精品解析：2024年内蒙古乌兰浩特市初中毕业生学业模拟考试数学试题

2024年乌兰浩特市初中毕业生学业模拟考试 数学 温馨提示： 1．本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前务必将自己的考号、姓名、学校、考场、座号填写在答题卡上，请用0.5毫米的黑色字迹签字笔直接答在答题卡上．在试卷上作答无效． 3．请将姓名与考号填写在本试卷相应位置上． 4．考试结束，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（下列各题的四个选项中只有一个正确．共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面是科学防控新冠知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ） A. 戴口罩 讲卫生 B. 打喷嚏 捂口鼻 C. 喷嚏后 慎揉眼 D. 勤洗手 勤通风 3. 在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域取得显著成就．某大数据中心存储约本电子书籍，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 一个两位数，它的十位数字是3，个位数字是抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数字1﹣6）朝上一面的数字，任意抛掷这枚骰子一次，得到的两位数是3的倍数的概率等于（　　） A. B. C. D. 5. 关于方程根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 6. 如图，分别以的顶点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，连接交于，再以为圆心，为半径画弧，交于点，连接．若，则下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠C = 30°，CD =.则S阴影=（　　　） A. π B. 2π C. D. 9. 已知某公司10月份总收入为40万元，经全体员工不懈努力，到12月底实现了第四季度总收入132.4万元的奋斗目标．设11，12两个月总收入的月均增长率为，由题意可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 在矩形中，已知两条邻边与的长分别为2和3，若是边的中点，连接，过点作，垂足为，则的长为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象在第一象限交于点，连接，且．则不等式的解集为( ) A. 或 B. 或 C. 或 D. -3<x<0或x>3 12. 如图，是的外接圆，为直径，若，点从点出发，在内运动且始终保持，当两点距离最小时，动点的运动路径长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分） 13. 因式分解：________． 14. 函数中自变量的取值范围是____________________ 15. 某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会，组织了4次预选赛，其中甲，乙两名运动员较为突出，他们在4次预选赛中的成绩（单位：秒）如下表所示： 甲 12.0 12.0 12.1 11.9 乙 12.3 12.7 11.8 11.2 由于甲，乙两名运动员的成绩的平均数相同，学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是______． 16. 如图，将绕顶点顺时针旋转后，得到，若恰为的中点，则与的长度之比为__________． 17. 如图，已知坐标平面上有一顶点为A的抛物线，A点坐标为，若此抛物线又与直线交于两点，且为正三角形，则可求得此抛物线与轴的交点坐标为______． 三、解答题（本题4个小题，每小题6分，共24分） 18. 计算：． 19. 先化简，再求值：．其中是方程的根． 20. 如图，为等边三角形，点分别在和上，，连接，．点关于的对称点为点，连接，，． （1）求证：四边形为菱形； （2）当四边形为平行四边形时，求的度数． 21. 为落实立德树人的根本任务，加强思政、历史学科教师的专业化队伍建设．某校计划从前来应聘的思政专业（一名研究生，一名本科生）、历史专业（一名研究生、一名本科生）的高校毕业生中选聘教师，在政治思想审核合格的条件下，假设每位毕业生被录用的机会相等 （1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是 ： （2）若从中录用两人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率． 四（本题8分） 22. 图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面，扇形的圆心角，半径，点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为． （1）求闸机通道的宽度，即与之间的距离（参考数据：，，）； （2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 五（本题8分） 23. 在防疫知识普查考试中，某次测试试题的满分为20分．某校为了解该校部分学生的成绩情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取了20名学生的成绩进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息： 抽取的20名七年级学生成绩是： 20，20，20，20，19，19，19，19，18，18， 18，18，18，18，18，17，16，16，15，14． 抽取的40名学生成绩统计表 七年级 八年级 平均分 18 18 众数 a b 中位数 18 c 方差 2.7 2.7 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上表中a，b，c的值； （2）在这次测试中，你认为是七年级成绩好，还是八年级成绩好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七、八年级共有学生1000人，估计此次测试成绩不低于19分的学生有多少人？ 六（本题8分） 24. 如图，为⊙O的直径，为⊙O的弦，，且． （1）求证：⊙O的切线； （2）若，，求⊙O的半径． 七（本题8分） 25. 