精品解析：福建省福州高级中学2023-2024学年高二下学期7月期末数学试题

福州高级中学2023-2024学年第二学期期末考试 高二数学 一、单选题 1. 已知命题，，则为（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 3. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆C：，圆是以圆上任意一点为圆心，半径为1的圆．圆C与圆交于A，B两点，则当最大时，（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 内一点O满足，直线AO交BC于点D，则下列正确的是 A. B. C. D. 6. 已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值集合是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，，若的图象与的图象在上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 某人有6把钥匙，其中4把能打开门.如果不放回地依次随机抽取3把钥匙试着开门，设事件为“第次能打开门”，则下列结论中正确的是（ ） A. 事件与互斥 B. C. D. 10. 给出下列说法，错误的有（ ） A. 若函数在定义域上为奇函数，则 B. 已知的值域为，则a的取值范围是 C. 已知函数满足，且，则 D. 已知函数，则函数的值域为 11. 已知矩形满足，，点为的中点，将沿折起，点折至，得到四棱锥，若点为的中点，则（ ） A. 平面 B. 存在点，使得平面 C. 四棱锥体积的最大值为 D. 存在点，使得三棱锥外接球的球心在平面内 12. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 在定义域上增函数 B. 的值域为 C. D. 若，，，则 三、填空题 13. 已知，则__________． 14. 不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是______． 15. 任何一个复数（其中a、，i为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，若，时，则________；对于，________． 四、解答题 16. 某商品定货单价为40元，若按50元一个销售，能卖出500个，如果销售单价每涨5元，销售量就减少50个，为获得最大利润，此商品的销售价应为每个多少元？ 17. 如图,点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴上方,． （1）求点P的坐标; （2）设M是椭圆长轴上的一点,M到直线的距离等于,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值． 18. 如图，在几何体中，四边形是边长为2的菱形，平面，平面，，. （1）当长多少时，平面平面？ （2）在（1）条件下，求二面角的余弦值. 19 已知函数，． （1）若函数在处取得极值，试求的值，并求在点处的切线方程； （2）设，若函数在上存在单调递增区间，求取值范围． 20. 已知函数，其中． （1）当时，讨论函数的单调性； （2）若在上恒成立，求实数a的取值范围． 21. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福州高级中学2023-2024学年第二学期期末考试 高二数学 一、单选题 1. 已知命题，，则为（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据特称命题的否定为全称命题可得答案. 【详解】因为特称命题的否定为全称命题，所以为：，． 故选：C． 2. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间线、面的位置关系有关定理，对四个选项逐一分析排除，由此得出正确选项. 【详解】对于A，由，，可得，与相交或，所以A错误； 对于B，由，，可得或，所以B错误； 对于C，由，，可得，所以C正确； 对于D，由，，可得或，所以D错误 故选：C. 3. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数的性质，采用逐一验证法，可得结果. 【详解】因为是奇函数，在上单调递减，故A错； 因为是偶函数，在递增，在递减，其中，故B错； 因为既不是奇函数也不是偶函数，在上单调递增，故C错误； 因为是偶函数，在上单调递减，故D正确. 故选：D 4. 已知圆C：，圆是以圆上任意一点为圆心，半径为1的圆．圆C与圆交于A，B两点，则当最大时，（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，结合等腰三角形性质确定顶角最大的条件，再借助直角三角形求解作答. 【详解】依题意，在中，，如图， 显然，是锐角，，又函数在上递增， 因此当且仅当公共弦最大时，最大，此时弦为圆的直径， 在中，，所以. 故选：D 5. 内一点O满足，直线AO交BC于点D，则下列正确的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意,做出几何图形,并延长至使得;延长至使得.以为邻边作平行四边形.连接交于.由平面向量共线基本定理,可,根据向量线性运算化简即可求得的值,进而检验四个选项即可 【详解】根据题意,画出.内任取一点,延长至使得;延长至使得.以为邻边作平行四边形.连接交于,如下图所示: 由题意及向量的加法运算可得 而,即 所以 即在同一直线上.而由题意可知在同一直线上 所以在同一直线上.也在上 设 所以即 由,所以,化简可得 综上可得,解方程组可得 所以 而,代入可得,即,所以排除C、D. 由,可得, 所以,故B正确; 而,即A错误. 综上可知,B为正确选项. 故选:B 【点睛】本题考查了平面向量在几何中的应用,平面向量共线基本定理的应用,向量的线性运算,属于中档题. 6. 已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断与的位置关系，可知两直线交点轨迹为圆，然后挖去点，转化为圆心到直线的距离求解即可. 【详解】由两直线垂直的判断条件，可知， 所以直线与始终垂直， 又由条件可得直线恒过定点，直线恒过定点， 所以两直线的交点是在以线段为直径的圆上， 所以该圆的圆心坐标为，半径为， 圆上点是过定点且斜率不存在的直线与过定点且斜率为0的直线的交点，故挖去点. 圆心到直线的距离， 所以，与的交点到直线的距离的最大值和最小值分别为和， 又到直线的距离为，应舍去， 所以取值集合是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用直线垂直的性质与过定点的知识，判断得两直线的交点是在以线段为直径的圆上，从而得解. 7. 已知函数，，若的图象与的图象在上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得在上有两个不等实根，转化为，即原问题等价于与在上有两个交点，然后利用导数求出的单调区间，画出函数图像，由图像可得要使与在上有两个交点，只要，从而可求出实数的取值范围 【详解】解：关于轴对称的解析式为， 因为的图像与的图像在上恰有两对关于轴对称的点， 所以在上有两个不等实根， 所以， 所以，即， 所以， 令，，则恒成立， 所以在上单调递增， 所以，即， 所以， 所以原问题等价于与在上有两个交点， 由，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数取得最小值， 当时，， 函数在上的图像如图所示， 所以要使与在上有两个交点，只要， 因为，所以， 即实数取值范围是， 故选：C 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的应用，考查导数的应用，解题的关键是把问题转化为，即原问题等价于与在上有两个交点，然后画出函数图像，利用图像求解即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题 8. 已知实数，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 将实数，满足通过讨论，得到其图像是椭圆、双曲线的一部分组成的图形，借助图像分析可得的取值就是图像上一点到直线距离范围的2倍，求出切线方程根据平行直线距离公式算出最小值，和最大值的极限值即可得出答案. 【详解】解：因为实数，满足， 所以当时，其图像位于焦点在轴上的椭圆第一象限， 当时，其图像位于焦点在轴上的双曲线第四象限， 当时，其图像位于焦点在轴上的双曲线第二象限， 当时，其图像不存在， 作出圆锥曲线和双曲线的图像如下，其中图像如下： 任意一点到直线的距离 所以 结合图像可得的范围就是图像上一点到直线距离范围的2倍， 双曲线，其中一条渐近线与直线平行 通过图形可得当曲线上一点位于时，取得最小值 当曲线上一点靠近双曲线的渐近线时取得最大值，不能取等号 设与其图像在第一象限相切于点 由 因为或（舍去） 所以直线与直线的距离为 此时 直线与直线的距离为 此时 所以的取值范围是 故选：B 【点睛】三种距离公式： （1）两点间的距离公式： 平面上任意两点间的距离公式为； （2）点到直线的距离公式： 点到直线的距离; （3）两平行直线间的距离公式： 两条平行直线与间的距离. 二、多选题 9. 某人有6把钥匙，其中4把能打开门.如果不放回地依次随机抽取3把钥匙试着开门，设事件为“第次能打开门”，则下列结论中正确的是（ ） A. 事件与互斥 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用互斥事件定义和条件概率公式求解即可. 【详解】事件与可以同时发生，所以不是互斥事件，故A错误； 事件为“第次能打开门”，则， 故B正确； ，故C错误； ， ， 所以,故D正确. 故选：BD 10. 给出下列说法，错误的有（ ） A. 若函数在定义域上为奇函数，则 B. 已知的值域为，则a的取值范围是 C. 已知函数满足，且，则 D. 已知函数，则函数的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由奇函数的定义可判断A，函数的值域满足，即可判断B，由周期性可判断C，先求出函数的定义域，由对数函数和二次函数的性质可判断D． 【详解】对于A，函数为奇函数， 所以，，即，即， 即，整理可得，即， 所以，，解得， 当时，，该函数的定义域为，满足，合乎题意， 当时，， 由可得，此时函数的定义域为，满足，合乎题意. 综上所述，，故A错误； 对于B，因为的值域为， 则函数的值域满足， 则，解得，故B错误； 对于C，函数满足，则， 故的周期为，因为，则，故C正确； 对于D，因为，， 由，得，解得， 即函数的定义域为．则， 又 ， 故函数的值域为，故D错误： 故选：ABD. 11. 已知矩形满足，，点为的中点，将沿折起，点折至，得到四棱锥，若点为的中点，则（ ） A. 平面 B. 存在点，使得平面 C. 四棱锥体积的最大值为 D. 存在点，使得三棱锥外接球的球心在平面内 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，取中点，结合已知可得为平行四边形，从而可得∥，进而由线面平行的判定定理可得结论；对于B，假设存在，使得平面，从而可得，在中，可判断，从而可得不可能垂直于，进而可得结论；对于C，当平面垂直于平面时，取得最大值，从而可求出四棱锥体积的最大值，对于D，当平面垂直于平面时，存在，使得三棱锥的外接球球心在平面内，为的中点，可得，所以为三棱锥的外接球球心， 【详解】解：对于A，取中点，因为是的中点， 所以∥，， 因∥，， 所以∥，，所以四边形为平行四边形， 所以∥， 因为平面，平面，所以平面，所以A正确； 对于B，假设存在，使得平面，则，因为，，所以平面，所以，所以，在中，，所以，所以不可能垂直于，所以B错误； 对于C，，为到平面的距离，当平面垂直于平面时，取得最大值，此时为到的距离，此时，，所以的最大值为，所以C正确； 对于D，当平面垂直于平面时，存在，使得三棱锥的外接球球心在平面内，如图2，，所以，因为，所以，在直角三角形中，，为的中点，所以，所以，所以为三棱锥的外接球球心，因为在平面内，所以D正确， 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：此题考查线面平行的判定，线面垂直的判定，棱锥体积的求法等知识，解题的关键是根据题意正确的画出空间图形，然后结合图形求解即可，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题 12. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 在定义域上是增函数 B. 的值域为 C. D. 若，，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】确定函数定义域，结合导数判断其单调性，可判断A；作出函数图象，数形结合，判断B；结合函数解析式可得，即可判断C；将化简变形得到，结合函数单调性推出，即可判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为， ，则在上均单调递增， 由于函数图象在处不连续，故不能说在定义域上是增函数，A错误； 对于B，结合函数的单调性，作出函数的大致图象， 结合图象可知的值域为，B正确； 对于C，由于，故， 故， 故，C错误； 对于D，由题意知， 又，即 而，，故，结合在上单调递增， 可得，D正确， 故选：BD 三、填空题 13. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦公式得出，然后除以，在所得分式的分子和分母中同时除以，转化为只含的代数式，代值计算可得结果. 【详解】. 故答案为：. 【点睛】本题考查三角求值，考查了二倍角公式与弦化切思想的应用，考查计算能力，属于基础题. 14. 不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先要分离参数，然后同构变换得到，根据，得出，从而得解. 【详解】，即， 设， 则，令得， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以，即， 则，当且仅当时，取等号， 又易知单调递增，，， 所以在上存在唯一零点，故， 又恒成立，则. 故答案为：． 15. 任何一个复数（其中a、，i为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，若，时，则________；对于，________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用给定定理直接计算即得；令，求出等比数列前项的和，再利用复数相等求解作答. 【详解】当，时，，所以； ，令，则， ， ， 而，则，， 所以. 故答案为：-i； 【点睛】思路点睛：涉及复数的次幂的求和问题，可把视为等比数列的第n项，再借助数列问题求解. 四、解答题 16. 某商品定货单价为40元，若按50元一个销售，能卖出500个，如果销售单价每涨5元，销售量就减少50个，为获得最大利润，此商品的销售价应为每个多少元？ 【答案】 【解析】 【分析】设涨价5x元，销售的利润为y元，从而可得，配方即可求得． 【详解】设涨价5x元，销售的利润为y元， 则， 当，即销售单价为元时，y取得最大值. 17. 如图,点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴上方,． （1）求点P的坐标; （2）设M是椭圆长轴上的一点,M到直线的距离等于,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)设出点坐标,代入椭圆方程,根据列出方程联立即可求出点坐标; (2)设出点坐标,根据M到直线的距离等于,列出方程,求出点坐标,设出椭圆上点的坐标,根据两点间距离公式列出式子,将点坐标满足的椭圆方程代入消,可得到关于的二次函数,配方即可求得距离平方的最小值,进而求得距离的最小值. 【小问1详解】 解:由题知 , P在椭圆上,不妨设, ,, , 即, 两式联立可得: , 故点P的坐标为; 【小问2详解】 M是椭圆长轴上的一点, 不妨设, ,, , M到直线的距离等于, , 即,因为 所以 解得 设为椭圆任一点, 则满足,即, 则 , 故当时有最小值为. 18. 如图，在几何体中，四边形是边长为2的菱形，平面，平面，，. （1）当长为多少时，平面平面？ （2）在（1）的条件下，求二面角的余弦值. 【答案】(1)见解析；（2）二面角E-AC-F的余弦值为. 【解析】 【分析】（1）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量垂直列方程组，解得各面法向量，根据平面垂直得两法向量数量积为零，解得长，（2）利用方程组先解出各面法向量，根据向量数量积求两法向量夹角，再根据二面角与向量夹角关系求结果. 【详解】（1）连接BD交AC于点O，则AC⊥BD. 取EF的中点G，连接OG，则OG∥DE. ∵DE⊥平面ABCD，∴OG⊥平面ABCD. ∴OG，AC，BD两两垂直. ∴以AC，BD，OG所在直线分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图）， 设， 由题意，易求， ∴， 设平面AEF，平面CEF法向量分别为， 由，，得，∴ 解得. 令，∴. 同理可求. 若平面AEF⊥平面CEF，则， ∴， 解得或（舍）， 即BF长为时，平面AEF⊥平面CEF. （2）当时，， ∴，，∴EF⊥AF，EF⊥CF， ∴EF⊥平面AFC， ∴平面AFC的一个法向量为， 设平面AEC的一个法向量为，则 ，∴，得， 令，得，∴. 从而. 故所求的二面角E-AC-F的余弦值为. 19. 已知函数，． （1）若函数在处取得极值，试求的值，并求在点处的切线方程； （2）设，若函数在上存在单调递增区间，求的取值范围． 【答案】（1）m=3,；（2）. 【解析】 【分析】（1）对求导，根据已知有即可求参数m，进而根据导数的几何意义求处的切线方程； （2）由题设在上存在子区间使，利用二次函数性质求参数范围． 【详解】（1）=，由在处取得极值，即，解得. 所以， 则在、上，递增，在上，递减， 所以，m=3时，处有极大值，符合题设， 于是函数，则,. 函数在点处的切线的斜率， 则在点处的切线方程为. （2）当时，是开口向下的抛物线， 要使在上存在子区间使， 应满足或，解得或， 所以的取值范围是． 20 已知函数，其中． （1）当时，讨论函数的单调性； （2）若在上恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域及导数，再分类讨论解不等式或作答. （2）等价变形不等式，探讨函数在时值的符号，分离参数，构造函数，，求其最小值作答. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，当或时，，当时，， 则有函数在，上单调递增，在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 当时，当或时，，当时，， 函数在，上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 ，， 令，求导得， 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 则有函数的最小值为，即，， 于是在上恒成立等价于在上恒成立， 令，求导得， 令，求导得， 当时，，函数单调递减，当时，， 函数单调递增，则函数的最小值为，因此， 则当时，，函数在上单调递减，当时，， 函数在上单调递增，从而得函数的最小值为，于是得， 所以实数a的取值范围为． 【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键. 21. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，证明：． 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）对函数求导，按照、分类，解不等式、即可得解； （2）法一转化条件为，换主元设，结合导数可得，利用得到即可得证. 法二利用转化条件为，结合导数证得即可. 法三构造函数，结合导数求得函数隐零点得到函数单调性即可得证. 【详解】解法1： （1）若，则定义域为，，在单调递减． 若，则定义域为，． 由得，由得，所以在单调递增，在单调递减． （2）不等式等价于． 设，． 设，则，所以． 而，所以，在单调递减，所以 ． 由（1）可知，当时，，得．所以 ． 因此当时，． 解法2： （1）同解法1． （2）不等式等价于． 由（1）可知，当时，，得，从而． 设，在单调递增． 因为，所以当时，，当时，． 所以． 因此． 所以当时，． 解法3： （1）同解法1． （2）设，． 因为在单调递增，，，所以存在唯一，使，当时，，当时，， 所以． 由可得，即． 所以． 因为函数在单调递增，， 所以． 由（1）可知，当时，，得．因此 所以当时，． 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及证明不等式，等价转化命题及放缩是解题关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$