精品解析：陕西省西安市莲湖区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

八年级阶段诊断数学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式一定成立的是（　　） A B. C. D. 3. 如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值 A. 扩大为原来的4倍 B. 扩大为原来的2倍 C. 不变 D. 缩小为原来的的 4. 一个多边形的内角和比外角和大180°，则这个多边形的边数是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 5. 如图，平分，于点，点在上．若，，则的面积为（　　） A. 10 B. 6 C. 5 D. 3 6. 如图，上午8时，渔船从点以25海里/时的速度向正西方向航行，上午10时到达点．从点测得灯塔在南偏西方向上，距点50海里．则点到灯塔的距离是（　　） A. 25海里 B. 30海里 C. 40海里 D. 50海里 7. 下列因式分解正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，将绕点按逆时针方向旋转得到，点的对应点恰好落在边上．若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 化简：________． 10. 因式分解：a2﹣16b2＝__． 11 若点与点关于原点对称，则________． 12. 若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是_____． 13. 如图，在中，，交于点，平分，交于点，连接，．若，，则的长是______． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答应写出过程） 14. 解不等式：． 15. 因式分解：． 16. 解不等式组： 17 解方程：． 18. 如图，在中，于点D，，，．求的长． 19. 如图，在中，，过点作，是延长线上一点，连接．若，求证：． 20. 先化简，再求值：，从0，1，2中选出合适的的值，代入求值． 21. 尺规作图，不写作法，保留作图痕迹： （1）如图，在边上求作一点，使得； （2）如图，在的边上求作一点，使得点到，的距离相等． 22. 周末小雅一家准备自驾前往某景点游玩，她在导航上查到两条较短的路线：一是走国道，全程千米，但因道路施工比较拥堵；二是走高速，全程千米，平均速度是走国道的倍，到达目的地的时间比走国道要早分钟．求走国道到达该景点需要的时间． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点（网格线的交点）上，每个小正方形网格的边长均为1． （1）作关于点成中心对称的． （2）将向右平移4个单位长度，作出平移后的． （3）在轴上作一点，使得的值最小，其最小值为________． 24. “观天下之大，方知一身之小；得万物之奥，皆因求思之深．”某校组织学生赴西安高校开展丰富多彩的研学活动．现有两家研学公司的研学内容、服务都相同，报价都是每人元，但优惠方案不同：甲公司统一打九折；乙公司当人数少于时，不打折，人数不少于时，超过的部分打八折．设甲、乙两家公司的费用分别为，，研学人数为． （1）请写出乙公司的费用和研学人数的函数关系式，并写出的取值范围； （2）通过计算说明人数在什么范围内，学校选甲公司更合算． 25. 阅读下列材料： 常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法彻底分解．如：“”．细心观察这个式子就会发现，前两项可以用提公因式法，后两项也可用提公因式法，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再用提公因式法就可以完成整个式子的因式分解了．过程：．将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题． （1）因式分解：； （2）已知，，求的值； （3）若的三边长分别为，，，且满足，判断的形状，并说明理由． 26. 【问题提出】（1）如图1，在中，，．若，求的长． 【问题解决】（2）为响应市政府“建设美丽城市，改善生活环境”号召，某小区欲建造如图2所示的四边形休闲广场．已知，，米，在对角线上有一个凉亭，测得米．按规划要求，需过凉亭修建一条笔直的小路，使得点，分别在边，上，连接，，其中四边形为健身休闲区，其他区域为景观绿化区．按此要求修建的这个健身休闲区（四边形）是否存在最小面积？若存在，求出最小面积；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级阶段诊断数学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，熟悉相关概念是解题的关键．将一个图形沿着某条直线对折，若直线两边的图形能够完全重叠，则这个图形就是轴对称图形；将一个图形围绕某一点旋转之后能与原图形完全重叠，则这个图形就是中心对称图形，据此判断即可． 【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B、是轴对称图形但不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项符合题意； D、是中心对称图形但不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：C． 2. 若，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】、∵，∴，原选项错误，此选项不符合题意； 、∵，∴，原选项正确，此选项符合题意； 、∵，∴，原选项错误，此选项不符合题意； 、有，若，则，若，则，原选项错误，此选项不符合题意； 故选：． 3. 如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值 A. 扩大为原来的4倍 B. 扩大为原来的2倍 C. 不变 D. 缩小为原来的的 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：∵x，y都扩大为原来2倍， ∴分子xy扩大4倍，分母x+y扩大2倍， ∴分式扩大2倍． 故选B． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是根据x、y的变化找出分子分母的变化．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据分式的基本性质找出分式的变化是关键． 4. 一个多边形的内角和比外角和大180°，则这个多边形的边数是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由多边形内角和定理： （且n为整数），多边形的外角和是，列出关于边数的方程即可求解． 