为了贯彻落实市委政府提出的“精准扶贫”精神，某校特制定了一系列帮扶A、B两贫困村的计划，现决定从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如表： 车型 目的地 A村（元/辆） B村（元/辆） 大货车 800 900 小货车 400 600 （1）求这15辆车中大小货车各多少辆？ （2）现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A、B两村总费用为y元，试求出y与x的函数解析式． （3）在（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用． 八（本题13分） 26. 综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，点的坐标为． （1）请直接写出，两点的坐标及直线的函数表达式； （2）若点是抛物线上的点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为．与直线交于点，当点是线段的三等分点时，求点的坐标； （3）若点是轴上的点，且，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年乌兰浩特市初中毕业生学业模拟考试 数学 温馨提示： 1．本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前务必将自己的考号、姓名、学校、考场、座号填写在答题卡上，请用0.5毫米的黑色字迹签字笔直接答在答题卡上．在试卷上作答无效． 3．请将姓名与考号填写在本试卷相应位置上． 4．考试结束，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（下列各题的四个选项中只有一个正确．共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用合并同类项、单项式除法、幂的乘方、单项式乘法的运算法则逐项判定即可． 【详解】解：A. ，故A选项错误； B. ，故B选项错误； C. ，故C选项正确； D. ，故D选项错误． 故答案为C． 【点睛】本题考查了合并同类项、单项式除法、积的乘方、单项式乘法等知识点，灵活应用相关运算法则是解答此类题的关键． 2. 下面是科学防控新冠知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ） A. 戴口罩 讲卫生 B. 打喷嚏 捂口鼻 C. 喷嚏后 慎揉眼 D. 勤洗手 勤通风 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以不是轴对称图形， 选项A能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以是轴对称图形， 故选：A． 3. 在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域取得显著成就．某大数据中心存储约本电子书籍，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法“科学记数法表现形式为，其中，n为正整数，当原数的绝对值时，的值为所有整数位减”即可得，掌握科学记数法是解题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 4. 一个两位数，它的十位数字是3，个位数字是抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数字1﹣6）朝上一面的数字，任意抛掷这枚骰子一次，得到的两位数是3的倍数的概率等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接得出两位数是3的倍数的个数，再利用概率公式求出答案． 【详解】∵一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次， 十位数为3，则两位数是3的倍数的个数为2. ∴得到的两位数是3的倍数的概率为： =. 故答案选：B. 【点睛】本题考查了概率的知识点，解题的关键是根据题意找出两位数是3的倍数的个数再运用概率公式解答即可. 5. 关于方程根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】整理成一般形式后再计算方程的根的判别式，进而可作判断． 【详解】解：原方程即为：， 此方程的判别式△=， ∴原方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，属于基础题型，熟知一元二次方程的根的判别式与方程根的个数的关系是解题关键． 6. 如图，分别以的顶点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，连接交于，再以为圆心，为半径画弧，交于点，连接．若，则下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，连接，根据题意得，，即可得，则，，根据得，可得，即可得，，利用可证明，可得，，即可得，掌握尺规作图，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示，连接， ∵分别以的顶点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点， ∴垂直平分， ∴， ∵以为圆心，为半径画弧，交于点，连接， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ， , ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 综上，A、B、D正确， 故选：C． 7. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分别求出各不等式的解集，最后再确定不等式组的解集． 【详解】解： 由①得x＞3 由②得x＞5 所以不等式组的解集为x＞5． 故答案为A． 【点睛】本题考查了解不等式组，掌握不等式的解法和确定不等式组解集的方法是解答本题的关键． 8. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠C = 30°，CD =.则S阴影=（　　　） A. π B. 2π C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由△EAC≌△EOD可知阴影部分的面积就是扇形AOD的面积． 【详解】 ∵CD⊥AB，CD=，∴CE=DE=CD=． 在Rt△ACE中，∠C=30°，∴AE=CEtan30°=1． 在Rt△OED中，∠DOE=2∠C=60°，∴． ∴OE=OA―AE=OD－AE=1． ∴Rt△EAC≌Rt△EOD（HL）． ∴． 故选D． 9. 已知某公司10月份总收入为40万元，经全体员工不懈努力，到12月底实现了第四季度总收入132.4万元的奋斗目标．