根式，学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出—般性的规律．观察数据发现规律是解题关键． 3．观察下列各式及其验证过程． . 验证： 同理可得：，， … 通过上述探究你能猜测出： ______()，并验证你的结论． 【答案】，见解析. 【分析】首先理解题意，结合题意对原式进行计算，继而可求得答案． 【详解】． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，读懂题目，熟练应用二次根式的性质进行化简是解题关键. 类型五、二次根式的数轴化简 【解惑】实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C．b D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴、绝对值的性质和二次根式的性质，根据数轴得出，，然后利用绝对值的性质和二次根式的性质化简． 【详解】解：由数轴可知：，， ∴， ∴， 故选：A． 【融会贯通】 1．在数轴上表示实数a的位置如图所示，化简的结果为（    ） A．2 B．4 C． D．2a 【答案】A 【分析】本题考查实数与数轴，化简绝对值和二次根式，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，进行化简即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴原式； 故选：A． 2．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ． 【答案】/ 【分析】此题考查了立方根、平方根、绝对值、整式的加减等知识，先得到，再化简立方根、平方根、绝对值后合并同类项即可． 【详解】解：由数轴得，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 3．如图，实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简 ．    【答案】 【分析】本题考查了整式的加减和去绝对值，二次根式化简，立方根，根据数轴分别判断，，，的正负，然后去掉绝对值即可，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负． 【详解】解：由数轴可知，，，则， ∴ ， 故答案为：． 类型六、二次根式的移根化简 【解惑】把根号外的因式移进根号内，结果等于(    )． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题解析： 故选D. 【融会贯通】 1．若m＜0，n＞0，把代数式中的m移进根号内的结果是(　　)． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质解答． 【详解】解：， 故选C. 【点睛】将根号外的m移到根号内，要注意自身的符号，只有正数平方后可以移到根号里面作因数，是负数的把负号留在根号外，同时注意根号内被开方数的符号． 2．若，，把代数式中的移进根号内结果是 . 【答案】 【分析】根据二次根式的性质变形即可得到答案. 【详解】解：，， 把代数式中的m移进根号结果是：. 故答案为：. 【点睛】本题考查了二次根式的双重非负性质，熟知二次根式的性质和计算法则是解题关键. 3．阅读材料，学解问题：小聪在学习二次根式时，通过计算，他就想化简的结果应为，即，接着他又通过计算验证得到，受到这个发现的启迪，于是他就想找到化简形如的式子的一般方法．善于思考的小聪进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数）， 则有． ∴①，②， 得， ∴， 因式分解得，， ∵a、b、m、n均为整数， ∴和均为的因数， 由此可以得到方程组验证求出m，n的值，从而化简． (1)请你根据小聪的方法探索化简： 当设（m、n均为正整数，），则①______， ______， ∴②______，______， ∴③______， ______，（经验证，其他情况均不成立，故舍去）， ∴④______； 在得到的化简的一般方法后，兴奋的小聪继续深入探究化简形如（a、b、c均为正整数，且b没有平方数因数，）的式子的一般方法，通过思考，他发现当（k为大于1的整数）时，将k移进根号内，就把问题转化为就可以化简了． (2)请你根据小聪的方法化简______． 接着他想，上面的式子之所以能通过变形化简，是因为第一层根号内的式子能变形成完全平方式，小聪又琢磨形如（a、b、d均为正整数，且b没有平方数因数，d为奇数）的式子能否化简，若能化简，其一般方法又是怎样的呢？经过深入思考，他得到如下方法：将看出分母为1的式子，然后，分子和分母都乘以2，再把分子上的2移到第一层根号内，这样，问题就变成（2）中的问题了，即，再利用（2）的化简方法就可以解决问题了． (3)他这种解决问题的策略用的是______数学思想． 【答案】(1)①8，15；②24，24；③5，3；④ (2) (3)转换化归 【分析】本题考查二次根式的化简．掌握题干给定的化简方法，构造完全平方公式，是解题的关键． （1）根据题干的步骤，逐一进行计算即可； （2）根据题干给定的方法，进行化简即可； （3）用到了转换化归的数学思想． 【详解】（1）解：当设（m、n均为正整数，）， ∴， 则①，， ∴②，即：， ∴③，，（经验证，其他情况均不成立，故舍去）， ∴④； 故答案为：①8，15；②24，24；③5，3；④ （2）解：∵， ∴设，（m、n均为正整数，）， ∴， 则，， ∴，即：， ∴，，（经验证，其他情况均不成立，故舍去）， ∴； 即：； 故答案为：； （3）他这种解决问题的策略用的是转换化归的数学思想； 故答案为：转换化归． 类型七、二次根式的估算 【解惑】估计的值应在（　　） A．5和6之间 B．4和5之间 C．7和8之间 D．6和7之间 【答案】B 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，根据二次根式混合运算法则计算得到结果，再估算结果的范围即可，正确掌握二次根式混合运算法则是解题的关键 【详解】解：原式 ∵ ∴ 故选：B. 【融会贯通】 1．估计的值在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，二次根式的乘法运算，正确得出无理数接近的有理数是解题关键． 先计算，估算出，即，进而完成解答． 【详解】解：∵，， ∵， ∴，即． 故选：B． 2．