【详解】设这个多边形边数是n， 由题意得：， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查多边形的有关知识，关键是掌握多边形内角和定理： （且n为整数），多边形的外角和是． 5. 如图，平分，于点，点在上．若，，则的面积为（　　） A. 10 B. 6 C. 5 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查是角平分线的性质，过点作于，根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算，得到答案．熟知角平分线的性质是关键． 【详解】解：如图，过点作于， 平分，，，， ， ， 故选：． 6. 如图，上午8时，渔船从点以25海里/时的速度向正西方向航行，上午10时到达点．从点测得灯塔在南偏西方向上，距点50海里．则点到灯塔的距离是（　　） A. 25海里 B. 30海里 C. 40海里 D. 50海里 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定以及性质，连接，根据题意可得出，，再得出，结合已知条件可得出，则可判定是等边三角形，由等边三角形的性质可得出． 【详解】解∶连接， 据题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴(海里)． 故选∶D． 7. 下列因式分解正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法．根据因式分解的方法逐一判断即可． 【详解】解：A、，故该选项错误； B、，故该选项错误； C、，故该选项错误； D、，故该选项正确； 故选：D． 8. 如图，将绕点按逆时针方向旋转得到，点的对应点恰好落在边上．若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，先根据旋转的性质得到，，再利用互余计算出，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到的度数，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵绕点按逆时针方向旋转得到，点的对应点恰好落在边上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 化简：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简，先找出分子分母的公约式，然后行进约分，化简成最简的形式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 因式分解：a2﹣16b2＝__． 【答案】（a+4b）（a-4b） 【解析】 【分析】原式利用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式=（a+4b）（a-4b）． 故答案为：（a+4b）（a-4b）． 【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 11. 若点与点关于原点对称，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征， 根据关于原点对称的点的坐标特征列方程求出，m，n的值，然后在代入代数式求值即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：5． 12. 若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组解集的情况求参数，先对不等式进行求解，再根据关于的一元一次不等式组无解即可解答，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： 解不等式得，， 解不等式得，， ∵关于的一元一次不等式组无解， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，，交于点，平分，交于点，连接，．若，，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，由平行四边形的性质得，，，，，则，，而，则，所以，由，，得，则，所以，则，于是得到问题的答案，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，，，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答应写出过程） 14. 解不等式：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据“去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为”步骤解不等式即可，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式． 【详解】解： ． 15. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查提公因式法与公式法分解因式，先提取公因式，再运用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解： 16. 解不等式组： 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别解出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法．根据去分母、去括号、合并同类项，化系数为1，即可求解． 详解】解： 经检验，是原方程的解， 原方程的解为． 18. 如图，在中，于点D，，，．求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是直角三角形中勾股定理的应用，利用勾股定理求对应边长是解题的关键．利用，可知，利用勾股定理求边长即可． 【详解】解：∵， ∴， 在中， ， 在中， ， ∴． 19. 如图，在中，，过点作，是延长线上一点，连接．若，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．由可得，可推出，证明四边形是平行四边形，最后根平行四边形的性质即可证明． 【详解】解：， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ． 20. 先化简，再求值：，从0，1，2中选出合适的的值，代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后约分，再从0，1，2中选出使得原分式有意义的整数代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： 当，1的时候，原分式无意义， ∴，则原式 21. 尺规作图，不写作法，保留作图痕迹： （1）如图，在的边上求作一点，使得； （2）如图，在的边上求作一点，使得点到，的距离相等． 【答案】（1）见解析图； （2）见解析图． 【解析】 【分析】（）作线段的垂直平分线，垂足为即为所求； （）作平分，交于点，点即为所求； 本题考查尺规作图—垂直平分线和角平分线的作法，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【小问1详解】 解：如图中， ∴点即为所求； 【小问2详解】 如图， ∴点即为所求． 22. 周末小雅一家准备自驾前往某景点游玩，她在导航上查到两条较短的路线：一是走国道，全程千米，但因道路施工比较拥堵；二是走高速，全程千米，平均速度是走国道的倍，到达目的地的时间比走国道要早分钟．求走国道到达该景点需要的时间． 【答案】走国道到达该景点需要的时间为小时． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设走国道到达该景点需要的时间为小时，则走高速到达该景点需要的时间为小时，根据走高速的平均速度是走国道的倍，列出分式方程，解方程并检验即可，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：设走国道到达该景点需要的时间为小时，则走高速到达该景点需要的时间为小时， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程解，且符合题意， 答：走国道到达该景点需要的时间为小时． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点（网格线的交点）上，每个小正方形网格的边长均为1． （1）作关于点成中心对称的． （2）将向右平移4个单位长度，作出平移后的． （3）在轴上作一点，使得的值最小，其最小值为________． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】(1)根据中心对称的性质作图即可． (2)根据平移的性质作图即可． (3) 取点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，此时的值最小，最小值为的长，利用勾股定理计算即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：即为所求； 【小问3详解】 解：取点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接， 此时为最小值， ∴其最小值为 故答案为∶． 【点睛】本题考查作图一平移变换、中心对称、轴对称-最短路线问题、勾股定理，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质、轴对称的性质、勾股定理是解答本题的关键， 24. “观天下之大，方知一身之小；得万物之奥，皆因求思之深．”某校组织学生赴西安高校开展丰富多彩的研学活动．现有两家研学公司的研学内容、服务都相同，报价都是每人元，但优惠方案不同：甲公司统一打九折；乙公司当人数少于时，不打折，人数不少于时，超过的部分打八折．设甲、乙两家公司的费用分别为，，研学人数为． （1）请写出乙公司的费用和研学人数的函数关系式，并写出的取值范围； （2）通过计算说明人数在什么范围内，学校选甲公司更合算． 【答案】（1）与的函数关系式； （2）当时，学校选甲公司更合算． 【解析】 【分析】（）根据“当时，费用每人的价格研学人数；当时，费用每人的价格每人的价格折扣”作答即可； （）根据“费用每人的价格折扣研学人数“写出与的函数关系式，根据、与的函数关系式画出它们的图象，根据图象计算即可； 本题考查一次函数的应用，根据题意写出函数关系式并画出它们的图象是解题的关键． 【小问1详解】 当时，；当时，， ∴与的函数关系式； 【小问2详解】 根据题意，得， ∴与的函数关系式， 、与的函数图象如图所示： 当两图象相交时，得， 解得， 由图象可知，当时，， ∴当时，学校选甲公司更合算． 25. 阅读下列材料： 常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法彻底分解．如：“”．细心观察这个式子就会发现，前两项可以用提公因式法，后两项也可用提公因式法，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再用提公因式法就可以完成整个式子的因式分解了．过程：．将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题． （1）因式分解：； （2）已知，，求的值； （3）若的三边长分别为，，，且满足，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）为等腰三角形，理由见解析． 【解析】 【分析】（）先运用分组分解法，再用平方差公式进行因式分解即可； （）运用分组分解法和平方差公式进行因式分解，再将、值代入计算即可； （）对式子进行整理化简、因式分解， 即可求得，因此为等腰三角形； 本题考查了因式分解的应用，解题的关键熟练运用分组分解法进行因式分解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 进行因式分解，得 ， ∵，， ∴； 【小问3详解】 为等腰三角形，理由如下： ∵ ∴ 即 ∵，，为的三边长， ∴， ∴，即， ∴为等腰三角形． 26. 【问题提出】（1）如图1，在中，，．若，求的长． 【问题解决】（2）为响应市政府“建设美丽城市，改善生活环境”的号召，某小区欲建造如图2所示的四边形休闲广场．已知，，米，在对角线上有一个凉亭，测得米．按规划要求，需过凉亭修建一条笔直的小路，使得点，分别在边，上，连接，，其中四边形为健身休闲区，其他区域为景观绿化区．按此要求修建的这个健身休闲区（四边形）是否存在最小面积？若存在，求出最小面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在最小面积，四边形的最小面积为平方米． 【解析】 【分析】（1）由可得，根据，可得，最后根据勾股定理即可求解； （2）先证明，得到，， 米，过点作交于点，过点作交于点，得到，由，可得当，时，和最小，此时最小，由勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ，即， ； （2）存在最小面积， ，，， ， 又， ，， 米， 过点作交于点，过点作交于点， ，，， ， 当，时，和最小，即，此时最小， 由勾股定理可得：，即， 米， 平方米， 存在最小面积，四边形的最小面积为平方米． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，四边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$