设11，12两个月总收入的月均增长率为，由题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据代数式的性质，首先分别计算得11，12两个月总收入，再根据一元二次方程的性质分析，即可得到答案． 【详解】∵11，12两个月总收入的月均增长率为， ∴11月总收入为：万元 ∴12月总收入为：万元 ∵第四季度总收入132.4万元 ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，并运用到实际问题中，从而完成求解． 10. 在矩形中，已知两条邻边与的长分别为2和3，若是边的中点，连接，过点作，垂足为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，根据矩形的性质和题意得，，，根据是边的中点得，根据勾股定理得，根据得，即可得，根据得，根据可得，即可得，掌握相似三角形的判定与性质，矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示， ∵四边形是矩形，两条邻边与的长分别为2和3， ∴，， ∵是边的中点， ∴， 在中，根据勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 11. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象在第一象限交于点，连接，且．则不等式的解集为( ) A. 或 B. 或 C. 或 D. -3<x<0或x>3 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得B（2，0），C（0，-2），再根据，可求出A的坐标为（3，1），从而可得出反比例函数解析式为：，将不等式变形为，即可得不等式的解集是一次函数大于反比例函数时的取值范围，即可得出答案． 【详解】∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴可得B（2，0），C（0，-2）， ∵， ∴点A的纵坐标为1， 将A的纵坐标代入得x=3， ∴A（3，1）， ∴反比例函数解析式为：， 联立两个解析式得， 解得或， ，即不等式的解集是一次函数大于反比例函数时的取值范围， ∴取值范围是或， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数和几何综合，解不等式，将不等式变形得出不等式的解集是一次函数大于反比例函数时的取值范围是解题关键． 12. 如图，是的外接圆，为直径，若，点从点出发，在内运动且始终保持，当两点距离最小时，动点的运动路径长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆，解直角三角形，弧长公式，取的中点，即可得，根据为直径得，则，根据得，即可得，点P在以为直径的上运动，即当J、P、C共线时，的值最小，在中得，可得，即可得；添加辅助线，根据计算得出点P在以为直径的上运动，当J、P、C共线时，的值最小时解题的关键． 【详解】解：如图所示，取的中点， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P在以为直径的上运动， 即当J、P、C共线时，的值最小， 在中，，， ∴， ∴， ∴当C、P两点距离最小时，动点P的运动路径长为：， 故选：A． 二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分） 13. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据提公因式法因式分解即可. 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查了因式分解提公因式运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 14. 函数中自变量的取值范围是____________________ 【答案】 【解析】 【分析】使该函数有意义，则3x−6≥0且x−2≠0，然后解不等式组即可． 【详解】根据题意得，3x−6≥0且x−2≠0，解得x＞2， 所以自变量x的取值范围是x＞2． 故答案为x＞2． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，使函数关系式成立，若函数关系中有分母则分母不为0，若含二次根式，则二次根式中被开方数为非负数，然后建立不等式组，求出不等式的解集得到自变量的取值范围． 15. 某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会，组织了4次预选赛，其中甲，乙两名运动员较为突出，他们在4次预选赛中的成绩（单位：秒）如下表所示： 甲 12.0 12.0 12.1 11.9 乙 12.3 12.7 11.8 11.2 由于甲，乙两名运动员的成绩的平均数相同，学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是______． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了平均数，方差，根据所给数据分别算出甲、乙的平均数，在计算甲的方差，乙的方差，进行比较即可得；掌握平均数，方差是解题的关键． 【详解】解：甲的平均数：（秒）， 乙的平均数：（秒）， 甲的方差：， 乙的方差：， ∵， ∴甲运动员的成绩更为稳定， 故答案为：甲． 16. 如图，将绕顶点顺时针旋转后，得到，若恰为的中点，则与的长度之比为__________． 【答案】1：4 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到为等边三角形，再根据恰为的中点，得到为的直角三角形，即可得解． 【详解】解：∵绕顶点顺时针旋转后，得到， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与的长度之比为：1：4； 故答案为：1：4． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，以及的直角三角形．熟练掌握相关知识点是解题的关键． 17. 如图，已知坐标平面上有一顶点为A的抛物线，A点坐标为，若此抛物线又与直线交于两点，且为正三角形，则可求得此抛物线与轴的交点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，根据抛物线顶点，A点坐标为可设二次函数的解析式为，设，，，则，过点A作，则，，根据为正三角形，得，根据A点坐标为得，抛物线的解析式为，将点代入计算得，则，当时，进行计算即可得；掌握二次函数的图象与性质时解题的关键． 