第2章 有理数单元重点综合测试-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（苏科版2024）

第2章 有理数单元重点综合测试 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列各数最小的是（ ） A． B． C． D． 2．根据有理数加法法则，计算过程正确的是（　　） A． B． C． D． 3．下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．和2 B．和 C．和 D．和 4．下列说法正确的是（　　） A．分数都是有理数 B．是负数 C．有理数不是正数就是负数 D．若，则 5．有理数a 、b对应的点在数轴上的位置如图所示，那么（    ） A． B． C． D． 6．在我国古书《易经》中有“上古结绳而治”的记载，它指“结绳记事”或“结绳记数”．如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，满6进1，用来记录他所放牧的羊的只数，由图可知，他所放牧的羊的只数是（   ） A．1234 B．310 C．60 D．10 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．的相反数是 ． 8．若把高出海平面6米记作米，则低于海平面米应记为 米． 9．比较大小： （填“＜”，“＞”或“＝”）． 10．新冠肺炎疫情爆发以来，给全世界人民的生命安全，带来了很大的威胁，截至年月日，根据世界卫生组织统计，全球感染新冠肺炎的确诊病例已超过万人，请把数“万”用科学记数法表示为 ． 11．在，，，，，3，0，，属于整数的有 个． 12．一辆公交车上原有13人，经过3个站点时乘客上、下车情况如下（上车人数记为正，下车人数记为负，单位：人）；，；，；，．此时公交车上有 人． 13．实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则 b．（填“”“”或“”） 14．定义新运算：当时，；当时，（其中）．则 ． 15．已知有理数，我们把称为的差倒数，如：的差倒数是，的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数依此类推，那么的值是 ． 16．数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，如图，线段；线段；线段．如果数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为2．则另一个点表示的数为m，则m的值为 ． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．计算： (1)； (2)． 18．已知下列有理数：． (1)这些有理数中，整数有_____________个，非负数有_____________个． (2)画出数轴并在数轴上标出上述有理数，并按从小到大的顺序用“＜”连接起来． 19．已知a，b两数在数轴上的位置如图所示    求代数式 20．某公路养护小组乘车沿一条东西方向的公路巡视维护．某天早晨从A地出发，最后收工时到达B地．约定向东为正方向，当天的行驶记录如下（单位:千米）： ，，，，，，，． (1)求B地在A地的哪个方向?它们相距多少千米? (2)若每千米耗油升，每升汽油6元，那么该养护小组当天乘车耗油多少升？花费多少油钱？ 21．将下列有理数填入适当的集合内：，5，，，，，0，，8，． 正有理数集合：{ …}； 整数集合：{ …}； 负分数集合：{ …}； 非负整数集合：{ …} 22．七年级小梅同学在学习完第二章《有理数》后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：． (1)求的值； (2)求的值． 23．如图是一个“有理数转换器”（箭头是表示输入的数进入转换器路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）． (1)当小明输入2时，输出的结果是______；当小明输入6时，输出的结果是______；当小明输入时．输出的结果是______； (2)你认为这个“有理数转换器”不可能输出______数； (3)你认为当输入______时，其输出结果是0． 24．中秋节前，月饼销量大幅度增加，某月饼加工厂为了满足市场需求，计划每天生产2000盒月饼，由于各种原因，实际每天的产量与原计划相比有出入，下表是某一周的生产情况（超过计划产量的部分记作正数，不足计划产量的部分记作负数，单位：盒）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知星期四实际生产______盒月饼，星期______生产了2200盒月饼； (2)求该月饼加工厂这一周实际生产月饼多少盒？ (3)已知该月饼加工厂实行计件工资制，每生产一盒月饼可获得5元．若按天计算，超额完成任务，超出部分每盒再加3元；若未完成任务，不足部分每盒扣2元，那么该月饼加工厂这一周的工资总额是多少元？ 25．【概念学习】 规定：若求若干个相同的有理数均不等于的除法运算叫做除方，如，，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”．一般的，我们把记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果________， ________，________． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算 （2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式： ________， ________，________． （3）想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式是________． 26．“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的四个问题． 例：三个有理数，，满足，求的值． 解：由题意得：，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当，，都是正数，即，，时， 则：； ②当，，有一个为正数，另两个为负数时，设，，， 则：， 综上述：的值为或-． 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知，，且，求的值； (2)已知，是有理数，当时，求值． (3)已知，，是有理数，，，求的值． 27．点在同一条直线上，点在线段的延长线上，如果，那么我们把点叫做点关于点的伴随点． (1)如图，在数轴上，点表示的数是，点关于原点的伴随点表示的数是_________； (2)在（）的条件下，点表示的数是，若点关于点的伴随点是点，求的值； (3)如图，数轴上的三个点分别表示的数是．有一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴的负方向运动；同时，另一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴的负方向运动．当动点运动至点处时，两动点同时停止运动．设动点的运动时间为秒，在运动过程中，若三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的伴随点，请直接写出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 有理数单元重点综合测试 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列各数最小的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的大小比较方法，根据“正数大于零，负数小于零，正数大于负数，两个负数相比较，绝对值大的数反而小”即可判断，解题的关键是正确理解有理数的大小比较方法． 【详解】根据正数大于零，负数小于零，正数大于负数，两个负数相比较，绝对值大的数反而小可得：， 则最小的数是， 故选：． 2．根据有理数加法法则，计算过程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的加法，掌握“将两个数的绝对值相减,结果的符号与绝对值较大的数的符号相同”成为解题的关键． 根据将两个数的绝对值相减,结果的符号与绝对值较大的数的符号相同即可解答． 【详解】解：． 故选D． 3．下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．和2 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的计算，互为相反数的两数之和为零，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A．，，故A选项不符合题意； B．，，，故B选项不符合题意； C．，，故C选项不符合题意； D．，，，故D选项符合题意； 故选：D． 4．下列说法正确的是（　　） A．分数都是有理数 B．是负数 C．有理数不是正数就是负数 D．若，则 【答案】A 【分析】根据正负数及绝对值的概念得出结论即可．本题主要考查有理数、正数和负数与绝对值等相关概念，熟练掌握正负数及绝对值的概念是解题的关键． 【详解】解：A、分数都是有理数，故A选项符合题意； B、不一定是负数，故B选项不符合题意； C、有理数有正数、负数和0，故C选项不符合题意； D、若，则，故D选项不符合题意； 故选：A． 5．有理数a 、b对应的点在数轴上的位置如图所示，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了有理数加、减、乘法的运算方法，以及数轴的特征和应用，要熟练掌握． 根据图示，可得： ，且，据此逐项判断即可． 【详解】解：根据图示，可得 ，且， ∴，故A符合题意； ∴，故B不符合题意； ，，∴C不符合题意； ，∴D不符合题意． 故选：A． 6．在我国古书《易经》中有“上古结绳而治”的记载，它指“结绳记事”或“结绳记数”．如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，满6进1，用来记录他所放牧的羊的只数，由图可知，他所放牧的羊的只数是（   ） A．1234 B．310 C．60 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的运算，根据计数规则可知，从右边第1位的计数单位为，右边第2位的计数单位为，右边第3位的计数单位为，右边第4位的计数单位为，……，依此类推，可求出结果． 【详解】解：根据题意得： （只）， 答：他所放牧的羊的只数是310只． 故选：B． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：的相反数是， 故答案为：． 8．若把高出海平面6米记作米，则低于海平面米应记为 米． 【答案】 【分析】本题主要考查用负数表示相反意义的量，理解负数的意义，是解题的关键．根据用负数表示相反意义的量，即可求解． 【详解】解：∵高出海平面6米记作米， ∴低于海平面米应记为米． 故答案为：． 9．比较大小： （填“＜”，“＞”或“＝”）． 【答案】＜ 【分析】本题考查了有理数的大小比较，求绝对值，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键 先求出绝对值，再根据有理数大小比较法则解答即可． 【详解】解：∵， 而，， 又∵， ∴． 故答案为：＜． 10．新冠肺炎疫情爆发以来，给全世界人民的生命安全，带来了很大的威胁，截至年月日，根据世界卫生组织统计，全球感染新冠肺炎的确诊病例已超过万人，请把数“万”用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 根据科学记数法的表示方法解答即可． 【详解】解：万=． 故答案为：． 11．在，，，，，3，0，，属于整数的有 个． 【答案】4 【分析】本题主要考查了有理数的分类，理解有理数的分类是解题关键．根据有理数的分类，分析判断即可． 【详解】解：在，，，，，3，0，中， 整数有在，，3，0，共计4个． 故答案为：4． 12．一辆公交车上原有13人，经过3个站点时乘客上、下车情况如下（上车人数记为正，下车人数记为负，单位：人）；，；，；，．此时公交车上有 人． 【答案】10 【分析】本题考查正、负数的实际应用，有理数加减混合运算的实际应用，求出13人与所有上车下车人数的和，即可求解． 【详解】解： （人）， 故答案为：10． 13．实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则 b．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，熟记数轴上右边的点表示的数总比左边的大是解题关键． 根据在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，， ∴ 故答案为：． 14．定义新运算：当时，；当时，（其中）．则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键． 按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得： 故答案为：． 15．已知有理数，我们把称为的差倒数，如：的差倒数是，的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数依此类推，那么的值是 ． 【答案】/0.25 【分析】本题考查了数字类型规律探索，依次将数列列出来，并找到规律是解题关键．求出数列的前个数，从而得出这个数列以，，依次循环，用除以，再根据余数可求的值． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， …… ∴每三个一次循环， ∵， ∴， 故答案为：． 16．数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，如图，线段；线段；线段．如果数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为2．则另一个点表示的数为m，则m的值为 ． 【答案】7或 【分析】本题主要考查数轴上两点之间距离的计算方法，根据题意表示的两点之间长度的计算方法即可求解，掌握有理数的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：根据题意，当点在点的左边时， ，解得，； 当点在点的右边时， ，解得； 故答案为：或． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则计算即可得出答案； （2）根据有理数的混合运算法则计算即可得出答案． 【详解】（1）解：， ； （2）解： ． 18．已知下列有理数：． (1)这些有理数中，整数有_____________个，非负数有_____________个． (2)画出数轴并在数轴上标出上述有理数，并按从小到大的顺序用“＜”连接起来． 【答案】(1)3，3 (2)图见解析， 【分析】本题考查有理数的分类，在数轴上表示数并比较大小： （1）根据有理数的分类作答即可； （2）先在数轴上表示出各数，根据数轴上右边的数比左边的数大，比较大小即可． 【详解】（1）解：在中，整数有，共3个，非负数有，共3个； 故答案为：3，3； （2）数轴表示如图： 由图可知：． 19．已知a，b两数在数轴上的位置如图所示    求代数式 【答案】3 【分析】本题考查了利用数轴比较大小以及化简绝对值：先得，再逐一化简绝对值，运用整式的加减混合运算合并同类项，即可作答． 【详解】解：根据a，b两数在数轴上的位置，得 则 20．某公路养护小组乘车沿一条东西方向的公路巡视维护．某天早晨从A地出发，最后收工时到达B地．约定向东为正方向，当天的行驶记录如下（单位:千米）： ，，，，，，，． (1)求B地在A地的哪个方向?它们相距多少千米? (2)若每千米耗油升，每升汽油6元，那么该养护小组当天乘车耗油多少升？花费多少油钱？ 【答案】(1)B地在A地的西面，相距3千米 (2)该维修队耗油升，花费153元油费 【分析】本题主要考查正负数得意义和有理数得加减法，关键是要牢记有理数的加减法法则． （1）根据正负数的意义，将每天的行程相加即可； （2）将每天的行驶路程相加，再乘以，再计算总费用，即可得出答案． 【详解】（1）解：将每天的行驶记录相加得：千米， 向东为正方向， 向西为负方向， 在地的西边，相距3千米处； （2）解： = =， （升），（元）， 该维修队耗油升，花费153元油费． 21．将下列有理数填入适当的集合内：，5，，，，，0，，8，． 正有理数集合：{ …}； 整数集合：{ …}； 负分数集合：{ …}； 非负整数集合：{ …} 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了有理数的分类，有理数分为整数和分数，整数分为正整数，0和负整数，分数分为正分数和分分数，根据有理数的分类方法进行求解即可． 【详解】解：为负有理数，5，8为正有理数，也是整数，为负分数， 为正分数，也是正的有理数，为负分数，为正有理数， 0为有理数，也为正数，为负有理数，为负分数， ∴正有理数集合：， 整数集合：， 负分数集合：， 非负整数集合：， 22．七年级小梅同学在学习完第二章《有理数》后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，涉及新定义，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）按照定义的新运算进行计算，即可解答； （2）按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2） ． 23．如图是一个“有理数转换器”（箭头是表示输入的数进入转换器路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）． (1)当小明输入2时，输出的结果是______；当小明输入6时，输出的结果是______；当小明输入时．输出的结果是______； (2)你认为这个“有理数转换器”不可能输出______数； (3)你认为当输入______时，其输出结果是0． 【答案】(1)2；1； (2)负 (3)0或（n为自然数） 【分析】本题考查了倒数、绝对值及相反数的概念，解答本题的关键是弄懂图表中的程序的意义． （1）先判断出2、6、与2的大小，再根据所给程序图找出合适的程序进行计算即可； （2）根据绝对值的性质和倒数的定义可找出规律； （3）由此程序可知，当输出0时，因为0的相反数及绝对值均为0，所以应输入0． 【详解】（1）解：根据题意得： 当小明输入2时，输出的结果是； 当小明输入6时，输出的结果是； 当小明输入时．输出的结果是； 故答案为：2；1；； （2）解：由图表知，不管输入正数、0或者负数，输出的结果都是非负数．所以输出的数应为非负数，不可能输出负数． 故答案为：负 （3）解：∵0的相反数及绝对值均为0，且， ∴输入0时，输出结果为0； ∵当输入的数大于4时要加上再重新输入，一直需要循环到小于4时， ∴只要输入的数是7的正整数倍数即可输出0， ∴应输入0或（n为自然数）． 故答案为：0或（n为自然数） 24．