（1）比较大小： 4；（2）估计介于 与 两个连续整数之间． 【答案】 4 5 【分析】（1）根据，利用二次根式的性质和无理数的估算即可得； （2）根据，利用无理数的估算即可得． 【详解】解：（1）， ，即， 故答案为：； （2）， ，即， 故答案为：4，5． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键． 3．（n为正整数）的近似值可以这样估算：，其中m是最接近n的完全平方数．例如：，这与科学计算器计算的结果4.8989…很接近． (1)按照以上方法，估计的近似值（精确到0.1）； (2)结合图中思路，解释该方法的合理性． 【答案】(1)6.6 (2)见解析 【分析】本题考查的是无理数的估算，新定义的含义，完全平方公式的应用，理解新定义的含义是解本题的关键； （1）根据新定义的法则进行估算即可． （2）设，其中，再变形，结合完全平方公式可得结论． 【详解】（1）解：由新定义可得： ； （2）解：设，其中． 则． 将两边平方，得． ∵ ， ∴  的值会更接近于0，不妨近似为0． ∴  ． ∴ ， 即． 类型八、二次根式与公式法结合运算 【解惑】先化简，再求值：，其中，． 【答案】化简后可得；原式． 【分析】本题考查的知识点是分式化简求值、分母有理化，解题关键是熟练掌握分式化简求值． 先对分式进行化简，再将字母的值代入，根据二次根式的加减运算、分母有理化进行计算即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 当，时， 原式． 【融会贯通】 1．（1）计算： （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算以及化简求值： （1）原式根据完全平方公式和平方差公式进行计算即可； （2）原式先计算，，再把变形为，然后整体代入计算即可 【详解】解：（1） ； （2）∵，， ∴， ∴ ． 2．求值： (1)已知，求的值； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查完全平方公式、二次根式的运算、分式的混合运算及化简求值： （1）先计算出和，再利用完全平方公式将原式变形为即可求解； （2）先将括号内式子通分，再变分式除法为分式乘法，约分化简后将代入求值即可． 【详解】（1）解：， ，， ； （2）解： ， 将代入，得： 原式． 3．有，．求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值和分式加法，完全平方公式，熟练掌握二次根式的运算法则和乘法公式是解题关键． （1）将，代入再利用完全平方公式展开计算即可； （2）先计算，再利用分式加减和平方差公式将变形为，再将的值代入计算即可得． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ． 类型九、化简求值 【解惑】先化简再求值：当时，求的值． 【答案】， 【分析】本题考查二次根式化简求值，解题的关键是掌握． 先用化简，再将时代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 【融会贯通】 1． 先化简， 再求值： ， 其中． 【答案】； 【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式除法运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 将 代入得： 原式 ． 2．先化简，再求值： ；其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式化简求值，涉及因式分解、分式混合运算法则等知识，先因式分解，在通分，利用分式加减运算及乘法运算法则化简，再将代入求值即可得到答案，熟练掌握分式混合运算法则是解决问题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 3．计算 (1)； (2)； (3)阅读下列材料，已知，求代数式的值． 解：∵， ∴， ∴． ∴． ∴． ∴． 按材料上提供的方法，求解下列问题： 已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式去括号，再根据二次根式的混合运算法则计算即可； （3）根据题干解题步骤和完全平方公式解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，即 ∴． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，零指数幂，代数式求值，平方差公式和完全平方公式的应用．掌握二次根式的混合运算和读懂（3）解答步骤是解题关键． 类型十、二次根式的整数、小数部分 【解惑】已知，分别是的整数部分和小数部分． (1)分别写出，的值； (2)求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）先求出范围，即可求出、； （）把的值代入求出即可； 本题考查了估算无理数的大小和二次根式的混合运算，正确估算及掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∴，则， ∴， ∴，； （2）由（）得：，， ∴原式 ， ． 【融会贯通】 1．已知，． (1)求和ab的值； (2)求的值； (3)若a的小数部分是x，b的整数部分是y，求的值． 【答案】(1)， (2)16 (3) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，无理数的整数部分与小数部分的含义，掌握运算法则是解本题的关键； （1）直接把，代入计算即可； （2）把变形为，再整体代入计算即可； （3）先判断，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）由（1）得：，， ∴； （3）∵a的小数部分是x， ∴， ∵b的整数部分是y， ∴， ∴． 2．阅读理解． ，即，的整数部分为，的小数部分为． 解决问题：已知是的整数部分，是的小数部分． (1)求，的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了无理数的估算以及无理数的整数部分的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，然后，结合是的整数部分，是的小数部分，即可列式作答． （2）运用平方差公式整理，再代入数值，化简计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∵是的整数部分，是的小数部分 ∴ （2）解：依题意， 把代入上式， 得． 3．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将减去其整数部分，差就是其小数部分．请解答： (1)的整数部分是_________，小数部分是_________； (2)如果的小数部分为的整数部分是，求的值； (3)已知：，其中是整数部分，是小数部分，且，求的相反数． 【答案】(1)4； (2)1 (3) 【分析】本题主要考查了无理数整数部分和小数部分的计算，解题的关键是熟练掌握无理数的估算方法． （1）先估算出在那两个整数之间，然后表示出其小数部分和整数部分即可； （2）先根据的小数部分为的整数部分为，求出a、b的值，然后求出即可； （3）根据，其中是整数，且，得出为的整数部分，y为的小数部分，得出，，求出，最后写出其相反数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是； （2）∵， ∴的小数部分为：， ∵， ∴的整数部分为， ∴． （3）∵，其中是整数，且， ∴为的整数部分，y为的小数部分， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的相反数是． 【一览众山小】 1．下列说法正确的是（    ） A． B．与是同类项 C．是最简二次根式 D．有意义的条件是 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是算术平方根、同类项定义、最简二次根式、二次根式有意义条件，解题关键是熟练掌握相关知识点． 根据算术平方根、同类项定义、最简二次根式、二次根式有意义条件对选项进行逐一判断即可求解． 【详解】选项，，说法正确，符合题意，选项正确； 选项，与不是同类项，原说法错误，不符合题意，选项错误； 选项，，即不是最简二次根式，原说法错误，不符合题意，选项错误； 选项，有意义的条件是，原说法错误，不符合题意，选项错误． 故选：． 2．若，，则的值为（    ） A． B． C．4 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，根据平方差公式进行计算即可 【详解】解：∵，， ∴, 故选：C 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的加法运算法则，二次根式的除法运算法则，二次根式的乘法运算法则，化为最简二次根式的步骤即可解答． 【详解】解：∵与不能合并， ∴，故A项不符合题意； ∵，故B项符合题意； ∵与不能合并， ∴，故C项不符合题意； ∵，； ∴，故D项不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了二次根式的加法运算法则，二次根式的除法运算法则，二次根式的乘法运算法则，化为最简二次根式的步骤，掌握对应法则是解题的关键． 4．若二次根式是正整数，则整数m的最小值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质化简， 根据二次根式的性质即可求出答案． 【详解】解：是正整数， 是一个完全平方数， 当时， 此时，是一个完全平方数， 故答案为：7． 5．计算： ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据二次分式混合运算法则和零指数幂运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：0． 6．实数a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和化简．观察数轴可知：，，，然后根据绝对值的性质和二次根式的性质进行计算化简即可． 【详解】解：观察数轴可知：，，， ， ， 故答案为：． 7．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了的分式的化简求值，二次根式的运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 先化简分式，再代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 8．若，化简，小杰的解答过程如下： 解：原式        第一步              第二步                       第三步 (1)小杰的解答从第 步出现了错误，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)二， (2) 【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． （1）根据二次根式的性质解答即可； （2）根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】（1）解：小杰的解答从第二步出现了错误，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：； （2） ． 9．小芳解答问题“已知，求的的值”的过程如下： ∵  ∴，即，∴． ∴ 请你根据小芳的解答过程，解决下列问题： (1)，求：的值 (2)化简 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分母有理化及乘法公式，解题的关键是理解题意； （1）根据题中所给方法可进行求解； （2）根据分母有理化可进行求解． 【详解】（1）解：∵ ； ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解： ． 10．已知，，，求， (1)_____________；_____________； (2)若为整数部分，为小数部分，求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，无理数的整数及小数部分求法，解题的关键是掌握相关的知识． （1）先根据平方差公式可求出，再利用完全平方公式化简，再将，的值代入求解； （2）先估算无理数的大小，得出、的值，再代入计算． 【详解】（1）解：，， ； ， ， ， ， ， ； 故答案为：，； （2）， ， ，， 的整数部分为，的小数部分为：， 即，， ， ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$