【详解】解：∵抛物线顶点，A点坐标为， ∴可设二次函数的解析式为， 设，，， ∴， 如图所示，过点A作， 则，， ∵为正三角形， ∴， ∵A点坐标为， ∴， ∵抛物线的解析式为，将点代入得， ， ， ∴， 当时，， ∴抛物线与y轴的交点为， 故答案为：． 三、解答题（本题4个小题，每小题6分，共24分） 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的化简及其加减，解题的关键是掌握以上运算法则．首先计算负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的化简，然后计算加减即可． 【详解】解： ． 19. 先化简，再求值：．其中是方程的根． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程解的定义．先计算括号内的，再计算除法，然后根据一元二次方程解的定义可得，然后代入，即可求解． 【详解】解： ． ∵是方程的根， ∴， ∴原式． 20. 如图，为等边三角形，点分别在和上，，连接，．点关于的对称点为点，连接，，． （1）求证：四边形为菱形； （2）当四边形为平行四边形时，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵点E与点F关于对称， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，对称的性质，等边三角形的判定性质等知识， （1）先证明是等边三角形，可得，再根据对称，可得，，即可证明； （2）由（1）有，再根据四边形为平行四边形，可得，结合等边三角形的性质即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得：， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 21. 为落实立德树人的根本任务，加强思政、历史学科教师的专业化队伍建设．某校计划从前来应聘的思政专业（一名研究生，一名本科生）、历史专业（一名研究生、一名本科生）的高校毕业生中选聘教师，在政治思想审核合格的条件下，假设每位毕业生被录用的机会相等 （1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是 ： （2）若从中录用两人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率． 【答案】（1）；（2）恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率为． 【解析】 【分析】（1）由概率公式即可得出结果； （2）设思政专业的一名研究生为A、一名本科生为B，历史专业的一名研究生为C、一名本科生为D，画树状图可知：共有12个等可能的结果，恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的结果有2个，即可得出结果． 【详解】（1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是； 故答案为； （2）设思政专业的一名研究生为A、一名本科生为B，历史专业的一名研究生为C、一名本科生为D， 画树状图如图： 共有12个等可能的结果，恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的结果有2个， ∴恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率为． 故答案为 【点睛】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；根据题意画出树状图是解题的关键． 四（本题8分） 22. 图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面，扇形的圆心角，半径，点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为． （1）求闸机通道的宽度，即与之间的距离（参考数据：，，）； （2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 【答案】（1）与之间的距离为；（2）一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人． 【解析】 【分析】（1）连接，并向两方延长，分别交，于点，,则，,根据的长度就是与之间的距离，依据解直角三角形，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度； （2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人，根据“一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟”列出分式方程求解即可；还可以设一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人，根据题意列方程求解． 【详解】解：连接，并向两方延长，分别交，于点，． 由点与点在同一水平线上，，均垂直于地面可知，，，所以的长度就是与之间的距离．同时，由两圆弧翼成轴对称可得． 在中，，，， ， ． ． 与之间的距离为． （1）解法一：设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人． 根据题意，得 解，得． 经检验是原方程的解 当时， 答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人． 解法二：设一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人． 根据题意，得． 解，得 经检验是原方程的解． 答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人． 【点睛】本题考查了解直角三角形及列分式方程解应用题，关键是掌握含30度的直角直角三角形的性质． 五（本题8分） 23. 在防疫知识普查考试中，某次测试试题的满分为20分．某校为了解该校部分学生的成绩情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取了20名学生的成绩进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息： 抽取的20名七年级学生成绩是： 20，20，20，20，19，19，19，19，18，18， 18，18，18，18，18，17，16，16，15，14． 