中秋节前，月饼销量大幅度增加，某月饼加工厂为了满足市场需求，计划每天生产2000盒月饼，由于各种原因，实际每天的产量与原计划相比有出入，下表是某一周的生产情况（超过计划产量的部分记作正数，不足计划产量的部分记作负数，单位：盒）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知星期四实际生产______盒月饼，星期______生产了2200盒月饼； (2)求该月饼加工厂这一周实际生产月饼多少盒？ (3)已知该月饼加工厂实行计件工资制，每生产一盒月饼可获得5元．若按天计算，超额完成任务，超出部分每盒再加3元；若未完成任务，不足部分每盒扣2元，那么该月饼加工厂这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)1900；五． (2)该月饼加工厂这一周实际生产月饼14400盒 (3)该月饼加工厂这一周的工资总额是73550元 【分析】本题考查了正负数的实际应用： （1）根据利用计划每天生产月饼量加上增减量可得星期四的生产量，利用生产了2200盒月饼减去计划生产的量与表格中的增减量对比即可求解； （2）先在一个周的增减量计算出来，再加上七天计划生产总量即可； （3）先将总工资计算出来，再减去被扣的即可求解； 熟练掌握正负数的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：，故星期四实际生产1900盒月饼． ，故星期五生产了2200盒月饼， 故答案为：1900；五． （2）（盒）， （盒）， 答：该月饼加工厂这一周实际生产月饼14400盒． （3）（元）， （元）， （元）， 答：该月饼加工厂这一周的工资总额是73550元． 25．【概念学习】 规定：若求若干个相同的有理数均不等于的除法运算叫做除方，如，，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”．一般的，我们把记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果________， ________，________． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算 （2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式： ________， ________，________． （3）想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式是________． 【答案】（1），，；（2）,,;（3） 【分析】本题考查了有理数的乘方； （1）根据的圈次方的定义进行计算即可求解； （2）根据的圈次方的定义进行计算即可求解； （3）根据（2）的结论即可求解． 【详解】解：（1）； ； ； 故答案为：，，． （2）， ； 故答案为：,,； （3）由题意，根据（2）中规律可得， 故答案为：． 26．“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的四个问题． 例：三个有理数，，满足，求的值． 解：由题意得：，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当，，都是正数，即，，时， 则：； ②当，，有一个为正数，另两个为负数时，设，，， 则：， 综上述：的值为或-． 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知，，且，求的值； (2)已知，是有理数，当时，求值． (3)已知，，是有理数，，，求的值． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加法，有理数的乘法法则； （1）根据绝对值的意义和，确定、的值，再计算； （2）对、进行讨论，即、同正，、同负，、异号，根据绝对值的意义计算得到结果； （3）根据，，是有理数，，把求转化为求的值，根据得结果． 【详解】（1）解：因为，，且， 所以，或，． 则或， 即的值为或； （2）已知，是有理数，当时，可分为四种情况： ①若，，； ②若，，； ③若，，； ④若，，． 故的值为或0； （3）因为，，是有理数，，， 所以，，，且，，有两个正数一个负数， 设，，， 则． 27．点在同一条直线上，点在线段的延长线上，如果，那么我们把点叫做点关于点的伴随点． (1)如图，在数轴上，点表示的数是，点关于原点的伴随点表示的数是_________； (2)在（）的条件下，点表示的数是，若点关于点的伴随点是点，求的值； (3)如图，数轴上的三个点分别表示的数是．有一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴的负方向运动；同时，另一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴的负方向运动．当动点运动至点处时，两动点同时停止运动．设动点的运动时间为秒，在运动过程中，若三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的伴随点，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或或． 【分析】（）根据伴随点的定义，求出，进而得出点的值； （）根据伴随点的定义，列出关于点的方程 ，代入即可求的得值； （）随着两点运动的情况，分四种情况讨论，列出关于的方程，求出值即可； 本题考查了新定义下数轴上两点之间的距离，根据新定义列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得，， ∴， ∴点表示的数是 ∴点关于原点的伴随点表示的数是； （2）解：根据题意得，， 即， 根据数轴有， ∴可化为，， 解得； （3）解：根据题意得：点秒后的位置为，点秒后的位置为，点表示的数是， 当点关于点的伴随点是点时有， 即， 即 ， ∵， ∴， 解得不合，舍去， 故点关于点的伴随点是点不存在； 当点关于点的伴随点是点时有， 即， 即， ∵， ∴， 解得； 故点关于点的伴随点是点，； 当点关于点的伴随点是点时有， 即， 即， ∵， ∴， 解得， 故点关于点的伴随点是点，； 当点关于点的伴随点是点时有， 即， 即， ∵， ∴， 解得， 故点关于点的伴随点是点，； 综上：或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$