专题01 二次根式（优质类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

专题01二次根式思维导图 【类型覆盖】 类型一、二次根式代数最值 【解惑】已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【融会贯通】 1．已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 2．若是正整数，则整数可取的最小值为 ． 3．是一个正整数，则的最小正整数是 ． 类型二、二次根式几何最值 【解惑】如图，在中，，点是的中点，点在射线上运动，，交直线于，连接．在点运动的过程中，下列结论：①；②长度的最小值为2；③当点在之间运动时，四边形的周长和面积保持不变；④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【融会贯通】 1．如图，正方形的边长为6，点F在边上，且，点E是对角线上的一个动点，则的最小值为（    ）    A．8 B．10 C． D． 2．如图，正方形的边长为1，M、N是边、上的动点．若，则的最小值为 ． 3．如图，矩形中，，，点、分别是对角线和边上的动点，且，则的最小值是 ． 类型三、二次根式数形结合最值 【解惑】汉语中的对联呈现对仗之美的不变性，即字面上、词类上声律上相对称．数学中也存对偶原理，即对于一个已知数或代数式或一个已知命题，我们引进一个与之对应的有某种对偶关系的命题，然后一起参与运算，从而使问题变得简单．阅读下列材料，回答问题． 材料一：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，所以构造“对偶式”相乘可以将与中的“去掉． 例如：已知，求的值． 解：． ∵，∴， 材料二：如图，点，点，以为斜边作，则，，，所以，反之，可将代数式的值看作点到点的距离． (1)利用材料一，解关于x的方程：，其中； (2)利用材料二，求代数式的最小值． 【融会贯通】 1．（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，求代数式的最小值；小强同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图，将问题转化为求的斜边和的斜边的和的最小值，易得、、三点共线时，取得最小值，即线段的长，进而求得的最小值是_________． （2）类比迁移：根据上述方法画出示意图，解决以下问题 已知，均为正数，且，求的最小值． 2．阅读材料：对于平面直角坐标系中的任意两点．我们把叫做两点间的距离，记作．如，则． 请根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)①若，直接写山的值； ②当的距离时，求出的值； (2)①若在平面内有一点，使式子有最小值，直接写出这个最小值； ②直接写出的最小值． 3．阅读下列两则材料，回答问题： 材料一：我们将与称为一对“对偶式”，因为,所以构造“对偶式”相乘可以有效地将和中的“”去掉．例如：已知,求的值． 解： 材料二： 如图，点A（x1，y1），点B（x2，y2），以AB为斜边作Rt△ABC，则C（x2，y1），于是，，所以，反之，可将代数式的值看作点（x1，y1）到点（x2，y2）的距离. 例如： 所以可将代数式的值看作点（x，y）到点 （1，－1）的距离． （1）已知方程，其中x≤4.利用材料一： ①直接写出代数式的值：　　 ②解关于x的方程，其中x≤4． （2）利用材料二， 求代数式的最小值,并求出此时y与x之间的函数关系式，写出x的值范围. 类型四、海伦——秦九韶公式 【解惑】古希腊的几何学家海伦给出了求三角形面积的公式：，其中，，为三角形的三边长，．若一个三角形的三边长分别为，，，求该三角形的面积． 【融会贯通】 1．阅读材料：古希腊数学家海伦利用三角形三条边的边长直接求出了三角形的面积．如果一个三角形的三边长分别为，记，那么这个三角形的面积S＝ （海伦公式）．中国古代数学家秦九韶也得出了类似的公式，称之为“三斜求积术”，三角形面积为S＝（秦九韶公式）．故由三角形三边求面积的公式又被称为“海伦一一秦九韶公式”．请完成下列问题： (1)一个三角形的三边长依次为，任选以上一个公式求这个三角形的面积； (2)一个三角形的三边长依次为，，，任选以上一个公式求这个三角形的面积． 2．《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式与古希腊几何学家海伦提出的公式本质上是同一个公式，我们称其为海伦－秦九韶公式．请依据公式解决下面的问题．（公式中记）    (1)如图1，在中，，，． ①求的面积； ②设边上的高为，边上的高为，求的值． (2)如图2，某校有一块形如四边形的空地，其中，，，，．为美化校园，学校计划在空地上种植花卉，在四边形内种植红色花卉，剩余空地种植黄色花卉，若，，红色花卉的单价为40元，黄色花卉的单价为60元，请直接写出购买花卉的总费用． 3．【教材】我们八年级下册数学课本第16页介绍了我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，则其中三角形的面积．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦—秦九韶公式． (1)如图1，若的三边长依次为，，，求该三角形的面积； (2)如图2，四边形中，，，，，，求该四边形的面积． 类型五、二次根式中的规律 【解惑】观察下列各式及验证过程：， 验证；， 验证， 验证 (1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想的变形结果并进行验证． (2)针对上述各式反映的规律，写出用为任意的自然数，且表示的等式，并给出证明． 【融会贯通】 1．观察下列等式： ①， ②， ③， … 解答下列问题： (1)根据上面3个等式的规律，写出第⑤个等式：_______； (2)用含n（n为正整数）的等式表示上面各个等式的规律，并加以证明． 2．嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… (1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整； (2)【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； (3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 3．观察下列各式：， ， ， 请利用你所发现的规律． (1)写出第4个式子______； (2)写出第个式子______，并证明其正确性（用含的等式表示，为正整数）． (3)计算． 类型六、复合二次根式 【解惑】先阅读下面的解题过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，使得，，那么便有：. 例如：化简：. 解：首先把化为，这里，， 因为，， 即，， 所以== 根据上述例题的方法化简： 【融会贯通】 1．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简． 例如，， 请仿照上例解下列问题： (1)； (2)． 2．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，是且，则把变成开方，从而使得化简． 例如：化简 解：∵ ∴； 请你仿照上面的方法，化简下列各式： (1)； (2) 3．先阅读下面的解答过程，然后再解答： 要对形如的式子化简，只要找到两个数，使，，即，，那么便有 ． (1)用上述方法化简：； (2)若的整数部分为，小数部分为，求的值． 类型七、分母有理化 【解惑】在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：． ． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．请用分母有理化解答下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 【融会贯通】 1．观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 按上述规律，回答以下问题： (1)写出第4个等式：___________； (2)请写出第n个等式：____________________． (3)利用上述的规律计算： 2．观察下列各式及其验证过程． ；． 验证：； ． (1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想： _______，______； (2)通过上述探究，猜想______（，且n为整数），并验证你的结论； (3)计算： 3．【阅读材料】 像，（），（），， 两个含有二次模式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：与，与，与，，等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 【解决问题】 (1)的有理化因式为______； (2)化简：； (3)如图，中，与的角平分线相交于点，若的周长为，面积为，求点到边的距离； (4)化简：． 类型八、复杂的二次根式比较大小 【解惑】在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方，，，则， 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，大小，　　　　（填写，或者） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 【融会贯通】 1．在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，∵，则，∴． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，大小，c d（填写＞，＜或者＝）． (2)猜想 ，之间的大小，并证明． (3)化简： （直接写出答案）． 2．[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式， 这种变形叫做分子有理化． 比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 3．我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把分母中的无理数化为有理数，如，，这样的化简过程叫做分母有理化，我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题． (1)的有理化因式是_________，的有理化因式是_________； (2)化简：； (3)比较，的大小，说明理由． 类型九、二次根式的新定义 【解惑】用定义一种新运算：对于任意实数和，规定：，如：． (1)求． (2)若，求实数的取值范围，并将的取值范围表示在数轴上． 【融会贯通】 1．对于两个不相等的实数，，定义新的运算如下：，如，，如 请你计算： (1)； (2)； (3) 2．阅读下列材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号，它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有．一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式：如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______； (3)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 3．定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为 ，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将中的“根号”去掉，于是二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)对偶式与之间的关系为______． A．互为相反数        B．互为倒数            C．绝对值相等        D．没有任何关系 (2)已知，，求的值． (3)解方程：（提示：利用“对偶式”相关知识，令）． 类型十、阅读理解题 【解惑】阅读理解下面内容，并解决问题： 善于思考的小明在学习《实数》一章后，自己探究出了下面的两个结论： ①，，和都是9×4的算术平方根， 而9×4的算术平方根只有一个，所以＝． ②， ，和都是9×16的算术平方根， 而9×16的算术平方根只有一个，所以 ． 请解决以下问题： （1）请仿照①帮助小明完成②的填空，并猜想：一般地，当a≥0，b≥0时，与、之间的大小关系是怎样的？ （2）再举两个例子，检验你猜想的结果是否正确． （3）运用以上结论，计算：的值． 【融会贯通】 1．一、阅读理解： 在中，，，； （1）若为直角，则； （2）若为锐角，则与的关系为：． 证明：如图过作于，则， 在中： 在中： ∴ ∵，， ∴，所以：． （3）若为钝角，试推导与的关系． 二、探究问题：在中，，，；若是钝角三角形，求第三边的取值范围． 2．阅读理解：对于任意正实数、，，，，只有当时，等号成立． 结论：在、均为正实数中，若为定值，则，只有当时，有最小值． 根据上述内容，回答下列问题： (1)若，只有当______时，有最小值______． (2)探索应用：如图，已知，，为双曲线图像上的任意一点，过点作轴于点，轴于点求四边形面积的最小值． (3)判断此时四边形的形状，说明理由． 3．阅读理解： 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以得：．   类比应用： （1）化简： ； （2）化简： ．   拓展延伸：   宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB=1． （1）黄金矩形ABCD的长BC= ； （2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论； （3）在图②中，连结AE，则点D到线段AE的距离为 ． 【一览众山小】 1．如图，将正方形纸片对折，使与重合，折线为（点M，N分别在，上），展平后再将向右翻折，点D恰好落在上的处．则的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，估计的值所对应的点可能落在（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 3．将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（    ） A． B． C． D． 4．如图1，在菱形中，，M是的中点，N是对角线上一动点，设长为x，线段与长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，最低点E的坐标为，则图象右端点F的坐标为 ． 5．已知实数在数轴上的位置如图所示：则 ． 6．如果两个正数a、b，即，，我们把叫做正数a、b的算术平均数，把叫做正数a、b的几何平均数，于是可以得到结论：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即．该结论在数学中有广泛的应用，是解决最大值、最小值问题的有力工具．根据上述结论，若，则的最小值为 ． 7．如图在的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，A，B均在格点上，在给定的网格中按要求画图． (1)在图1中点O在格点上，画出线段关于点O中心对称的线段（A对应C）； (2)在图2中点P在格点上，画出线段绕点P逆时针旋转所得到的线段（A对应E）； (3)在图3中，找格点G，H，使四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 8．观察下列各式并解答问题： ；；…… (1)计算：； (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含 n的等式表示，n为正整数）． 9．综合与实践 【性质探究】 （1）如图1，在四边形中，对角线，交于点，且，求证：． 【性质运用】 （2）如图2，在中，，，，分别以的边，为直角边向外作等腰和等腰．连接，，，与交于点，求线段的长． 【拓展迁移】 （3）如图3，在锐角三角形中，，，，分别以的边，为边向外作等边三角形和等边三角形．连接，，，与交于点．试通过计算写出与之间的等量关系．    10．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (3)计算：． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01二次根式思维导图 【类型覆盖】 类型一、二次根式代数最值 【解惑】已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的意义，根据是正整数，是正整数，得出是一个完全平方数，再将分解质因数，即可得出结果． 【详解】解：是正整数，是正整数， 是一个完全平方数， ， 是一个完全平方数， 的最小值为6， 故选：D． 【融会贯通】 1．已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义． 根据二次根式的定义即可求出答案． 【详解】由题意可知：， ， ∵是整数，是正整数， ∴或7或8， ， 故选：D． 2．若是正整数，则整数可取的最小值为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了二次根式的性质，整理，再结合“是正整数”以及“是整数”，进行作答． 【详解】解：依题意，得， ∵是正整数，且是整数， ∴整数可取的最小值为15， 故答案为：15． 3．是一个正整数，则的最小正整数是 ． 【答案】3 【分析】根据二次根式的定义可得，解得，再根据是一个正整数，可得或4或9，即可得到答案． 【详解】解：由二次根式的定义可得， 解得：， 是一个正整数， 或4或9， 解得：或8或3， 的最小正整数是3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，求得或4或9是解题的关键． 类型二、二次根式几何最值 【解惑】如图，在中，，点是的中点，点在射线上运动，，交直线于，连接．在点运动的过程中，下列结论：①；②长度的最小值为2；③当点在之间运动时，四边形的周长和面积保持不变；④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次根式的性质等知识，连接运用证明即可判断①；设，则，由勾股定理得，当时，有最小值为，可判断②；证明，得，因此，由得，所以，是等腰直角三角形，点E变化时，四边形的周长会发生变化，故可判断③；由知，在中，，可得，可判断④． 【详解】解：①连接，如图， ∵是等腰直角三角形，，D为的中点， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又 ∴ 又 ∴， ∴，故①正确； ②设，则， 在中，， ∴， ∵ ∴当时，有最小值为，故②错误； ③∵ ∴ 又 ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵点E变化时，也会发生变化， ∴四边形的周长会发生变化，故③错误； ④∵， ∴ 在中，， ∴，故④正确， ∴正确的结论有2个， 故选：B 【融会贯通】 1．如图，正方形的边长为6，点F在边上，且，点E是对角线上的一个动点，则的最小值为（    ）    A．8 B．10 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了运用轴对称解决最短路径问题、勾股定理的应用、正方形的性质，明确当B，E，F三点共线时，有最小值是解题的关键． 【详解】解：如图, 连接，    ∵四边形是正方形，且边长为， ∴，,， 在和中 ， ∴， ∴， 当和在同一直线上时, 的值最小，且最小值为， 在中, ∵, ， ∴ ， ， ∴的最小值为， 故选D. 2．如图，正方形的边长为1，M、N是边、上的动点．若，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】将顺时针旋转得到，再证明，从而得到，再设设，，得到，利用勾股定理得到，即，整理得到，从而利用完全平方公式得到，从而得解． 【详解】解：∵正方形的边长为1， ∴，， 将顺时针旋转得到，则， ∴，，，， ∴点P、B、M、C共线， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 设，，则，， ∴， ∵， ∴，即， 整理得：， ∴ ， 当且仅当，即，也即时，取最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，二次根式的运算，完全平方公式等知识，证明和得到是解题的关键． 3．如图，矩形中，，，点、分别是对角线和边上的动点，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】过点作，使，过点作，交的延长线于点，连接、、，交于点，根据矩形的性质及勾股定理得，，继而得到是等边三角形，证明，得到，继而得到， 当、、三点共线时，取“”号，此时有最小值，最小值是线段的长，然后在中，根据角的直角三角形的性质及勾股定理得到，，最后再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：过点作，使，过点作，交的延长线于点，连接、、，交于点， ∴， ∵矩形中，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵点、分别是对角线和边上的动点， ∴， 当、、三点共线时，取“”号，此时有最小值，最小值是线段的长， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角的直角三角形，三角形三边关系，两点之间线段最短等知识点，通过作辅助线构造全等三角形的是解题的关键． 类型三、二次根式数形结合最值 【解惑】汉语中的对联呈现对仗之美的不变性，即字面上、词类上声律上相对称．数学中也存对偶原理，即对于一个已知数或代数式或一个已知命题，我们引进一个与之对应的有某种对偶关系的命题，然后一起参与运算，从而使问题变得简单．阅读下列材料，回答问题． 材料一：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，所以构造“对偶式”相乘可以将与中的“去掉． 例如：已知，求的值． 解：． ∵，∴， 材料二：如图，点，点，以为斜边作，则，，，所以，反之，可将代数式的值看作点到点的距离． (1)利用材料一，解关于x的方程：，其中； (2)利用材料二，求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的化简求值，两点间的距离公式，解题的关键是读懂题意，掌握二次根式相关的运算法则． （1）求出，得出，，故，再检验可得答案； （2）原式，根据两点之间，线段最短可知，当点点在点，组成的线段上时，的值最小，最小值为，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴； 经检验，是原方程的解， ∴； （2） 而可看作到，的距离之和，如图： 根据两点之间，线段最短可知，当点在点，组成的线段上时，的值最小，最小值为， ∴的最小值为． 【融会贯通】 1．（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，求代数式的最小值；小强同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图，将问题转化为求的斜边和的斜边的和的最小值，易得、、三点共线时，取得最小值，即线段的长，进而求得的最小值是_________． （2）类比迁移：根据上述方法画出示意图，解决以下问题 已知，均为正数，且，求的最小值． 【答案】（1）；（2）5 【分析】（1）先根据题意利用勾股定理求出，，要使的值最小，则的值最小，当，，三点共线时，的值最小，最小值为，过点作，交延长线于点，得矩形，根据两点间线段最短，得到线段就是所求代数式的最小值； （2）作线段，在的两侧作两个和，使得，，用类似（1）的方法求解即可． 【详解】解：（1）如图，，，，， 在中，， 在中，， ， 要使的值最小，则的值最小， 当，，三点共线时，的值最小，最小值为， 过点作，交延长线于点， 得矩形， ，， ， ， 代数式的最小值为13； 故答案为：13； （2）模仿（1）可知，当，，，， 在中，， 在中，， ， 要使的值最小，则的值最小， 当，，三点共线时，的值最小，最小值为， 过点作，交延长线于点， 得矩形， ，， ， ， 代数式的最小值为5． 故答案为：5． 【点睛】本题属于综合题，考查了轴对称最短路线问题，列代数式，勾股定理，三角形的面积，矩形的性质与判断，解决本题的关键是准确读懂题意，利用勾股定理． 2．阅读材料：对于平面直角坐标系中的任意两点．我们把叫做两点间的距离，记作．如，则． 请根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)①若，直接写山的值； ②当的距离时，求出的值； (2)①若在平面内有一点，使式子有最小值，直接写出这个最小值； ②直接写出的最小值． 【答案】(1)①；②或 (2)①；② 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，理解材料中两点之间的距离公式是解决问题的关键． （1）①由材料中两点之间的距离公式直接带点求值即可得到答案；②由材料中两点之间的距离公式直接带点列方程求解即可得到答案； （2）①由材料中两点之间的距离公式，理解表示动点到定点的距离与动点到定点的距离之和，再由两点之间线段最短即可得到答案；②由材料中两点之间的距离公式，理解表示定点到轴上的动点的距离、到距离、定点到轴上的动点的距离之和，作关于轴的对称点，作关于轴的对称点，如图所示，再由两点之间线段最短运用距离公式代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：①， 由材料中两点之间的距离公式可知； ②，， ，即， ，解得，即或； （2）解：①由材料中两点之间的距离公式可知表示动点到定点的距离与动点到定点的距离之和， 在平面直角坐标系中作出图，如图所示： 根据两点之间线段最短，要使式子有最小值，三点共线，且在两个定点之间，则这个最小值为； ②由材料中两点之间的距离公式可知可表示定点到轴上的动点的距离、到距离、定点到轴上的动点的距离之和， 在平面直角坐标系中作出图，如图所示： 作关于轴的对称点，作关于轴的对称点，如图所示， 根据两点之间线段最短，要使式子取最小值，、、、四点共线，则这个最小值为点与的距离，由两点之间距离公式代值可得． 3．阅读下列两则材料，回答问题： 材料一：我们将与称为一对“对偶式”，因为,所以构造“对偶式”相乘可以有效地将和中的“”去掉．例如：已知,求的值． 解： 材料二： 如图，点A（x1，y1），点B（x2，y2），以AB为斜边作Rt△ABC，则C（x2，y1），于是，，所以，反之，可将代数式的值看作点（x1，y1）到点（x2，y2）的距离. 例如： 所以可将代数式的值看作点（x，y）到点 （1，－1）的距离． （1）已知方程，其中x≤4.利用材料一： ①直接写出代数式的值：　　 ②解关于x的方程，其中x≤4． （2）利用材料二， 求代数式的最小值,并求出此时y与x之间的函数关系式，写出x的值范围. 【答案】（1）① 8；②x=－5 ；（2） 【分析】（1）①根据材料中给出的信息,利用“对偶式”的性质得,再代入即可求解,②在上一问的基础上设m=，n=，建立二元一次方程组求解即可,（2）将所给代数式利用完全平方公式进行化简整理,再转换成两点之间的距离公式进行求解即可. 【详解】解：（1）①∵ ∴ ②, 令m=，n=， 则解得： 当=5或=3, 解得：x=－5 （2）根据材料知： 所以可将代数式的值看作点（x，y）到点（1，－8）的距离与点（x，y）到点（－2，2）的距离之和. 当代数式取最小值时,即点（x，y）与点（1，－8），（－2，2）在同一条直线上，并且点（x，y）位于点（1，－8），（－2，2）的中间， ∴的最小值 ＝ ＝ 且－2≤x≤1 设过（x，y），（1，－8），（－2，2）的直线解析式为：y=kx+b则 解得： ∴ 【点睛】本题考查了两点之间的距离公式,根式的实际应用,难度较大,要求学生认真审题,明确对偶式的实际含义,理解两点之间的距离公式的含义是解题关键. 类型四、海伦——秦九韶公式 【解惑】古希腊的几何学家海伦给出了求三角形面积的公式：，其中，，为三角形的三边长，．若一个三角形的三边长分别为，，，求该三角形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算的应用；先将代入求得，然后再将它们代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 【融会贯通】 1．阅读材料：古希腊数学家海伦利用三角形三条边的边长直接求出了三角形的面积．如果一个三角形的三边长分别为，记，那么这个三角形的面积S＝ （海伦公式）．中国古代数学家秦九韶也得出了类似的公式，称之为“三斜求积术”，三角形面积为S＝（秦九韶公式）．故由三角形三边求面积的公式又被称为“海伦一一秦九韶公式”．请完成下列问题： (1)一个三角形的三边长依次为，任选以上一个公式求这个三角形的面积； (2)一个三角形的三边长依次为，，，任选以上一个公式求这个三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的应用，熟练掌握二次根式的性质与方法是解题的关键． （1）运用三角形的面积：（海伦公式）计算即可； （2）运用三角形面积：S＝（秦九韶公式），计算即可． 【详解】（1）解：∵一个三角形的三边长依次为， ∴， ∴海伦公式： ； （2）解：∵， ∴， ∴秦九韶公式： 2．《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式与古希腊几何学家海伦提出的公式本质上是同一个公式，我们称其为海伦－秦九韶公式．请依据公式解决下面的问题．（公式中记）    (1)如图1，在中，，，． ①求的面积； ②设边上的高为，边上的高为，求的值． (2)如图2，某校有一块形如四边形的空地，其中，，，，．为美化校园，学校计划在空地上种植花卉，在四边形内种植红色花卉，剩余空地种植黄色花卉，若，，红色花卉的单价为40元，黄色花卉的单价为60元，请直接写出购买花卉的总费用． 【答案】(1)①；② (2)元 【分析】本题考查了二次根式在三角形面积计算中的应用，读懂题中所列的海伦公式并正确运用，是解题的关键． （1）①根据题意先求p，由海伦－秦九韶公式计算三角形面积即可； ②由①分别利用三角形面积公式求出再求和即可； （2）连，过点A作于点F，分别求出， 利用面积公式求出和四边形的面积，再利用由海伦－秦九韶公式求出的面积，最后计算购买花卉的总费用即可． 【详解】（1）①解：由已知，，，， ， ∴ ； ②∵， ∴， ∴解得，， ∴； （2）连，过点A作于点F，    ∵， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由海伦－秦九韶公式，得 ， ∴ ； ∴植红色花卉的面积为： ， ∴四边形的面积为： ， ∴种植红色花卉的面积为： ， ∴购买花卉的总费用 ， ∴出购买花卉的总费用． 3．【教材】我们八年级下册数学课本第16页介绍了我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，则其中三角形的面积．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦—秦九韶公式． (1)如图1，若的三边长依次为，，，求该三角形的面积； (2)如图2，四边形中，，，，，，求该四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，二次根式的运算， （1）利用题干给出的海伦公式即可求解； （2）连接，先利用勾股定理求出，再结合题干的海伦公式计算即可作答． 【详解】（1）∵，，， ∴， ∴； （2）连接，如图： ∵，，， ∴，， ∵，， ∴在中，， 即： ， 该四边形的面积． 类型五、二次根式中的规律 【解惑】观察下列各式及验证过程：， 验证；， 验证， 验证 (1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想的变形结果并进行验证． (2)针对上述各式反映的规律，写出用为任意的自然数，且表示的等式，并给出证明． 【答案】(1)，验证见解析 (2)，验证见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的性质．此题是一个找规律的题目，观察时，既要注意观察等式的左右两边的联系，还要注意右边必须是一种特殊形式． （1）通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质，把根号内的移到根号外； （2）根据上述变形过程的规律，即可推广到一般．表示左边的式子时，观察根号外的和根号内的分子、分母之间的关系可得：． 【详解】（1） 验证： ； （2）． 验证： ． 【融会贯通】 1．观察下列等式： ①， ②， ③， … 解答下列问题： (1)根据上面3个等式的规律，写出第⑤个等式：_______； (2)用含n（n为正整数）的等式表示上面各个等式的规律，并加以证明． 【答案】(1) (2)；证明见解析 【分析】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关知识． （1）根据，，，得出第⑤个等式中分母应为，根据规律得到答案； （2）根据，，，，得出规律，从而得到答案． 【详解】（1）解：由第①个等式，得 由第②个等式，得 由第③个等式，得 ∴第⑤个等式应为：，得． （2）解：第1个等式中分母为， 第2个等式中分母为， 第3个等式中分母为， 第4个等式中分母为， 得第个等式中分母为应为： ∴第个等式为：， ∵左边， 右边， ∴左边右边． 2．嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… (1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整； (2)【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； (3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律． （1）根据前个的规律即可得出答案； （2）根据特例中数字的变化规律分析求解即可，对等式的坐标进行整理，即可求证； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：等式④：； （2）解：若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律为， 证明如下：等式左边右边； （3）解：∵（均为正整数）， ∴，， ∴ ． 3．观察下列各式：， ， ， 请利用你所发现的规律． (1)写出第4个式子______； (2)写出第个式子______，并证明其正确性（用含的等式表示，为正整数）． (3)计算． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了分式，二次根式的运算以及配方法，熟练掌握分式和二次根式的运算性质，配方法，理解题干中的规律并且证明其规律是解题的关键． （1）根据题干给的规律，可直接写出结果； （2）根据题干给的规律，可直接写出第个式子；要证明等式成立，由于左侧是二次根式的形式，右侧是分式的形式，因此考虑对于左侧二次根式的被开方式子凑成完全平方形式，然后可以去掉根号．所以对于左侧二次根式被开方式子通分整理后，得到，由此即可证明等式成立； （3）根据前面证明所得到的式子，利用，以及化简，即可求得结果； 【详解】（1）解：根据题干中的规律，可得 第4个式子为：； （2）解：根据题干中的规律，可得 第个式子为：； 证明： 左边 右边， 等式成立； （3）解： ，，   原式 ． 类型六、复合二次根式 【解惑】先阅读下面的解题过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，使得，，那么便有：. 例如：化简：. 解：首先把化为，这里，， 因为，， 即，， 所以== 根据上述例题的方法化简： 【答案】 【分析】直接利用完全平方公式化简求出答案. 【详解】解：首先把化为，这里，， 因为， 即，， 所以== 故答案为. 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，正确应用完全平方公式是解题的关键. 【融会贯通】 1．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简． 例如，， 请仿照上例解下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简、运算， （1）结合题干思路方法作答即可； （2）结合题干思路方法作答即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 2．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，是且，则把变成开方，从而使得化简． 例如：化简 解：∵ ∴； 请你仿照上面的方法，化简下列各式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照例题，根据，即可求解； （2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案． 【详解】（1）解：∵， ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键． 3．先阅读下面的解答过程，然后再解答： 要对形如的式子化简，只要找到两个数，使，，即，，那么便有 ． (1)用上述方法化简：； (2)若的整数部分为，小数部分为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式得到，然后根据二次根式的性质化简即可； （2）利用完全平方公式得到，根据二次根式的性质化简，再进行估算出a，b的值计算即可． 【详解】（1） = = = = = （2） = = = ∵ ∴ ∵的整数部分为，小数部分为， ∴ ∴= 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握是解题的关键． 类型七、分母有理化 【解惑】在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：． ． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．请用分母有理化解答下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分母有理数化简即可； （2）根据分母有理数化简即可． 【详解】（1）解：原式=； （2）解：原式= =． 【点睛】本题考查分母有理化，正确计算是解题的关键． 【融会贯通】 1．观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 按上述规律，回答以下问题： (1)写出第4个等式：___________； (2)请写出第n个等式：____________________． (3)利用上述的规律计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题目的式子可以写出第4个等式； （2）根据题目的式子可以写出第个等式； （3）根据（2）的结果，可以先将所求式子展开，然后化简即可． 本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、数字的变化类，解答本题的关键是写出第个等式． 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 故答案为：； （2）解：由（1）的规律可得，， 故答案为：； （3）解： ． 2．观察下列各式及其验证过程． ；． 验证：； ． (1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想： _______，______； (2)通过上述探究，猜想______（，且n为整数），并验证你的结论； (3)计算： 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了分母有理化，根据题中给的例子找出规律是解题的关键； （1）根据题中给的例子即可得出答案； （2）根据题中给的例子找出规律即可得出答案； （3）根据（2）中规律计算化简即可； 【详解】（1）， ， 故答案为：，； （2）， 验证： ， 故答案为：； （3） ． 3．【阅读材料】 像，（），（），， 两个含有二次模式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：与，与，与，，等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 【解决问题】 (1)的有理化因式为______； (2)化简：； (3)如图，中，与的角平分线相交于点，若的周长为，面积为，求点到边的距离； (4)化简：． 【答案】(1)； (2)； (3)点到边的距离为； (4)． 【分析】（）直接利用材料中的定义求解即可； （）先对分母进行有理化，再求解即可； （）先作出点到各边的垂线段，再表示出的面积，求出点到各边的距离即可； （）先对分母进行有理化，然后合并同类二次根式即可； 本题考查了二次根式的有理化运算，角平分线的性质，解题关键是读懂题意，理解有理化因式的概念并能正确运用它解决实际问题． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式为， 故答案为：； （2）解： ， ， ， ； （3）如图，过分别作，，，连接， ∵与的角平分线相交于点， ∴， 设点到边的距离为， ， ， ∴， ∵的周长为，面积为， ∴， 则； （4）解： ， ， ． 类型八、复杂的二次根式比较大小 【解惑】在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方，，，则， 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，大小，　　　　（填写，或者） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是解题的关键： （1）利用平方法比较大小即可； （2）利用平方法进行比较即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：猜想，理由如下： ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【融会贯通】 1．在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，∵，则，∴． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，大小，c d（填写＞，＜或者＝）． (2)猜想 ，之间的大小，并证明． (3)化简： （直接写出答案）． 【答案】(1) (2)，证明过程见解析 (3)4或 【分析】本题考查了实数的大小比较，二次根式的大小比较和化简二次根式，解题的关键是熟练运用题干中“平方法”，第（3）题注意分情况讨论． （1）根据题干中“平方法”比较实数大小； （2）根据题干中“平方法”比较二次根式的大小； （3）根据题干中“平方法”找出，，再利用二次根式的性质结合完全平方公式进而开平方分类讨论得出答案． 【详解】（1）解：∵， 则， ∴； 故答案为：>． （2）解：猜想：， 证明：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴ ∵ ∴， 分情况讨论： ①若，即时， 原式； ②若，即时， 原式， 综合①②得： 当时，原式； 当时，原式； 故答案为：4或． 2．[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式， 这种变形叫做分子有理化． 比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题考查分母有理化，估算无理数的大小及规律探索问题，熟练掌握分母有理化的步骤及方法是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义即可求得答案； （2）根据所得规律计算即可； （3）利用分母有理化得到，，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是； ∵， ∴的有理化因式是； 故答案为：，； （2）解： ； （3）． 理由如下： ∵，， ∵， ∴， ∴． 3．我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把分母中的无理数化为有理数，如，，这样的化简过程叫做分母有理化，我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题． (1)的有理化因式是_________，的有理化因式是_________； (2)化简：； (3)比较，的大小，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式的性质以及平方差公式是解本题的关键． （1）根据题目所给有理化因式的定义进行解答即可； （2）分子分母同乘以即可得出答案； （3）将原式按类比分母有理化的步骤进行化简，再根据分子相同，分母越大，式子越小即可比较大小． 【详解】（1）的有理化因式是，的有理化因式是； 故答案为：，； （2）； （3）；； ， ． 类型九、二次根式的新定义 【解惑】用定义一种新运算：对于任意实数和，规定：，如：． (1)求． (2)若，求实数的取值范围，并将的取值范围表示在数轴上． 【答案】(1) (2)，数轴见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式和二次根式的混合运算，解题的关键是根据新定义列出算式和一元一次不等式及解一元一次不等式的步骤． （1）根据新定义规定的运算法则列出算式，再进一步计算即可； （2）列出关于的不等式，再依次移项、合并同类项、系数化为1即可得出答案． 【详解】（1）解：⊕ ； （2）⊕， ， ， 则， 表示在数轴上如下： 【融会贯通】 1．对于两个不相等的实数，，定义新的运算如下：，如，，如 请你计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把，代入求解； （2）把，代入求解； （3）先计算，再计算． 【详解】（1）∵ 又 故 （2）∵ 故 （3）∵ 故 【点睛】本题主要考查定义新运算的计算，理解计算方法是解题的关键． 2．阅读下列材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号，它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有．一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式：如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______； (3)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)3，6； (2)；，，，； (3)当时，分式取到最大值，最大值为． 【分析】（1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可； （2）将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值； （3）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6； 故答案为：3，6； （2）， x为整数，且为整数， 或或或， 解得：或或或， 故答案为：；，，，； （3）解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． 