抽取的40名学生成绩统计表 七年级 八年级 平均分 18 18 众数 a b 中位数 18 c 方差 2.7 2.7 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上表中a，b，c的值； （2）在这次测试中，你认为是七年级成绩好，还是八年级成绩好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七、八年级共有学生1000人，估计此次测试成绩不低于19分的学生有多少人？ 【答案】（1）a＝18，b＝19，c＝18.5； （2）八年级的成绩好， ∵七年级与八年级成绩的平均分和方差相等，而八年级的中位数大于七年级的中位数，即八年级高分人数稍多， ∴八年级的成绩好； （3）450人 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的概念求解可得； （2）在平均分和方差相等的前提下，可从众数和中位数及满分人数等方面比较得出答案（答案不唯一，合理均可）； （3）用总人数乘以样本中七、八年级不低于19分的学生人数和所占比例即可得． 【详解】解：（1）七年级20名学生成绩的众数a＝18，八年级成绩的众数b＝19，中位数c＝＝18．5； （2）略 （3）估计此次测试成绩不低于19分的学生有1000×＝450（人）． 【点睛】本题考查了方差、中位数、众数及折线统计图，解题的关键是掌握众数、中位数的概念及样本估计总体思想的运用． 六（本题8分） 24. 如图，为⊙O的直径，为⊙O的弦，，且． （1）求证：⊙O的切线； （2）若，，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明：如图：连接， ∴ ，且 ∴ ∴ ∴ ∴ 且为半径 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）由AD⊥CD可得∠CAD+∠ACD=90°，由OA=OC可得∠OCA=∠OAC=∠CAD，则结论可得． （2）根据△ACD∽△ABC可求AB，即可得半径． 【详解】（1）略 （2），， ， 是直径 ∴ ， ∴ . ∴⊙O的半径为. 【点睛】考查了圆的切线的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，关键是灵活运用这些性质解决问题． 七（本题8分） 25. 为了贯彻落实市委政府提出的“精准扶贫”精神，某校特制定了一系列帮扶A、B两贫困村的计划，现决定从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如表： 车型 目的地 A村（元/辆） B村（元/辆） 大货车 800 900 小货车 400 600 （1）求这15辆车中大小货车各多少辆？ （2）现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A、B两村总费用为y元，试求出y与x的函数解析式． （3）在（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用． 【答案】（1）大货车用8辆，小货车用7辆； （2）y=100x+9400． （3） 使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、5辆小货车前往A村；3辆大货车、2辆小货车前往B村．最少运费为9900元． 【解析】 【分析】（1）设大货车用x辆，小货车用y辆，根据大、小两种货车共15辆，运输152箱鱼苗，列方程组求解； （2）设前往A村的大货车为x辆，则前往B村的大货车为（8-x）辆，前往A村的小货车为（10-x）辆，前往B村的小货车为[7-（10-x）]辆，根据表格所给运费，求出y与x的函数关系式； （3）结合已知条件，求x的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案． 【详解】（1）设大货车用x辆，小货车用y辆，根据题意得： 解得：．∴大货车用8辆，小货车用7辆． （2）y=800x+900（8-x）+400（10-x）+600[7-（10-x）]=100x+9400．（3≤x≤8，且x为整数）． （3）由题意得：12x+8（10-x）≥100，解得：x≥5，又∵3≤x≤8，∴5≤x≤8且为整数， ∵y=100x+9400，k=100＞0，y随x的增大而增大，∴当x=5时，y最小， 最小值为y=100×5+9400=9900（元）． 答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、5辆小货车前往A村；3辆大货车、2辆小货车前往B村．最少运费为9900元． 八（本题13分） 26. 综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，点的坐标为． （1）请直接写出，两点的坐标及直线的函数表达式； （2）若点是抛物线上的点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为．与直线交于点，当点是线段的三等分点时，求点的坐标； （3）若点是轴上的点，且，求点的坐标． 【答案】（1），，直线的函数表达式为：；（2）当点是线段的三等分点时，点的坐标为或；（3）点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）令可得两点的坐标，把的坐标代入一次函数解析式可得的解析式； （2）根据题意画出图形，分别表示三点的坐标，求解的长度，分两种情况讨论即可得到答案； （3）根据题意画出图形，分情况讨论：①如图，当点在轴正半轴上时，记为点．过点作直线，垂足为．再利用相似三角形与等腰直角三角形的性质，结合勾股定理可得答案，②如图，当点在轴负半轴上时，记为点．过点作直线，垂足为，再利用相似三角形与等腰直角三角形的性质，结合勾股定理可得答案． 【详解】解：（1）令 ，， 设直线的函数表达式为：， 把代入得： 解得： 直线的函数表达式为：． （2）解：如图，根据题意可知，点与点的坐标分别为 ，． ， ， 分两种情况： ①当时，得． 解得：，（舍去） 当时，． 点的坐标为 ②当时，得． 解得：，（舍去） 当时， 点的坐标为． 当点是线段的三等分点时，点的坐标为或 （3）解：直线与轴交于点， 点坐标为． 分两种情况： ①如图，当点在轴正半轴上时，记为点． 过点作直线，垂足为．则， ， ． 即 ． 又，， ． 连接，点的坐标为，点的坐标为， 轴 ． ，． ． ． 点的坐标为． ②如图，当点在轴负半轴上时，记为点．过点作直线，垂足为， 则， ，． ． 即 ． 又，， ．． 由①可知，．． ． ． 点的坐标为 点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是二次函数与轴的交点坐标，利用待定系数法求一次函数的解析式，平面直角坐标系中线段的长度的计算，同时考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，特别是分类讨论的数学思想，掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $