精品解析：内蒙古自治区通辽市科尔沁左翼中旗实验高级中学2023-2024学年高二下学期7月期末数学试题

科左中旗民族职专·实验高中 2023-2024学年度下学期期末考试数学试卷 命题人：张立国 审题人：石婷婷 卷面分值：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 对两个变量的三组数据进行统计，得到以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有（ ） A. 108种 B. 90种 C. 72种 D. 36种 6. 甲、乙、丙三人各进行一次投篮，三人投中的概率分别为，，，则三人中至少有一人投中的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知二项式（其中且）的展开式中与的系数相等，则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的备选答案中，有多个选项是符合题意的.全部选对得6分，不分选对得3分，选错或不选的0分.） 9. 对于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有8项 B. 展开式中的常数项是70 C. 展开式中各项系数之和为0 D. 展开式中的二项式系数之和为64 10. 如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递减 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 11. 袋中装有6个相同小球，编号分别为1，2，3，4，5，6．从中不放回的随机抽取两个球，表示事件“取出的两个球中至少有一个球的编号为奇数”，表示事件“取出的两个球的编号之和为偶数”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件不相互独立 B. 事件与事件互斥 C. 在事件发生的前提下，事件发生的概率为 D. 在事件发生的前提下，事件发生的概率为 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 从甲地去乙地有4班火车，从乙地去丙地有3班轮船，若从甲地去丙地必须经过乙地中转，则从甲地去丙地可选择的出行方式有______________种． 13. 有3台车床加工同一类型的零件，第1台加工的次品率为4%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，30%，50%，现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为______. 14. 函数f(x)=的极大值为_________，极小值为__________ 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 根据张桂梅校长真实事迹拍摄电影《我本是高山》于2023年11月24日上映，某学校政治组有4名男教师和3名女教师相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．求： （1）4名男教师必须坐在一起的坐法有多少种？ （2）3名女教师互不相邻的坐法有多少种？ 16. 在二项式展开式中，______.给出下列条件： ①若展开式前三项的二项式系数的和等于37； ②所有偶数项的二项式系数的和为128. 试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题： （1）求展开式中系数最大的项； （2）求展开式中含的项. （备注：如果多个条件分别解答，则按第一个条件计分） 17. 2024年两会期间民生问题一直是百姓最关心的热点，某调查组利用网站从参与调查者中随机选出200人，数据显示关注此问题的约占，并将这200人按年龄分组，第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示. （1）求a，并估计参与调查者的平均年龄； （2）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中不关注民生问题的中老年人有10人，得到如下2×2列联表.请将列联表补充完整填入答题卡，并回答：依据小概率值的独立性检验，能否认为是否关注民生与年龄有关？ 关注民生问题 不关注民生问题 合计 青少年 中老年 10 合计 200 （3）将此样本频率视为总体的概率，从网站随机抽取4名青少年，记录4人中“不关注民生问题”的人数为，求随机变量时的概率和随机变量的数学期望． 附：． 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10828 18. 某大学为了了解数学专业研究生招生的情况，对近五年的报考人数进行了统计，得到如下统计数据： 2015 2016 2017 2018 2019 年份x 1 2 3 4 5 报考人数y 30 60 100 140 170 （1）经分析，与存在显著的线性相关性，求关于的线性回归方程并预测年（按计算）的报考人数； （2）每年报考该专业研究生考试成绩大致符合正态分布，根据往年统计数据，，，录取方案：总分在分以上的直接录取；总分在之间的进入面试环节，录取其中的；低于分的不予录取，请预测年该专业录取的大约人数（最后结果四舍五入，保留整数）． 参考公式和数据：，，． 若随机变量，则，，． 19. 已知函数，其导函数为． （1）求在处的切线方程； （2）求的单调区间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 科左中旗民族职专·实验高中 2023-2024学年度下学期期末考试数学试卷 命题人：张立国 审题人：石婷婷 卷面分值：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助数轴，利用集合交集运算规则求交集即可. 【详解】 由图可知，， 故选：C. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质证明必要性，举反例否定充分性即可. 【详解】当时，满足，但，故充分性不成立， 若，当时，必有成立，当时，必有，故必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件，故B正确. 故选：B 3. 对两个变量的三组数据进行统计，得到以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据散点图中点的分布的特征，确定3个图对应的相关系数的正负以及大小关系，可得答案. 【详解】由散点图可知第1个图表示的正相关， 故； 第2，3图表示的负相关，且第2个图中的点比第3个图中的点分布更为集中， 故，且，故， 综合可得，即， 故选：C 4. 函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】由函数，求导得，则，而， 所以所求切线方程为，即. 故选：A 5. 某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有（ ） A 108种 B. 90种 C. 72种 D. 36种 【答案】A 【解析】 【分析】先确定第一天和第二天播放的节目，然后再确定节目的播放顺序，利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】第一步，从无限制条件的3个节目中选取1个，同学习经验介绍和新闻报道两个节目在第一天播出，共有种； 第二步，某谈话节目和其他剩余的2个节目在第二天播出，有种播出方案， 综上所述，由分步乘法计数原理可知，共有种不同的播出方案. 故选：A 6. 甲、乙、丙三人各进行一次投篮，三人投中的概率分别为，，，则三人中至少有一人投中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对立事件概率公式及相互独立事件乘法公式求解即可. 【详解】“三人中至少有一人投中”的对立事件是“三人均投不中”， 三人均投不中的概率为， 所以三人中至少有一人投中的概率为. 故选：A 7. 已知二项式（其中且）的展开式中与的系数相等，则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式定理的通项公式建立等量关系可求答案. 【详解】因为且，由题意知， 得，求得， 故选：. 8. 已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知，利用导数求出函数在上的最大值，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为，则，其中， 令，解得，令，解得. 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为，，所以，， 因为在上恒成立，所以，，解得. 故选：B. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的备选答案中，有多个选项是符合题意的.全部选对得6分，不分选对得3分，选错或不选的0分.） 9. 对于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有8项 B. 展开式中的常数项是70 C. 展开式中各项系数之和为0 D. 展开式中的二项式系数之和为64 【答案】BC 【解析】 【分析】利用二项式定理和二项式系数的性质判断各选项. 【详解】的展开式共有9项，故A错误； 展开式中的常数项为，故B正确； 令，则展开式中各项系数之和为，故C正确； 展开式中的二项式系数之和为，故D错误. 故选：BC 10. 如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递减 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据导函数图象，结合函数的单调性与极值与导数的关系逐项判断即可. 【详解】对于A．因为在区间上成立，所以区间是的单调递减区间，故A正确； 对于B．因为当时，，当时，，所以在上不单调，故B错误； 对于C．因为当时，，当时，，函数在处取得极大值，故C正确； 对于D．因为当时，，当时，，所以函数在处取得极小值，故D正确. 故选：ACD． 11. 袋中装有6个相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6．从中不放回的随机抽取两个球，表示事件“取出的两个球中至少有一个球的编号为奇数”，表示事件“取出的两个球的编号之和为偶数”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件不相互独立 B. 事件与事件互斥 C. 在事件发生的前提下，事件发生的概率为 D. 在事件发生的前提下，事件发生的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用古典概率求出，再逐项判断作答. 【详解】依题意，，，，， 对于A，因为，则事件与事件不相互独立，A正确； 对于B，“取出的两个球的编号均为奇数”既在事件中，也在事件中，事件与事件不互斥，B错误； 对于C，在事件发生的前提下，事件发生的概率，C正确； 对于D，在事件发生的前提下，事件发生的概率，D正确. 故选：ACD 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 从甲地去乙地有4班火车，从乙地去丙地有3班轮船，若从甲地去丙地必须经过乙地中转，则从甲地去丙地可选择的出行方式有______________种． 【答案】12 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理可得答案. 【详解】由分步乘法计数原理知从甲地去丙地可选择的出行方式有（种）． 故答案为：12. 13. 有3台车床加工同一类型的零件，第1台加工的次品率为4%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，30%，50%，现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意可知，次品是由3台机床共同造成的，利用全概率公式和条件概率公式即可求得结果. 【详解】记为事件“零件为第台车床加工”，为事件“任取一个零件为次品”， 则，， 所以由全概率公式可得 ; 由条件概率公式可得. 故答案为： 14. 函数f(x)=极大值为_________，极小值为__________ 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】利用导数法判断函数的单调性和单调区间，即可求解. 【详解】由题意得，函数的定义域为， ， 令得或，作出关于、、的变化列表： 由上表可以得到， 函数在区间和上为减函数，在区间上为增函数， 所以当时，函数有极小值为，当时，函数有极大值为. 故答案为：；. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》于2023年11月24日上映，某学校政治组有4名男教师和3名女教师相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．求： （1）4名男教师必须坐在一起的坐法有多少种？ （2）3名女教师互不相邻的坐法有多少种？ 【答案】（1）576 （2）1440 【解析】 【分析】（1）由捆绑法及分步乘法计数原理即可求解； （2）由插空法及分步乘法计数原理，即可求解． 【小问1详解】 根据题意，先将4名男教师排在一起，有种坐法， 将排好的男教师视为一个整体，与3名女教师进行排列，共有种坐法， 由分步乘法计数原理，共有24×24=576种坐法． 【小问2详解】 根据题意，先将4名男教师排好，有种坐法， 再在这4名男教师之间及两头的5个空位中插入3名女教师，有种坐法， 由分步乘法计数原理，共有60×24=1440种坐法． 16. 在二项式的展开式中，______.给出下列条件： ①若展开式前三项的二项式系数的和等于37； ②所有偶数项的二项式系数的和为128. 试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题： （1）求展开式中系数最大的项； （2）求展开式中含的项. （备注：如果多个条件分别解答，则按第一个条件计分） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）选择①：，利用组合数公式，计算可得；从而得到的展开通项，结合二项式系数的性质即可得解； 选择②：转化为，计算可得；从而得到的展开通项，结合二项式系数的性质即可得解. （2）结合（1）中结论，令，即可得解. 【小问1详解】 选择①：依题意，得，即， 即，即，解得或（舍去）. 所以的展开式中通项公式为， 显然，当为偶数时，展开式中系数才可能取得最大，考虑， 根据二项式系数的性质可知，系数最大的项为第5项，即. 选择②：依题意，得，即，解得. 所以的展开式中通项公式为， 显然，当为偶数时，展开式中系数才可能取得最大，此时， 根据二项式系数的性质可知，系数最大的项为第5项，即. 【小问2详解】 由（1）得的展开式中通项公式为， 令，得， 所以的展开式中含x2的项为. 17. 2024年两会期间民生问题一直是百姓最关心的热点，某调查组利用网站从参与调查者中随机选出200人，数据显示关注此问题的约占，并将这200人按年龄分组，第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示. （1）求a，并估计参与调查者的平均年龄； （2）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中不关注民生问题的中老年人有10人，得到如下2×2列联表.请将列联表补充完整填入答题卡，并回答：依据小概率值的独立性检验，能否认为是否关注民生与年龄有关？ 关注民生问题 不关注民生问题 合计 青少年 中老年 10 合计 200 （3）将此样本频率视为总体的概率，从网站随机抽取4名青少年，记录4人中“不关注民生问题”的人数为，求随机变量时的概率和随机变量的数学期望． 附：． 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）0.035；41.5岁 （2）表格见解析；有关 （3）；1 【解析】 【分析】（1）利用频率直方图面积和为1，即可得到，根据频率直方图计算平均数即可； （2）根据频率分布直方图得到青少年组、中老年组人数，从而得到列联表，再零假设计算出，根据独立性检验可得答案； （3）将频率视为概率，计算出青少年“不关注民生问题”的概率，根据每次抽取的结果是相互独立的得，可得答案 【小问1详解】 ， ， ， 估计参与调查者的平均年龄为：41.5岁； 【小问2详解】 选出的200人中，各组的人数分别为： 第1组：人，第2组：人， 第3组：人，第4组：人， 第5组：人， 青少年组有人，中老年组有人， 参与调查者中关注此问题的约占有人不关心民生问题， 选出的200人中不关注民生问题的青少年有30人， 列联表如下； 关注民生问题 不关注民生问题 合计 青少年 90 30 120 中老年 70 10 80 合计 160 40 200 零假设：假设关注民生问题与性别相互独立， ， 根据独立性检验，可以认为零假设不成立， 即能依据小概率值的独立性检验，认为是否关注民生与年龄有关； 【小问3详解】 由题意，青少年“不关注民生问题”的频率为， 将频率视为概率，每个青少年“不关注民生问题”的概率为， 因为每次抽取的结果是相互独立的，所以， 所以， 所以，． 18. 某大学为了了解数学专业研究生招生情况，对近五年的报考人数进行了统计，得到如下统计数据： 2015 2016 2017 2018 2019 年份x 1 2 3 4 5 报考人数y 30 60 100 140 170 （1）经分析，与存在显著的线性相关性，求关于的线性回归方程并预测年（按计算）的报考人数； （2）每年报考该专业研究生的考试成绩大致符合正态分布，根据往年统计数据，，，录取方案：总分在分以上的直接录取；总分在之间的进入面试环节，录取其中的；低于分的不予录取，请预测年该专业录取的大约人数（最后结果四舍五入，保留整数）． 参考公式和数据：，，． 若随机变量，则，，． 【答案】（1），人 （2）人 【解析】 【分析】（1）根据已知条件以及参考数据，利用公式求解即可. （2）根据已知，利用正态分布以及频数的计算公式进行求解. 【小问1详解】 由题可知： ，， ，， ． 关于的线性回归方程为， 当2020年即时，人， 即预测2020年的报考人数为208人. 【小问2详解】 研究生考试成绩大致符合正态分布，， 则，, 直接录取人数为人, ，之间的录取人数为人， 预测2020年该专业录取的大约人数是人． 19. 已知函数，其导函数为． （1）求在处的切线方程； （2）求的单调区间． 【答案】（1） （2）单调递减区间为，单调递增区间为 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义即可得解； （2）利用导数与函数单调性的关系即可得解. 【小问1详解】 因为的导数为， 所以在处的切线斜率为，而 故所求的切线方程为，即． 【小问2详解】 因为，定义域为 所以 解得，解得， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$