【点睛】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． 3．定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为 ，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将中的“根号”去掉，于是二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)对偶式与之间的关系为______． A．互为相反数        B．互为倒数            C．绝对值相等        D．没有任何关系 (2)已知，，求的值． (3)解方程：（提示：利用“对偶式”相关知识，令）． 【答案】(1)B (2) (3)x=-1 【分析】（1）计算对偶式（）×（）=4-3=1，可得两数互为倒数； （2）根据已知先分别化简x，y，求出x+y，x-y，xy的值，将所求分式分解因式后代入计算即可； （3）令，则两边同乘以，得24-x-（8-x）=2t，求出t，根据①，②，解得=10，即可求出x值，检验即可． 【详解】（1）解：∵（）×（）=4-3=1， ∴对偶数与之间的关系是互为倒数， 故选：B； （2）由题意得=，=， ∴x+y=2，x-y=4，xy=1， ∴； （3）令，则两边同乘以，得 24-x-（8-x）=2t， 解得t=8， ∵①，②， ∴①+②，得=10， 两边同时平方得4（24-x）=100， 解得x=-1， 经检验，x=-1是原方程的解． 【点睛】此题考查了二次根式的分母有理化及求分式的值，熟练掌握二次根式的分母有理化方法及求分式的值的计算是解题的关键． 类型十、阅读理解题 【解惑】阅读理解下面内容，并解决问题： 善于思考的小明在学习《实数》一章后，自己探究出了下面的两个结论： ①，，和都是9×4的算术平方根， 而9×4的算术平方根只有一个，所以＝． ②， ，和都是9×16的算术平方根， 而9×16的算术平方根只有一个，所以 ． 请解决以下问题： （1）请仿照①帮助小明完成②的填空，并猜想：一般地，当a≥0，b≥0时，与、之间的大小关系是怎样的？ （2）再举两个例子，检验你猜想的结果是否正确． （3）运用以上结论，计算：的值． 【答案】（1）；；（2）见解析；（3）108 【分析】（1）直接利用二次根式乘法运算法则得出答案； （2）利用特殊值进而验证得出答案； （3）直接利用得出答案． 【详解】解：（1）②的填空：； 根据题意，当a≥0，b≥0时， 与、之间的大小关系为：； 故答案为：； （2）根据题意，举例如： ， 验证：=5，=5， 所以． 又举例如：， 验证：=20，=20， 所以等， 符合（1）的猜想； （3） =9×12 =108． 【点睛】此题主要考查了实数运算以及二次根式的性质，正确由特殊值分析式子变化规律是解题关键． 【融会贯通】 1．一、阅读理解： 在中，，，； （1）若为直角，则； （2）若为锐角，则与的关系为：． 证明：如图过作于，则， 在中： 在中： ∴ ∵，， ∴，所以：． （3）若为钝角，试推导与的关系． 二、探究问题：在中，，，；若是钝角三角形，求第三边的取值范围． 【答案】一、（3），理由见解析；二、第三边c的取值范围为或 【分析】一、（3）作于D，则，由勾股定理得出，，得出，整理即可得出结论； 二、分两种情况：①当为钝角时，由以上（3）得：，即可得出结果；②当为钝角时，得：，即可得出结果． 【详解】解：一、（3）作于D，如图所示： 则， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 整理得：， ∵， ∴； 二、解：当为钝角时，由以上（3）得：， 即； 当为钝角时，得：， 即； 综上所述：第三边c的取值范围为或． 【点睛】本题考查了勾股定理的综合运用、完全平方公式；熟练掌握勾股定理，通过作辅助线运用勾股定理是解决问题的关键． 2．阅读理解：对于任意正实数、，，，，只有当时，等号成立． 结论：在、均为正实数中，若为定值，则，只有当时，有最小值． 根据上述内容，回答下列问题： (1)若，只有当______时，有最小值______． (2)探索应用：如图，已知，，为双曲线图像上的任意一点，过点作轴于点，轴于点求四边形面积的最小值． (3)判断此时四边形的形状，说明理由． 【答案】(1)3，6 (2)24 (3)菱形，理由见解析 【分析】（1）根据题意知，，此时m=．通过解该方程求得m的值； （2）利用S四边形ABCD=S△ADC+S△ABC，得出四边形与x之间的关系式，进而利用x+≥2=2=6，得出四边形最值即可； （3）利用（2）中结论，以及勾股定理得出AB=BC=CD=AD，即可得出四边形ABCD是菱形． 【详解】（1）解：根据题意知，，此时m=． 当m=时， 解得：m=3或-3（不合题意舍去）， 故当m=3时，m+有最小值，其最小值是6． 故答案是：3；6； （2）解：∵P为双曲线y= (x＞0)图像上的任意一点， ∴不妨可设p(x，)， 则C（x，0），D(0，)． ∵S四边形ABCD=S△ADC+S△ABC． ∴S四边形ABCD=AC×OD+AC×OB =AC•(OD+OB) = (3+x)•(+4) =+2x+12 =2(x+)+12． 又∵x＞0，＞0， ∴由阅读理解中的结论可知： x+≥2=2=6， 所以当x= (x＞0)时，即当x=3时，S四边形ABCD的最小值=2×6+12=24； （3）解：此时四边形ABCD是菱形，理由如下： 由（2）可知：当x=3时，此时点P的坐标为P（3，4）， ∴AB==5，BC==5，CD=＝5，DA==5， ∴AB=BC=CD=AD， ∴四边形ABCD是菱形（四条边相等的四边形是菱形）． 【点睛】此题主要考查了函数最值问题以及菱形的判定和反比例函数的综合应用等知识，利用阅读材料得出x+≥6是解题关键． 3．阅读理解： 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以得：．   类比应用： （1）化简： ； （2）化简： ．   拓展延伸：   宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB=1． （1）黄金矩形ABCD的长BC= ； （2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论； （3）在图②中，连结AE，则点D到线段AE的距离为 ． 【答案】类比应用：（1）；（2）2；拓展延伸：（1）；（2）矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析；（3） 【分析】类比应用： （1）仿照题干中的过程进行计算； （2）仿照题干中的过程进行计算； 拓展延伸： （1）根据黄金矩形的定义结合AB=1进行计算； （2）根据题意算出AD的长，从而得出DF，证明DF和EF的比值为即可； （3）连接AE，DE，过D作DG⊥AE于点G，根据△AED的面积不同算法列出方程，解出DG的长即可. 【详解】解：类比应用： （1）根据题意可得： =； （2）根据题意可得： = = = =2； 拓展延伸： （1）∵宽与长的比是的矩形叫黄金矩形， 若黄金矩形ABCD的宽AB=1， 则黄金矩形ABCD的长BC===； （2）矩形DCEF为黄金矩形，理由是： 由裁剪可知：AB=AF=BE=EF=CD=1， 根据黄金矩形的性质可得：AD=BC=， ∴FD=EC=AD-AF==， ∴=， 故矩形DCEF为黄金矩形； （3）连接AE，DE，过D作DG⊥AE于点G， ∵AB=EF=1，AD=， ∴AE=， 在△AED中， S△AED =， 即，则， 解得DG=， ∴点D到线段AE的距离为. 【点睛】本题考查了二次根式的性质，平方差公式，矩形的性质，正方形的性质，三角形的面积，此类问题要认真阅读材料，理解材料中的知识． 【一览众山小】 1．如图，将正方形纸片对折，使与重合，折线为（点M，N分别在，上），展平后再将向右翻折，点D恰好落在上的处．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，由折叠可得：，，，，，求解，设，则，再进一步利用勾股定理计算即可； 【详解】解：∵正方形， ∴设，， 由折叠可得：，，，，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴； 故选A 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，正方形的性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，熟练的利用勾股定理建立方程求解是关键. 2．如图，估计的值所对应的点可能落在（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算，无理数的估算，先对二次根式进行化简，再利用夹逼法求出化简后结果的取值范围，据此即可判断求解，利用夹逼法求出化简后结果的取值范围是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴的值所对应的点可能落在点处， 故选：． 3．将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得． 【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数， 归纳类推得：第七行共有个数， 则第八行左起第1个数是， 故选：C． 4．如图1，在菱形中，，M是的中点，N是对角线上一动点，设长为x，线段与长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，最低点E的坐标为，则图象右端点F的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．如图，连接，连接交于点，连接，由两点之间线段最短可知，当点N在点时，取得最小值为，进而可得；再根据菱形的性质可得、；然后可得、；当点N运动到点时，图2图象到达F，，，，进而得到即可解答． 【详解】解：如图，连接，连接交于点，连接， ∴当点N在点时，取得最小值为， ∵最低点的坐标为， ∴， ∵四边形为菱形，， ∴， ∴为等边三角形，， ∴,, ∴, ∴， 解得：， ∴结合等边三角形与菱形的性质可得：， 当点N运动到点时，图2图象到达F，,,， ∴， ∴点F的坐标为． 故答案为：． 5．已知实数在数轴上的位置如图所示：则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，根据数轴判断出、、的情况是解题的关键． 根据数轴判断出、、的正负情况以及绝对值的大小，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算即可得解． 【详解】解：由图可知：，而且， ， ， 故答案为：0． 6．如果两个正数a、b，即，，我们把叫做正数a、b的算术平均数，把叫做正数a、b的几何平均数，于是可以得到结论：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即．该结论在数学中有广泛的应用，是解决最大值、最小值问题的有力工具．根据上述结论，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义以及算术平均数与几何平均数之间的关系，根据“两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数”可得，由此可求最值． 【详解】解：，时，， ， ， ，， ， 的最小值为． 故答案为：． 7．如图在的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，A，B均在格点上，在给定的网格中按要求画图． (1)在图1中点O在格点上，画出线段关于点O中心对称的线段（A对应C）； (2)在图2中点P在格点上，画出线段绕点P逆时针旋转所得到的线段（A对应E）； (3)在图3中，找格点G，H，使四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【分析】（1）分别确定关于的对称点，再顺次连接即可； （2）分别确定绕逆时针旋转的对应点，再顺次连接即可； （3）取格点，满足四边形为正方形即可； 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； ． （2）解：如图，线段即为所求； ． （3）解：如图，四边形即为所求； ． 连接， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【点睛】本题考查的是画旋转图形，中心对称图形，轴对称图形，勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，正方形的判定，熟练的画图是解本题的关键． 8．观察下列各式并解答问题： ；；…… (1)计算：； (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含 n的等式表示，n为正整数）． 【答案】(1) (2)（n为正整数） 【分析】本题主要考查数字规律下的二次根式化简， （1）总结规律，按规律解答； （2）根据分式的性质和完全平方公式即可化简求得一般性结论． 【详解】（1）解：∵； ； ， …… ∴； （2）解：根据（1）得到， 证明： ． 9．综合与实践 【性质探究】 （1）如图1，在四边形中，对角线，交于点，且，求证：． 【性质运用】 （2）如图2，在中，，，，分别以的边，为直角边向外作等腰和等腰．连接，，，与交于点，求线段的长． 【拓展迁移】 （3）如图3，在锐角三角形中，，，，分别以的边，为边向外作等边三角形和等边三角形．连接，，，与交于点．试通过计算写出与之间的等量关系．    【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）由勾股定理得，，，，即可得出结论； （2）连接、交于点，交于，先证，得，再证，则，然后求出，，，代入计算即可求出的长； （3）过点作，过点作，垂足分别为，连接，过点作，交于点，交于点，过点作于点，交于点，证明，四边形是矩形，则，分别求得，进而即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ，，，， ，， ． 解：和是等腰直角三角形， ，，， ， 即， ， ， ，， ， ， ， 由（1）得：， 在中，， ， 在中，， ， 在中，，，， ， 解得：； （3）如图所示，过点作，过点作，垂足分别为，连接，过点作，交于点，交于点，过点作于点，交于点，    ∴ ∵，等边三角形和等边三角形 ∴，， ∴四边形是矩形，， ∴ ∵ ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴，， ∵， ∴四边形是矩形，则， 在中，，则 ∴， ∴， 在中，； ∵， ∴四边形是矩形，， ∴，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，对角线互相垂直的四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 10．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (3)计算：． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案； （2）根据二次根式有意义的条件列出方程组，解方程组即可得到答案； （3）利用平方差公式，对原式进行变形后，即可得到答案． 此题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件、平方差公式以及分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， 且， ∴； （2）解：∵ ∴， 化简后两边同时平方得：， ∴， 经检验：是原方程的解； （3）解： ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$